大通县朔山中学2023~2024学年度高二开学考试检测卷
高 二 数 学
考生注意 :
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分 。满分 150分,考试时间 120分钟。
2. 答题前,考生务必用直径 0. 5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时,请将答案答在答题卡上 。选择题每小题选出答案后,用 2B铅笔把答
题卡 上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0. 5 毫米黑色墨水签字笔在
答题卡上 各题的答题区域内作答,超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．, 在．试．题．卷．
、草．稿．纸．上．作．答．无．效．。
4. 命题范围:人教 A版必修一+必修二+选择性必修一空间向量与立体几何
一、选择题 : 本题共8小题 , 每小题5分 , 共 40分。在每小题给出的四个选项中 , 只有一项
是符 合题目要求的。
1．已知 i 1 i为虚数单位，则复数 的虚部为 ( )
1 i
A． i B． i C ． 0 D．1
2.正方形 ABCD的边长是2， E是 AB的中点，则 EC ED （ ）
A． 5 B．3 C．2 5 D．5
a
3.若向量 ， b
满足 | a | 1 | b | 2 a (a b) a ， ， ，则 与b 的夹角为 ( )
A ． B 3 ． C． D 5 ．
4 3 4 6
4.某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生
的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布
直方图如图所示，下列说法正确的是 ( )
A．直方图中 x的值为0.035
B．在被抽取的学生中，成绩在区间 [70，80)的学生数为30人
C．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分
D．估计全校学生的平均成绩为83分
5．集合 A {1， 2}， B {3，4，5}，从 A， B中各取一个数，则这两数之和等于5的概
率是 ( )
A 2． B 1 C 1 1． ． D．
3 2 6 3
【高二开学考试检测检测 ● 数学 第 1页(共 4页)】
6.在空间直角坐标系中，点 (1,2,3)关于 xOy平面的对称点坐标为（ ）
A． (1,2, 3) B． ( 1,2, 3) C． ( 1, 2,3) D． ( 1, 2, 3)
7.已知向量 a,b满足 a 1, a 2b 2，且 b 2a b，则 b （ ）
A 1 B 2． 2 ． C
3
． D．1
2 2
y 4x8.函数 2 的图象大致为（ ）x 1
A． B．
C． D．
二、选择题 : 本题共3小题 , 每小题6分 , 共 18分。在每小题给出的选项中 , 有多项符合题
目要 求。全部选对的得6分 , 部分选对的得 3 分 , 有选错的得 0 分。
9．对于两个平面 ， 和两条直线m， n，下列命题中假命题是 ( )
A．若m ，m n，则 n / / B．若m / / ， ，则m / /
C．若m / / ， n / / ， ，则m n D．若m ， n ， ，则m n
10．已知函数 f (x) Acos( x )（其中 A 0, 0,| | π）的部分图象如图所示，则下
列结论正确的是（ ）
A．函数 f (x)的周期为T π
B．函数 f (x)
π
的图象关于 x 对称
12
C．函数 f (x)在区间[
π
, π ]上的最大值为2
3 2
π 11π
D．直线 y 1与 y f (x)( x )的图象所有交点
12 12
π
的横坐标之和为
3
【高二开学考试检测检测 ● 数学 第 2页(共 4页)】
11.一个不透明袋中装有2个红球 2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相
同），从中不放回依次抽取2个球，记事件A为“第一次取的球为红球”，事件 B为“第二次取
的球为白球”，则（ ）
A． P A P B B． A,B为对立事件
C． A,B
5
为相互独立事件 D．抽取的2个球中至多1个白球的概率为
6
三、填空题 : 本题共3小题 , 每小题5分 , 共 15分。
12. 某校高一年级有男生280人，女生210人，用分层随机抽样的方法从该年级全体学生中抽取
一个样本量为70的样本，则此样本中男生人数为 人.
