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函数的单调性与最值
知 识 梳 理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有
，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有
，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数
f(x1)
＜f(x2)
f(x1)
＞f(x2)
下降的
(2)单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间I上是 或 ，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．
增函数
减函数
2．函数的最值
一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有 ，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有 ，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝f(x0)．
f(x)≤f(x0)
f(x)≥f(x0)
[感悟·提升]
1.定义域优先；单调区间不连续，如何书写？
2.回顾常见初等函数的图像（单调性）
（一次，二次，反比例，对勾，指数，对数，分段（绝对值）函数等）
3.单调性判断方法：？？？
练习：1.确定 的单调性
2.试讨论 的单调性
规律方法 (1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之．
(2)复合函数y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝f[g(x)]必为减函数．
规律方法 解决这类问题的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，三是可分离参数转化为不等式恒成立问题（导数）．
规律方法 求函数最值的常用方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；
(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.
(1)证明 设x1＞x2，
则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
又∵当x＞0时，f(x)＜0，
而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在R上为减函数．
(2)解 ∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，又函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝－x，得f(－x)＝
－f(x)，
∴f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．
2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．
3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用．
[答案] (1,8)
[错因] 忽视函数在定义域两段区间分界点上的函数值的大小．
[答案] [4,8)
[防范措施] 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法．
