人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.2三角形的高、中线与角平分线【十大题型】(学生版+解析)
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| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题11.2三角形的高、中线与角平分线【十大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 11:28:11 | ||
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文档简介
专题11.2 三角形的高、中线与角平分线【十大题型】
【人教版】
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】 1
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】 3
【题型3 网格中计算三角形的面积】 4
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】 5
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】 7
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】 8
【题型7 与角平分线有关的角度计算】 9
【题型8 应用等面积法求线段长】 10
【题型9 探究三角形的边、角、线】 12
【题型10 三角形的稳定性】 13
知识点：三角形的高、中线与角平分线
(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】
【例1】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（ ）
A．直角三角形的高只有一条
B．三角形的高至少有一条在三角形内部
C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
D．钝角三角形的三条高都在三角形外部
【变式1-2】（23-24·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线
C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线
【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】
【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高：
(2)画出中边上的中线；
(3)求的面积．
【变式2-1】（23-24八年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，下列关于高的说法正确的是（ ）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【变式2-2】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)通过观察，可以发现是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或针角三角形
(2)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线；
(3)的面积为______，的面积为_____．
【变式2-3】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线AC、线段BC、射线BA；
（2）画出△ABC的高CD，角平分线BE，中线AF
【题型3 网格中计算三角形的面积】
【例3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【变式3-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形的面积为 ．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·竞赛）图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．
【变式3-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】
【例4】（23-24八年级下·河南南阳·期末）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【变式4-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【变式4-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，D是边的中点，，若的面积为12，则的面积为 ．
【变式4-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
【问题思考】
（1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）；
（2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）；
【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整：
∵，
∴_________（由问题2的结论得）
∴_________，
即_________，
∵是的中点，
∴_________（由问题1的结论得）
∴平分的面积，即平分四边形的面积．
【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线．
请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】
【例5】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【变式5-1】（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中是的中线，是的中线．
(1)若，求的长；
(2)若的周长为，且与的周长差为3，求的长．
【变式5-2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，．
(1)与的周长差为_______cm．
(2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长．
【变式5-3】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ．
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】
【例6】（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ．
【变式6-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是中点，是中点，连接、，若与的面积差为6，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，点是的中点，、相交于点，若的面积为3，则的面积为 ．
【变式6-3】（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）若点 G 为的重心（ 的三条中线的交点），，若 ，则 面积的最大值是（ ）
A．2 B．8 C．4 D．6
【题型7 与角平分线有关的角度计算】
【例7】（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H．
（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数．
（2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数．
【变式7-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO=CO，若∠BOC=100°，那么∠BAO 等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式7-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为( )
A．70° B．80°
C．50° D．55°
【变式7-3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
【题型8 应用等面积法求线段长】
【例8】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践
问题情境 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．
【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________．
【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时．
①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
②当，，时，线段的长为________．
【变式8-1】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示已知，分别是的高和中线，，，，．试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)与的周长的差
【变式8-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段长度的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【题型9 探究三角形的边、角、线】
【例9】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，且的面积为27，求的面积．
【变式9-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
【变式9-2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.
(1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.
【变式9-3】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，，，，是的角平分线．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)试说明；
(3)试说明是的角平分线．
知识点2:三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中.
【题型10 三角形的稳定性】
【例10】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【变式10-1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是 条．
【变式10-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24八年级上·全国·课后作业）小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．
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专题11.2 三角形的高、中线与角平分线【十大题型】
【人教版】
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】 2
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】 4
【题型3 网格中计算三角形的面积】 8
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】 11
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】 16
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】 21
【题型7 与角平分线有关的角度计算】 24
【题型8 应用等面积法求线段长】 28
【题型9 探究三角形的边、角、线】 33
