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3.1 列代数式表示数量关系
第3课时 反比例关系
一.学习目标
1.通过实际生活情景，理解反比例关系的概念.
2.能判断一个给定的数量关系是否为反比例关系，并会用代数式表示反比例关系.
3.经历抽象反比例关系的进程，初步体验反比例关系是描述变量关系的重要数学模型.
二.自主预习
1.一名司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 km/h的平均速度用了4 h到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(km/h)与时间t(h)之间的关系是 ．
2.写出表示下列关系的式子，并指出它们是什么关系
（1）体积是常数V时，圆柱的底面积S与高h的关系；
（2）矩形相邻的两边长分别x，y，面积为30；
（3）已知A、B两地相距ykm，小明以6km/h的速度从A地步行到B地，步行的时间为x h．
【自主归纳】两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的 一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0),反比例关系用 来表示.
三.探究新知
探究点 反比例关系
1.某品牌苹果采摘机器人可以1秒钟完成5平方米范围内苹果的识别.
(1)2秒钟识别范围是 平方米,3秒钟识别范围是 平方米,4秒钟识别范围是 平方米,……t秒钟识别范围是 平方米.
(2)机器人能识别的范围与所用时间之间的比值有什么规律？
2.北京是全球首个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260000m3.
（1）根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表格.
每天造雪量/m3 5000 5200 6500 ……
造雪天数 ……
(2)在这个实际问题中，一共包含有哪些量？每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？
3.用代数式表示下列各量之间的关系，并判断它们之间是否反比例关系：
(1)京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 与此次列车的全程运行时间 t(单位：h)之间的关系；
(2)某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长y (单位：m) 与宽 x (单位：m)之间的关系；
(3)已知北京市的总面积为1.64×104 km2 ，人均占有面积 S (单位：km2/人) 与全市总人口 n (单位：人) 之间的关系.
例1. 判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由.
（1）体积一定时，圆柱的底面积S与高h之间的关系；
（2）长方形的长一定，长方形的面积y与矩形的长x之间的关系；
（3）已知A、B两地的距离一定，小明从A地步行到B地步行的速度与步行的时间．
例2.如图所示，四个圆柱形容器内部的底面积分别为10cm2,20cm2,30cm2,60cm2,分别往这四个容器中注入30cm3的水.
(1)四个容器中水的高度分别是多少厘米？
(2)分别用x(单位：cm2)和y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？
四.运用新知
1.某地计划修建铁路l千米，铺轨天数为t(天)，每日铺轨量为s(千米/天)，则在下列三个结论中，正确的是( )
①当l一定时，t与s是反比例关系；
②当t一定时，l与s是反比例关系；
③当s一定时，l与t是反比例关系．
A．仅① B．仅② C．仅③ D．①②③
2.如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，那么y与x的关系用代数式表示为 ，y与x之间的关系是 关系．
3.用代数式表示下列关系，并指出它们是不是反比例关系．
(1)某农场的粮食总产量为1 500 t，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的关系；
(2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的关系；
(3)小明完成100 m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系．
五.达标测试
1.当路程s一定时（s≠0），速度v与时间t间的关系是（ ）
A．正比例关系 B．反比例关系
C．没有关系 D．无法确定
2.下列关系中，两个量之间为反比例关系的是（ ）
A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长L与边长a的关系
C．长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系
3.小华要看一部300页的小说所需的天数y与平均每天看的页数x之间的关系是 关系,用代数式表示是 .
4.用代数式表示下列问题中两个量之间的关系，并判断其是不是反比例关系．
（1）底边为3cm的三角形的面积y（cm2）与底边上的高x（cm）；
（2）一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙地，轮船的速度v（km/h）与航行时间t（h）；
（3）在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长y（m）与检修天数x．
5.小明要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表：
完成录入的时间（分） 30 20 10 6 …
录入文字的速度v（字/分） 40 60 120 200 …
(1)这篇社会调查报告共有多少字？
(2)完成录入的时间怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？
(3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度,用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系
参考答案
达标检测
1.B 2.D 3.反比例 xy=300
4.解：（1）y=x，不是反比例关系.
（2）vt＝200，是反比例关系.
（3）y=100-10x，不是反比例关系．
5.解：(1)1200字.
(2)完成录入的时间随着录入文字的速度的增大而减小.
(3)vt＝1200，t与v成反比例关系.
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3.1 列代数式表示数量关系
第3课时 反比例关系
结合具体情境体会反比例关系的意义.
1.通过实际生活情境,理解反比例关系的概念.
2.能判断一个给定的数量关系是否为反比例关系,并会用代数式表示反比例关系.
