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4.1 整 式
第2课时 多项式
一.学习目标
1.理解多项式和整式的概念.
2.能准确迅速确定一个多项式的项数和次数.
3.经历对多项式概念的探索过程，培养学生的符号感.
二.自主预习
1.【自主归纳】
(1)几个________的和叫作多项式；
(2)多项式中的每一个________都叫作这个多项式的项，多项式含有几项，这个多项式叫作_________.
(3)不含________的项叫作常数项.
(4)多项式里，__________的次数，叫作这个多项式的次数,多项式的次数是几，这个多项式叫作__________.
(5)______和______统称为整式.
2.自学自测:
(1)多项式有_____项，它们分别是_______.其中常数项是______，它是一个___次_____项式.
(2)多项式a3－a2b＋ab2－b3的项数为_______，次数为_______.
(3)多项式3n4－2n2＋1的次数为________，常数项为_________.
三.探究新知
探究点 多项式的相关概念
1.问题1 列式表示下列数量:
(1)温度由t ℃下降5℃后是 ℃.
(2)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,那么买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 元.
(3)如图所示(1)所示,三角尺的面积为 .
(4)如图所示(2)所示的是一所住宅区的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是 m2.
图(1) 图(2)
问题2 上述几个式子都是单项式吗 这些式子有什么共同特点 与单项式有什么关系
2.练习：
(1)在代数式a，2x2+y，+1，-5，3m-3n中，多项式有 .整式有 .
(2)多项式x2+y-z的项分别为_______，每项的次数分别为________.
(3)多项式3m3－2m－5+m2的项分别为________，每项的次数分别为________，常数项是____.
例1.说出下列多项式的项，次数和常数项.
(1)2a2-ab2-1； (2)3x2+y2； (3)xy3+2xy+y5-.
例2.用多项式填空，并指出它们的项和次数.
(1)一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的周长为______.
(2)m 为一个有理数，m的立方与2的差为_________.
(3)某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见,从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆,第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 .
(4)如图所示是我国南北朝时期的官员独孤信的印章，它由18 个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为 .
例3.已知-5xm+104xm+1-4xmy2是关于x,y的六次多项式,求m的值,并写出该多项式.
四.运用新知
练习1:下列整式中哪些是单项式 哪些是多项式 是单项式的指出系数和次数,是多项式的指出项和次数:
-a2b,,x2+y2-1,x,32t3,,3x2-y+3xy3+x4-1,2x-y.
练习2
1.单项式m2n2的系数是 ,次数是 ,m2n2是 次单项式.
2.多项式x+y-z是单项式 , , 的和,它是 次 项式.
3.多项式3m3-2m-5+m2的常数项是 ,一次项是 ,二次项的系数是 .
4.如果-5xym-1为四次单项式,则m= .
5.下列说法中,正确的是( )
A.单项式的系数是-2,次数是3
B.单项式a的系数是0,次数是0
C.-3x2y+4x-1是三次三项式,常数项是1
D.单项式-的次数是2,系数是-
6.判断题
(1)-5ab2的系数是5.( )
(2)xy2的系数是0.( )
(3)πx2的系数是.( )
(4)-ab2c的次数是2.( )
7.(1)买单价为a元的笔记本m本,付出20元,应找回 元.
(2)如图所示,根据图中标注的数据,用式子表示图形中的阴影部分的面积是 .
8.下列式子中哪些是单项式,哪些是多项式,哪些是整式
,5a,-xy2z,a,x-y,,0,3.14,-m+1.
9.多项式-3a2b3+5a2b2-4ab-2共有几项,多项式的次数是多少 第三项是什么,它的系数和次数分别是多少
五.达标测试
1.下列各式:1-3x2,-x3,,-,π+a,0,-x2+y2-1.其中是整式的有( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
2.若关于x的多项式(a-4)x3-x2+x-2是二次三项式,则a= ;
3.若多项式2xy|k|+(k-3)x2-y+1是一个关于x,y的四次四项式,则k= .
4.有一块长为x m,宽为y m的长方形草坪,在草坪中间有一条宽为2m的人行道,形状如图所示,则这块草坪的实际绿化面积是 m2.
5.指出下列多项式的项及次数.
(1)5x-4x3+2x2-7；
(2)22x4-3x5-5；
(3)a3-3ab2+3a2b-b3.