【题型10 三角形的稳定性】 38
知识点：三角形的高、中线与角平分线
(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】
【例1】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥．
【详解】解：是的中线，
，
故④正确，符合题意；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定，
与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意；
∵，是高，
∴
∴，故⑥正确
综上，符合题意的有4个，
故选：C
【变式1-1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（ ）
A．直角三角形的高只有一条
B．三角形的高至少有一条在三角形内部
C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
D．钝角三角形的三条高都在三角形外部
【答案】B
【分析】本题考查三角形的高，中线，角平分线的概念．根据题意，逐项判断即可．
【详解】解：A.直角三角形的高有3条，不是只有1条，此项错误；
B.三角形的高至少有一条在三角形内部，此项正确；
C.三角形的角平分线，中线在三角形内部，但三角形的高可能在三角形的外部，此项错误；
D.钝角三角形有2条高在三角形的外部，有1条在三角形内部，此项错误．
故选：B．
【变式1-2】（23-24·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线
C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线
【答案】C
【分析】由折叠的性质可求解．
【详解】解：当与重合时，折痕是的角平分线；
当点A与点B重合时，折叠是的中垂线，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．
【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 是的中线， ，原结论正确，不符合题意；
B、 是的角平分线， ，原结论正确，不符合题意；
C、 是的中线， ， ，原结论错误，符合题意；
D、 是的高， ，原结论正确，不符合题意；
故选：C．
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】
【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高：
(2)画出中边上的中线；
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)
【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键．
（1）延长，过A作与D，即可得到答案．
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案．
（3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图，即为所求：
（2）如下图，即为所求
（3），
∴．
【变式2-1】（23-24八年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，下列关于高的说法正确的是（ ）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键．
根据三角形的高的定义对各选项进行分析即可．
【详解】A． 于点， 中，线段是边上的高，故本选项不符合题意；
B． 于点， 中，线段是边上的高，故本选项不符合题意；
C． 于点， 中，线段是边上的高，故本选项不符合题意；
D． 于点， 中，线段是边上的高，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2-2】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)通过观察，可以发现是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或针角三角形
(2)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线；
(3)的面积为______，的面积为_____．
【答案】(1)C
(2)作图见解析
(3)12，6
【分析】（1）根据给定的三角形，结合三角形在格点的位置，得出为直角，进而可得答案；
（2）根据为线段的中点，为的平分线，结合格点确定的位置，然后作图即可；
（3）割补法求的面积，根据，求的面积即可．
【详解】（1）解：由格点可知，，
∴是直角三角形，
故选：C；
（2）解：∵为线段的中点，作图如下，
由（1）可知，为的平分线，作图如下：
（3）解：由题意知，
∴，
故答案为：12，6．
【点睛】本题考查了中线，角平分线，三角形与格点等知识．熟练掌握知识并灵活运用是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线AC、线段BC、射线BA；
（2）画出△ABC的高CD，角平分线BE，中线AF
【答案】答案见解析
【详解】试题分析：根据线段、射线、直线、高线、中线和角平分线的画法进行画图.
试题解析：
考点：直线、射线、线段、高线、角平分线、中线的画法.
【题型3 网格中计算三角形的面积】
【例3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】C
【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形的面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，点A到的距离，
∴三角形的面积为．
故答案为10．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·竞赛）图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查不规则图形面积求法．根据题意画出轨迹图，再利用补全法即可求得本题答案．
【详解】解：轨迹图形如图所示，
，
图形面积为：．
故答案为：10．
【变式3-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积是解题的关键．利用面积公式找到其中一个，做平行线即可得到所有满足的点．
【详解】解：根据题意画出，
满足条件的格点6个，
故选D．
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】
【例4】（23-24八年级下·河南南阳·期末）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积，
【详解】（1）3∶4；
解：如图，过点A作，
则
．
（2）和是等高三角形，
，
；
和是等高三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
【变式4-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，连接，设，根据三角形中线的性质得出，，根据得出，最后根据的面积等于18即可求出的值，于是问题得解．
【详解】解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于18，
∴，
∴，
即与的面积和等于8，
故选：C．
【变式4-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，D是边的中点，，若的面积为12，则的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的面积，关键是中线的性质，利用高相等，底边的比就是面积比是常用的求面积的方法．
根据三角形的中线平分面积，以及同高三角形面积比等于底边比，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与共高，
∴，
∴，
∴，
∵D是边的中点，
同理可得：，
∴，
故答案为：5．
【变式4-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
【问题思考】
（1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）；
（2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）；
【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整：
∵，
∴_________（由问题2的结论得）
∴_________，
即_________，
∵是的中点，
∴_________（由问题1的结论得）
∴平分的面积，即平分四边形的面积．
【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线．
请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．
【答案】【问题思考】，；【深入思考】；；；；【推广探究】证明见解析
【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积，
【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论；
（2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论；
【深入思考】根据问题思考的结论即可得证；
【推广探究】根据问题思考的结论即可得证；
理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键．
【问题思考】解：（1）∵是的中线，
∴，
∴和等底同高，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴和同底同高，
∴，
故答案为：；
【深入思考】证明：∵，
∴（由问题2的结论得）
∴，
即，
∵是的中点，
∴（由问题1的结论得）
∴平分的面积，即平分四边形的面积；
【推广探究】证明：∵点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴直线平分四边形的面积，
则直线即为所求直线．
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】
【例5】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【分析】点是边上的中点可得，再由的周长为20可得，从而得到，最后由三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】解：点是边上的中点，
，
的周长为20，
，
，
，
的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查了与三角形的中线有关的计算，求出是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中是的中线，是的中线．
(1)若，求的长；
(2)若的周长为，且与的周长差为3，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据三角形中线性质可以求出结果；
（）根据是的中线，与的周长差为得出，再由的周长为，即可求解；
本题考查了三角形中线的性质，根据题意找到，的关系是解答本题的关键．
【详解】（1）∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴；
（2）∵是的中线，与的周长差为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴．
【变式5-2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，．
(1)与的周长差为_______cm．
(2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；
（2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
与的周长差：
（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，
当的周长-四边形的周长时，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
四边形的周长-当的周长时，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
