九年级数学上点拨与精练第22章 二次函数22.1.3二次函数y=a（x-h）2 k的图像和性质1（含解析）

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九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质1
二次函数Y=ax2+K的图像和性质
学习目标：
会用描点法画出二次函数 y=ax +k（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
掌握二次函数 y=ax +k（a≠0）性质，掌握y=ax （a≠0）与y=ax +k（a≠0）之间联系。
老师告诉你
解二次函数 y=ax +k（a≠0的问题注意两点
1 .二次函数的符号 开口方向；
二次项系数的绝对值相等 抛物线的形状相同
K 顶点纵坐标
2.抛物线y=ax2 +k可由抛物线y=ax2 向上或下平移得到，可简记为“上加下减”
一、知识点拨
知识点1二次函数Y=ax2+k的图像
1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
①列表：先取点（0，k），然后以点（0，k）为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
2.形状位置：形状与y＝ax 相同，对称轴Y轴，位置不同
二次函数y＝ax 向上平移k个单位长度 二次函数y＝ax ＋h(k＞0)，
二次函数y＝ax 向下平移k个单位长度 二次函数y＝ax ＋h(k＜0) 口诀：上加下减．
【新知导学】
例1-1关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
【对应导练】
1．下列图象中．有可能是函数y＝ax2+a（a≠0）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+k与二次函数y＝kx2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．当a＜0，c＞0时，二次函数y＝ax2+c的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图为函数y＝x2+1和y＝x2的图象，则图中阴影部分的面积为 　　．
5．下列二次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，将函数图象的序号填在对应函数表达式后面的括号里：
（1）y＝2x2； 　 　；
（2）y＝2x2+1； 　 　；
（3）y＝2x2+2； 　 　；
（4）y＝2x2﹣1； 　 　；
（5）y＝2x2﹣2． 　 　．
知识点2 二次函数Y=ax2+k的性质
y＝ax ＋h(a≠0) a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，h) (图象有最低点) (0，h) (图象有最高点)
对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0)
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈下降趋势)；当x＞0时，y随x的增大而增大(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈上升趋势). 当x＜0时，y随x的增大而增大(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈上升趋势)；当x＞0时，y随x的增大而减小(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈下降趋势).
最值 当x＝0时，y最小＝h. 当x＝0时，y最大＝h.
草图
【新知导学】
例2-1．已知点都在函数上，则( )
A. B. C. D.
例2-2．已知二次函数，当x取时，函数值相等，则当x取时，函数值为______________.
例2-3．若抛物线与关于x轴对称，则 ， .
【对应导练】
1．关于二次函数，下列说法中正确的是( )
A.它的图象的开口方向是向上的
B.当时，y随x的增大而增大
C.它的图象的顶点坐标是
D.当时，y有最小值3
2．如图，平面直角坐标中二次函数的图象经过两点，且坐标分别为，则的长度为( )
A.5 B. C. D.
3．已知的图象上有三点，且，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
题型训练
1.利用二次函数Y=ax2+k的性质求字母的值
1.已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
2 .已知一抛物线与抛物线yx2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（﹣5，0），根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．
2.利用二次函数Y=ax2+k的性质求点的坐标
3．抛物线与直线的一个交点为，
(1)求和．
(2)求另一个交点的坐标．
4．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．

(1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
(2)当______时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．
5．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）．
（1）（1，2）的变换点为　　，（﹣1，﹣2）的变换点为　　．
（2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
（3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．
3.利用二次函数Y=ax2+k的性质求最值
6．已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则周长的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.利用二次函数Y=ax2+k的性质解决几何问题
7.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上.
（1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标.
（2）抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
8．如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点，在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作轴于点A，轴于点C，延长PC交抛物线于点E，M，D是y轴上的点且，.
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形.
牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1 .函数与的图象的不同之处是（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
2.若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ）
A． B． C． D．
3 .将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4 .平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
5 .已知抛物线．下列结论：
①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小．
其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6 .如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7 .在同一平面直角坐标中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
8 .设点（﹣1，y1），，（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .二次函数有最　 　值为　 　．
10 .二次函数 ，当时，y的取值范围为 ．
11 .已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
12 .如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为 ．

13 .在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
三、解答题（共48分）
14．（8分）已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（-1，-3）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
15 .（6分）把的图象向上平移2个单位.
（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴;
（2）.画出平移后的函数图象;
（3）.求平移后的函数的最大值或最小值,并求对应的x的值.
16 .（8分）已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
17.（10分）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．
（1）当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
（2）当______时，新函数有最小值；
（3）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．
18 .（8分）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．
（1）请在如图的基础上画出函数的图像，简要说明画图方法；
（2）如果点在函数的图象上，求点的坐标；
（3）将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．
19 .（8分）如图,河上有一座抛物线形桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部3m时,水面宽,建立如图所示的坐标系.
(1)当水位上升0.5 m时,求水面宽度为多少米 (结果可保留根号)
(2)当水面的宽度为时,有一艘游船,它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚,此船正对着桥洞在上述河流中航行,若游船宽(最大宽度)2m,从水面到棚顶高度为1.8 m.问这艘游船能否从桥洞下通过
九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质1
二次函数Y=ax2+K的图像和性质
学习目标：
会用描点法画出二次函数 y=ax +k（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念；
掌握二次函数 y=ax +k（a≠0）性质，掌握y=ax （a≠0）与y=ax +k（a≠0）之间联系。
老师告诉你
解二次函数 y=ax +k（a≠0的问题注意两点
1 .二次函数的符号 开口方向；
二次项系数的绝对值相等 抛物线的形状相同
K 顶点纵坐标
2.抛物线y=ax2 +k可由抛物线y=ax2 向上或下平移得到，可简记为“上加下减”
一、知识点拨
知识点1二次函数Y=ax2+k的图像
1.要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下：
①列表：先取点（0，k），然后以点（0，k）为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
2.形状位置：形状与y＝ax 相同，对称轴Y轴，位置不同
二次函数y＝ax 向上平移k个单位长度 二次函数y＝ax ＋h(k＞0)，
二次函数y＝ax 向下平移k个单位长度 二次函数y＝ax ＋h(k＜0) 口诀：上加下减．
【新知导学】
例1-1关于二次函数的图像，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质依次判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
∴A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．
【对应导练】
1．下列图象中．有可能是函数y＝ax2+a（a≠0）的图象的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】从a＞0和a＜0两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案．