6.已知多项式a3＋ab4－am+1b－6是六次四项式，单项式2xy3n与该多项式的次数相同，求m2＋n2的值．
参考答案
达标检测
1.B 2.4 3.-3 4.(xy-2y)
5.解：(1)5x-4x3+2x2-7的项是5x，-4x3，2x2，-7；次数3.
(2)22x4-3x5-5的项是22x4，-3x5，-5；次数是5.
(3)a3-3ab2+3a2b-b3的项是a3，-3ab2，3a2b，-b3；次数是3.
6.解：依题意得m＋1＋1＝6，1＋3n＝6，
则m＝4，n＝．
所以m2＋n2＝42＋()2=18 .
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第2课时 多项式
理解多项式和整式的概念.
1.理解多项式和整式的概念.
2.能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数.
3.经历对多项式概念的探索过程,培养学生的符号感.
重点:理解多项式的有关概念.
难点:会确定一个多项式的项数和次数.
学生先观察式子的共同特点,从而归纳出多项式的有关概念.因为学生已有单项式知识的经验,所以教学中要注重学生自主学习,充分让学生主动探究发现,培养学生主动学习的兴趣和能力,让学生充分感知多项式相关概念的形成过程,并及时通过练习巩固所学知识.
(一)情境导入
用代数式表示:
(1)若三角形的边长分别为a,b,c,则三角形的周长是 a+b+c ;
(2)若某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 (x+21) 人;
(3)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 (a+b) 个,脚 (2a+4b) 只.
观察以上所得出的四个式子,与上节课所学单项式有何区别
(二)新知初探
探究一 多项式的相关概念
问题 列式表示下列数量:
(1)温度由t ℃下降5 ℃后是 (t-5) ℃;
(2)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,那么买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 (3x+5y+2z) 元;
(3)如图(1)所示,三角尺的面积为 ab-πr2 ;
(4)如图(2)所示的是一所住宅区的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是 (x2+2x+18) m2.
图(1) 图(2)
追问 上述几个式子都是单项式吗 这些式子有什么共同特点 与单项式有什么关系
解:上述几个式子都不是单项式.这些式子是两个或多个单项式相加的形式.
小结:
(1)几个单项式的和叫作多项式;
(2)多项式中的每个单项式叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项;
(3)多项式里,次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数;
(4)单项式与多项式统称整式.
练习
(1)在代数式a,2x2+y,+1,-5,3m-3n中,多项式有 2x2+y,3m-3n .整式有 a,2x2+y,-5,3m-3n ;
(2)多项式x2+y-z的项分别为 x2,y,-z ,每项的次数分别为 2次,1次,1次 ;
(3)多项式3m3-2m-5+m2的项分别为 3m3,-2m,-5,m2 ,每项的次数分别为 3次,1次,0次,2次 ,常数项是 -5 .
小结:
(1)多项式的各项应包括它前面的符号;
(2)多项式没有系数的概念,但其每一项均有系数,每一项的系数也包括前面的符号;
(3)要确定一个多项式的次数,先要确定此多项式中各项(单项式)的次数,然后找次数最高的;
(4)一个多项式的最高次项可以不唯一.
任务一 意图说明
1.通过特征的讲述,由学生自己归纳出多项式的定义,教师可给予适当的提示及补充.
2.教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,渗透类比的数学思想.
探究二 例题讲解
1.说出下列多项式的项、次数和常数项.
(1)2a2-ab2-1;
(2)3x2+y2;
(3)xy3+2xy+y5-.
解:(1)2a2-ab2-1的项是2a2,-ab2,-1,次数是3,常数项是-1.
(2)3x2+y2的项是3x2,y2,次数是2,没有常数项.
(3)xy3+2xy+y5-的项是xy3,2xy,y5,-,次数是5,常数项是-.
2.用多项式填空,并指出它们的项和次数.
(1)一个长方形相邻两条边的长分别为a,b,则这个长方形的周长为 .
(2)m为一个有理数,m的立方与2的差为 .
(3)某公司向某地投放共享单车,前两年每年投放a辆,为环保和安全起见,从第三年年初起不再投放,且每个月回收b辆,第三年年底,该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 .
(4)如图所示是我国南北朝时期的官员独孤信的印章,它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为a,等边三角形的高为b,那么这个印章的表面积为 .
解:(1)2a+2b,它的项分别为2a,2b,次数是1.
(2)m3-2,它的项分别为m3,-2,次数是3.
(3)2a-12b,它的项分别为2a,-12b,次数是1.
(4)18a2+4ab,它的项分别为18a2,4ab,次数是2.