3.经历抽象反比例关系的进程,初步体验反比例关系是描述变量关系的重要数学模型.
重点:反比例关系的判断,用代数式表示反比例关系.
难点:反比例关系的理解.
让学生从生活实际中发现数学问题,从而引入学习内容,不仅激发了学生学习数学的兴趣,还激起了学生自主参与的积极性和主动性,为自主探究新知创造了现实背景.在教学过程中,以学生学习的正比例关系为基础,在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系,让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点与区别,在此基础上来揭示反比例关系的意义.
(一)情境导入
新学期伊始,小明想买一些笔记本为以后的学习做准备.妈妈给了小明30元钱,小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢
笔记本 单价x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 …
购买的笔记 本数量y/本 …
通过填表,你发现x,y之间具有怎样的关系 你还能举出这样的例子吗
(二)新知初探
探究一 反比例关系
1.某品牌苹果采摘机器人可以1 s完成5 m2范围内苹果的识别.则2 s识别范围是 10 m2,3 s识别范围是 15 m2,4 s识别范围是 20 m2,…,t s识别范围是 5t m2.
追问 机器人能识别的范围与所用时间之间的比值有什么规律
答:比值总是一定的,它们成正比例关系.
2.北京是全球首个既举办过夏季奥运会,又举办过冬季奥运会的城市,在冬季奥运会前,某赛场计划造雪260 000 m3.
(1)根据每天造雪量,计算所需的造雪天数,填写表格.
每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 …
造雪天数 …
(2)在这个实际问题中,一共包含有哪些量 每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的 它们之间有什么关系
解:此问题包含三个量:造雪总量、每天造雪和造雪天数.
造雪天数随着每天造雪量的变大而变小,且造雪天数与每天造雪量的乘积一定.
小结:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用
xy=k来表示.
3.用代数式表示下列各量之间的关系,并判断它们之间是否成反比例关系.
(1)京沪线铁路全程为1 463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位:h)之间的关系;
(2)某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的长方形草坪,草坪的长y(单位:m)与宽x(单位:m)之间的关系;
(3)已知北京市的总面积为1.64×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)之间的关系.
解:(1)vt=1463,反比例关系.
(2)xy=1000,反比例关系.
(3)Sn= 1.64×104 ,反比例关系.
任务一 意图说明
从实际问题入手,充分利用已有的生活经验和背景知识,挖掘问题中变量的相互关系及变化规律,逐步加深理解.从而让学生充分理解反比例关系的本质:即两个量的乘积一定.再通过练习进一步加深理解,学生先独立思考,然后相互交流探索结论.最后教师予以评讲.
探究二 例题讲解
1.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系,并说明理由.
(1)体积一定时,圆柱的底面积S与高h之间的关系;
(2)煤的总量一定,每天的烧煤量与烧煤的天数;
(3)已知A,B两地的距离一定,小明从A地步行到B地的速度与步行的时间.
解:(1)反比例关系,底面积S与高h的乘积一定.
(2)因为烧煤的天数×每天的烧煤量=煤的总量,乘积一定,所以每天的烧煤量与烧煤的天数成反比例关系.
(3)反比例关系,小明从A地步行到B地的速度与步行的时间的乘积一定.
2.如图所示,四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2,20 cm2,30 cm2,60 cm2,分别往这四个容器中注入300 cm3的水.
(1)四个容器中水的高度分别是多少厘米
(2)分别用x(单位:cm2)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度,用式子表示y与x的关系,y与x成什么比例关系
解:(1)四个容器中水的高度分别是
=30(cm),=15(cm),=10(cm),
=5(cm).
(2)xy=300,y与x成反比例关系.
任务二 意图说明
让学生通过对上述两道题的探究,进一步加深对反比例关系意义的理解,增强用代数式表示反比例关系的解题技能,教师巡视,再给出答案并解决易错点.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.反比例关系
(1)一个量随着另一个量的变化而变化;
(2)两个量的乘积一定.
2.用代数式表示两个量之间的关系.
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3.1 列代数式表示数量关系
第3课时 反比例关系
学习目标
1.通过实际生活情境,理解反比例关系的概念.
2.能判断一个给定的数量关系是否为反比例关系,并会用代数式表示反比例关系.
3.经历抽象反比例关系的进程,初步体验反比例关系是描述变量关系的重要数学模型.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？
笔记本单价x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 …
购买的笔记本数量y/本 …
通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？
你还能举出这样的例子吗？
笔记本单价x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 …
购买的笔记本数量y/本 …
20
15
12
10
6
4
壹
新知初探
贰
新知初探
1.某品牌苹果采摘机器人可以1秒钟完成5平方米范围内苹果的识别.