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2+a（a≠0）的图象开口向上，顶点在y轴的正半轴；
当a＜0时，函数y＝ax2+a（a≠0）的图象开口向下，顶点在y轴的负半轴，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数系数与图象的关系，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标与系数的关系是解题的关键，注意分类讨论思想的运用．
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+k与二次函数y＝kx2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+k图象与二次函数y＝kx2+a的图象分别求出对应的a，k的范围，再相比较看是否一致即可．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，k＞0，由直线可知，a＜0，k＞0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，k＜0，由直线可知，a＞0，k＞0，矛盾，故本选项错误，，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，k＞0，由直线可知，a＜0，k＞0，矛盾，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，k＜0，由直线可知，a＞0，k＜0，矛盾，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等是解题的关键．
3．当a＜0，c＞0时，二次函数y＝ax2+c的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数系数a可判定图象的开口方向，根据c可判定图象的顶点位置，可得答案．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+c可知二次函数y＝ax2+c的图象的对称轴为y轴，故B、C错误；
∵a＜0，
∴图象开口向下，故A、C错误；
∴c＞0，图象的顶点在y轴的正半轴上，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，a＜0，图象开口向下，c＞0，图象与y轴的交点在 x轴的上方，是解题关键．
4．如图为函数y＝x2+1和y＝x2的图象，则图中阴影部分的面积为 　　．
【分析】连接OA、CB，阴影部分的面积与平行四边形ABCO的面积的2倍相等．
【解答】解：∵函数y＝x2的图象向上平移1个单位得到函数y＝x2+1，
连接OA、CB，则AB＝OC＝1，
∵AB∥OC，
∴四边形ABCO是平行四边形，
∵A点的横坐标为2，
∴S平行四边形ABCO＝2×1＝2，
∴S阴影＝2S平行四边形ABCO＝2×2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次函数的图象，关键是把阴影部分面积转化成平行四边形的面积来计算．
5．下列二次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，将函数图象的序号填在对应函数表达式后面的括号里：
（1）y＝2x2； 　 　；
（2）y＝2x2+1； 　 　；
（3）y＝2x2+2； 　 　；
（4）y＝2x2﹣1； 　 　；
（5）y＝2x2﹣2． 　 　．
【分析】根据抛物线的顶点判断即可．
【解答】解：（1）y＝2x2；C；
（2）y＝2x2+1；B；
（3）y＝2x2+2；A；
（4）y＝2x2﹣1；D；
（5）y＝2x2﹣2．E．
故答案为：C；B；A；D；E．
【点评】本题考查了二次函数的图象，由抛物线的顶点式得到顶点坐标是解题的关键．
知识点2 二次函数Y=ax2+k的性质
y＝ax ＋h(a≠0) a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，h) (图象有最低点) (0，h) (图象有最高点)
对称轴 y轴(直线x＝0) y轴(直线x＝0)
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈下降趋势)；当x＞0时，y随x的增大而增大(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈上升趋势). 当x＜0时，y随x的增大而增大(在对称轴的左侧，从左向右看，图象呈上升趋势)；当x＞0时，y随x的增大而减小(在对称轴的右侧，从左向右看，图象呈下降趋势).
最值 当x＝0时，y最小＝h. 当x＝0时，y最大＝h.
草图
【新知导学】
例2-1．已知点都在函数上，则( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：，，
，故选A.
例2-2．已知二次函数，当x取时，函数值相等，则当x取时，函数值为______________.
答案：-3
解析：二次函数，当x取（）时，函数值相等，
，
或.
，，
.
例2-3．若抛物线与关于x轴对称，则 ， .
答案：2；-4
解析：的顶点坐标为，对称轴
又与关于x轴对称，开口向下，
若抛物线的顶点坐标为，对称轴，开口向上.
抛物线的解析式为
【对应导练】
1．关于二次函数，下列说法中正确的是( )
A.它的图象的开口方向是向上的
B.当时，y随x的增大而增大
C.它的图象的顶点坐标是
D.当时，y有最小值3
答案：B
解析：,开口向下，故A错误；
抛物线的对称轴是y轴，在对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而增大，故B正确；
二次函数图象的顶点坐标为，故C错误；
当时，y有最大值3，故D错误.
综上所述，选B.
2．如图，平面直角坐标中二次函数的图象经过两点，且坐标分别为，则的长度为( )
A.5 B. C. D.
答案：A
解析：令，解得
即，，故选A.
3．已知的图象上有三点，且，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：因为的对称轴是y轴，
又因为当x依次增大时，，即y随着x增大而增大，
故该抛物线的开口向上，即，故选A.
