九年级数学上点拨与精练第22章二次函数22.2.1 二次函数y=ax2的图像和性质（含解析）

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九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.2.1 二次函数y=ax2的图像和性质
学习目标：
1利用描点法画二次函数y=ax2图象。
2通过观察图象能说出二次函数y=ax 的图象特征和性质。
3由二次函数y=ax2（a>0）的图象及性质类比地学习二次函数y=ax2（a<0）的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
老师告诉你
解二次函数应用题的三个步骤
审题建模：审查题目特点，建立函数y=ax2的模型；
确定解析式：根据图像或其他条件，确定点的坐标，用待定系数法确定二次函数解析式；
解决问题：利用解析式根据纵坐标求横坐标，或根据横坐标求纵坐标解决问题。
一、知识点拨
知识点1二次函数Y=ax2的图像
要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
与抛物线开口大小的关系
（1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称.
（2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴；
越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴.
【新知导学】
例1-1．如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（　　）
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
【对应导练】
1．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　 　．
2．把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1）y＝3x2的图象是　 　；
（2）y＝x2的图象是　 　；
（3）y＝﹣x2的图象是　 　；
（4）y＝x2的图象是　 　（填序号①，②等）．
3．画出二次函数y＝﹣x2的图象．
4．已知：二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+3的图象交于A、B两点，在下面的直角坐标系中画出图象，并求S△AOB．
知识点2 二次函数Y=ax2的性质
【新知导学】
例2-1．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．当时，随的增大而减小
B．当时，随的增大而减小
C．随的增大而减小
D．随的增大而增大
【对应导练】
1．比较二次函数与的图象，则（　　）
A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同
2．若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（ ）
A． B． C． D．
3．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　）
A．B． C． D．
4．二次函数的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．
5．函数与直线交于点
(1)求，的值；
(2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？
6．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
(4)试说明函数的增减性．
题型训练
1.利用二次函数图像特点求字母的取值范围
1.已知抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），（2，m）
（1）并求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求m的值；
（3）画出该函数的图象，并说明增减性；
（4）根据图象回答：当x满足　 时，y＞0；当x＝　 　时，y＝0．
2.利用二次函数图像和性质求面积
2. .二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为　 　．
3.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．
牛刀小试
一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1 .关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当x<0时，y随x的增大而增大
C．图象的顶点坐标是(-5,0) D．当x=0时，y有最小值时0
2 .已知二次函数，则其图象经过下列点中的（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　）
①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上．
A．个 B．个 C．个 D．个
5．关于抛物线，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当时，随的增大而减小；
③当时，；
④若、是该抛物线上的两点，则．
其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
7．若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
8 .在同一直角坐标系中二次函数y＝﹣x2与一次函数y＝﹣x﹣1的图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 二次函数的图像经过点，则的值为 　 　.
二次函数的图象开口向 ．
11 ..若二次函数的图象开口向下，则m的值为　 　．
12 ..二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为　 　．
13 .如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．

三、解答题（共48分）
14 .（8分）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.
（1）求当x＝﹣2时，y的值.
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
15．（6分）若关于x的函数是二次函数，其图象开口向下，求m的值．
16．（8分）二次函数y＝ax2与直线y＝2x﹣1的图象交于点P（1，m）
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？
（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
17．（8分）已知，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交于点C．
（1）求两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
18．（9分）已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝x+2交于点（2，m）．
（1）判断y＝ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x＞0时，y的值随x值的增大而变化的情况；
（2）设直线y＝x+2与抛物线y＝ax2的交点分别为A、B，如图所示，试确定A、B两点的坐标；
（3）连接OA，OB，求△AOB的面积．
19 .（9分）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值．
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二次函数
22.2.1 二次函数y=ax2的图像和性质
学习目标：
1利用描点法画二次函数y=ax2图象。
2通过观察图象能说出二次函数y=ax 的图象特征和性质。
3由二次函数y=ax2（a>0）的图象及性质类比地学习二次函数y=ax2（a<0）的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法。
老师告诉你
解二次函数应用题的三个步骤
审题建模：审查题目特点，建立函数y=ax2的模型；
确定解析式：根据图像或其他条件，确定点的坐标，用待定系数法确定二次函数解析式；
解决问题：利用解析式根据纵坐标求横坐标，或根据横坐标求纵坐标解决问题。
一、知识点拨
知识点1二次函数Y=ax2的图像
要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
与抛物线开口大小的关系
（1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称.
