人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.1三角形的边【十大题型】(学生版+解析)

专题11.1 三角形的边【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别三角形的相关概念】 1
【题型2 三角形的分类】 2
【题型3 三角形的个数】 3
【题型4 构成三角形的条件】 5
【题型5 确定三角形第三边的取值范围】 5
【题型6 确定三角形第三边的值】 5
【题型7 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题】 6
【题型8 由三角形的三边关系化简绝对值】 6
【题型9 由三角形的三边关系进行证明】 7
【题型10 三角形的三边关系的应用】 8
知识点1：三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
【题型1 辨别三角形的相关概念】
【例1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）定义：若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【变式1-2】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 ．
【变式1-3】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________；
（2）如图，线段是____________和____________的边；
（3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．

知识点2：三角形的分类
按边分类：三角形
按角分类：三角形
【题型2 三角形的分类】
【例2】（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（23-24八年级下·河南周口·期末）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2-2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（ ）

A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形
C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形
【变式2-3】（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在长方形中，，点E，F在边上（不与点A，D重合），点G在边上（不与点B，C重合），若图中直角三角形有m个，钝角三角形有n个，则的值为( )

【题型3 三角形的个数】
【例3】（23-24八年级上·重庆巫溪·期末）如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（ ）
A．10 B．15 C．21 D．28
【变式3-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有几个，请在图中画出这些三角形.
【变式3-2】（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，一共有 个三角形；从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ．
【变式3-3】（23-24·福建·模拟预测）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
知识点2：三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【题型4 构成三角形的条件】
【例4】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，这样的三角形共有 个．
【变式4-1】（23-24八年级上·浙江衢州·期末）下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）已知三条线段的长是：①2，2，4；②3，4，5；③3，3，7；④6，6，10．其中可构成三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4-3】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边可画出三角形的个数是 个。
【题型5 确定三角形第三边的取值范围】
【例5】（23-24八年级上·云南曲靖·期末）三角形的两边长分别是4和11，第三边长为，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（23-24八年级下·北京海淀·期末）已知三角形三边长分别为2，5，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）
A．10cm的木棒 B．40cm的木棒 C．50cm的木棒 D．60cm的木棒
【变式5-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期末）有两条线段长度分别为：2cm，5cm，再添加一条线段能构成一个三角形的是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【题型6 确定三角形第三边的值】
【例6】（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）课本再现（1）已知a，b，c是的三边，，若第三边c的长是偶数，求c边的长，
变式拓展（2）已知的三边长a，b，c都是整数，，且三角形的周长是奇数，求的周长的最小值．
【变式6-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是 ，最小值是 ．
【变式6-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长．
【变式6-3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为 ．
【题型7 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题】
【例7】（23-24八年级上·山东·单元测试）已知等腰三角形的腰长是底边长的，一边长为11cm，则它的周长为 .
【变式7-1】（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）若，则以为边长的等腰三角形的底边长是 ．
【变式7-2】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）一个等腰三角形的周长为18厘米
（1）已知腰长是底长的2倍，求各边长？
（2）已知其中一边的长为4厘米，求其他两边的长？
【变式7-3】（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）已知a、b、c为的三边长．若为等腰三角形，且周长为16，已知，求b、c的值．
【题型8 由三角形的三边关系化简绝对值】
【例8】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知是的三条边长，化简的结果为（ ）
A． B．0 C． D．
【变式8-1】（23-24八年级下·黑龙江大庆·开学考试）已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝ ．
【变式8-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知a、b、c为△ABC的三边，化简：＝ ．
【变式8-3】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c．
(1)若为整数，求的周长．
(2)化简：．
【题型9 由三角形的三边关系进行证明】
【例9】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知点O为内任意一点，证明：．
【变式9-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明．
【变式9-2】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，中，是边上的中线，求证：．
【变式9-3】（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）数学课本第29页复习题的第9题如下：
如图1，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________．
(1)补全上面步骤；
