2024-2025学年甘肃省武威市民勤一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省武威市民勤一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，为的中点，为的中点，设，，以向量，为基底，则向量( )
A.
B.
C.
D.
5.某小组有名男生和名女生，从中任选名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是( )
A. “至少有名女生”与“都是女生” B. “至少有名女生”与“至多名女生”
C. “恰有名女生”与“恰有名女生” D. “至少有名男生”与“都是女生”
6.如图，在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
8.对于，下列选项中正确的是( )
A. 关于直线对称 B. 是偶函数
C. 的最小正周期为 D. 的最大值为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机地排列数字，，得到一个三位数，则( )
A. 可以排成个不同的三位数 B. 所得的三位数是奇数的概率为
C. 所得的三位数是偶数的概率为 D. 所得的三位数大于的概率为
10.的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则外接圆的半径等于
B. 若，则此三角形为直角三角形
C. 若，则解此三角形必有两解
D. 若是锐角三角形，则
11.如图，在正方体中，，，分别是棱，，的中点，则( )
A. 平面
B. 平面
C. 与所成的角为
D. 点在平面内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量的夹角为，且，，则 ______．
13.假设，，且与相互独立，则 ______； ______．
14.若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知非零向量，满足，且．
若向量与共线，求实数的值；
若向量与垂直，求实数的值；
16.本小题分
一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一、二、三台机床不需要照顾的概率为，，，在一小时的过程中，试求：
Ⅰ三台机床都不需要照顾的概率；
Ⅱ恰有两台机床需要照顾的概率；
Ⅲ至少有一台机床需要照顾的概率．
17.本小题分
如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点．
求证：面；平面平面；
若二面角为，求四棱锥的体积．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别，，，且．
求角的值；
已知在边上，且，，求的面积的最大值．
19.本小题分
在中，，分别为，的中点，，如图，以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图．
证明：；
若平面，且，求点到平面的距离．
参考答案
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15.解：由向量与共线，
得存在实数，使得，则，
所以．
由，，得，
由向量与垂直，得，
整理得，即，而，
所以．
16.解：Ⅰ设“第一、二、三台机床不需要照顾”分别为事件，，，由题意，，相互独立，且
，，，
设“三台机床都不需要照顾”为事件，
则．
Ⅱ设“恰有两台机床需要照顾”为事件，
所以，
Ⅲ设“至少有一台机床需要照顾”为事件，它的对立事件为“没有一台机床需要照顾”，
则．
17.证明：连结
四边形是正方形，是正方形的中心
，
在中，为的中点，
又平面，平面
平面；
底面，平面
又，，平面，平面
平面
又平面
平面平面；
解：由可知，，，
底面边长为，
，
，
四棱锥的体积．
18.解：中，，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
所以，
又因为是的内角，所以，所以；
又因为是的内角，所以．
因为，所以，所以；
所以，
即，
由基本不等式得：，当且仅当，时等号成立；
所以面积的最大值为．
19.证明：在图中，因为，且为的中点，
，又为的中点，所以，
在图中，，，且，，平面，
平面，又平面，
所以；
解：因为平面，平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，连接，则，
因为，为等边三角形，
所以，，，，
所以，
取的中点，连接，则，
设点到平面的距离为，
，即，解得，
即点到平面的距离为．
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