13 .已知向量 a (m,3),b (1,m 1) ．若 a b，则m ．
2
14. 已知定义在 R上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x ，当 0 x 1时， f x x ，则
f 1 f 2 f 3 f 2021 （ ）
四、解答题 : 本题共5小题 , 共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13分)
3
已知sinα ，且α为第二象限角．
5
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α ）的值．
4
16． (本小题满分 15分)
已知平面向量 a,b ,c，且 a 2,1 ，
(1) a c
若 ∥ ，且 c 25，求向量 c 的坐标；
(2)若b 3, 2 ，求 a在b 方向的投影向量（用坐标表示）.
【高二开学考试检测检测 ● 数学 第 3页(共 4页)】
17．(本小题满分 15分)
2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度
，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分 (95分
及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组： [20，
25)，第二组：[25， 30)，第三组： [30，35)，第四组： [35
， 40)，第五组： [40， 45]，得到如图所示的频率分布直方图
（1）根据频率分布直方图，估计这m人的第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“
党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄 36)，乙（年龄 42)两人
已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长
，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
18. (本小题满分17分)
已知在 ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足bcosC ccosB 2a cos A .
(1)求角A；
(2)若D点在线段 BC上，且 AD平分 BAC，若 BD 2CD，且 AD 3，求 ABC的面积.
19. (本小题满分17分)
如图，在四棱锥P ABCD中， PD 平面 ABCD， AD DC， AB∥DC，
AB AD 1 CD 2， PD 2，M 为棱 PC的中点.
2
(1)证明： BM∥平面 PAD；
(2)求平面 PDM 和平面DMB夹角的余弦值；
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考答案、提示及评分细则
1. 2D 1 i (1 i) 2i【详解】根据题意，因为 i，所以虚部为1．故选：D．
1 i (1 i)(1 i) 2
2.B
3. C【详解】解： 向量 a ， b满足
| a | 1， | b | 2， a (a b)，
a (a b) 0 a ，即 2 a b 0，可得：1 2 cos a ,b 0，
2 3
可得 cos a,b ， a与b的夹角为 ，故选：C．
2 4
4.C
5. D【详解】解：集合 A {1， 2}， B {3，4， 5}，从 A， B中各取一个数，
基本事件总数 n 2 3 6，
这两数之和等于5包含的基本事件有： (1,4)， (2,3)，共有2个，
2 1
这两数之和等于5的概率 p ．故选： D．
6 3
6.A【详解】在空间直角坐标系中，点 (1,2,3)关于 xOy平面的对称点坐标为 (1,2, 3)故选：A
7.B【详解】因为 b 2a b，所以 b 2a b 0 2 ，即b 2a b，
a 1, a 2b 2 2 2
又因为 ，所以1 4a b 4b 1 6b 4，从而 b
2
.故选：B.
2
8.A【详解】由函数的解析式可得： f x 4x 2 f x ，则函数 f x 为奇函数，其图象x 1
4
关于坐标原点对称，选项CD错误；当 x 1时， y 2 0，选项B错误.故选：A.
1 1
9.ABC 【详解】解：若m ，m n，则 n / / 或 n ，故 A错误；
若m / / ， ，则m 或m / / 或m与 相交，故 B错误；
若m / / ， n / / ， ，则m / /n或m与 n相交或m与 n异面，故C错误；
若m ， n ， ，则m n，故D正确．故选： ABC．
f (x) T 4(2π 5π 2π10．ACD【详解】观察函数图象， A 2，函数 的周期为 ) π， 23 12 T