(2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：．
【题型10 三角形的三边关系的应用】
【例10】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间的距离最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式10-1】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得，那么点与点之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，沿虚线将正方形的一角剪掉后得到一个五边形．则五边形的周长比正方形的周长小，理由是 ．
【变式10-3】（23-24·江苏扬州·一模）如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（ ）

A． B． C． D．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题11.1 三角形的边【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别三角形的相关概念】 1
【题型2 三角形的分类】 4
【题型3 三角形的个数】 6
【题型4 构成三角形的条件】 9
【题型5 确定三角形第三边的取值范围】 11
【题型6 确定三角形第三边的值】 12
【题型7 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题】 15
【题型8 由三角形的三边关系化简绝对值】 17
【题型9 由三角形的三边关系进行证明】 19
【题型10 三角形的三边关系的应用】 22
知识点1：三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
【题型1 辨别三角形的相关概念】
【例1】（23-24八年级下·湖北黄冈·期中）一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；
D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题的关键。
【变式1-1】（23-24八年级下·江苏连云港·期中）定义：若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】题设已知共边三角形的定义.若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”,根据定义结合图形只要找到图中以BC为公共边的三角形，问题就解决了．
【详解】解：根据“共边三角形”的定义：若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，可知：以BC为公共边的“共边三角形”有：△ABC和△BCD、△ABC和△BCE、△BCD和△BCE，共三对．
故选C．
【点睛】本题主要考查了共边三角形的定义,正确理解定义是解题的关键．
【变式1-2】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 ．
【答案】 4 △ABC，△ADC，△ABE，△ADE
【分析】根据三角形的定义得出答案即可．
【详解】解：以点为顶点的三角形有4个，它们分别是，，，．
故答案为：4，，，，．
【点睛】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相连围成的图形得出三角形个数．
【变式1-3】（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）如图，点D在内，写出图中所有三角形：________________________；
（2）如图，线段是____________和____________的边；
（3）如图，的3个内角是____________，三条边是____________．

【答案】（1），，，；（2）；；（3），，；，，
【分析】根据三角形的定义，三角形的边与内角，进行作答即可
【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，，，
故答案为： ，，，；
（2）解：由题意知，线段是和的边，
故答案为：，；
（3）解：由题意知，的3个内角是，，；
三条边是，，，
故答案为：，，；，，．
【点睛】本题考查了三角形的定义，三角形的边、内角等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
知识点2：三角形的分类
按边分类：三角形
按角分类：三角形
【题型2 三角形的分类】
【例2】（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了三角形的分类．根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．
【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是直角，因此是直角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【变式2-1】（23-24八年级下·河南周口·期末）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据三角形的分类判断即可．
【详解】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原说法正确；
（2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误；
（3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原说法错误；
（4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误；
故选：A．
【点睛】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答．
【变式2-2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）下面是三角形按常见关系进行分类的图，则关于P、Q区域的说法正确的是（ ）

A．P是等边三角形，Q是等腰三角形 B．P是等腰三角形，Q是等边三角形
C．P是直角三角形，Q是锐角三角形 D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形
【答案】B
【分析】根据等边三角形是特殊的等腰三角形即可得．
【详解】解：∵等边三角形是特殊的等腰三角形，
∴P是等腰三角形，Q是等边三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的分类，解题的关键是掌握等边三角形和等腰三角形的关系．
【变式2-3】（23-24八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在长方形中，，点E，F在边上（不与点A，D重合），点G在边上（不与点B，C重合），若图中直角三角形有m个，钝角三角形有n个，则的值为( )

【答案】
【分析】有图可得，直角三角形有个，钝角三角形有个，将n和m的值代入计算即可．
【详解】解：由题意得：
直角三角形有个，钝角三角形有个，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类是解题的关键．
【题型3 三角形的个数】
【例3】（23-24八年级上·重庆巫溪·期末）如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（ ）
A．10 B．15 C．21 D．28
【答案】C
【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答．
【详解】解：第①个图中三角形的个数为1；
第②个图中三角形的个数为3=1+2；
第③个图中三角形的个数为6=1+2+3；
…，
故第n个图中三角形的个数为，
故第⑥个图形中三角形的个数为：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值．
【变式3-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有几个，请在图中画出这些三角形.
【答案】9个，图见解析.
【分析】)根据三角形的定义,即不在同一直线上的三点首尾顺次连接即可得到一个三角形,即可得出答案.
【详解】解：以点A、B、C、D、E中的任意3点为顶点的三角形共有9个，分别是：
△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△BCE，△BCD，△DEA，△DEB，△DEC.
如图所示：
【点睛】此题考查了三角形的定义,关键是根据题意画出图形,数出三角形的个数,不要漏数三角形的个数.