3.已知-5xm+104xm+1-4xmy2是关于x,y的六次多项式,求m的值,并写出该多项式.
解:由题意,得m+2=6,所以m=4.
所以该多项式为-5x4+104x5-4x4y2.
变式:若关于x的多项式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次项和一次项,求m,n的值.
解:因为关于x的多项式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次项和一次项,
所以m=0,n-1=0,则m=0,n=1.
任务二 意图说明
1.通过练习帮助学生充分理解多项式的项和次数.
2.特别提醒学生注意,多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为次数最高项的次数.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.多项式:几个单项式的和叫作多项式.
2.多项式的项:多项式中的每个单项式叫作多项式的项.
3.常数项:不含字母的项叫作常数项.
4.多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数叫作多项式的次数.
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4.1 整 式
第2课时 多项式
学习目标
1.理解多项式和整式的概念.
2.能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数.
3.经历对多项式概念的探索过程,培养学生的符号感.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
用代数式表示:
(1)若三角形的边分别为a,b，c,则三角形的周长是 ;
(2)若某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生 人;
(3)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头 个,
脚 只.
观察以上所得出的四个式子,与上节课所学单项式有何区别
a+b+c
(x+21)
(a+b)
(2a+4b)
壹
新知初探
贰
新知初探
活动一 多项式的相关概念
问题 列式表示下列数量：
1.温度由t℃下降5℃后是 ℃.
2.买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 元.
（3x+5y+2z）
（t-5）
贰
3.如图(1)所示，三角尺的面积为 .
4.如图(2)所示，是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是 ㎡.
（x2+2x+18）
（1） （2）
上述几个式子都是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
解：上述几个式子都不是单项式，这些式子是两个或者多个单项式相加的形式.
小结：
（1）几个单项式的和叫作多项式；
（2）在多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项；
（3）多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数；（4）单项式与多项式统称为整式.
例如：
常数项
次数
项
叫做三次三项式
(2)多项式x2+y-z的项分别为 ，每项的次数分别为 .
(3)多项式3m3－2m－5+m2的项分别为 ，
每项的次数分别为 ，常数项是____.
x2，y，-z
(1)在代数式a，2x2+y， +1，-5，3m-3n中，
多项式有 .
整式有 .
2x2+y，3m-3n
a，2x2+y，-5，3m-3n
填一填
2次，1次，1次
3m3，－2m，－5，m2
3次，1次，0次，2次
－5
小结：
(1)多项式的各项应包括它前面的符号
(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数
也包括前面的符号
(3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)
的次数，然后找次数最高的.
(4)一个多项式的最高次项可以不唯一
解:(1)2a2-ab2-1的项是2a2，-ab2，-1，次数是3，常数项是-1；
探究二 例题讲解
1.说出下列多项式的项，次数和常数项.
(1)2a2-ab2-1；
(2)3x2+y2；
(3)xy3+2xy+y5- .
(2)3x2+y2的项是3x2，y2，次数是2，没有常数项；
(3)xy3+2xy+y5- 的项是xy3，2xy，y5，- ，
次数是5，常数项是- .
2. 用多项式填空，并指出它们的项和次数.
(1)一个长方形相邻两条边的长分别为a，b，则这个长方形的
周长为_____.
(2)m 为一个有理数，m的立方与2的差为____________.
(3)某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放a辆，为环保和安全起见,从第三年年初起不再投放，且每个月回收b辆,第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 .
解:(1)2a+2b,它的项分别为 2a，2b，次数是1.
(2)m3-2,它的项分别为m3,-2,次数是3.
(3)2a-12b，它的项分别为 2a，-12b，次数是1.
解：(4)18a +4ab，它的项分别为18a ，4ab，次数是2.
(4)如图所示是我国南北朝时期的官员独孤信的印章，它由18 个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为a，等边三角形的高为b，那么这个印章的表面积为 .
3.已知－5xm＋104xm+1－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式.
解：由题意得m＋2=6，所以m=4.所以该多项式为-5x4＋104x5-4x4y2.
变式：若关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，求m、n的值.
解：因为关于x的多项式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次项和一次项，所以m=0，n－1=0，则m=0，n=1.
