2024-2025学年福建省福州市平潭一中高二（上）开门考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省福州市平潭一中高二（上）开门考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.已知，向量，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件
3.设，，向量，，且，，则( )
A. B. C. D.
4.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
5.已知点，，，则的形状是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
6.如图，在正方体中，，分别是，的中点，则下列说法错误的是( )
A. B. 平面
C. D. 平面
7.，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
10.关于函数，下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为
C. 的单调递减区间为
D. 的一个对称中心为
11.已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，在翻折的过程中下列结成立的是( )
A. 三棱锥的体积最大值为
B. 三棱锥的外接球体积不变
C. 异面直线与所成角的最大值为
D. 与平面所成角的余弦值最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知 ______．
13.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为______．
14.在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知空间中三点，，
求以向量为一组邻边的平行四边形的面积；
若向量分别与向量，垂直，且，求向量的坐标．
16.本小题分
如图，四棱锥中，四边形为正方形，面，，，分别为，的中点．
证明：面
求点到平面的距离．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
若的面积为，求．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，．
若，证明：平面；
若，且二面角的正弦值为，求．
19.本小题分
如图多面体中，面面，为等边三角形，四边形为正方形，，且，，分别为，的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求平面与平面所成角的余弦值；
Ⅲ作平面与平面的交线，记该交线与直线交点为，写出的值不需要说明理由，保留作图痕迹．
参考答案
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15.解：，，
，，
又，，
以向量为一组邻边的平行四边形的面积．
设，则，，，
解得，，；或，，．
或
16.证明：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：，，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，不在平面内，
面．
解：，平面的一个法向量，
点到平面的距离．
点到平面的距离为．
17.解：因为，所以由余弦定理得，
而，因此．
又因为，所以，即，解得，
而，因此．
由知：，，因此．
因为的面积为，所以，即，解得．
又因为由正弦定理得，，所以，
即，
即，解得舍去．
18.证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，，，所以，
于是，又平面，平面．
所以平面．
因为，以为原点，分别以，，为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的一个法向量，因为，，
所以由，即，
可取；
又，，
设平面的一个法向量，所以由
取，
因为二面角的正弦值为，所以余弦值的绝对值为．
所以由，得，，
因此，．
19.Ⅰ证明：取的中点，连接，，
因为为等边三角形，
所以，
又面面，面面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又正方形，所以，
因为，、平面，
所以平面，
又平面，所以．
Ⅱ解：因为，分别为，的中点，
所以，
又，所以，
由Ⅰ知，平面，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设平面与平面所成角为，
则，，
故平面与平面所成角的余弦值为．
Ⅲ解：在上取点，使得，连接，，并延长和，相交于点，则即为平面与平面的交线，理由如下：
因为，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又，分别是和的中点，所以，
所以，即，，，四点共面，
而、平面，、平面，
所以即为平面与平面的交线．

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