【变式3-2】（23-24八年级上·湖北恩施·阶段练习）如图，一共有 个三角形；从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ．
【答案】 6 4
【分析】根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可．
【详解】解：所有三角形为：共个．
其中青蛙不能落在中，其它均可，即个．
故答案为：
【点睛】本题考查三角形，在找三角形时，要做到不重不漏．
【变式3-3】（23-24·福建·模拟预测）如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．
【详解】A、拿掉，，后，剩下的图形如下：
图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；
B、拿掉，，后，剩下的图形如下：
图形中有4个三角形，此项不符题意；
C、拿掉，，后，剩下的图形如下：
图形中有6个三角形，此项不符题意；
D、拿掉，，后，剩下的图形如下：
图形中有9个三角形，此项不符题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．
知识点2：三角形的三边关系
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【题型4 构成三角形的条件】
【例4】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，这样的三角形共有 个．
【答案】4
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案．
【详解】解：∵三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，
列举法：当3是最大边时，有．
当3是中间的边时，有．
共4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，难度一般，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【变式4-1】（23-24八年级上·浙江衢州·期末）下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系．解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，逐一分析判断．
【详解】A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，能构成三角形，符合题意；
C、，不能构成三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
【变式4-2】（23-24八年级上·甘肃庆阳·期中）已知三条线段的长是：①2，2，4；②3，4，5；③3，3，7；④6，6，10．其中可构成三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系定理，证明两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】①2+2＝4，不符合三角形任意两边之和大于第三边，故不可构成三角形；
②3+4＞5，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形；
③3+3＜7，不符合三角形任意两边大于第三边，故不可构成三角形；
④6+6＞10，符合三角形任意两边大于第三边，故可构成三角形．
故其中可构成三角形的有②④，共2个．
故选B．
【点睛】此题主要考查三角形三边关系，在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边．
【变式4-3】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边可画出三角形的个数是 个。
【答案】3
【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
【详解】首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系：即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．这里一定要首先把所有的情况组合后，再看是否符合三角形的三边关系．
【题型5 确定三角形第三边的取值范围】
【例5】（23-24八年级上·云南曲靖·期末）三角形的两边长分别是4和11，第三边长为，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】已知两边的长，第三边应该大于任意两边的差，而小于任意两边的和，列不等式进行求解后再进行判断即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得
11-4＜3+4m＜11+4，
解得1＜m＜3．
故选：A．
【点睛】此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
【变式5-1】（23-24八年级下·北京海淀·期末）已知三角形三边长分别为2，5，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系，列出式子即可得到答案．
【详解】解：∵三角形三边长分别为2，5，，
根据三角形的三边关系（三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边），
得到：，
即：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边；掌握三角形三边关系是解题的关键．
【变式5-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（ ）
A．10cm的木棒 B．40cm的木棒 C．50cm的木棒 D．60cm的木棒
【答案】B
【分析】设应选取的木棒长为x，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围．进而可得出结论．
【详解】设应选取的木棒长为x，则30cm-20cm＜x＜30cm+20cm，即10cm＜x＜50cm．
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期末）有两条线段长度分别为：2cm，5cm，再添加一条线段能构成一个三角形的是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】D
【分析】先根据三角形的三边关系确定第三边的范围，再判断各选项即可.