综上，线段的长为或．
【变式5-3】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ．
【答案】 或
【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解；
分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可；
本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵是的中点，
∴，
∴的周长的周长，
故答案为：；
如图，设，则，
当四边形的周长的周长时，
即，
整理得，，
∴，
解得；
当的周长四边形的周长时，
即，
整理得，
∴，
解得；
∴或，
故答案为：或．
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】
【例6】（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系分别求出、、、、、，即可求出的面积．
【详解】解：如图，连接、、，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
【变式6-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是中点，是中点，连接、，若与的面积差为6，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中线与面积的关系，由三角形中线的性质得出，由与的面积差为6得，由是中点得，故可得结论．
【详解】解：∵是中点，
∴是的边上的中线，
∴，
∵是中点，
∴是的边上的中线，
∴，
∵与的面积差为6，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，点是的中点，、相交于点，若的面积为3，则的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的面积，注意：同底（等底）同高（等高）的两个三角形的面积相等，同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于底边的比．根据三角形中线的性质得出，，设，用含的代数式表示、、的面积，从而列出，求解即可．
【详解】解：点是的中点，
，，
的面积为3，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的面积为8，
故答案为：8．
【变式6-3】（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）若点 G 为的重心（ 的三条中线的交点），，若 ，则 面积的最大值是（ ）
A．2 B．8 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线与面积的关系，由三角形的面积关系可证，即可求解．掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键．
【详解】解：点为的三条中线的交点，
，是的中线，
，，，
即，
，
，
，
，
，
当时，面积有最大值，
∵，
面积的最大值，
故选C．
【题型7 与角平分线有关的角度计算】
【例7】（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H．
（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数．
（2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数．
【答案】（1）110°；（2）125°.
【详解】试题分析：（1）已知BE⊥AC，CD⊥AB，根据直角三角形的两锐角互余可求得∠EBC、∠DCB的度数，在△BHC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠BHC的度数；（2）已知BE、CD平分∠ABC和∠ACB，根据角平分线的都有可求得∠EBC、∠DCB的度数，在△BHC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠BHC的度数.
试题解析：
（1）∵BE⊥AC，∠ACB=70°，
∴∠EBC=90°﹣70°=20°，
∵CD⊥AB，∠ABC=40°，
∴∠DCB=90°﹣40°=50°，
∴∠BHC=180°﹣20°﹣50°=110°．
（2）∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠EBC=20°，
∵DC平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴∠DCB=35°，
∴∠BHC=180°﹣20°﹣35°=125°.
点睛：本题考查三角形内角和定理、三角形的高、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
【变式7-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO=CO，若∠BOC=100°，那么∠BAO 等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【详解】试题解析：在△OBC中，∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-100°=80°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=2×80°=160°，
在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-160°=20°．
∴∠BAO=∠A=.
故选A.
【变式7-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为( )
A．70° B．80°
C．50° D．55°
【答案】B
【详解】连接BC.
∵∠BDC=140°，
∴∠DBC+∠DCB=180° 140°=40°，
∵∠BGC=110°，
∴∠GBC+∠GCB=180° 110°=70°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD=∠ABD+∠ACD=30°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=180° 100°=80°.
故选：B.
点睛：此题主要考查学生对三角形角平分线的定义及三角形内角和定理的综合运用.
【变式7-3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
【答案】20°或60°．
【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．
【详解】如图所示，当∠BFD=90°时，
∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；
如图，当∠BDF=90°时，
同理可得∠BAD=30°．
∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，
∴∠BFD=∠BCE=50°，
∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，
综上所述：∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
【题型8 应用等面积法求线段长】
【例8】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践
问题情境 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．
【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________．
【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时．
①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
②当，，时，线段的长为________．
【答案】（1）；（2）（1）中的数量关系仍然成立．证明见解析；（3）①；②6
【分析】（1）由题意得出，则得出，可证出结论；
（2）方法同（1）可得出结论；
（3）①根据可得出结论；
②由三角形面积求出，则可得出答案．
【详解】解：（1），，，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）（1）中的数量关系仍然成立．
证明：，，，
，
，
，
．
（3）①，，，
，
，
，
；
②，，
，
，
由①可知，
，
故答案为：6．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形高的性质，三角形的面积，熟练掌握等积法是解题的关键．
【变式8-1】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示已知，分别是的高和中线，，，，．试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)与的周长的差
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用“面积法”来求线段的长度；
（2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可；
（3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值．
【详解】（1）解：，是边上的高，
，
，
即的长度为；
（2）解：如图，是直角三角形，，，，
．
又是边的中线，
．
的面积是．
（3）解：为边上的中线，
，
的周长的周长，
即和的周长的差是．
【点睛】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质．
【变式8-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段长度的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】此题考查三角形中线及垂线段最短问题，关键是根据三角形中线的性质利用面积公式得出解答．连接，过点作于，根据三角形中线的性质利用面积公式得出，进而利用距离最短解答即可．
【详解】解：连接，过点作于，
，分别是、的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
点到直线的距离垂线段最短，
，
的最小值为5，
故选：C
【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键．
连接，利用三角形中线的性质依次求出，，与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值．
【详解】解：连接，如图，
∵点为的中点，
∴，
∵为的中线，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得，
作于点，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值是；
故选：C．
【题型9 探究三角形的边、角、线】
【例9】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，且的面积为27，求的面积．
【答案】(1)平行，详见解析
(2)4
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，因此，由此可得．
（2）由，中上的高与中上高相同，可得，因此，由此可求出．同理可求出，，即可求出的面积．
【详解】（1）理由如下：
平分，平分，
．
，
，
，
．
（2），中上的高与中上高相同，
，
．
，中上的高与中上的高相同，
，
．
，中上的高与中上的高相同，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质、以及高相同的两个三角形的面积之比等于底边长之比，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
【答案】是，理由见解析
【详解】试题分析：
由DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDA=∠DAF，∠FDA=∠EAD，再结合∠EAD=∠FAD，就可得∠EDA=∠FDA，从而得到DO平分∠EDF.