则2秒钟识别范围是 平方米,3秒钟识别范围是 平方米,4秒钟识别范围是 平方米,……t秒钟识别范围是 平方米.
10
探究一 反比例关系
15
20
5t
思考 机器人能识别的范围与所用时间之间的比值有什么规律？
答：比值总是一定的，它们成正比例关系.
贰
2.北京是全球首个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪260 000m3.
(1)根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表格.
每天造雪量/m3 5000 5200 6500 ……
造雪天数 ……
52
50
40
(2)在这个实际问题中，一共包含有哪些量？每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？
答：此问题一共包含三个量:造雪总量，每天造雪量，造雪天数.
造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，且造雪天数与每天造雪量的乘积一定.
(1)两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
小结
(2)如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的积(k是一个确定的值，且k≠0),反比例关系用xy=k.
3.用代数式表示下列各量之间的关系，并判断
它们之间是否反比例关系：
(1)京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 与此次列车的全程运行时间 t(单位：h)之间的关系；
解：(1)vt=1463,反比例关系.
(3)已知北京市的总面积为1.64×104 km2，人均占有面积S(单位：km2/人) 与全市总人口 n (单位：人) 之间的关系.
(2)某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长y
(单位：m)与宽 x (单位：m)之间的关系；
(2)xy=1000 ,反比例关系.
(3)Sn=1.64×104，反比例关系.
1.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系，并说明理由.
(1)体积一定时，圆柱的底面积S与高h之间的关系；
(2)煤的总量一定，每天烧煤量与烧煤的天数；
(3)已知A、B两地的距离一定，小明从A地步行到B地的速度与步行的时间．
解：(1)反比例关系，底面积S与高h的乘积一定.
(2)反比例关系，因为烧煤的天数×每天的烧煤量＝煤的总量，乘积一定.
(3)反比例关系，小明从A地步行到B地的速度与步行的时间的乘积一定.
探究二 例题讲解
2.如图所示，四个圆柱形容器内部的底面
积分别为10cm2,20cm2,30cm2,60cm2,分别往
这四个容器中注入30cm3的水.
(1)四个容器中水的高度分别是多少厘米？
(2)分别用x(单位：cm2)，y(单位：cm)表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？
解：(1)四个容器中水的高度分别是
=30(cm), =15(cm), =10(cm), =5(cm).
(2)xy=300 ,y与x成反比例关系.
当堂达标
叁
当堂达标
1.当路程s一定时（s≠0），速度v与时间t间的关系是（ ）
A．正比例关系 B．反比例关系 C．没有关系 D．无法确定
2.下列关系中，两个量之间为反比例关系的是（ ）
A．正方形的面积S与边长a的关系
B．正方形的周长L与边长a的关系
C．长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系
3.小华要看一部300页的小说所需的天数y与平均每天看的页数x之间的关系
是 关系,用代数式表示是 .
B
D
反比例
xy=300
叁
4.用代数式表示下列问题中两个量之间的关系，
并判断其是不是反比例关系．
（1）底边为3cm的三角形的面积y（cm2）与底边上的高x（cm）；
（2）一艘轮船从相距200km的甲地驶往乙地，轮船的速度v（km/h）与航行时间t（h）；
（3）在检修100m长的管道时，每天能完成10m，剩下的未检修的管道长y（m）与检修天数x．
解：（1）y= x，不是反比例关系.
（2）vt=200 ，是反比例关系.
（3）y=100-10x，不是反比例关系．
解：(1)1200字.
完成录入的时间t（分） 30 20 10 6 …
录入文字的速度v（字/分） 40 60 120 200 …
5.小明要把一篇社会调查报告录入电脑．完成录
入的时间（分）与录入文字的速度（字/分）之间的关系如下表：
(1)这篇社会调查报告共有多少字？
(2)完成录入的时间怎样随着录入文字的速度的变化而变化的？
(3)用t表示完成录入的时间，用v表示录入文字的速度,用代数式表示t与v之间的关系，t与v成什么比例关系
(2)完成录入的时间随着录入文字的速度的增大而减小.
(3)vt＝1200，t与v成反比例关系.
课堂小结
肆
课堂小结
1.反比例关系
(1)一个量随着另一个量的变化而变化；
(2)两个量的乘积一定.
2.用代数式表示两个量之间的关系.
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题
谢
谢(共16张PPT)
第3课时 反比例关系
数学 七年级上册RJ
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基础题
预习导学
1.两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作 的量,他们之间的关系叫作
.
2.如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示他们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系可以用 .
