(共24张PPT)
函数的单调性
学生活动
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数．
观察上面三个函数的图象说一说函数值随自变量的变化情况，如何用数学语言来准确地表达函数的这种变化？
x
y
y=x+1
x
y
y=x2
x
y
1
1
-1
-1
请同学们结合成语“蒸蒸日上”“跌宕伏”“每况愈
下”的含义，画出相应的函数图象.
学生活动
数: x不断增大，y也不断增大
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
如何用x与f(x)描述上升的图象
形: 图象呈上升的趋势
单调增函数
设函数y=f(x)的定义域为A,区间
I A．
如果对于区间I内的任意两个值
x1,x2，若当x1
那么就说y=f(x)在区间I上是单调增
函数，I称为y=f(x)的单调增区间．
数学理论
O
x
y
你会给出单调减函数、单调减区间的定义吗？
数学理论
单调减函数
设函数y=f(x)的定义域为A，
区间I A．如果对于区间I内的
O
x
y
想一想：如何用两句通俗的话来概括增函数、减函数的定义？
任意两个值x1,x2，若当x1都有f(x1)>f(x2),那么就说y=f(x)
在区间I上是单调减函数，I称为
y=f(x)的单调减区间．
数学理论
单调性、单调区间
若函数y = f(x)在区间I上是单调增函数或单调减
函数，那么就说函数y = f(x)在区间I上具有单调性，
单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
几何意义：在单调区间上是增函数的图象是上升
的；在单调区间上是减函数的图象是下降的.
函数的单调性是函数的“局部性质”,讨论函数的单
调性要强调在确定的区间上.
数学应用
例1、如下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.
解：函数f(x)的单调区间有[-5,-2]，[-2,1]，[1,3]，[3,5],
其中f(x)在区间[-5,-2]，[1,3]上是减函数，
在区间[-2,1]，[3,5]上是增函数.
数学理论
⑴如果函数在定义域的每个单调区间上都是单调减函
数，那么能否说此函数在定义域上是减函数？
⑵在定义域内有f(-3)＜f(4)能否说函数f(x)在定义域内是增函数？在定义域内有f(-5)＞f(-1)能否说函数f(x)在定义域内是减函数？
⑶是否所有的函数都具有单调性？在判断函数单调性时
是否都要画图？
x
y
o
数学应用
例2．⑴证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
⑴证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1则x1-x2＜0,
f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2) ＜0,
即f(x1)所以，f(x)=3x+2在R上是增函数.
数学应用
①
②
③
④
⑤
数学应用
练习：⑴证明函数 在(0,+∞)上是增函数；
⑵证明函数y=-x3在R上是减函数.
利用定义证明函数单调性的步骤：
⑴取值：对任意x1,x2∈I，且x1＜x2；
⑵作差：f(x1)-f(x2);
⑶变形：(通分、因式分解、配方、分子分母有理化等);
关键得到：x1-x2;
⑷定号：判定差的正负(注意理由的充分性);
⑸判断、下结论.
学生活动
问题1：观察下列函数的图象，并指出对于任意x∈R，f(x)与f(1)的大小关系．
x
y
o
1
o
x
y
1
观察得到：图（1）中，对于任意x∈R ，都有f(x)≥f(1) ;
图（2）中，对于任意x∈R ，都有f(x)≤f(1).
思考:如何用数学语言来准确地表达函数的最大值和最小值呢？
函数最值的定义
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A．
如果存在定值x0∈A，使得对于任意x ∈A ，都有 f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为y=f(x)的最大值(maximum value)，记为[f(x)]max= f(x0) ；如果存在定值x0∈A ，使得对于任意x ∈A ，都有f(x)≥f(x0) ，则称f(x0)为y=f(x)的最小值(minimum value)，记为[f(x)]min= f(x0) ；
数学理论
数学理论、数学应用
问题：设函数y=f(x)的定义域为[a,b]，
若y=f(x)是增函数，则ymax= ，ymin= ；
若y=f(x)是减函数，则ymax= ，ymin= ．
问题：判断下列说法是否正确：
（1）单调函数一定有最大值和最小值；
（2）在定义域内不具有单调性的函数一定没有最
大值和最小值．
F(a)
F(a)
F(b)
F(b)
数学应用
例1、如图为函数y=f(x)，x∈[-4,7]的图象，指出它的
最大值、最小值及单调区间．
[f(x)]max=f(3)=3,[f(x)]min=f(-1.5)=-2.