试题解析：
DO是∠EDF的角平分线，理由如下：
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDA=∠FAD，∠FDA=∠EAD.
∴∠EDA=∠FDA，
∴DO是∠EDF的角平分线.
【变式9-2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.
(1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）5°；（2）∠ DAE =(∠C-∠B). 证明见解析．
【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=∠CAB=35°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°-∠C=30°，然后利用∠DAE=∠CAD-∠CAE计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C-∠B的关系．
【详解】(1)在△ABC中,∵∠B=50°,∠C=60°,
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°.
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=35°.
又∵AE是BC上的高,
∴∠AEC=90°.
在△CAE中,∠CAE=90°-∠C=90°-60°=30°,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°.
（2）∠ DAE =(∠C-∠B).
证明如下：
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=90°-∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC.
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠DAC=(180°-∠B-∠C) ，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC
=(180°-∠B-∠C) - (90°-∠C)
=(∠C-∠B)
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式9-3】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，，，，是的角平分线．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)试说明；
(3)试说明是的角平分线．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）首先根据平行线的性质，可证得，进而证明，再根据平行线的判定即可证得；
（2）根据是的角平分线可得到的度数，再根据，即可得到的度数，进而即可得到；
（3）根据平行线的性质得到，即可得到是的角平分线．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵(已知)，
∴(两直线平行，内错角相等)，
又∵，(已知)，
∴ (等量代换)，
∴ (同位角相等，两直线平行)；
（2）解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线是的角平分线．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键在于结合角平分线的定义并熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
知识点2:三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中.
【题型10 三角形的稳定性】
【例10】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．模型中三角形架子是其主要结构，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是三角形具有稳定性，
故选：A．
【变式10-1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是 条．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形具有稳定性．根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴连接四边形的一条对角线，即可得到两个三角形，
故答案为：1．
【变式10-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的稳定性，熟记三角形的稳定性是解本题的关键．根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断．
【详解】A、具有稳定性，故此选项不合题意；
B、不具有稳定性，故此选项符合题意；
C、具有稳定性，故此选项不合题意；
D、具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式10-3】（23-24八年级上·全国·课后作业）小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．
【答案】答案见解析．
【详解】试题分析：根据三角形具有稳定性进行画图即可．
解：如图所示：
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【人教版】
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】 1
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】 3
【题型3 网格中计算三角形的面积】 4
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】 5
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】 7
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】 8
【题型7 与角平分线有关的角度计算】 9
【题型8 应用等面积法求线段长】 10
【题型9 探究三角形的边、角、线】 12
【题型10 三角形的稳定性】 13
知识点：三角形的高、中线与角平分线
(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】
【例1】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1-1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（ ）
A．直角三角形的高只有一条
B．三角形的高至少有一条在三角形内部
C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
D．钝角三角形的三条高都在三角形外部
【变式1-2】（23-24·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线
C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线
【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】
【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高：
(2)画出中边上的中线；
(3)求的面积．
【变式2-1】（23-24八年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，下列关于高的说法正确的是（ ）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【变式2-2】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)通过观察，可以发现是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或针角三角形
(2)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线；
(3)的面积为______，的面积为_____．
【变式2-3】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线AC、线段BC、射线BA；
（2）画出△ABC的高CD，角平分线BE，中线AF
【题型3 网格中计算三角形的面积】
【例3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【变式3-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形的面积为 ．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·竞赛）图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．
【变式3-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】
【例4】（23-24八年级下·河南南阳·期末）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【变式4-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【变式4-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，D是边的中点，，若的面积为12，则的面积为 ．
【变式4-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
【问题思考】
（1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）；
（2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）；
【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整：
∵，
∴_________（由问题2的结论得）
∴_________，
即_________，
∵是的中点，
∴_________（由问题1的结论得）
∴平分的面积，即平分四边形的面积．
【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线．
请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】
【例5】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【变式5-1】（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中是的中线，是的中线．
(1)若，求的长；
(2)若的周长为，且与的周长差为3，求的长．
【变式5-2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，．
(1)与的周长差为_______cm．
(2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长．
【变式5-3】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ．
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】
【例6】（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ．
【变式6-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是中点，是中点，连接、，若与的面积差为6，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，点是的中点，、相交于点，若的面积为3，则的面积为 ．
【变式6-3】（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）若点 G 为的重心（ 的三条中线的交点），，若 ，则 面积的最大值是（ ）
A．2 B．8 C．4 D．6
【题型7 与角平分线有关的角度计算】
【例7】（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H．
（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数．
（2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数．
【变式7-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO=CO，若∠BOC=100°，那么∠BAO 等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【变式7-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为( )
A．70° B．80°
C．50° D．55°
【变式7-3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
【题型8 应用等面积法求线段长】
【例8】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践
问题情境 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．
【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________．
【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时．
①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
②当，，时，线段的长为________．
【变式8-1】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示已知，分别是的高和中线，，，，．试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)与的周长的差
【变式8-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段长度的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【题型9 探究三角形的边、角、线】
【例9】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，且的面积为27，求的面积．
【变式9-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
【变式9-2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.