【详解】解：∵有两条线段长度分别为：2cm，5cm，
∴设第三条边长为acm，
故5﹣2＜a＜5+2，
则3＜a＜7，
故再添加一条线段长为4cm时，能构成一个三角形．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，三角形的三边满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
【题型6 确定三角形第三边的值】
【例6】（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）课本再现（1）已知a，b，c是的三边，，若第三边c的长是偶数，求c边的长，
变式拓展（2）已知的三边长a，b，c都是整数，，且三角形的周长是奇数，求的周长的最小值．
【答案】；13
【分析】此题主要考查了三角形周长的定义和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键．
（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；
（2）利用三角形周长的定义以及三角形三边关系即得出最后结果可．
【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得，
所以．
因为c是偶数，所以．
（2）因为，
所以a，b中一个奇数、一个偶数．
又因为的周长为奇数，所以c为偶数，
因为，所以c的最小值为6．
因为的三边长为整数，，
所以a的最小值为6，，
所以的周长的最小值为13．
【变式6-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期中）一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为奇数，这样的三角形的周长最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 19 15
【分析】记三角形的第三边为c，先根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而可得三角形第三边的最大值与最小值，进一步即可求出答案．
【详解】解：记三角形的第三边为c，则7－3＜c＜7+3，即4＜c＜10，
因为第三边长为奇数，
所以三角形第三边长的最大值是9，最小值是5，
所以三角形的周长最大值是3+7+9=19；最小值是3+7+5=15；
故答案为：19，15．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系与不等式组的整数解，属于基础题型，正确理解题意、掌握解答的方法是关键．
【变式6-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当为最大边时，求三边长．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形三边关系，首先设边的长度分别是a、b、c，则；然后根据三边长都是整数且互不相等，由三边关系得出，即可判断出，判断出三边长分别是5、3、4；再分情况讨论即可．
【详解】解：设边的长度分别是a、b、c，
的周长为12，
；
为最大边，
，
，
三边长都是整数且互不相等，
，即，
，且，
或，
或．
【变式6-3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，M是AB的中点，则MA1的最小值为 ．
【答案】1
【分析】连接、根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：
如图：连接AA1，
∵将△ABC平移4个单位长度得到△A1B1C1，
∴＝4，
∵M是AB的中点，
∴AM＝AB＝3，
∴4-3≤MA1≤4+3，
即1≤MA1≤7，
∴MA1的最小值为1,
故答案为：1．
【点睛】本题考查了平移的性质，三角形的三边关系，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【题型7 三角形的三边关系与等腰三角形的边长问题】
【例7】（23-24八年级上·山东·单元测试）已知等腰三角形的腰长是底边长的，一边长为11cm，则它的周长为 .
【答案】或
【分析】根据题意，边长为11cm，可能为腰，也可能为底边，分两种情况讨论并进行验证即可.
【详解】当腰长11cm时，三角形周长为：11+11+11=cm ，
当底边长11cm时，三角形周长为：2+11=cm ，
经检验：腰为11cm，底边为cm ；底边为11cm，腰为cm 都可构成三角形，符合题意.
故答案为cm或cm
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，并对各种情况是否能构成三角形进行验证是解题的关键．
【变式7-1】（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）若，则以为边长的等腰三角形的底边长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的三边性质，由非负数的性质可得，，进而得到，，再根据三角形的三边性质即可求解，由非负数的性质得到的值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴为等腰三角形的底边，
故答案为：．
【变式7-2】（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）一个等腰三角形的周长为18厘米
（1）已知腰长是底长的2倍，求各边长？
（2）已知其中一边的长为4厘米，求其他两边的长？
【答案】（1）等腰三角形三边为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米．
（2）等腰三角形另外两边的长为7厘米，7厘米．
【详解】试题分析：（1）等腰三角形腰长相等，根据腰长是底长的2倍，设底边长为x，则腰长为2x，2x+2x+x=18，解答就可．
（2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
解：（1）设底边长为x，则腰长为2x，
2x+2x+x=18，
5x=18，
x=3.6，
2x=7.2
所以等腰三角形三边为3.6厘米、7.2厘米、7.2厘米．
（2）①当等腰三角形的底边长为4厘米时，腰长=（18﹣4）÷2=7（厘米）；
则等腰三角形的三边长为4厘米、7厘米、7厘米，能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为4厘米时，底边长=18﹣2×4=10；
则等腰三角形的三边长为4厘米4厘米、10厘米，不能构成三角形．
故等腰三角形另外两边的长为7厘米，7厘米．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【变式7-3】（23-24八年级上·广东惠州·阶段练习）已知a、b、c为的三边长．若为等腰三角形，且周长为16，已知，求b、c的值．
【答案】
【分析】对进行a为腰长或a为底边进行分类讨论，即可作答．
【详解】解：因为为等腰三角形，且周长为16，
所以当为腰长时，那么底边为，
因为，所以不能构成三角形，故为腰长舍去；
所以当为底边时，那么腰长为，
故4为底边，腰长为，符合三角形的三边关系，
则．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【题型8 由三角形的三边关系化简绝对值】
【例8】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知是的三条边长，化简的结果为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值．根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c是的三条边长，
∴，，
∴
．
故选：B．
【变式8-1】（23-24八年级下·黑龙江大庆·开学考试）已知三角形的三边长分别是3，x，9，则化简|x－5|＋|x－13|＝ ．
【答案】8
【分析】根据三边关系得到x的取值范围，再化简.
