人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.3三角形的内角和定理【十大题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.3三角形的内角和定理【十大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 11:43:48 | ||
图片预览
文档简介
专题11.3 三角形的内角和定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 证明三角形内角和】 1
【题型2 由三角形内角和直接求角度】 3
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 4
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 4
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 5
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 7
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 8
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 9
【题型9 由直角三角形的性质求角度】 11
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】 12
知识点1：三角形的内角和定理
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【题型1 证明三角形内角和】
【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（ ）
①如图1，过点C作；
②如图2，过上一点D分别作，；
③如图3，延长到点F，过点C作；
④如图4，过点C作于点D．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．
A．★处填2 B．■处填1
C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义
【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．
已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）．
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【题型2 由三角形内角和直接求角度】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若为倍角三角形，，则 ．
【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将沿方向平移得到．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形中，点在上，与互余，且，试猜想与的位置关系，并说明理由．
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】
【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当时，该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定
【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）中，，请判断三角形的形状并证明．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】
【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，ABCD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．110° C．120° D．135°
【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片沿（D是斜边上一点）折叠，使点B落在点处，若，则的度数是 °．（用含的代数式表示）
【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 .
【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ．
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，、是的角平分线，与交于点，， （用含的代数式表示）.
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形．
(1)在中，，则为 倍角三角形．
(2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数．
(3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数．
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】
【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点．
①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个；
②若，求的度数；
③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，中，，点、分别在边、上，，则下面关于与的关系中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，
(1)求的度数．
(2)求与，的关系，并说明理由．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线外一点作，连接，，的平分线与交于点，点是线段上一动点（不与重合），连接．
(1)若，则_____________°，________________°；
(2)若，求证：；
(3)如图2，的平分线与交于点，连接，若，，试求之间的等量关系．
知识点2：直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
【题型9 由直角三角形的性质求角度】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ．
【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ．
【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 °．
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图， ，
求证： ．
证明：
【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题11.3 三角形的内角和定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 证明三角形内角和】 1
【题型2 由三角形内角和直接求角度】 6
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 8
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 10
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 13
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 18
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 22
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 26
【题型9 由直角三角形的性质求角度】 33
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】 37
知识点1：三角形的内角和定理
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【题型1 证明三角形内角和】
【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（ ）
①如图1，过点C作；
②如图2，过上一点D分别作，；
③如图3，延长到点F，过点C作；
④如图4，过点C作于点D．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案．
【详解】①∵，
∴，
∵，
∴，故①符合题意，
②∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故②符合题意，
③∵，
∴，
∵，
∴，故③符合题意，
④ ，
，
不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意，
故选：A．
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【答案】三角形内角和定理
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．
【详解】解：根据折叠的性质，，
∵，
∴，
∴定理为：三角形内角和定理．
故答案为：三角形内角和定理．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．
A．★处填2 B．■处填1
C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义
【答案】D
【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可．
【详解】证明：如图，过点C作．
∵（已知），
∴1，2（两直线平行，内错角相等）．
∵（平角定义），
∴（等量代换）．
故选D
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．
【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．
