2023-2024学年浙江省杭州市绿城育华学校高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年浙江省杭州市绿城育华学校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.设，，则“且”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.世纪，法国数学家马林梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上，对为素数型的数作了大量的研算，他在著作物理数学随感中断言：在的素数中，当，，，，，，，，，，时，是素数，其它都是合数除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为几千年来，人类仅发现个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”已知第个梅森素数，第个梅森素数，则约等于参考数据：( )
A. B. C. D.
7.设，，，则有( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B. C. D.
10.设，且，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
11.若函数是奇函数，则( )
A.
B. 是上的减函数
C. 的值域是
D. 的图象与函数的图象没有交点
12.已知函数，若关于的方程有个不同的实根，则实数的取值可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知一个扇形圆心角的弧度数为，该扇形所在圆的半径为，则该扇形的弧长是 ．
14.若实数，满足，则的取值范围为______．
15.函数的最小值为 ．
16.设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设集合，，．
求，；
用列举法表示集合，并求．
18.本小题分
化简求值：
；
；
19.本小题分
已知的终边过点，且．
求的值；
若，，求的值．
20.本小题分
把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度单位：可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，是自然对数的底数．现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求该物体的温度由降到所需要的冷却时间．
冷却时间精确到，参考数据：
21.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
在下列两个条件中，选择一个作为已知，使得实数的值唯一确定，并求函数上的最小值．
条件：的最大值为；
条件：的一个对称中心为．
22.本小题分
已知函数，是偶函数．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若对于任意恒成立，求的取值范围；
Ⅲ若函数，是否存在实数使得的最小值为？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：，，
，；
，或，
．
18.解：
．
．
19.解：由题意可得，
解得，
，
．
，，
，
．
20.解：Ⅰ由题意可知，，
当时，，于是，
整理得，
所以，
所以．
Ⅱ由Ⅰ知，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，该物体的温度由降到，需要．
21.解：因为
，
所以函数的最小正周期；
若选：由题意可知：当，，
即，时，函数取到最大值，解得，符合题意，
所以，
因为，则，则，
可得，当，即时，函数取到最小值；
若选：由题意可知：，解得，符合题意，
所以，
因为，则，，
可得，当，
即时，函数取到最小值．
22.解：Ⅰ函数，是偶函数，
则满足，
所以，
即，
所以，解得；
Ⅱ由可知，，对于任意恒成立，
代入可得，所以对于任意恒成立．
令，
因为，可得，
所以；
Ⅲ，，且，
代入化简可得，
令，因为，所以，
则
当，即时，在上为增函数，
所以，解得，不合题意，舍去；
当，即时，在上为减函数，在上为增函数，
所以，解得，所以；
当，即时，在上为减函数，
所以，
解得不合题意，舍去，
综上可知，存在实数，使得的最小值为．
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