（2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴；
越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴.
【新知导学】
例1-1．如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（　　）
A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a
【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），
所以，a＞b＞c＞d．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．
【对应导练】
1．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象，则阴影部分的面积是　　．
【分析】根据题意，观察图形可得图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，而正方形面积为16，由此可以求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵函数y＝2x2与y＝﹣2x2的图象关于x轴对称，
∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，
而边长为4的正方形面积为16，
所以图中的阴影部分的面积是8．
故答案为8．
【点评】本题考查的是关于x轴对称的二次函数解析式的特点，解答此题的关键是根据函数解析式判断出两函数图象的特点，再根据正方形的面积即可解答．
2．把图中图象的号码，填在它的函数式后面：
（1）y＝3x2的图象是　③　；
（2）y＝x2的图象是　①　；
（3）y＝﹣x2的图象是　④　；
（4）y＝x2的图象是　②　（填序号①，②等）．
【分析】先根据二次项系数的符号分类，（1）（2）图象开口向上；（3）（4）图象开口向下；再根据|a|越大，开口越小的方法，进行判断．
【解答】解：（1）、（2）二次项系数都＞0，那么开口都应向上，但|3|＞||，那么（1）应对应3，（2）应对应1；
（3）、（4）的二次项系数都＜0，那么开口都应向下，但|﹣1|＞|﹣|，那么（3）应对应4，（4）应对应2．
依次填3，1，4，2．
【点评】本题用到的知识点为：二次项系数a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；二次项系数的绝对值较小，开口度较大．
3．画出二次函数y＝﹣x2的图象．
【分析】首先列表，再根据描点法，可得函数的图象．
【解答】解：列表：
，
描点：以表格中对应的数值作为点的坐标，在直角坐标系中描出，
连线：用平滑的线顺次连接，
如图：
【点评】本题考查了二次函数图象，正确在坐标系中描出各点是解题关键．
4．已知：二次函数y＝x2与一次函数y＝2x+3的图象交于A、B两点，在下面的直角坐标系中画出图象，并求S△AOB．
【分析】作出函数图象，根据图象得到点A、B的坐标，设直线与y轴交点为C，然后根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，列式计算即可得解．
【解答】解：函数图象如图所示，
点A（﹣1，1），B（3，9），
设直线y＝2x+3与y轴交点为C，
则C（0，3），
S△AOB＝S△AOC+S△BOC，
＝×3×1+×3×3，
＝+，
＝6．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，三角形的面积，熟练掌握网格结构以及函数图象的作法，准确作出函数图象是解题的关键．
知识点2 二次函数Y=ax2的性质
【新知导学】
例2-1．对于函数，下列说法正确的是（　　）
A．当时，随的增大而减小
B．当时，随的增大而减小
C．随的增大而减小
D．随的增大而增大
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据抛物线的对称轴及开口方向，即可判断二次函数的增减性．
【详解】解：，对称轴为
抛物线开口向上，当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小
故选：B．
【对应导练】
1．比较二次函数与的图象，则（　　）
A．开口大小相同 B．开口方向相同 C．对称轴相同 D．顶点坐标相同
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可；
【详解】解：∵二次函数与，
∴函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为；
函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为；
故选项B、D错误，选项C正确；
∵二次函数中的，中的，
∴它们的开口大小不一样，故选项A错误；
故选：C．
2．若二次函数的图像经过点，则该图像必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图像是解题的关键．根据二次函数图像对称性解答即可．
【详解】解：点与关于二次函数的对称轴轴对称，
故该图像必经过点，
故选C．
3．函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论．
【详解】解： A. 函数图形可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确；
B. 函数图形可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确；
C. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确；
D. 函数图形可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确；
故选B．
4．二次函数的图象的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小．
【答案】 向下 y轴
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，画出图象，观察图象可得结论．
【详解】解：画出二次函数的图象，如图所示.