已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）．
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【答案】(1)、、是的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质：
（1）在外部，以为一边，作．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可；
（2）过点A作，根据平行线的性质°，由此证明即可．
【详解】（1）解：已知：如图，、、是的三个内角．
求证：．
证明：如图，作的延长线，在外部，以为一边，作．
所以，（内错角相等，两直线平行）．
所以，（两直线平行，同位角相等）．
因为，组成一个平角，
所以，（平角的定义），
所以，（等量代换）．
（2）证明：如图，过点A作，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等）．
（两直线平行，同旁内角互补）．
即．
∴．
【题型2 由三角形内角和直接求角度】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若为倍角三角形，，则 ．
【答案】或或或
【分析】该题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是分类讨论．
根据“倍角三角形”定义分为当时，当时，当时，当时，结合三角形内角和定理求解即可；
【详解】解：当时，；
当时，，；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
故答案为：或或或．
【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ．
【答案】/85度
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得，利用三角形内角和定理得出的度数，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将沿方向平移得到．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据图形平移，图形的大小不变，对应角、对应边相等即可求解．
【详解】解：根据题意，由平移的性质得：，
∴，
故选：B ．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形中，点在上，与互余，且，试猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，三角形内角和定理，根据，推出，进而得到，由，得到，从而得到，推出．
【详解】解：，理由见如下：
，
，
，
，
，
，
．
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】
【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当时，该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．利用三角形内角和定理得到，结合已知计算即可求解．
【详解】解：如图，且，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形的形状是直角三角形，
故选：B．
【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，根据在中，，可求出的度数，即可得出结论，熟知三角形内角和是是解答本题的关键．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵三角形的两个内角都小于30°，
∴这两个内角的和小于60°，
∵三个内角的和为180°，
∴另一个角大于120°，
∴这个三角形是钝角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）中，，请判断三角形的形状并证明．
【答案】是直角三角形，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，设，根据三角形内角和为180度建立方程，解方程求出x的值，进而求出，由此可得结论．
【详解】解；是直角三角形，证明如下；
∵，
∴可设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴是直角三角形．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】
【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
【详解】连接AC并延长交EF于点M．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，ABCD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．110° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】首先根据两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠D＝45°，然后由△AOB的内角和为180°，求出∠AOB的大小．
【详解】解：∵ABCD，
∴∠B＝∠D＝45°．
∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣45°＝110°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，根据平行线的性质得出∠B＝∠D＝45°是解题的关键，属于基础题型，比较简单．
【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ．
【答案】
【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．
【答案】76
【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．
【详解】解：过点C作，
，
，，
，
，
，
，
由题意可得为的角平分线，为的角平分线，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：76．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，，
∴
，
即，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片沿（D是斜边上一点）折叠，使点B落在点处，若，则的度数是 °．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，根据角度间关系可得，再根据折叠性质得到，最后推出，即可得出答案，理清角度间的数量关系是解题关键．
【详解】解：，
，
将直角三角形纸片沿（D是斜边上一点）折叠，使点B落在点处，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 .
【答案】/65度
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解．
【详解】解：将沿着折叠压平，与重合，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键．
【详解】由折叠的性质得：，
设，
∵，
∴，
由题意，分以下两种情况：
如图，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
即；
如图，当时，
∴，
∵，
∴，
解得，
即，
综上，的大小为或．
故答案为：或．
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数．
【详解】，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，、是的角平分线，与交于点，， （用含的代数式表示）.
【答案】
【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，先求出，再利用角平分线求出，再利用三角形内角和定理即可求出答案.
【详解】解：∵，
∴，
∵、是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据是边上的高，，即可得到，依据 ，平分，即可得到，再依据是的平分线，得到，可得，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴
故选：．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形．
(1)在中，，则为 倍角三角形．
(2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数．
(3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数．
【答案】(1)3
(2)或或或
(3)或
【分析】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义等知识，读懂新定义倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．
（1）由，可知，再根据倍角三角形的定义可得结论．
（2）先求出，，然后分四种情形分别求解即可．
（3）先证明，，然后分四种情形分别求解即可．
【详解】（1），，
，
，
为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵，
∴．
又∵平分，平分，
∴，
∴．
①当时，
∵，
∴；
②当时，
∵，
∴；
③当时，
∵，
∴；
④当时，
∵，
∴，
∴．
综上，在中当一个角是另一个角的2倍时，等于或或或；
（3）平分，平分，
，，
，
；
又平分，
①，
②；
得：．
若为3倍角三角形：
若，
，
，
；
若，
，
（不符合题意，舍去）；
若，
，
；
若，
，，
（不符合题意，舍去）；
综上所述，等于或时，为3倍角三角形．
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】
【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．
【详解】解：，
，
，
故答案为
【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握计算法则是解题关键.