(1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.
【变式9-3】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，，，，是的角平分线．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)试说明；
(3)试说明是的角平分线．
知识点2:三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中.
【题型10 三角形的稳定性】
【例10】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【变式10-1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是 条．
【变式10-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（23-24八年级上·全国·课后作业）小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．
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专题11.2 三角形的高、中线与角平分线【十大题型】
【人教版】
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】 2
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】 4
【题型3 网格中计算三角形的面积】 8
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】 11
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】 16
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】 21
【题型7 与角平分线有关的角度计算】 24
【题型8 应用等面积法求线段长】 28
【题型9 探究三角形的边、角、线】 33
【题型10 三角形的稳定性】 38
知识点：三角形的高、中线与角平分线
(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】
【例1】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥．
【详解】解：是的中线，
，
故④正确，符合题意；
是角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确，符合题意；
，，
，
故③正确，符合题意；
由已知条件不能确定，
与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；
∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意；
∵，是高，
∴
∴，故⑥正确
综上，符合题意的有4个，
故选：C
【变式1-1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（ ）
A．直角三角形的高只有一条
B．三角形的高至少有一条在三角形内部
C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
D．钝角三角形的三条高都在三角形外部
【答案】B
【分析】本题考查三角形的高，中线，角平分线的概念．根据题意，逐项判断即可．
【详解】解：A.直角三角形的高有3条，不是只有1条，此项错误；
B.三角形的高至少有一条在三角形内部，此项正确；
C.三角形的角平分线，中线在三角形内部，但三角形的高可能在三角形的外部，此项错误；
D.钝角三角形有2条高在三角形的外部，有1条在三角形内部，此项错误．
故选：B．
【变式1-2】（23-24·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线
C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线
【答案】C
【分析】由折叠的性质可求解．
【详解】解：当与重合时，折痕是的角平分线；
当点A与点B重合时，折叠是的中垂线，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．
【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、 是的中线， ，原结论正确，不符合题意；
B、 是的角平分线， ，原结论正确，不符合题意；
C、 是的中线， ， ，原结论错误，符合题意；
D、 是的高， ，原结论正确，不符合题意；
故选：C．
【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】
【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上．
(1)画出中边上的高：
(2)画出中边上的中线；
(3)求的面积．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)
【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键．
（1）延长，过A作与D，即可得到答案．
（2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案．
（3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息，即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图，即为所求：
（2）如下图，即为所求
（3），
∴．
【变式2-1】（23-24八年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，下列关于高的说法正确的是（ ）
A．线段是边上的高 B．线段是边上的高
C．线段是边上的高 D．线段是边上的高
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键．
根据三角形的高的定义对各选项进行分析即可．
【详解】A． 于点， 中，线段是边上的高，故本选项不符合题意；
B． 于点， 中，线段是边上的高，故本选项不符合题意；
C． 于点， 中，线段是边上的高，故本选项不符合题意；
D． 于点， 中，线段是边上的高，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2-2】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．
(1)通过观察，可以发现是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或针角三角形
(2)仅利用无刻度的直尺画出的中线与角平分线；
(3)的面积为______，的面积为_____．
【答案】(1)C
(2)作图见解析
(3)12，6
【分析】（1）根据给定的三角形，结合三角形在格点的位置，得出为直角，进而可得答案；
（2）根据为线段的中点，为的平分线，结合格点确定的位置，然后作图即可；
（3）割补法求的面积，根据，求的面积即可．
【详解】（1）解：由格点可知，，
∴是直角三角形，
故选：C；
（2）解：∵为线段的中点，作图如下，
由（1）可知，为的平分线，作图如下：
（3）解：由题意知，
∴，
故答案为：12，6．
【点睛】本题考查了中线，角平分线，三角形与格点等知识．熟练掌握知识并灵活运用是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线AC、线段BC、射线BA；
（2）画出△ABC的高CD，角平分线BE，中线AF
【答案】答案见解析
【详解】试题分析：根据线段、射线、直线、高线、中线和角平分线的画法进行画图.