单调增区间为[-1.5，3]，[5，6];
单调减区间为[-4，-1.5]，[3，5]，[6，7].
数学应用
例2、求下列函数的最小值：
（1） ； （2）
y min=-1
[f(x)]min=f(3)=1/3
变题1：将例2 的要求改为“求下列函数的值域”；
（即要考虑函数是否有最大值）
解：（1）y=x2-2x=(x-1)2-1,图象是开口向上，对称轴
为x=1的抛物线,
∴函数无最大值，故函数值域为[-1，+∞）.
（2）函数f(x)在[1，3]上是减函数，∴[f(x)]max=f(1)=1,
故函数值域为[1/3,1].
数学应用
变题2：求下列函数的值域：
（1）f(x)=x2-2x，x∈[0，4]；
（2）f(x)=x2-2x，x∈[0，4)．
图 象
（1）值域为[-1，8]；
（2）值域为[-1，8）.
数学应用
变题3：求f(x)=x2-2ax，x∈[0，4)的最小值．
解：f(x)=(x-a)2-a2，其图象是开口向上，对称轴为x=a的抛物线．如图：
①若a≤0，则f(x)在[0,4)上是增函数，
∴[f(x)]min=f(0)=0；
②若0③若a≥4，则f(x)在[0,4)上是减函数，
∴f(x)的最小值不存在．
数学应用
变题4：求f(x)=x2-2x，x∈[0，m] (m>0)的最值.
解：f(x)=(x-1)2-1，其图象是开口向上，对称轴为
x=1的抛物线．如图：
①若0∴[f(x)]max=f(0)= 0, [f(x)]min=f(m)=m2-2m.
②若1≤m<2，则f(x)在[0,1]上是减函数，在[1，m]上
是增函数，且f(0)＞f(m) ,
∴[f(x)]min=f(1)=-1，[f(x)]max=f(0)= 0.
③若m≥2，则f(x)在[0,1]上是减函数，在[1，m]上是
增函数，且f(0)≤f(m) ,
∴[f(x)]min=f(1)=-1，[f(x)]max= f(m)=m2-2m.
数学应用
研究二次函数在给定区间上的最值问题要考虑对称轴与给定区间的关系，通常最值可能在端点和顶点的位置取得.
变题5：函数f(x)=x2-2ax，x∈[0，4]有最大值8，求a的值.
解：f(x)=(x-a)2-a2，其图象是开口向上，对称轴为x=a的抛物线．∴f(x)在x∈[0，4]的最大值只可能是f(0)或f(4)，又f(0)=0∴f(4)=8,
∴a=1经检验符合题意.
回顾反思
本节课主要学习了函数的最大值和最小值和单调性的概念．求函数的最大值和最小值，要充分发挥函数的单调性和函数图象的作用．对于含参的二次函数我们要注意分类讨论. 能利用图象法和定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题.
课内练习
⑴教材第37页，练习3，4.
⑵作出函数y=|x+1|+|x-3|的图象,并求出函数的值域.
⑶若f(x)=x2-2mx+3,x∈[0，1]有最大值4，求m的值.
教材第37页，练习1，2，5，6.
课后作业
1.教材第43页，第3题.
2．已知二次函数
在
上有最大值4，求实数
的值.
3.求下列函数的值域：
4.教材第43页，第1题（做书上）
考虑二次函数的相应问题.