【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】如图：
故答案选A
【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到为关键．
【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB．
【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠BOD=∠AOC，故②正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，
则∠AOC=∠BOC=45°，
故OC平分∠AOB，故④正确；
由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，
故①不正确；
综上，②③④正确，共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点．
①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个；
②若，求的度数；
③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①3；4；②③
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，，又因为和是对顶角，进而得出结论；
（2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案；
②根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理得出和，两式相加，最后得出，然后把代入计算即可得到答案；
③根据，得到，，再根据三角形内角和定理得出和，两式分别相减得到和，即可得到答案
【详解】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：①以线段为边的“8字型”有：以和共点M组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有3个；
以点为交点的“8字型”有：以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有4个；
故答案为：3；4；
②以点为交点的“8字型”中，有，
以点为交点的“8字型”中，有，
，
∵、分别平分和，
，
，
，
；
③
，，
，，
以点为交点的“8字型”中，有，
以点为交点的“8字型”中，有，
，
，
；
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180度，也考查了角平分线的定义，灵活运用所学知识是关键．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，中，，点、分别在边、上，，则下面关于与的关系中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出，再根据三角形内角和定理可得，，从而可得，即可求解．
【详解】解：，
，
，，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是正确利用和的内角关系．
【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，
(1)求的度数．
(2)求与，的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角形的内角和求得，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可；
（2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∴；
（2）解：∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线外一点作，连接，，的平分线与交于点，点是线段上一动点（不与重合），连接．
(1)若，则_____________°，________________°；
(2)若，求证：；
(3)如图2，的平分线与交于点，连接，若，，试求之间的等量关系．
【答案】(1)25，40；
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可求出，根据三角形的内角和定理即可求出；
（2）由平分得到，从而，再根据等角的余角相等即可得证；
（3）分两种情况讨论求解：①点在线段的左侧，②点在线段的右侧．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：25，40
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴；
（3）解：①当点在线段的左侧时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当点在线段的右侧时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴；
综上，之间的等量关系为：或
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
知识点2：直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
【题型9 由直角三角形的性质求角度】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出结果即可．
【详解】解：当为直角时，，
当为直角时，，
∵比的3倍还多，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ．
【答案】/110度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角的性质，余角性质，邻补角的性质，由直角三角形两锐角互余可得，，进而由余角性质可得，即可得到，再利用邻补角的性质即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长交于点M，可得在中，三边所在的高交于一点，即，由此即可解答．
【详解】解：延长交于点M，如图，
在中，三边所在的高交于一点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 °．
【答案】15°或105°或75°或165
【分析】根据题意画出四种情况，先根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC和∠DEF的度数，再分别求出∠ABD即可．
【详解】解：有四种情况：
第一种情况：如图1，
∵∠C=∠F=90°，∠A=60°，∠D=45°，
∴∠ABC=90°-∠A=30°，∠DBF=90°-∠D=45°，
∴∠ABD=∠DBF-∠ABC=45°-30°=15°；
第二种情况：如图2，
∵∠ABC=30°，∠DEF=45°，
∴∠ABD=1800°-∠ABC-∠DEF=180°-30°-45°=105°；
第三种情况：如图3，
∵∠ABC=30°，∠DEF=45°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DEF=30°+45°=75°；
第四种情况：如图4，
∵∠DEF=45°，
∴∠DBC=180°-∠DEF=135°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=30°+135°=165°；
∠ABD的度数是15°或105°或75°或165°，
故答案为：15°或105°或75°或165．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和三角形内角和定理，能正确画出符合的所有图形是解此题的关键．
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图， ，
求证： ．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】已知：在中，，
求证：是直角三角形，
证明：在中，（三角形三个内角的和等于）．
（等式性质）．
（已知），
（等量代换），
是直角三角形．
【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①因为，则，所以是直角三角形；
②因为，设，则，，，所以是直角三角形；
③因为，所以，则，所以是直角三角形；
④因为，所以，又，，解得，是直角三角形；
能确定是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：D．
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【答案】，，
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵和交于点E，
∴，
∴，，均为直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
【人教版】
【题型1 证明三角形内角和】 1
【题型2 由三角形内角和直接求角度】 3
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 4
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 4
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 5
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 7
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 8
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 9
【题型9 由直角三角形的性质求角度】 11
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】 12
知识点1：三角形的内角和定理
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【题型1 证明三角形内角和】
【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（ ）
①如图1，过点C作；
②如图2，过上一点D分别作，；
③如图3，延长到点F，过点C作；
④如图4，过点C作于点D．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．
A．★处填2 B．■处填1
C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义
【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．
已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）．
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【题型2 由三角形内角和直接求角度】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若为倍角三角形，，则 ．
【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ．
【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将沿方向平移得到．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形中，点在上，与互余，且，试猜想与的位置关系，并说明理由．
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】
【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当时，该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定
【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）中，，请判断三角形的形状并证明．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】
【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，ABCD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．110° C．120° D．135°
【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片沿（D是斜边上一点）折叠，使点B落在点处，若，则的度数是 °．（用含的代数式表示）
【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 .