根据其图象可知二次函数的图象的开口向下，对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小.
故答案为：向下，y轴，，，．
5．函数与直线交于点
(1)求，的值；
(2)取何值时，二次函数中的随的增大而增大？
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）把已知点代入直线解析式求得，再代入抛物线解析式即可求得；
（2）由二次函数的解析式，可求得其对称轴及开口方向，即可求得答案．
【详解】（1）解：把代入可得：
点的坐标为
把代入可得：
，；
（2）解：由（1）可得，
抛物线开口向下，且对称轴为轴，
当时，随的增大而增大．
6．已知函数是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
(4)试说明函数的增减性．
【答案】(1)或
(2)当时，该函数图像的开口向下
(3)当时，原函数有最小值
(4)见解析
【分析】(1)由二次函数的定义可得故可求m的值．
(2)图像的开口向下，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；
(3)函数有最小值，则，结合（1）中的结果，即可得m的值；；
(4)根据（1）中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．
【详解】（1）根据题意，得，
解得，
∴当或时，原函数为二次函数．
（2）∵图像开口向下，
∴，
∴，
∴，
∴当时，该函数图像的开口向下．
（3）∵函数有最小值，
∴，
则，
∴，
∴当时，原函数有最小值．
（4）当时，此函数为，开口向下，对称轴为y轴，
当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；
当时，此函数为，开口向上，对称轴为y轴，
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．
题型训练
1.利用二次函数图像特点求字母的取值范围
1.已知抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），（2，m）
（1）并求函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）求m的值；
（3）画出该函数的图象，并说明增减性；
（4）根据图象回答：当x满足　 时，y＞0；当x＝　 　时，y＝0．
【分析】（1）根据待定系数法求得函数的解析式，可找出抛物线的对称轴及顶点坐标，结合a＝2，可得出抛物线开口向上；
（2）把（2，m）代入y＝2x2即可求得；
（3）利用五点法，描点、连线，画出函数图象；
（4）观察函数图象，找出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），
∴a＝2，
∴y＝2x2，
∴函数图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
（2）把（2，m）代入y＝2x2得，m＝2×22＝8；
（3）列表
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 8 2 0 2 8 …
描点、连线，画出函数图象，
当x＞0时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小．
（4）观察函数图象，可知：当x≠0时，y＞0；当x＝0时，y＝0．
故答案为：x≠0，0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，找出抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出m；（3）利用五点法画出函数图象；（4）观察函数图象，找出结论。
2.利用二次函数图像和性质求面积
2. .二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为　 　．
【答案】
【解析】连接BC交OA于D，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，，BC平分，
∵
∴
∴
∴
设，则
∴
把代入得：
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
3.如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点．
（1）求，的值；
（2）求点的坐标；
（3）求．
【详解】（1）二次函数与一次函数的图象相交于，
则，解得
，解得
二次函数解析式为：
一次函数解析式为：
（2）由题意可知，已知二次函数与一次函数的图象相交于，两点
联立
解得
（3）设直线与轴的交点为,如图，
由，令，解得
，
牛刀小试
一．选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1 .关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，y随x的增大而增大
C．图象的顶点坐标是 D．当时，y有最小值时0
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：∵，
∴图象的开口向下，故选项A错误；
∵，
∴对称轴为y轴，
当时，y随x的增大而增大，故选项B正确；
图象的顶点坐标是，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴当时，有最大值0，故选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数系数与图象的关系是解决问题的关键．
2 .已知二次函数，则其图象经过下列点中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过．
【详解】解：A、当时，，故二次函数图象经过点，符合题意；
B、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意；
