2023-2024学年北京171中高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京171中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的系数是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是( )
A. 在上为减函数 B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数 D. 在处取得最小值
4.设随机变量的概率分布列为
则( )
A. B. C. D.
5.某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.下列求导的运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
7.设，若，则展开式中系数最大的项是( )
A. B. C. D.
8.函数，当时，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知双曲线的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
10.定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知的展开式的二项式系数之和为，则 ；各项系数之和为 用数字作答
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为 ； ．
13.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为 ．
14.把件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有________种．
15.已知函数，给出下列四个结论：
当时，函数有最小值；
，使得函数在区间上单调递增；
，使得函数没有最小值；
，使得方程有两个根且两根之和小于．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数，若曲线在处的切线方程为．
求，的值；
求函数的单调区间和极值；
求函数在上的最大值、最小值．
17.本小题分
如图，在长方体中，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
18.本小题分
某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格元管和市场份额指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重如下表：
牙膏品牌
销售价格
市场份额
Ⅰ从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率
Ⅱ依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管．
(ⅰ)求的值
(ⅱ)从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望．
Ⅲ品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元管，并占有一定市场份额原有个品牌的牙育销售价格不变，所占市场份额之比不变设本月牙育的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较，的大小只需写出结论
19.本小题分
已知椭圆：经过点，离心率为．
求椭圆的方程；
设过点的直线与椭圆有两个不同的交点，均不与点重合，若以线段为直径的圆恒过点，求的值．
20.本小题分
已知函数，其中．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，判断的零点个数，并加以证明；
Ⅲ当时，证明：存在实数，使恒成立．
21.本小题分
已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质：
；
对任意的，，与至少有一个是数列中的项．
Ⅰ分别判断数列，，，和，，，是否具有性质，并说明理由；
Ⅱ若数列具有性质，求证：；
Ⅲ若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．
参考答案
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16.解：由题意可知：，则，
因为曲线在处的切线方程为，
则，即，解得．
因为，，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；函数的单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为．
函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
函数在上的最大值，最小值．
17.Ⅰ证明：在长方体中，，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
故BC平面．
Ⅱ解：如图所示：以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
故D，，，，，，
设平面的法向量为，则
取得到，，即，
易知平面的一个法向量为，
则，
根据图象知二面角的平面角为锐角，故平面与平面所成角的余弦值为．
Ⅲ由Ⅱ，，，，
故B到平面的距离为．
18.解：Ⅰ由题意可知，这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，
估计其销售价格低于元的概率为；
Ⅱ由题意，品牌的牙膏抽取了管，
品牌的牙膏抽取了管，
所以；
(ⅱ)由题意，的可能取值为，，，
所以，
，
，
故的分布列为：


所以；
Ⅲ，
，
其中：：：：：为，，，，，个品牌的牙膏所占市场份额之比，
则，
所以．
19.解：因为椭圆：经过点，离心率为，
所以，，
所以椭圆的方程．
设直线的方程为：，，，
由，得，
，
，，
，
，
因为以线段为直径的圆恒过点，
所以，即，
所以，即，
即，解得或舍，
所以．
20.解：Ⅰ时，，，
故，，故切线方程为：，
即；
Ⅱ存在一个零点，理由：
，，
显然恒成立，故在上是增函数，
又时，，时，，
故存在唯一的零点，使得；
Ⅲ，，
令，
，故是增函数，
而当时，，时，，
故存在，使得，
且时，，时，，
故是的极小值点，也是最小值点，
存在实数，使恒成立．
21.解：Ⅰ数列，，，不具有性质，因为和，，，而，不在数列中；
，，，不具有性质，因为，都不是数列中的项；
Ⅱ证明：因为，所以，即，故，
设，因为，，所以，
则得，
因为，
故，，，，，，
累乘得：，
故；
Ⅲ当时，由Ⅱ，，，
与数列不是等比数列矛盾，不合题意；
当时，存在数列符合题意，例如数列，，，，故可以为；
当时，由Ⅱ，
当时，，所以，，
又，
，
所以，，，，
所以，
因为，所以，，
所以，，
所以
由两式相除可得与数列不是等比数列矛盾，不合题意．
综上可得，．
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