f (2π) 2 2π由 ，得 2 π 2kπ,k Z，而 | | π，则 k 0,
π
f (x) 2cos(2 x π )
3 3 3 3
【高二开学考试检测 ● 数学参考答案 第 1页(共 5页)】
对于A，函数 f (x)的周期为T π，A正确；
对于B， f (x) 2cos[2 (
π π π
) ] 0，函数 f (x)的图象关于 x 不对称，B错误；
12 3 12
π π
对于C，当 x [ , ]时， 2x
π
[ π, 2π] π，当 2x
π
0，即 x 时， f (x)取得最大值2，
3 2 3 3 3 6
π x 11π π π 3π对于D，当 时， 2x ，由 f (x) 1，即 cos(2x
π
) 1 ，
12 12 2 3 2 3 2
2x π π 2x π π π 0 π π得 或 ，解得 x 0或 x 3 ，显然 ，D正确. 故选：ACD3 3 3 3 3 3
11.AD【详解】记 2个红球编号为 a1,a2 , 2个白球编号为b1,b2，所以样本空间为
{(a1,a2 ), (a1,b1), (a1,b2 ), (a2 ,a1), (a2 ,b1), (a2 ,b2 ), (b1,a1), (b1,a2 ), (b1,b2 ), (b2 ,a1), (b2 ,a2 ), (b2 ,b1)}，
事件A包含的样本点为{(a1,a2 ), (a1,b1), (a1,b2 ), (a2 ,a1), (a2 ,b1), (a2 ,b2 )}，
事件 B包含的样本点为{(a1,b1), (a1,b2 ), (a2 ,b1), (a2 ,b2 ), (b1,b2 ), (b2 ,b1)}，
P(A) n(A) 6 1 n(B) 6 1对于A，因为 ,P(B) n( ) 12 2 n( ) 12 2 ，故A正确；
对于B，因为事件 A,B包含共同的样本点{(a1,b1), (a1,b2 )，(a2 ,b1), (a2 ,b2 )}，故事件 A,B不对立，
P(AB) n(AB) 4 1故B错误；对于C，因为 P(A)P(B)
1
，所以 A,Bn( ) 12 3 4 不独立，故C错误
；对于D，记事件C为“抽取的2个球中至多一个白球”，则事件C包含的样本点为
{(a1,a2), (a1,b1), (a1,b2), (a2,a1), (a2,b1), (a2,b2), (b1,a1), (b1,a2), (b2,a1), (b2,a2) }，
P(C) n(C) 10 5所以 n( ) 12 6，故D正确.故选：AD.
280
12． 40 【详解】依题意样本中男生人数为70 40（人）.
280 210
3
13. 【详解】由题意知：a b m 3(m
3
1) 0，解得m .
4 4
14 .1 【详解】由 f x 2 f x 得 f x 4 f x 2 f x ，所以函数 f x 是周期为 4
的周期函数，
又 f x 是奇函数，所以 f 1 1， f 2 f 0 0， f 3 f 1 f 1 1，
f 4 f 0 0，所以 f 1 f 2 f 3 f 4 0，
所以 f 1 f 2 f 3 f 2021 505 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 1 ，故选：D
【高二开学考试检测 ● 数学参考答案 第 2 页(共 5页)】
3
15.（1）【详解】（1）∵sinα ，且α为第二象限角
5
∴cos 1 sin2
4
--------------------------------------------------------------2
5
2 3 4 24∴sin2α＝2sinαcosα ；-----------------------------------------65 5 25
sin 3
（2）由（1）知tan ，-------------------------------------------------9
cos 4
tan tan 3 1
1
∴tan（α ） 4
4
3 7 ．----------------------------------134 1 tan tan 1 4 4
r
16.【详解】（1）解：设 c x, y ， a 2,1 ，
a∥c x 2y，又 c 25 x2 y2 625，---------------------------------------3
y2 125 y 5 5，--------------------------------------------------------------------5
x 10 5 x 10 5 或 ，
y 5 5 y 5 5
c 10 5,5 5 或 10 5, 5 5 -------------------------------------------------------7
（2）解： a 2,1 ，b 3, 2 ，设 a与b的夹角为 .