【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ．
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，、是的角平分线，与交于点，， （用含的代数式表示）.
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形．
(1)在中，，则为 倍角三角形．
(2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数．
(3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数．
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】
【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ．
【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点．
①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个；
②若，求的度数；
③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，中，，点、分别在边、上，，则下面关于与的关系中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，
(1)求的度数．
(2)求与，的关系，并说明理由．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线外一点作，连接，，的平分线与交于点，点是线段上一动点（不与重合），连接．
(1)若，则_____________°，________________°；
(2)若，求证：；
(3)如图2，的平分线与交于点，连接，若，，试求之间的等量关系．
知识点2：直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
【题型9 由直角三角形的性质求角度】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ．
【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ．
【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 °．
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图， ，
求证： ．
证明：
【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题11.3 三角形的内角和定理【十大题型】
【人教版】
【题型1 证明三角形内角和】 1
【题型2 由三角形内角和直接求角度】 6
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】 8
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】 10
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】 13
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】 18
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】 22
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】 26
【题型9 由直角三角形的性质求角度】 33
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】 37
知识点1：三角形的内角和定理
（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．
（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
【题型1 证明三角形内角和】
【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（ ）
①如图1，过点C作；
②如图2，过上一点D分别作，；
③如图3，延长到点F，过点C作；
④如图4，过点C作于点D．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案．
【详解】①∵，
∴，
∵，
∴，故①符合题意，
②∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，故②符合题意，
③∵，
∴，
∵，
∴，故③符合题意，
④ ，
，
不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意，
故选：A．
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
【答案】三角形内角和定理
【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．
【详解】解：根据折叠的性质，，
∵，
∴，
∴定理为：三角形内角和定理．
故答案为：三角形内角和定理．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．
【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（ ）
已知：．求证：． 证明：如图，过点C作． ∵（已知）， ∴★，■（①）． ∵（②）， ∴（等量代换）．
A．★处填2 B．■处填1
C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义
【答案】D
【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可．
【详解】证明：如图，过点C作．
∵（已知），
∴1，2（两直线平行，内错角相等）．
∵（平角定义），
∴（等量代换）．
故选D
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．
【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．
已知：如图， ． 求证：． 证明：作的延长线，在外部，以为一边，作． 所以，（内错角相等，两直线平行）． 所以，（ ）． 因为，，，组成一个平角， 所以，（平角的定义）， 所以，（ ）．
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．
【答案】(1)、、是的三个内角；两直线平行，同位角相等；等量代换
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质：
（1）在外部，以为一边，作．根据平行线的判定与性质及平角定义求解即可；
（2）过点A作，根据平行线的性质°，由此证明即可．
【详解】（1）解：已知：如图，、、是的三个内角．
求证：．
证明：如图，作的延长线，在外部，以为一边，作．
所以，（内错角相等，两直线平行）．
所以，（两直线平行，同位角相等）．
因为，组成一个平角，
所以，（平角的定义），
所以，（等量代换）．
（2）证明：如图，过点A作，
∵，
∴（两直线平行，内错角相等）．
（两直线平行，同旁内角互补）．
即．
∴．
【题型2 由三角形内角和直接求角度】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若为倍角三角形，，则 ．
【答案】或或或
【分析】该题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是分类讨论．
根据“倍角三角形”定义分为当时，当时，当时，当时，结合三角形内角和定理求解即可；
【详解】解：当时，；
当时，，；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