C、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意；
D、当时，，故二次函数图象不经过点，不符合题意；
故选：A．
3．二次函数的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据解析式确定出的值为负数，得到抛物线开口向下，再由解析式可知抛物线的对称轴是轴，顶点为，即可确定出其图象．
【详解】，
抛物线的对称轴是轴，顶点为，
由可知，抛物线开口向下，
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．
4．关于二次函数和的图象，以下说法正确的有（　　）
①两图象都关于轴对称；②两图象都关于轴对称；③两图象的顶点相同；④两图象的开口方向不同；⑤点在抛物线上，也在抛物线上．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的性质即可作答．
【详解】根据二次函数和的图象，单独看不关于轴对称，两图象的顶点相同，两图象的开口方向不同，的图象开口向上，的图象开口向下，点只在抛物线上，所以②③④正确．
故选：B．
5．关于抛物线，给出下列说法：
①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当时，随的增大而减小；
③当时，；
④若、是该抛物线上的两点，则．
其中正确的说法有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线，可得抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，再结合抛物线的增减性，逐项判断即可，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．
【详解】解：，，
抛物线的对称轴是轴，顶点是，抛物线开口向下，
①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；
②抛物线的对称轴为轴，当时，随的增大而减小，故②正确；
③当时，，取最大值为0，时，取值最小值为，所以，故③错误；
④若，是该抛物线上的两点，则，关于轴对称，横坐标互为相反数，所以，故④正确；
正确的说法共有3个，
故选C．
6．在同一平面直角坐标系中，同一水平线上开口最大的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据的开口大小是由a的绝对值决定的，绝对值越小，开口越大，即可求解．
【详解】解：∵，
∴同一水平线上开口最大的抛物线是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的开口大小是由a的绝对值决定的是解题的关键．
7．若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
8 .在同一直角坐标系中二次函数y＝﹣x2与一次函数y＝﹣x﹣1的图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据图象的基本性质判断即可．
【解答】解：因为二次函数y＝﹣x2的图象开口向下，故可排除A、D；
因为一次函数y＝﹣x﹣1的图象经过二、三、四象限，故可排除B；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象，应该识记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9. 二次函数的图像经过点，则的值为 　 　.
【答案】2
【解析】解：将代入得，解得，
故答案为：2.
二次函数的图象开口向 ．
【答案】下
【分析】本题考查二次函数的定义及性质，先根据二次函数的定义求出解析式，再判断开口方向即可．
【详解】∵为二次函数，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
∵，
∴该二次函数的图象开口向下．
故答案为：下．
11 ..若二次函数的图象开口向下，则m的值为　 　．
【答案】-1
【解析】解：∵二次函数 的图象开口向下，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：-1．
12 ..二次函数的图象如图，点在轴的正半轴上，点，在二次函数的图象上，四边形为菱形，且，则菱形的面积为　 　．
【答案】
【解析】连接BC交OA于D，如图，
∵四边形为菱形，
∴，，，，BC平分，
∵
∴
∴
∴
设，则
∴
把代入得：
解得：（舍去），，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
13 .如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．若抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是 ．

【答案】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为、、．
∴，
当抛物线经过点时，则，
当抛物线经过时，，
观察图象可知，抛物线的图象与正方形有公共点，则a的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题（共48分）
14 .（8分）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3.
（1）求当x＝﹣2时，y的值.
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向.
【解析】（1）解：∵二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数解析式为 ，
∴当 时， ；
（2）解：∵二次函数的解析式为 ， ，
∴二次函数的开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴.