试题解析：
考点：直线、射线、线段、高线、角平分线、中线的画法.
【题型3 网格中计算三角形的面积】
【例3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】C
【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
【变式3-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形的面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积公式是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，点A到的距离，
∴三角形的面积为．
故答案为10．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·竞赛）图中每个小正方形的边长为1，把从格点到与它相邻的格点，的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点为出发点，2表示线段，5表示线段，从点出发，按1753运动可得到正方形．从点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．
【答案】10
【分析】本题考查不规则图形面积求法．根据题意画出轨迹图，再利用补全法即可求得本题答案．
【详解】解：轨迹图形如图所示，
，
图形面积为：．
故答案为：10．
【变式3-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C有（ ）个．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积是解题的关键．利用面积公式找到其中一个，做平行线即可得到所有满足的点．
【详解】解：根据题意画出，
满足条件的格点6个，
故选D．
【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】
【例4】（23-24八年级下·河南南阳·期末）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用分别表示和的面积．
则，
∵
∴．
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，则__________；
(2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．
（2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积，
【详解】（1）3∶4；
解：如图，过点A作，
则
．
（2）和是等高三角形，
，
；
和是等高三角形，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键．
【变式4-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知的面积等于18，，则与的面积和等于（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，连接，设，根据三角形中线的性质得出，，根据得出，最后根据的面积等于18即可求出的值，于是问题得解．
【详解】解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于18，
∴，
∴，
即与的面积和等于8，
故选：C．
【变式4-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，D是边的中点，，若的面积为12，则的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了三角形的面积，关键是中线的性质，利用高相等，底边的比就是面积比是常用的求面积的方法．
根据三角形的中线平分面积，以及同高三角形面积比等于底边比，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵与共高，
∴，
∴，
∴，
∵D是边的中点，
同理可得：，
∴，
故答案为：5．
【变式4-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．
【问题思考】
（1）如图1，是的中线，试判断：_________（请填 “”、“”或“”）；
（2）如图2，，试判断：_________（请填“”、“”或“”）；
【深入思考】有了这样思考问题的经历，于是小孙同学对探究四边形内作一条直线将它分成面积相等的两部分给出一种思路：如图3，小孙同学的辅助线：①连接对角线，②作交的延长线于；③取的中点，则直线为所求直线．小孙同学还尝试从理论上给予说明，请你帮助将说理过程补充完整：
∵，
∴_________（由问题2的结论得）
∴_________，
即_________，
∵是的中点，
∴_________（由问题1的结论得）
∴平分的面积，即平分四边形的面积．
【推广探究】小悟同学又给出另一种思路：如图4，小悟同学的辅助线：①连接对角线和；②取的中点，③连接、；④过点作的平行线与四边形的边交点于，则直线则为所求直线．
请你独立尝试完成小悟同学的说理过程．
【答案】【问题思考】，；【深入思考】；；；；【推广探究】证明见解析
【分析】本题考查三角形中线的性质、平行线的性质及三角形的面积，
【问题思考】（1）根据三角形中线的性质及三角形的面积可得结论；
（2）根据平行线的性质及三角形的面积可得结论；
【深入思考】根据问题思考的结论即可得证；
【推广探究】根据问题思考的结论即可得证；
理解并掌握问题思考的结论并灵活运用是解题的关键．
【问题思考】解：（1）∵是的中线，
∴，
∴和等底同高，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴和同底同高，
∴，
故答案为：；
【深入思考】证明：∵，
∴（由问题2的结论得）
∴，
即，
∵是的中点，
∴（由问题1的结论得）
∴平分的面积，即平分四边形的面积；
【推广探究】证明：∵点是的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴直线平分四边形的面积，
则直线即为所求直线．
【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】
【例5】（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【分析】点是边上的中点可得，再由的周长为20可得，从而得到，最后由三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】解：点是边上的中点，
，
的周长为20，
，
，
，
的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查了与三角形的中线有关的计算，求出是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级上·重庆江津·期中）如图，在中是的中线，是的中线．
(1)若，求的长；
(2)若的周长为，且与的周长差为3，求的长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）根据三角形中线性质可以求出结果；
（）根据是的中线，与的周长差为得出，再由的周长为，即可求解；
本题考查了三角形中线的性质，根据题意找到，的关系是解答本题的关键．
【详解】（1）∵是的中线，
∴，
∵是的中线，
∴；
（2）∵是的中线，与的周长差为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴．
【变式5-2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在中，是中线，，．
(1)与的周长差为_______cm．