故答案为：或或或．
【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若，，，则的度数为 ．
【答案】/85度
【分析】本题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质可得，利用三角形内角和定理得出的度数，即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将沿方向平移得到．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据图形平移，图形的大小不变，对应角、对应边相等即可求解．
【详解】解：根据题意，由平移的性质得：，
∴，
故选：B ．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形中，点在上，与互余，且，试猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】，理由见解析
【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，三角形内角和定理，根据，推出，进而得到，由，得到，从而得到，推出．
【详解】解：，理由见如下：
，
，
，
，
，
，
．
【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】
【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当时，该三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类．利用三角形内角和定理得到，结合已知计算即可求解．
【详解】解：如图，且，
∴，
∴，
∴，
∴该三角形的形状是直角三角形，
故选：B．
【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理，根据在中，，可求出的度数，即可得出结论，熟知三角形内角和是是解答本题的关键．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】解：∵三角形的两个内角都小于30°，
∴这两个内角的和小于60°，
∵三个内角的和为180°，
∴另一个角大于120°，
∴这个三角形是钝角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）中，，请判断三角形的形状并证明．
【答案】是直角三角形，证明见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，设，根据三角形内角和为180度建立方程，解方程求出x的值，进而求出，由此可得结论．
【详解】解；是直角三角形，证明如下；
∵，
∴可设，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴是直角三角形．
【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】
【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
【详解】连接AC并延长交EF于点M．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，ABCD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（ ）
A．90° B．110° C．120° D．135°
【答案】B
【分析】首先根据两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠D＝45°，然后由△AOB的内角和为180°，求出∠AOB的大小．
【详解】解：∵ABCD，
∴∠B＝∠D＝45°．
∵∠A+∠AOB+∠B＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣45°＝110°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，根据平行线的性质得出∠B＝∠D＝45°是解题的关键，属于基础题型，比较简单．
【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为 ．
【答案】
【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解，
本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为 ．
【答案】76
【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值．
【详解】解：过点C作，
，
，，
，
，
，
，
由题意可得为的角平分线，为的角平分线，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：76．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】
【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意，，
∴
，
即，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片沿（D是斜边上一点）折叠，使点B落在点处，若，则的度数是 °．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了三角形折叠中的角度问题，根据角度间关系可得，再根据折叠性质得到，最后推出，即可得出答案，理清角度间的数量关系是解题关键．
【详解】解：，
，
将直角三角形纸片沿（D是斜边上一点）折叠，使点B落在点处，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张的纸片，点，分别在边，上，将沿着折叠压平，与重合，若，则 .
【答案】/65度
【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．由折叠可得，，进而可得，结合，可得，即可求解．
【详解】解：将沿着折叠压平，与重合，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在中，，，D是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点E处，当平行于的边时，的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠问题，三角形的内角和等知识点，分两种情况，和，分别画出图形，再利用平行线的性质求解即可，正确分类并画出图形是解题的关键．
【详解】由折叠的性质得：，
设，
∵，
∴，
由题意，分以下两种情况：
如图，当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
即；
如图，当时，
∴，
∵，
∴，
解得，
即，
综上，的大小为或．
故答案为：或．
【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】
【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，中，，，平分，于D，，则的度数 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和以及角平分线的定义是解题的关键．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数．
【详解】，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，、是的角平分线，与交于点，， （用含的代数式表示）.
【答案】
【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和定理，先求出，再利用角平分线求出，再利用三角形内角和定理即可求出答案.