15．（6分）若关于x的函数是二次函数，其图象开口向下，求m的值．
【分析】根据二次函数的定义进行解答，自变量的指数是2次，开口向下m+2＜0即可．
【解答】解：∵函数是二次函数，其图象开口向下，
∴m+2＜0，m2+m﹣4＝2，
∴m2+m﹣6＝0，m＜﹣2，
解得m＝﹣3，
∴m＝﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解答本题的关键．
16．（8分）二次函数y＝ax2与直线y＝2x﹣1的图象交于点P（1，m）
（1）求a，m的值；
（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？
（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y＝ax2与直线y＝2x﹣1即可求出未知数的值；
（2）把a代入二次函数y＝ax2与即可求出二次函数表达式；
根据二次函数的对称轴及增减性判断出x的取值．
（3）根据二次函数的性质直接写出即可．
【解答】解：（1）点P（1，m）在y＝2x﹣1的图象上
∴m＝2×1﹣1＝1代入y＝ax2
∴a＝1
（2）∵点P在y＝ax2图象上，
∴得a＝1
∴次函数表达式：y＝x2
∵函数y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）y＝x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．
17．（8分）已知，一次函数y＝kx+b的图象与二次函数y＝ax2的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，4），与y轴交于点C．
（1）求两个函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）首先把点B（﹣2，4）代入二次函数y＝ax2得出a，再把点A（1，m）代入二次函数解析式得出m，进一步把A、B代入一次函数y＝kx+b求得一次函数即可；
（2）利用一次函数求得点C坐标，把△AOB的面积分为△AOC与△COB的面积和即可．
【解答】解：（1）把点B（﹣2，4）代入二次函数y＝ax2得4a＝4，a＝1，
二次函数的解析式y＝x2；
点A（1，m）代入二次函数解析式得m＝1，
把点A（1，1），B（﹣2，4）代入一次函数y＝kx+b得
，
解得，
故一次函数的解析式y＝﹣x+2．
（2）一次函数与y轴交于点C（0，2），
S△AOB＝S△AOC+S△COB＝×2×1+×2×2＝3．
【点评】此题考查待定系数法求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题．
18．（9分）已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝x+2交于点（2，m）．
（1）判断y＝ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x＞0时，y的值随x值的增大而变化的情况；
（2）设直线y＝x+2与抛物线y＝ax2的交点分别为A、B，如图所示，试确定A、B两点的坐标；
（3）连接OA，OB，求△AOB的面积．
【分析】（1）先把点（2，m）代入y＝x+2求出m，则确定交点坐标，然后把代入y＝ax2得a的值；得出二次函数解析式为，根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴；以及当x＞0时，y随x的增大而变化的情况；
（2）两个函数联立方程求得方程的解，得出A、B两点的坐标；
（3）得出y＝x+2与y轴交点的坐标，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）把点（2，m）代入y＝x+2，解得m＝4，
所以交点坐标为（2，4），
把（2，4）代入y＝ax2得a＝1；
二次函数解析式为y＝x2，
所以抛物线的对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）；
当x＞0时，y随x的增大而增大；
（2）由题意得x2＝x+2，解得x＝2或x＝﹣1，则y＝4或y＝1；
A点坐标为（2，4），B点坐标为（﹣1，1）；
（3）y＝x+2与y轴交点的坐标为（0，2）
△AOB的面积＝×2×1+×2×2＝3．
【点评】此题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标是解决问题的根本．
19 .（9分）如图，点、在的图象上．已知、的横坐标分别为、，直线与轴交于点，连接、．
(1)求直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)在轴上找一点，使的值最小，求点的坐标和的最小值．
【答案】(1)直线的解析式为：；
(2)；
(3)，的最小值为．
【分析】（1）将的横坐标分别代入求出的值，得到，点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）求出的长，根据“”求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，先利用待定系数法求得直线，进而即可求得点的坐标，利用勾股定理即可求得的最小值．
【详解】（1）解：∵，是抛物线上的两点，
∴当时，；当时，
∴点的坐标为，点的坐标为
设直线的解析式为，
把，点坐标代入得
解得，
所以，直线的解析式为：；
（2）解：对于直线：
当时，
∴
∴；
（3）解：∵，
∴，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的值最小，
设直线∶，
∵直线∶过点和点，
∴，
解得，
∴直线∶，
令，有，
解得，
∴，
∵点关于轴的对称点为，
∴，
∴的最小值为的长：．
【点睛】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数二次函数的图像及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键．
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