题型训练
1.利用二次函数Y=ax2+k的性质求字母的值
1.已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m1=2，m2=﹣3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
2 .已知一抛物线与抛物线yx2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（﹣5，0），根据以上特点，试写出该抛物线的解析式．
【解答】解：设所求的抛物线解析式为y＝a（x+5）2，
因为抛物线y＝a（x+5）2与抛物线yx2+3形状相同，开口方向相反，
所以a，
所以该抛物线的解析式为y（x+5）2．
2.利用二次函数Y=ax2+k的性质求点的坐标
3．抛物线与直线的一个交点为，
(1)求和．
(2)求另一个交点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：；
（2）联立两个函数解析式，再解方程组即可．
【详解】（1）解：把代入可得：
，
∴交点坐标为：；
把代入可得：
，
解得：；
（2）由（1）得：，
∴，
∴，
解得：，，
∴或，
∴函数的另一个交点坐标为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键．
4．如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．

(1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
(2)当______时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．
【答案】(1)5，3
(2)-2或2
(3)或
(4)或
【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案；
（2）根据函数图象即可求得；
（3）根据函数图象即可求得；
（4）根据图象求得答案即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
把代入，
得，
当时，新函数值为，当时，新函数值为，
故答案为：，；
（2）解：观察图象可得：
当或时，新函数有最小值为，
故答案为：或；
（3）解：观察图象可得：
当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或；
故答案为：或；
（4）解：观察图象可得：
直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
5．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y）；当x≤0时，Q点坐标为（﹣x，﹣y+2）．例如：（﹣2，3）的变换点是（2，﹣1）．
（1）（1，2）的变换点为　　，（﹣1，﹣2）的变换点为　　．
（2）点M（m﹣1，5）的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
（3）如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．
【答案】（1）（﹣1，﹣2），（1，4）；（2）点M坐标（7，5）；（3）①图象见解析；②
【分析】(1)由变换点坐标可求解；
(2)分1 m>0，1 m≤0两种情况讨论，把点M的变换点坐标代入解析式可求点M坐标；
(3)①求出x≥0，x<0时的解析式，即可画出图象；②由①可求解.
【详解】（1）∵1>0
∴(1,2)的变换点为( 1, 2)
∵ 1<0
∴( 1, 2)的变换点为(1,4)
故答案为：( 1, 2),(1,4)
（2）当m﹣1＞0时，点M的变换点为（1﹣m，﹣5）
∴1﹣m+2＝﹣5，∴m＝8
∴点M（7，5）
当m﹣1≤0时，点M的变换点（1﹣m，﹣3），∴1﹣m+2＝﹣3
∴m＝6（不合题意舍去）
∴点M坐标（7，5）
（3）①设点P（x，y）
当x≤0时，点Q（﹣x，﹣y+2），即﹣x≥0，
∵y＝﹣x2+4，∴﹣y＝x2﹣4，∴﹣y+2＝x2﹣4+2
∴﹣y+2＝（﹣x）2﹣2
∴点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣2 （x≥0）
当x＞0时，点Q（﹣x，﹣y），即﹣x＜0
∵y＝﹣x2+4
∴﹣y＝x2﹣4＝（﹣x）2﹣4
点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣4（x＜0）
由函数解析式可得图象如下：
②由①可得
【点睛】本题考查直角坐标系中点的变换，以及画抛物线图像，理解变换方式并进行分类讨论是解题的关键.
3.利用二次函数Y=ax2+k的性质求最值
6．已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为，P是抛物线上一个动点，则周长的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案：C
解析：过点M作轴于点E，交抛物线于点P，此时周长最小值，
、，
，，
周长的最小值.
故选C.
4.利用二次函数Y=ax2+k的性质解决几何问题
7.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上.
（1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标.
（2）抛物线上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）答案：抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标是
解析：抛物线的对称轴是y轴，顶点C的坐标是.
（2）答案：不存在点M，理由见解析
解析：不存在点M.理由如下：
令，得，解得或，
A，B两点的坐标分别为，，
又，是等腰直角三角形.
假设存在一点M，使得.
为公共边，，
点M与点O关于直线AC对称，则四边形OAMC是正方形，
点M的坐标为.
当时，，点M不在该抛物线上，
即抛物线上不存在点M，使得.
8．如图，已知抛物线的对称轴是y轴，且点，在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过P作轴于点A，轴于点C，延长PC交抛物线于点E，M，D是y轴上的点且，.