(2)点E在边上，连接，若三角形的周长被分成的两部分的差是2cm，求线段的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．
（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；
（2）由图可知三角形的周长，四边形的周长，，进而分当的周长-四边形的周长和四边形的周长-当的周长两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：的周长，的周长，
∵是中线，
∴，
与的周长差：
（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，
当的周长-四边形的周长时，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
四边形的周长-当的周长时，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∴
∴；
综上，线段的长为或．
【变式5-3】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ．
【答案】 或
【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解；
分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可；
本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵是的中点，
∴，
∴的周长的周长，
故答案为：；
如图，设，则，
当四边形的周长的周长时，
即，
整理得，，
∴，
解得；
当的周长四边形的周长时，
即，
整理得，
∴，
解得；
∴或，
故答案为：或．
【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】
【例6】（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在中，延长至点，使得，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、，若，则为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，根据同高的三角形底边之间的关系分别求出、、、、、，即可求出的面积．
【详解】解：如图，连接、、，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
【变式6-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是中点，是中点，连接、，若与的面积差为6，则的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中线与面积的关系，由三角形中线的性质得出，由与的面积差为6得，由是中点得，故可得结论．
【详解】解：∵是中点，
∴是的边上的中线，
∴，
∵是中点，
∴是的边上的中线，
∴，
∵与的面积差为6，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点在边上，，点是的中点，、相交于点，若的面积为3，则的面积为 ．
【答案】8
【分析】本题考查了三角形的面积，注意：同底（等底）同高（等高）的两个三角形的面积相等，同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于底边的比．根据三角形中线的性质得出，，设，用含的代数式表示、、的面积，从而列出，求解即可．
【详解】解：点是的中点，
，，
的面积为3，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的面积为8，
故答案为：8．
【变式6-3】（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）若点 G 为的重心（ 的三条中线的交点），，若 ，则 面积的最大值是（ ）
A．2 B．8 C．4 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中线与面积的关系，由三角形的面积关系可证，即可求解．掌握三角形的中线平分面积，是解题的关键．
【详解】解：点为的三条中线的交点，
，是的中线，
，，，
即，
，
，
，
，
，
当时，面积有最大值，
∵，
面积的最大值，
故选C．
【题型7 与角平分线有关的角度计算】
【例7】（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H．
（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数．
（2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数．
【答案】（1）110°；（2）125°.
【详解】试题分析：（1）已知BE⊥AC，CD⊥AB，根据直角三角形的两锐角互余可求得∠EBC、∠DCB的度数，在△BHC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠BHC的度数；（2）已知BE、CD平分∠ABC和∠ACB，根据角平分线的都有可求得∠EBC、∠DCB的度数，在△BHC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠BHC的度数.
试题解析：
（1）∵BE⊥AC，∠ACB=70°，
∴∠EBC=90°﹣70°=20°，
∵CD⊥AB，∠ABC=40°，
∴∠DCB=90°﹣40°=50°，
∴∠BHC=180°﹣20°﹣50°=110°．
（2）∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠EBC=20°，
∵DC平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴∠DCB=35°，
∴∠BHC=180°﹣20°﹣35°=125°.
点睛：本题考查三角形内角和定理、三角形的高、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．
【变式7-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO=CO，若∠BOC=100°，那么∠BAO 等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【详解】试题解析：在△OBC中，∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=180°-100°=80°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=2×80°=160°，
在△ABC中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-160°=20°．
∴∠BAO=∠A=.
故选A.
【变式7-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为( )
A．70° B．80°
C．50° D．55°
【答案】B
【详解】连接BC.
∵∠BDC=140°，
∴∠DBC+∠DCB=180° 140°=40°，
∵∠BGC=110°，
∴∠GBC+∠GCB=180° 110°=70°，
∵BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，
∴∠GBD+∠GCD=∠ABD+∠ACD=30°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∴∠A=180° 100°=80°.
故选：B.
点睛：此题主要考查学生对三角形角平分线的定义及三角形内角和定理的综合运用.