当堂达标
叁
1．下列各式中是整式的有（ ）
1－3x2，－ x3， ，π＋ a，0，－x2＋y2－1．
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
2．若关于x的多项式(a－4)x3－x2＋x－2是二次三项式，则a＝ ；
3．若多项式2xy|k|＋(k－3)x2－y＋1是一个关于x，y的四次四项式，
则k＝ ．
4．有一块长为x m、宽为y m的长方形草坪，在草坪中间有一条宽为2 m的人行道，形状如图所示，则这块草坪的实际绿化面积
是 m2．
C
4
-3
（xy－2y）
当堂达标
叁
5.用多项式解决下列问题，并指出它们的项和次数:
（1）a，b两数的平方和
（2）三个连续偶数中，n是最小的一个，这三个偶数中最大的数是多少？
（3）小明周末从家去书店，需要先步行一段路程，然后再坐公交车到书店，步行的速度为4千米/小时，公交车的速度为45千米/小时，小明先步行x分钟，再乘车y分钟，则小明家离书店的路程是多少千米？
（3）小明家离书店的路程是4×+45×=+y千米．
它的项分别是，y，次数是1.
解：（1）a2+b2. 它的项分别是a2，b2，次数是2.
（2）三个偶数中最大的数是n+2+2＝n+4．它的项分别是n，4，次数是1.
课堂小结
肆
课堂小结
1.多项式:几个单项式的和叫作多项式.
2.多项式的项:多项式中的每个单项式叫作多项式的项.
3.常数项:不含字母的项叫作常数项.
4.多项式的次数:多项式里，次数最高的项的次数叫作多项式的次数.
肆
课后作业
基础题：1.课后习题 第 1,2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3题
谢
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第2课时 多项式及整式
数学 七年级上册RJ
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1.几个 叫作多项式.
2.多项式里 叫作多项式的项.不含字母的项叫作
.
3.多项式里 的次数,叫作这个多项式的次数.
4. 与 统称整式.
单项式的和
每个单项式
常数项
次数最高的项
单项式
多项式
课堂互动
[思路点拨] 根据概念分类,注意单项式与多项式的关系.
①⑤
③④⑥⑧
①③④⑤⑥⑧
[易错提醒] 根据概念确定,写多项式的项时,不要忘记前面的符号;注意数项数时,不要漏掉常数项.
知识点3 多项式的实际应用
例3 一条河的水流速度是3 km/h,如果轮船在静水中的速度是
v km/h,那么轮船顺流行驶的速度是 km/h,逆流行驶的速度是
km/h.
(v+3)
(v-3)
基础题
C
A
A
D
20
8.指出下列各多项式的项和次数:
(1)3x-2x2+1;
(2)xy2+x2y-xy;
(3)abc2-ac-bc+2.
解:(1)3x-2x2+1,项是3x,-2x2,1,次数是2次.
(2)xy2+x2y-xy,项是xy2,x2y,-xy,次数是3次.
(3)abc2-ac-bc+2,项是abc2,-ac,-bc,2,次数是4次.
中档题
A
5
11.已知关于x,y的多项式3x2-10xm+1y-x4+9x-22是六次五项式.
(1)m的值是 ,该多项式的常数项是 ;
(2)将此多项式按x的降幂排列.
解:(1)4 -22
(2)根据(1),得多项式为3x2-10x5y-x4+9x-22,
所以按x的降幂排列为-10x5y-x4+3x2+9x-22.
12.用多项式解决下列问题,并指出它们的项和次数:
(1)x的2倍与y的立方的差.
(2)七年级(1)班有m人,七年级(2)班有42人.在“手拉手”活动中,他们平均每人捐献图书5本,那么两班一共捐献了多少本图书
解:(1)依题意,得2x-y3.它的项分别是2x,-y3,次数是3.
(2)依题意,得5m+42×5=(5m+210)本.它的项分别是5m,210,次数是1.
解:(3)依题意,得8r2-2πr2.它的项分别是8r2,-2πr2,次数是2.
13.如图所示,某长方形广场的四个角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地,若圆的半径为r m,长方形长为a m,宽为b m.
(1)分别用代数式表示草地和空地的面积;
(2)若长方形长为300 m,宽为200 m,圆的半径为10 m,求广场空地的面积(计算结果保留整数,π取3.14).
(2)当a=300,b=200,r=10时,
ab-πr2=300×200-100π=59 686(m2).
故广场空地的面积约为59 686 m2.
素养题
14.(推理能力)如图所示的为一组有规律的图案,它们由边长相同的正方形和等边三角形组成,其中正方形涂有阴影.依此规律,第n个图案中有 个涂有阴影的正方形(用含有n的代数式表示).
(2+2n)
谢谢观赏！