（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；
（2）求证：四边形PMDA是平行四边形.
答案：（1）解：抛物线的对称轴是y轴，
可设抛物线的解析式为，
点，在抛物线上，
解得
抛物线的解析式为，N点坐标为.
（2）证明：设，则，，
M点在y轴上，，且，
，
D点在y轴上，，，，
，，
，又，
四边形PMDA为平行四边形.
牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1 .函数与的图象的不同之处是（ ）
A．对称轴 B．开口方向 C．顶点 D．形状
【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质得出，a决定开口大小以及方向，再利用顶点坐标位置得出不同．
解：y=x2+1与y=x2的图象顶点坐标为：(0,1)，(0,0)，
故图象的不同之处是顶点坐标位置.
故答案选：C.
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
2.若点，，都在二次函数的图象上，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】
解：∵的图象开口向下，对称轴是y轴，关于y轴的对称点是，
∴时，y随x的增大而减小，
又∵
∴，
故选：D．
3 .将抛物线绕原点O旋转，则旋转后抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得旋转后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可．
【详解】解：的顶点坐标为，
∵抛物线绕原点O旋转，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为，
∴旋转后的抛物线的解析式为，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键．
4 .平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，再结合二次函数的性质即可解答，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
【详解】解：设所在直线的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
∴所在直线的函数解析式为，
∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为轴，顶点坐标为，
如图，
∵点，轴，
∴点坐标为，
将代入得，，
解得，
∴时，抛物线向上移动，抛物线与的边有两个交点，
如图，
当抛物线经过原点时，有两个交点，将代得，，
当抛物线向上平移，且与直线：只有一个交点时，
由得，，
解得，
∴时与三角形有两个交点，
综上，，
故选：C．
5 .已知抛物线．下列结论：
①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小．
其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向下，故①正确；
对称轴是轴，故②正确；
顶点坐标是，故③错误；
函数有最大值，故④错误；
当时，随的增大而减小，故⑤正确；
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6 .如图，抛物线经过正方形的三个顶点，，，点在轴上，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式求出，再根据正方形的性质得出，进而可得点，将A点坐标代入抛物线解析式，即可求出的值．
【详解】解：如图，连接交y轴于点D，
对于，当时，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
解得，
故选D．
7 .在同一平面直角坐标中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+b开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，b），
∴该选项图象符合题意；
B、∵直线y＝ax+b经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+b开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，b），
∴该选项图象不符合题意；
C、∵直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的交点坐标为（0，b），
∴该选项图象不符合题意；
D、∵直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+b开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，b），
∴该选项图象不符合题意．
故选：A．
8 .设点（﹣1，y1），，（2，y3）是抛物线y＝﹣2x2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1
【答案】B
【解答】解：当x＝﹣1时，y1＝﹣2x2+1＝﹣2×（﹣1）2+1＝﹣1，
当x＝时，y2＝﹣2x2+1＝﹣2×（）2+1＝，
当x＝2时，y3＝﹣2x2+1＝﹣2×22+1＝﹣7，
∴y2＞y1＞y3．
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .二次函数有最　 　值为　 　．
【答案】大；5
【解答】【解答】解：由可知：
，开口向下，
∴二次函数有最大值，
又其对称轴为y轴，
∴当x=0时，y最大为5，
故答案为：大，5．
10 .二次函数 ，当时，y的取值范围为 ．
【答案】．
【分析】当时，在取得最大值，当时，，当时，，即可求解．
【详解】解：∵
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为，
∴当时，y取得最大值3，
又∵当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数值的取值范围，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
11 .已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
【答案】2
【解析】解：∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，
∴2x2=2，x=±1，
∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2），
∴S△OAB=×2×2=2，
故答案为2．
12 .如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为 ．

【答案】/
【分析】设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为，将代入抛物线，再根据正方形对角线相等的性质，即可解题．
【详解】解：如图，连接，

∵ 四边形是正方形，
，
设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为，
将代入抛物线，得，解得：（舍），，
∴，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出点B的坐标是解题的关键．
13 .在线段上取点，分别以、为边在的同一侧构造正方形和正方形，点、分别是、的中点，连接，若，则线段的最小值为______．
【答案】4
【分析】
过点Q作QH⊥BG，垂足为H，求出PH，设CG=2x，利用勾股定理表示出PQ，根据x的值即可求出PQ的最小值．
解：如图，过点Q作QH⊥BG，垂足为H，
∵P，Q分别为BC，EF的中点，BG=8，
∴H为CG中点，
∴PH=4，设CG=2x，
则CH=HG=EQ=x，QH=2x，
∴PQ===，
则当x=0时，PQ最小，且为4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，勾股定理，线段最值问题，解题的关键是表示出PQ的长．
三、解答题（共48分）
14．（8分）已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（-1，-3）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）x取何值时，y随x的增大而减小？
【解析】（1）将点（2，3）和（-1，-3）坐标代入即可解决问题．
（2）根据（1）中所得二次函数的增减性即可解决问题．
解（1）由题知，
将点（2，3）和（-1，-3）坐标代入函数解析式得，
，
解得．
所以二次函数的解析式为y=2x2-5．
（2）因为二次函数y=2x2-5的图象开口向上，
且对称轴为直线x=0，
所以当x＜0时，y随x的增大而减小．
15 .（6分）把的图象向上平移2个单位.
（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴;
（2）.画出平移后的函数图象;
（3）.求平移后的函数的最大值或最小值,并求对应的x的值.
答案：（1）. ,顶点坐标是(0,2),对称轴是y轴
（2）.
（3）.x=0时,y有最大值,为2.
16 .（8分）已知：二次函数y＝x2﹣1．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）画出它的图象．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）在y＝x2﹣1中，令y＝0可得0＝x2﹣1．
解得x＝﹣1或1，
令x＝0可得y＝﹣1，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：
．
17.（10分）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．
（1）当时，新函数值为______，当时，新函数值为______；
（2）当______时，新函数有最小值；
（3）当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______；
(4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______．
【答案】(1)5，3
(2)-2或2
(3)或
(4)或
【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案；
（2）根据函数图象即可求得；
（3）根据函数图象即可求得；
（4）根据图象求得答案即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
把代入，
得，
当时，新函数值为，当时，新函数值为，
故答案为：，；
（2）解：观察图象可得：
当或时，新函数有最小值为，
故答案为：或；
（3）解：观察图象可得：
当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或；
故答案为：或；
（4）解：观察图象可得：
直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
18 .（8分）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．
（1）请在如图的基础上画出函数的图像，简要说明画图方法；
（2）如果点在函数的图象上，求点的坐标；
（3）将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线；
（2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标；
（3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标．
【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线，
如图：

（2）解：由题意，得点的“关联点”为，
由点在抛物线上，可得，
∴，
又在抛物线上，
，
解得．
将代入，得；
（3）解：点的“待定关联点”为，
∵在抛物线的图象上，
，
．
又
,
当时，，
故可得．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标．
19 .（8分）如图,河上有一座抛物线形桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部3m时,水面宽,建立如图所示的坐标系.
(1)当水位上升0.5 m时,求水面宽度为多少米 (结果可保留根号)
(2)当水面的宽度为时,有一艘游船,它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚,此船正对着桥洞在上述河流中航行,若游船宽(最大宽度)2m,从水面到棚顶高度为1.8 m.问这艘游船能否从桥洞下通过
答案：(1)设抛物线形桥洞的函数解析式为，把，代入得，解得，.
由题意得点C与点D的纵坐标为0.5，.
解得，
，
则水面的宽度为.
(2)这艘游船能从桥洞下通过.理由如下:
当时，，
，这艘游船能从桥洞下通过.
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