数学必修一3.1-3.2 函数的基本性质（含答案）

数学必修一3.1-3.2
一、单选题
1．下列变量之间是函数关系的是（　　）
A．已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式：△=b2﹣4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每亩施用肥料量和粮食亩产量
2． 的值域为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（　　）
A． B． C． D．
4．下列各组函数表示相等函数的是（　　）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
5．函数的图像大致为：（　　）
A． B．
C． D．
6．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．下列四个函数：①y=3﹣x；②y= ；③y=x2+2x﹣10；④y= ．其中定义域与值域相同的函数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．设奇函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式 ＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C．（﹣2，0）∪（0，2）
D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
二、多选题
9．已知函数的定义域，若，则（　　）
A．
B．是奇函数
C．若时恒有，则在上单调递减
D．若，则
10．符号 表示不超过 的最大整数，如 ， ， ，定义函数 ，以下结论正确的是（　　）
A．函数 的定义域是R，值域为
B．方程 有无数个解
C．函数 是奇函数
D．函数 是增函数.
三、填空题
11．若函数 为奇函数，则 　 　.
12．已知函数 ，且 ，那么 的值为　 　.
13．函数 的单调递减区间为　 　.
14．若 是定义在 上函数，且 的图形关于直线 对称，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为　 　.
四、解答题
15．已知函数f（x）＝ ．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．
16．已知函数 为定义在R上的偶函数，且当 时， .
（1）求 的解析式；
（2）在网格中绘制 的图像并求出函数 的值域.
17．已知 ， .
（1）求证： 为奇函数；
（2）设 ， ，求 在区间 上的最大值.
18．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x∈（0，12]时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点A（10，80），过点B（12，78）；当x∈[12，40]时，图象是线段BC，其中C（40，50）．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．
（1）试求y=f（x）的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．
19．已知函数f（x）=3x，f（a+2）=27，函数g（x）=λ 2ax﹣4x的定义域为[0，2]．
（1）求a的值；
（2）若λ=2，试判断函数g（x）在[0，2]上的单调性，并加以证明；
（3）若函数g（x）的最大值是 ，求λ的值．
20．设 ，已知函数 .
（1）若 是奇函数，求 的值；
（2）当 时，证明： ；
（3）设 ，若实数 满足 ，证明： .
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】C
8．【答案】C
9．【答案】B,C,D
10．【答案】A,B
11．【答案】1
12．【答案】-2025
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解1﹣x2≠0得，x≠±1，
∴f（x）的定义域为{x|x≠±1}，
（2）f（x）为偶函数，
证明：由（1）知f（x）的定义域为{x|x≠±1}，定义域关于原点对称，
又 ，
∴f（x）为偶函数．
16．【答案】（1）解：设 时， ， ，则
的解析式为 .
（2）解：图像如图所示
由图可知值域为 .
17．【答案】（1）证明： 的定义域为 ，
对 ， ，
所以 为奇函数.
（2）解：解：令
①当 时，因为 为 和 上增函数，
所以 为 上增函数，
所以 在 上的最大值为 ；
②当 时，因为 为 和 上减函数，
所以 为 上减函数，
所以 在 上的最大值为 ；
③当 时，
因为 在 上是增函数，在 上是减函数，
因为 在 上是减函数， 上是增函数，
所以 为 上增函数，为 上减函数， 上增函数，
因此 最大值为 和 中较大者，
由 ，
得 或 ，
所以当 时， ，
最大值为 ，
所以当 时， ，
的最大值为 ，
综上：当 时， 的最大值为 ；
当 时， 的最大值为 ；
当 时， 的最大值为 .
18．【答案】解：（1）当x∈（0，12]时，
设f（x）=a（x﹣10）2+80
过点（12，78）代入得，a=-
则
当x∈[12，40]时，
设y=kx+b，过点B（12，78）、C（40，50）
得 ，即y=﹣x+90
则的函数关系式为
（2）由题意得，或
得4＜x≤12或12＜x＜28，
4＜x＜28
则老师就在x∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
19．【答案】（1）解：27=3a+2=33，∴a=1
（2）解：由（1）及λ=2得，g（x）=2 2x﹣4x．
任取0≤x1＜x2≤2，则x2﹣x1＞0，
∴g（x2）﹣g（x1）= =
= =
∵0≤x1＜x2≤2，∴ ，
∴ ＞0，
∴2﹣ ＜0，
∴ ＜0
即g（x2）﹣g（x1）＜0，
即g（x1）＞g（x2），
∴g（x）在[0，2]上是减函数
（3）解：设t=2x，∵0≤x≤2，
∴1≤2x≤4．
∴1≤t≤4．
y=﹣t2+λt= ，1≤t≤4．
①当 ＜1，即λ＜2时，ymax=λ﹣1= ，∴λ= ；
②当1≤ E≤4，即2≤λ≤8时，ymax= ，∴λ= [2，8]（舍）；
③当 ＞4，即λ＞8时，ymax=﹣16+4λ= ，∴λ= ＜8（舍）．
综上λ=
20．【答案】（1）解：由题意，对任意 ，都有 ，
即 ，亦即 ，因此 ；
（2）证明：因为 ， ，
.
所以， .
（3）解：设 ，则 ，
当 时， ；
当 时， ；
， ，
所以 .
由 得 ，即 .
①当 时， ， ，所以 ；
②当 时，由（2）知，
，等号不能同时成立.
综上可知 .
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