a b 4 4 13
故 a b 6 2 4 a cos b 13 13 ，----------------------------13
r 12
a在b上的投影向量为 ,
8
----------------------------------------------------15
13 13
17.【详解】解：（1）设这m人的平均年龄为 x，
则 x 22.5 0.05 27.5 0.35 32.5 0.30 37.5 0.20 42.5 0.10 32.25岁--------3
设第80百分位数为 a，由 0.05 0.35 0.3 (a 35) 0.04 0.8 ，
解得： a 37.5 -------------------------------------------------------------------------------------7
（2）由样本频率估计总体频率，在 [35， 40)和[40， 45)两区间内频率分别为0.2，0.1，
[35， 40)区间应抽取 20 0.2 4（人 )，设为 A， B，C，------------------------8
[40， 45)区间应抽取 20 0.1 2（人 )，设为Y，乙，---------------------------------------9
【高二开学考试检测 ● 数学参考答案 第 3页(共 5页)】
则从6人中随机抽取2人的样本空间为
{AB， AC， A甲， A乙， AY ， BC， B甲， B乙， BY ，C甲，C乙，CY ，甲乙，
甲Y，乙Y}，共15个，------------------------------------------------------------------------------11
记 A “甲、乙两人至少有一人被选上”，
则 A {A甲， A乙， B甲， B乙，C甲，C乙，甲乙，甲Y，乙Y}，共9个，------13
P A n(A) 9 3以 （ ） ，
n( ) 15 5
3
故甲、乙两人至少有一人被选上的概率为 ．--------------------------------------------------15
5
18.【详解】（1）解：∵ bcosC ccosB 2a cos A，由正弦定理得：
sin B cosC sinC cos B 2sin A cos A，-------------------------------------------------------------2
即 sin(B C) 2sin Aco sA，--------------------------------------------------------------------------4
则 sin A 2sin Acos A，
又在 ABC
1
中，0 A ，sin A 0，故 cos A ，------------------------------------------6
2
A 故 .---------------------------------------------------------------------------------------------------8
3
（2）由题可知 BAD CAD ，设DC x ,则 BD 2x， AB c, AC b
6
AD DC AD BD 3 x 3 2x
, , 由正弦定理得： ，即 sinC 1 sin B 1 ，-------9sinC sin CAD sin B sin BAD
2 2
sinC c
解得 2，------------------------------------------------------------------------------------11
sin B b
2 2 2
cos B c (2x) 3 c (3x)
2 b2
由余弦定理得 ，解得 c2 6x2 2b2 9 0；
2c 2x 2c 3x
c 2b x2 b2
3
又 ，故 .------------------------------------------------------------------------------13
2
2 2 2 b2 4b2 9b2 27
由余弦定理得 cos BAC b c (3x) 1 ，即 2 1，
2bc 2 2b 2b 2
b 3 3解得 ，则 c 3， x .------------------------------------------------------------------------15
2 4
ABC S 1 bcsin A 1 3 3 3 9 3的面积为 .-------------------------------------------17
2 2 2 2 8
19.【详解】（1）取 PD中点 N，连接 AN，MN．--------------------------------------------2
在
1
PCD中，M ， N分别为 PC， PD的中点，则MN∥DC，MN DC --------------4，
2
因为 AB∥DC AB 1， DC，则 AB∥MN ， AB MN，
2
可知四边形 ABMN为平行四边形，则 BM∥AN ，-----6
且 BM 平面 PAD， AN 平面 PAD，所以 BM∥平面PAD．
----------------------------------------------------------------------8
（2）因为 PD 平面 ABCD， AD，DC 平面ABCD，
则 PD AD，PD DC，且 AD DC，
以D为坐标原点，DA,DC,DP所在直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系D xyz，如图所
示，---------------------------------------------------------------10
取CD的中点 E，连接BE，
DC AB 1因为 AB∥ ， DC，则 AB∥DE， AB DE
2
又因为 AD DC，所以四边形ABED为矩形，
且 AB AD 2，可知四边形ABED是以边长为2的正方
形，
则D(0,0,0)， A(2,0,0)， B(2, 2,0)，C(0,4,0)，P(0,0,2)，M 0,2,1 ，
可得DA (2,0,0)，DM 0,2,1 ，DB (2, 2,0)，-------------------------------------------13
n
DM 2y z 0
设平面BDM的法向量为 n (x, y, z)，所以 ，
n DB 2x 2y 0
令 y 1，则 x 1， z 2．所以平面BDM的一个法向量为 n (1, 1, 2)，--------------15
易知DA为平面PDM的一个法向量，
cos n ,DA n DA 2 6所以 6 2 6 ，n DA
所以平面 PDM 和平面DMB 6夹角的余弦值为 .--------------------------------------------- -17
6
【高二开学考试检测 ● 数学参考答案 第 5页(共 5页)】