成反比例
反比例关系
xy=k
课堂互动
知识点 反比例关系
例1 下列四个说法:①书的总页数一定,未读的页数与已读的页数成正比例;②如果保持圆的半径不变,圆的周长与圆周率成正比例;③小麦的总产量一定,每公顷产量与公顷数成反比例;④圆柱体积一定,圆柱的底面积与高成反比例.其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[思路点拨] 正确理解反比例关系是答题的关键.
B
例2 如图所示,某养鸡场利用一面足够长的墙,其他三面用栅栏围成矩形,面积为 60 m2,设与墙垂直的边长为x m,与墙平行的边长为y m.用式子表示y与x的关系,y与x成什么比例关系
解:根据题意,得xy=60,
所以y与x的关系式为xy=60.
y与x成反比例关系.
基础题
1.总价一定,单价和数量( )
A.成正比例 B.成反比例
C.不成比例 D.以上都不对
2.计划修建铁路1 200 km,则铺轨天数y(d)与平均每天铺轨量x(km/d)之间的关系式是( )
A.y=1 200x B.xy=1 200
C.y=1 200+x D.y=1 200-x
B
B
3.(数学文化)中国古代数学名著《九章算术》对比例就有深入研究.请解决问题:如果a与b互为倒数,那么a与b成 比例.
4.表格被小明弄脏了,如果x和y成反比例,那么弄脏处的数是 .
反
2
x 4
y 10 20
5.某水池内有污水60 m3,设放净全池污水所需时间为y(h),每小时放水量为x(m3).
试写出y与x之间的关系式,并判断y与x成什么比例关系.
解:由题意,得 xy=60,y与x成反比例关系.
6.(教材习题变式)判断下面各题中的两种量是不是成反比例,并说明理由.
(1)总耗油量一定,每小时耗油量和耗油的时间;
(2)地面的面积一定,每块地砖的面积和所用地砖的块数;
解:(1)因为每小时耗油量×耗油的时间=总耗油量(一定),乘积一定,
所以每小时耗油量和耗油的时间成反比例.
(2)因为每块地砖的面积和块数的乘积一定,符合反比例的意义,
所以每块地砖的面积和所用地砖的块数成反比例.
(3)修路的总米数一定,每天修的米数和修路的天数.
解:(3)因为每天修的米数×修路的天数=修路的总米数(一定),
所以修路的总米数一定,每天修的米数和修路的天数成反比例.
中档题
7.下列说法正确的是( )
A.一个人的体重与他的年龄成反比例关系
B.车辆行驶的速度v一定时,行驶的路程s与时间t成反比例关系
C.周长一定时,长方形的长与宽成反比例关系
D.平行四边形面积一定时,其一边长与这边上的高成反比例关系
8.直角三角形两直角边的长分别为x,y,它的面积为3,则y与x之间的关系式为 .
D
xy=6
9.举出生活中变量具有反比例关系的实例(1～2 例).
解:(答案不唯一)(1)要编织一块面积为 2 m2的矩形地毯,地毯的长x(m)与宽 y(m)的乘积一定,为xy=2,具有反比例关系.
(2)李明家离学校的距离为 2 000 m,如果他上学步行速度为v m/min,从家里到学校的时间为t min,则v和t的乘积一定,为 vt=2 000,具有反比例关系.
10.(教材习题变式)果园里种植一批桃树,桃树的行数和每行棵数如
下表:
解:(1)因为每行棵数×桃树的行数=桃树的总棵数,
所以这个积表示的实际意义是桃树的总棵数.
(2)因为xy=4×30=120,所以y与x成反比例关系.
桃树的行数 4 6 10 15 20 …
每行棵数 30 20 12 8 6 …
(1)这个积表示的实际意义是什么
(2)用y表示每行的棵数,x表示桃树的行数,用式子表示y与x的关系,y与x成什么比例关系
素养题
11.某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作.已知该品牌运动鞋每双的进价为 120元,为寻求合适的销售价格进行了 4天的试销,试销情况如表所示:
第1天 第2天 第3天 第4天
售价x/ (元/双) 150 200 250 300
销售量y/双 40 30 24 20
(1)观察表中数据,x,y满足什么关系 并写出x与y的关系式.
(2)若运动鞋售价定为每双400元,则商场每天的利润为多少元
解:(1)由表中数据,得x,y满足反比例关系,
x与y的关系式为xy=6 000.
(2)因为xy=6 000,
当x=400时,得y=15,
利润:(400-120)×15=4 200(元).
答:运动鞋售价定为每双400元时,商场每天的利润为4 200元.
谢谢观赏！