【详解】解：∵，
∴，
∵、是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，中，是边上的高，分别是、的平分线， ，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质，依据是边上的高，，即可得到，依据 ，平分，即可得到，再依据是的平分线，得到，可得，熟练掌握三角形内角和定理以及角平分线定义的运用是解题的关键．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴
故选：．
【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称为n倍角三角形．例如，，可知，所以为2倍角三角形．
(1)在中，，则为 倍角三角形．
(2)如图1，直线与直线相交于O，；已知、的角平分线交于点C，在中，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数．
(3)如图2，直线⊥直线于点O，点A、点B分别在射线上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、．若为3倍角三角形，试求的度数．
【答案】(1)3
(2)或或或
(3)或
【分析】本题考查三角形的内角和定理，余角的意义等知识，读懂新定义倍角三角形的意义和分类讨论是解决问题的基础和关键．
（1）由，可知，再根据倍角三角形的定义可得结论．
（2）先求出，，然后分四种情形分别求解即可．
（3）先证明，，然后分四种情形分别求解即可．
【详解】（1），，
，
，
为3倍角三角形，
故答案为：3；
（2）解：∵，
∴．
又∵平分，平分，
∴，
∴．
①当时，
∵，
∴；
②当时，
∵，
∴；
③当时，
∵，
∴；
④当时，
∵，
∴，
∴．
综上，在中当一个角是另一个角的2倍时，等于或或或；
（3）平分，平分，
，，
，
；
又平分，
①，
②；
得：．
若为3倍角三角形：
若，
，
，
；
若，
，
（不符合题意，舍去）；
若，
，
；
若，
，，
（不符合题意，舍去）；
综上所述，等于或时，为3倍角三角形．
【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】
【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：
①如果，则；
②；
③如果，则；
④如果，则．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴，故①正确；
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正确；
∵，∠B＝45°，
∴∠3＝∠B＝45°，
∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，
∴∠2＝45°，故③错误；
∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAE＝30°，
∵∠E＝60°，
∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，
∴∠4+∠B＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠4＝45°，
∵∠C＝45°，
∴∠4＝∠C，故④正确；
所以其中正确的结论有①②④共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AE∥BC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．
【详解】解：，
，
，
故答案为
【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握计算法则是解题关键.
【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理即可求出．
【详解】如图：
故答案选A
【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到为关键．
【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOB
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据同角的余角相等可得∠AOC=∠BOD；根据三角形的内角和即可得出∠AOC-∠CEA=15°；根据角平分线的定义可判定OC平分∠AOB．
【详解】解：∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB，
即∠BOD=∠AOC，故②正确；
如图，AB与OC交于点P，
∵∠CPE=∠APO，∠C=45°，∠A=30°，∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°，
∴∠AOC-∠CEA=15°．故③正确；
如果OB平分∠DOC，则∠DOB=∠BOC=45°，
则∠AOC=∠BOC=45°，
故OC平分∠AOB，故④正确；
由②知：∠AOC＝∠BOD，故当∠AOC=∠BOD=45°时，∠AOC＋∠BOD＝90°成立，否则不成立，
故①不正确；
综上，②③④正确，共3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了余角以及三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知余角的性质以及三角形内角和是180°是解答此题的关键．
【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】
【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点．
①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个；
②若，求的度数；
③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①3；4；②③
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，，又因为和是对顶角，进而得出结论；
（2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案；
②根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理得出和，两式相加，最后得出，然后把代入计算即可得到答案；
③根据，得到，，再根据三角形内角和定理得出和，两式分别相减得到和，即可得到答案
【详解】（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：①以线段为边的“8字型”有：以和共点M组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有3个；
以点为交点的“8字型”有：以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有4个；
故答案为：3；4；
②以点为交点的“8字型”中，有，
以点为交点的“8字型”中，有，
，
∵、分别平分和，
，
，
，
；
③
，，
，，
以点为交点的“8字型”中，有，
以点为交点的“8字型”中，有，
，
，
；
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180度，也考查了角平分线的定义，灵活运用所学知识是关键．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，中，，点、分别在边、上，，则下面关于与的关系中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出，再根据三角形内角和定理可得，，从而可得，即可求解．
【详解】解：，
，
，，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是正确利用和的内角关系．
