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函数的单调性
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年份
人数（人）
观察图象，请同学们想一想，对于一个函数，它的图象从左到右是逐渐上升的还是逐渐下降的？
O
x
y
O
x
y
2
1
y
O
x
x
y
y=3x
1
3
正比例函数
一次函数
二次函数
反比例函数
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
函数f (x)在给定区间上为增函数。
O
x
y
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
函数f (x)在给定区间上为减函数。
O
x
y
如果对于区间I内的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜ f（x2）， 那么就说f（x）
.
在这个区间I上是单调增函数.
如果对于区间I内的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）> f（x2）， 那么就说f（x）
.
在这个区间I上是单调减函数.
函数单调性的定义
设函数y=f(x)的定义域为A，区间I A
y=x3在R上是增函数.
y=x3
单调性定义中x1, x2有三个特征：
1、自变量x1,x2属于定义域，并且同属于一个子区间；
2、自变量的任意性；
3、 x1, x2有大小，通常规定x1注意：
函数的单调性是对定义域内某个区间而言的。
单调区间：
如果函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数（或单调减函数），则称f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间称为单调增（减）区间。
几何意义：
在单调区间上是增函数的图象是上升的；在单调区间上是减函数的图象是下降的。
下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
[1，3），[3，5].
解：
y＝f（x）的单调区间有
[－5，－2），[－2，1）
其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上
是减函数，
在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
作图是发现函数单调性的方法之一.
1
x
y
-1
-2
3
-5
O
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
2
-1
画出下列函数的图象，并写出单调区间：(1)y=-x2; (2)y=1/x(x≠0）
1
－1
－1
O
x
y
1
x
y
O
f（x）在定义域 上是减函数吗？ 取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 f（1）=1 -1＜1 f（-1）＜f（1）
证明：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）＜ f（x2）
f（x1）－f（x2）＜0
f（x1）＝3x1＋2
f（x2）＝3x2＋2
f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋2）
＝3（x1－x2）
由x1＜x2，得 x1－x2＜0
另证：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
3 x1＜3x2
3 x1+2＜3x2+2
即f（x1）＜ f（x2）
a＜b，c＞0 ac＜bc a＜b a＋c＜b＋c
设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
求证：函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
证明函数单调性的解题步骤：
1、取值
2、作差变形
3、定号
4、判断
练习：证明函数f(x)=-2x+1在区间（-∞，+∞）上是减函数
证明：
（取值）
（定号）
（判断）
上是减函数
（作差变形）
证明：
设x1，x2∈（-∞， 0 ），且x1＜x2，则
求证：函数f(x)= 在区间（-∞，0）上是单调增函数。
函数f(x)= 在区间（-∞，0）上是单调增函数。
练习.判断函数f（x）＝x2-1在（0，＋∞）上是增函数还是减函数？并给予证明
O
x
y
1
1
解：
函数f（x）＝x2-1在（0，＋∞）上是增函数.
下面给予证明：
设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2
∴函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.
单调增函数 单调减函数
图象
图象特征 自左至右，图象上升. 自左至右，图象下降.
数量 特征 y随x的增大而增大.当x1＜x2时， f(x1) ＜ f(x2) y随x的增大而减小.当x1＜x2时，f(x1) > f(x2)
O
x
y
x1
x2
f(x1)
f(x2)
O
x
y
x2
x1
f(x1)
f(x2)
小结：
判断函数单调性的方法：
1、图象法
2、代数论证法
作业：
谢谢观赏！