【变式7-3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
【答案】20°或60°．
【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．
【详解】如图所示，当∠BFD=90°时，
∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；
如图，当∠BDF=90°时，
同理可得∠BAD=30°．
∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，
∴∠BFD=∠BCE=50°，
∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，
综上所述：∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
【题型8 应用等面积法求线段长】
【例8】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践
问题情境 数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在中，，是上一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为，连接．
【特例探究】（1）如图1．当为边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段，，之间的数量关系为________．
【深入探究】（2）如图2，当为边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．
【拓展探究】（3）如图3，当点在边的延长线上时．
①试猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．
②当，，时，线段的长为________．
【答案】（1）；（2）（1）中的数量关系仍然成立．证明见解析；（3）①；②6
【分析】（1）由题意得出，则得出，可证出结论；
（2）方法同（1）可得出结论；
（3）①根据可得出结论；
②由三角形面积求出，则可得出答案．
【详解】解：（1），，，
，
，
，
．
故答案为：．
（2）（1）中的数量关系仍然成立．
证明：，，，
，
，
，
．
（3）①，，，
，
，
，
；
②，，
，
，
由①可知，
，
故答案为：6．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形高的性质，三角形的面积，熟练掌握等积法是解题的关键．
【变式8-1】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示已知，分别是的高和中线，，，，．试求：
(1)的长；
(2)的面积；
(3)与的周长的差
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用“面积法”来求线段的长度；
（2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可；
（3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值．
【详解】（1）解：，是边上的高，
，
，
即的长度为；
（2）解：如图，是直角三角形，，，，
．
又是边的中线，
．
的面积是．
（3）解：为边上的中线，
，
的周长的周长，
即和的周长的差是．
【点睛】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质．
【变式8-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为时，线段长度的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】此题考查三角形中线及垂线段最短问题，关键是根据三角形中线的性质利用面积公式得出解答．连接，过点作于，根据三角形中线的性质利用面积公式得出，进而利用距离最短解答即可．
【详解】解：连接，过点作于，
，分别是、的中点，
，，，
，，
，
，
，
，
点到直线的距离垂线段最短，
，
的最小值为5，
故选：C
【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积，熟悉掌握三角形中线的性质是解题的关键．
连接，利用三角形中线的性质依次求出，，与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值．
【详解】解：连接，如图，
∵点为的中点，
∴，
∵为的中线，
∴，，
∵点为中点，
∴，
∵四边形的面积为，
∴，
即，
解得，
作于点，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值是；
故选：C．
【题型9 探究三角形的边、角、线】
【例9】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，，平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，，且的面积为27，求的面积．
【答案】(1)平行，详见解析
(2)4
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，因此，由此可得．
（2）由，中上的高与中上高相同，可得，因此，由此可求出．同理可求出，，即可求出的面积．
【详解】（1）理由如下：
平分，平分，
．
，
，
，
．
（2），中上的高与中上高相同，
，
．
，中上的高与中上的高相同，
，
．
，中上的高与中上的高相同，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定和性质、以及高相同的两个三角形的面积之比等于底边长之比，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式9-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.
【答案】是，理由见解析
【详解】试题分析：
由DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDA=∠DAF，∠FDA=∠EAD，再结合∠EAD=∠FAD，就可得∠EDA=∠FDA，从而得到DO平分∠EDF.
试题解析：
DO是∠EDF的角平分线，理由如下：
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDA=∠FAD，∠FDA=∠EAD.
∴∠EDA=∠FDA，
∴DO是∠EDF的角平分线.
【变式9-2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.
(1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）5°；（2）∠ DAE =(∠C-∠B). 证明见解析．
【分析】（1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=70°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAD=∠CAB=35°，∠AEC=90°，则∠CAE=90°-∠C=30°，然后利用∠DAE=∠CAD-∠CAE计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C-∠B的关系．
【详解】(1)在△ABC中,∵∠B=50°,∠C=60°,
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°.
∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=35°.
又∵AE是BC上的高,
∴∠AEC=90°.
在△CAE中,∠CAE=90°-∠C=90°-60°=30°,
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=35°-30°=5°.
（2）∠ DAE =(∠C-∠B).
证明如下：
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°，
∴∠EAC=90°-∠C，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC.
∵∠BAC=180°-∠B-∠C，
∴∠DAC=(180°-∠B-∠C) ，
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC
=(180°-∠B-∠C) - (90°-∠C)
=(∠C-∠B)
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【变式9-3】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，，，，是的角平分线．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)试说明；
(3)试说明是的角平分线．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）首先根据平行线的性质，可证得，进而证明，再根据平行线的判定即可证得；
（2）根据是的角平分线可得到的度数，再根据，即可得到的度数，进而即可得到；
（3）根据平行线的性质得到，即可得到是的角平分线．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵(已知)，
∴(两直线平行，内错角相等)，
又∵，(已知)，
∴ (等量代换)，
∴ (同位角相等，两直线平行)；
（2）解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴是的角平分线是的角平分线．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键在于结合角平分线的定义并熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
知识点2:三角形的稳定性
当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中.
【题型10 三角形的稳定性】
【例10】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】A
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．模型中三角形架子是其主要结构，故可用三角形的稳定性解释．
【详解】解：依题意，在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是三角形具有稳定性，
故选：A．
【变式10-1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是 条．
【答案】1
【分析】本题考查了三角形具有稳定性．根据三角形的稳定性进行解答即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴连接四边形的一条对角线，即可得到两个三角形，
故答案为：1．
【变式10-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）下列图形中，不具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的稳定性，熟记三角形的稳定性是解本题的关键．根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可判断．
【详解】A、具有稳定性，故此选项不合题意；
B、不具有稳定性，故此选项符合题意；
C、具有稳定性，故此选项不合题意；
D、具有稳定性，故此选项不符合题意；
故选：B．
【变式10-3】（23-24八年级上·全国·课后作业）小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．
【答案】答案见解析．
【详解】试题分析：根据三角形具有稳定性进行画图即可．
解：如图所示：
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