【详解】∵三角形的三边长分别是3、x、9，
∴6∴x 5>0，x 13<0，
∴|x 5|+|x 13|=x 5+13 x=8，
故答案为8.
【点睛】本题考查三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
【变式8-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知a、b、c为△ABC的三边，化简：＝ ．
【答案】3a-b．
【详解】试题分析：三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，则a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+2c＞0，
∴|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+2c|=a+b-c+（a-b-c）+（a-b+2c）=3a-b．
考点：1．三角形三边关系；2．绝对值；3．整式的加减．
【变式8-3】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）已知的三边分别为a,b,c．
(1)若为整数，求的周长．
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答．
【详解】（1）解：∵，
，即，
∵c为整数，
∴，的周长为．
（2）解：的三边长为a，b，c，
，
．
【题型9 由三角形的三边关系进行证明】
【例9】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知点O为内任意一点，证明：．
【答案】见解析
【分析】延长BO交AC于点D，根据三角形三边关系进行求解即可；
【详解】如图，延长BO交AC于点D．
在中，，①
在中，，②
①+②，得．
，
，
，③
同理可证，④ ，⑤
③+④+⑤，得，即．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，准确理解是解题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明．
【答案】，见解析
【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案．
【详解】证明：∵在中，，
在中，，
∴，
即，
∴
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键．
【变式9-2】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，中，是边上的中线，求证：．
【答案】见解析
【分析】可延长AM到D，使MD=AM，连CD，则△ABM≌△DCM得AB=CD，进而在△ACD中利用三角形三边关系，证之．
【详解】证明：如下图，延长到，使，连，
∵是边上的中线，
∴，
在△ABM和△DCM中，
∴，
∴，
在中，则，
即，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，关键是添加辅助线构造全等三角形．
【变式9-3】（23-24八年级上·湖北鄂州·期中）数学课本第29页复习题的第9题如下：
如图1，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得________，________．将不等式左边、右边分别相加，得________，即________．
(1)补全上面步骤；
(2)仿照图1的方法，请你利用图2，过P作直线交，于M，N，证明：．
【答案】(1)，， ，
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形三边关系；
（1）根据三角形三边关系进行解答即可；
（2）利用三角形三边关系进行证明即可．
解题的关键是熟练掌握三角形任意两边的和大于第三边．
【详解】（1）解：由三角形的两边之和大于第三边，得，，
将不等式两边相加得：，
即；
故答案为：；；；．
（2）解：在中，，
在中，
在中，，
将三个不等式相加得：，
即．
【题型10 三角形的三边关系的应用】
【例10】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两螺丝之间的距离最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查三角形的三边关系．要使两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，分为四种情况：①选、4、6作为三角形，②选、6、2作为三角形，③选、2、3作为三角形，④选、3、4作为三角形，分别在四种情况下应用三角形的三边关系进行分析即可．
【详解】解：已知四根木条的长分别为2、3、4、6．
①选、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6，
，
能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6，
，
能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3，
，
不能构成三角形，此种情况不成立；
④选、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4，
，
不能构成三角形，此种情况不成立．
综上所述，任两螺丝的距离值最大为7．
故选：C．
【变式10-1】（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小丽同学在池塘一侧选取了一点P，测得，那么点与点之间的距离不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，设，根据三角形的三边关系，即可求解．
【详解】解：设，，
∴
∴
∴点与点之间的距离不可能是，
故选：D．
【变式10-2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，沿虚线将正方形的一角剪掉后得到一个五边形．则五边形的周长比正方形的周长小，理由是 ．
【答案】三角形两边之和大于第三边
【分析】本题考查三角形三边关系的应用，掌握三角形两边之和大于第三边是解题关键．根据三角形两边之和大于第三边解答即可．
【详解】解：如图，
这个五边形的周长为，
正方形的周长为．
∵三角形两边之和大于第三边，
∴，
∴，即五边形的周长小于正方形的周长．
故答案为：三角形两边之和大于第三边．
【变式10-3】（23-24·江苏扬州·一模）如图①，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中左、右两侧长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的三棱柱形物体，则图中a的范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用．熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
由题意知，第三个长方形的宽为，依题意得，，计算求解然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，第三个长方形的宽为，
∵围成如图②所示的三棱柱形物体，
∴，，
解得，，
故选：C．
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