2024-2025学年广东省东莞市东华高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省东莞市东华高级中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.计算：( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足：，，且，则( )
A. B. C. D.
4.一个口袋中装有个白球和个黑球，先摸出一个球后放回，再摸出一个球，则两次摸出的球都是白球的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，，在区间上单调递增，直线和为函数的两条对称轴，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，关于的方程有个根，，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，，，；乙罐中有三个相同的小球，标号为，，从甲罐、乙罐中分别随机抽取个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于”，事件“抽取的两个小球标号之积小于”，则( )
A. 事件发生的概率为 B. 事件发生的概率为
C. 事件，是互斥事件 D. 事件，相互独立
10.下列命题为真命题的是( )
A. ，
B. 已知函数，则
C. 命题“角是第一象限角”是“”的充分不必要条件
D. 当时，函数有个零点
11.如图，已知正方体的棱长为，为底面的中心，交平面于点，点为棱的中点，则( )
A. 四面体的体积与表面积的数值之比为
B. 点到平面的距离为
C. 异面直线与所成的角为
D. 过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知事件与相互独立，，，则 ______．
14.已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年卡塔尔世界杯足球赛于月日至月日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮，某机构为了解球迷对足球的喜爱，为此进行了调查现从球迷中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
求样本中数据的第百分位数；
求样本数据的平均数；
若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取入进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在组的概率．
16.本小题分
已知在中，，．
求；
设，求边上的高．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
求证：平面；
求侧面与底面所成二面角的余弦值．
18.本小题分
甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是，，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
甲试跳三次，第三次才成功的概率；
甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
记向量的相伴函数为，若，且求的值；
设，试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相同的单位向量；
已知，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：依题意，样本中数据落在的频率为：
，
样本数据的第百分位数落在第四组，
第百分位数为．
平均数为．
与两组的频率之比为：，
现从和两组中用分层抽样的方法抽取人，
则组抽取人，记为，；组抽取人，记为，，，．
所有可能的情况为：
，，，，，，，，，，，，，，共种．
其中至少有人的年龄在的情况有：
，，共种．
记“抽取的人中至少有人的年龄在组”为事件，
则抽取的人中至少有人的年龄在组的概率为．
16.解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
又，，
解得，
又，，
；
由可知，，
，
，
，，
设边上的高为，
则，
，
解得，
即边上的高为．
17.证明：在正方形中，，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为是正三角形，是的中点，则，
又，，平面，
所以平面；
解：取，的中点分别为，，连接，，，
则，，所以，
在正中，，
因为，，平面，
则平面，
在正方形中，，
故BC平面，
所以是侧面与底面所成二面角的平面角，
由平面，，
则平面，又平面，
所以，
设正方形的边长，则，
所以，
则，
故侧面与底面所成二面角的余弦值为．
18.解：设“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，
依题意得、且、、、相互独立，
“甲第三次试跳才成功”为事件，且三次试跳相互独立，
，
即甲第三次试跳才成功的概率为．
“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件，，
，
即甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为．
设“甲在两次试跳中成功次”为事件、、，
“乙在两次试跳中成功次”为事件、、，
事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为，且、为互斥事件，
所求的概率为
，
故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为．
19.解：由题知，向量的相伴函数为，
当时，，
，则，所以，
所以
；
因为
，
故函数的相伴特征向量，
则与方向相同单位向量为；
因为函数的相伴特征向量，
所以，
，
设点，又，，
所以，
若，则，
即，，
因为，故，
又，故当且仅当时，成立，
故在的图象上存在一点，使得．
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