【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，
(1)求的度数．
(2)求与，的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角形的内角和求得，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可；
（2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴，
∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∴；
（2）解：∵，分别是的高和角平分线，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线外一点作，连接，，的平分线与交于点，点是线段上一动点（不与重合），连接．
(1)若，则_____________°，________________°；
(2)若，求证：；
(3)如图2，的平分线与交于点，连接，若，，试求之间的等量关系．
【答案】(1)25，40；
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义即可求出，根据三角形的内角和定理即可求出；
（2）由平分得到，从而，再根据等角的余角相等即可得证；
（3）分两种情况讨论求解：①点在线段的左侧，②点在线段的右侧．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
故答案为：25，40
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∵
∴；
（3）解：①当点在线段的左侧时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当点在线段的右侧时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴；
综上，之间的等量关系为：或
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，三角形的内角和定理，综合运用相关知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
知识点2：直角三角形的性质与判定
（1）直角三角形的两个锐角互余．
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形．
【提示】直角三角形的性质和判定的应用思路：
（1）见直角三角形，可得两锐角互余．
（2）见两角互余，可得直角三角形．
【题型9 由直角三角形的性质求角度】
【例9】（23-24八年级·河南郑州·期中）在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出结果即可．
【详解】解：当为直角时，，
当为直角时，，
∵比的3倍还多，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
【变式9-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ．
【答案】/110度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角的性质，余角性质，邻补角的性质，由直角三角形两锐角互余可得，，进而由余角性质可得，即可得到，再利用邻补角的性质即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：如图，∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式9-2】（23-24八年级·湖南株洲·期中）如图，在中，，，于D，于E，与交于H，则 ．
【答案】
【分析】本题考查直角三角形两个锐角互余，三角形的高的性质等知识，延长交于点M，可得在中，三边所在的高交于一点，即，由此即可解答．
【详解】解：延长交于点M，如图，
在中，三边所在的高交于一点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【变式9-3】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，有一副三角板ABC与DEF，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝60°，∠D＝45°，在一平面内将这副三角板进行拼摆，使得点B、E重合，且点B、C、F三点在同一直线上，则∠ABD的度数是 °．
【答案】15°或105°或75°或165
【分析】根据题意画出四种情况，先根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC和∠DEF的度数，再分别求出∠ABD即可．
【详解】解：有四种情况：
第一种情况：如图1，
∵∠C=∠F=90°，∠A=60°，∠D=45°，
∴∠ABC=90°-∠A=30°，∠DBF=90°-∠D=45°，
∴∠ABD=∠DBF-∠ABC=45°-30°=15°；
第二种情况：如图2，
∵∠ABC=30°，∠DEF=45°，
∴∠ABD=1800°-∠ABC-∠DEF=180°-30°-45°=105°；
第三种情况：如图3，
∵∠ABC=30°，∠DEF=45°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DEF=30°+45°=75°；
第四种情况：如图4，
∵∠DEF=45°，
∴∠DBC=180°-∠DEF=135°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=30°+135°=165°；
∠ABD的度数是15°或105°或75°或165°，
故答案为：15°或105°或75°或165．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和三角形内角和定理，能正确画出符合的所有图形是解此题的关键．
【题型10 锐角互余的三角形是直角三角形】
【例10】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴是直角三角形．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·期中）证明：有两个角互余的三角形是直角三角形．
已知：如图， ，
求证： ．
证明：
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】已知：在中，，
求证：是直角三角形，
证明：在中，（三角形三个内角的和等于）．
（等式性质）．
（已知），
（等量代换），
是直角三角形．
【变式10-2】（23-24八年级·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：①因为，则，所以是直角三角形；
②因为，设，则，，，所以是直角三角形；
③因为，所以，则，所以是直角三角形；
④因为，所以，又，，解得，是直角三角形；
能确定是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：D．
【变式10-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，平分，平分，和交于点E．写出图中所有的直角三角形（不要求证明）．
【答案】，，
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理证得即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵和交于点E，
∴，
∴，，均为直角三角形．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，涉及平行线的性质、角平分线的定义、邻补角、锐角互余的三角形是直角三角形等知识，熟练掌握锐角互余的三角形是直角三角形是解答的关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)