人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.5判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.5判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 13:18:54 | ||
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文档简介
专题12.5 判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】
【人教版】
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】 1
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】 2
【题型3 一直角边一斜边用HL】 3
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】 5
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】 6
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】 7
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】 9
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】 10
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】 11
知识点：判定两个三角形全等的常用思路
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】
【例1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【变式1-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）已知，，求证：．
【变式1-2】（23-24·吉林白城·一模）如图，点E、F在上，且，求证：．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，，，求证：．
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】
【例2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是对角线上两点，且，连接．
试说明：
(1)；
(2)．
【变式2-1】（23-24八年级·四川雅安·期末）如图，在中，，D为边上一点，，点M在的延长线上，平分，且．连接交于F，G为边上一点，满足，连接交于H．
(1)与相等吗？为什么？
(2)求的度数．
【变式2-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在中，于点于点与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接．
【问题解决】（1）试说明：；
【问题探究】（2）与垂直吗？请说明理由．
【题型3 一直角边一斜边用HL】
【例3】（23-24八年级·河南平顶山·期末）在和中，，，，若边和上的高都是3，，则 ．
【变式3-1】（23-24八年级·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点．
(1)求证：．
(2)求．
【变式3-2】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，在中，于点，点、分别为、上的一点，接并延长交延长线于点，若，，，求证：．
证明：∵
∴
在和中，
∴（② ）
∴
在中
∵（③ ）
∴
∴④
∴
∵
∴⑤ （⑥ ）
∴
∴
【变式3-3】（23-24八年级·重庆·期中）如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当 时，和全等．
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】
【例4】（23-24八年级·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式4-1】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，在和中，，点E是的中点， 于点F，且．
(1)求证：；
(2)若．
①求的长；
②求的面积．
【变式4-2】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【变式4-3】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼点沿走到点，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，小林同学行走的速度为．
(1)请你求出教学楼的高度；
(2)小林从点到达点还需要多长时间？
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】
【例5】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，与相交于点，若，，求的度数．
【变式5-3】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）如图，某游乐园有两个滑梯与，滑梯的高与滑梯水平方向的长度相等，且的长度等于长方形周长的一半．
(1)两个滑梯与的长度是否相等？并说明理由．
(2)若，试说明．
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】
【例6】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【变式6-1】（23-24·吉林松原·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高线，于点F，．求证：．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式6-3】（23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习）如图，在中，，，过点C作，连接．
(1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）；
(2)求证：．
解：∵，
∴________
∵
∴
在和中
∴，
∴（_______）
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】
【例7】（23-24八年级·湖北鄂州·期末）如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式7-1】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．
(1)试说明．
(2)若，求的度数．
【变式7-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）已知：如图，在和中，．求证：
(1)；
(2)．
【变式7-3】（23-24·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】
【例8】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④
【变式8-1】（23-24八年级·云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，，，．求证：．
【变式8-2】（23-24八年级·辽宁阜新·期末）如图，于点，于点，与交于点，且，．求证：．
【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在 中， 和 的平分线相交于点 F．
(1)如图1，连接，求证：
(2)如图2，当时，若，求的长．
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】
【例9】（23-24八年级·福建三明·期中）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
【变式9-1】（23-24·陕西西安·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知，，．求证：．
【变式9-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【变式9-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）已知，在中，，．在内部作，交于点D．将一个含有45°角的三角板如图放置，使直角边与重合，三角板沿平移．
(1)如图1，当三角板的另一条直角边过点A时，试证明；
(2)将三角板沿平移至图2的位置，与交于点M，过点M作，垂足为点N，试判断线段之间的关系．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题12.5 判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】
【人教版】
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】 1
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】 4
【题型3 一直角边一斜边用HL】 8
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】 13
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】 17
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】 21
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】 25
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】 31
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】 35
知识点：判定两个三角形全等的常用思路
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】
【例1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．
（1）证明，则，进而可证；
（2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
【变式1-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）已知，，求证：．
【答案】证明见详解；
【分析】
本题考查三角形全等的判定与性质，连接，根据边边边判定证明即可得到答案；
【详解】
证明：连接，
在与中，
∵，
∴，
，
∴．
【变式1-2】（23-24·吉林白城·一模）如图，点E、F在上，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据，得，利用证，再利用全等三角形性质即可证明结论，明解题的关键是学会利用全等三角形解决问题．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
，
．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接，证明得出，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】
【例2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是对角线上两点，且，连接．
试说明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由证明即可；
（2）由证明即可．
【详解】（1）解：因为，
即，
所以，
因为．
所以，
在和中，
所以，
所以，，
所以．
（2）解：因为，
所以，
在和中，
所以，
所以．
【变式2-1】（23-24八年级·四川雅安·期末）如图，在中，，D为边上一点，，点M在的延长线上，平分，且．连接交于F，G为边上一点，满足，连接交于H．
(1)与相等吗？为什么？
(2)求的度数．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用：
（1）先求出，再证 ，可得 ；
（2）先证 ，推出 ，结合 ，可得．
【详解】（1）解：与相等，理由如下：
，平分，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：在与中，
，
，
，
又 ，
．
【变式2-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质，由旋转性质可知，，则，证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：由旋转性质可知，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在中，于点于点与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接．
【问题解决】（1）试说明：；
【问题探究】（2）与垂直吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）与垂直，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形的内角和定理．
（1）根据得出，根据得出，即可推出，最后即可根据得出；
（2）根据垂直的定义得出，根据全等三角形的性质得出，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：与垂直，理由如下：
∵，
∴，则，
由（1）可得：，
∴，
∴，即，
∴．
【题型3 一直角边一斜边用HL】
【例3】（23-24八年级·河南平顶山·期末）在和中，，，，若边和上的高都是3，，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作于点D，过作于点，可得，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵边和上的高都是3，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当在点D的同侧，在点的同侧时，如图，
同理可得：，；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，即；
当在点D的同侧，在点的两侧时，如图，
同理可得：；
综上，的值为或．
故答案为：或．
【变式3-1】（23-24八年级·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点．
(1)求证：．
(2)求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，
（1）根据证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；
解题的关键是掌握三角形全等的判定．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【变式3-2】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，在中，于点，点、分别为、上的一点，接并延长交延长线于点，若，，，求证：．
证明：∵
∴
在和中，
∴（② ）
∴
在中
∵（③ ）
∴
∴④
∴
∵
∴⑤ （⑥ ）
∴
∴
【答案】；；三角形的内角和定理，；；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解题的关键．根据全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质以及垂线定义判断求解即可．
【详解】解：证明：∵
∴
在和中，
∴（）
∴
在中
∵（三角形的内角和定理）
∴
∴
∴
∵
∴ 同旁内角互补，两直线平行
∴
∴
故答案为：；；三角形的内角和定理，；；同旁内角互补，两直线平行．
【变式3-3】（23-24八年级·重庆·期中）如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当 时，和全等．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①时，；②当P运动到与C点重合时，，此时．
【详解】解：①当P运动到时，如图所示：
在和中，
，
∴，
即；
②当P运动到与C点重合时，如图所示：
在和中，
，
∴），
即．
综上所述，的长度是或．
故答案为：或．
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】
【例4】（23-24八年级·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果．
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：C．
【变式4-1】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，在和中，，点E是的中点， 于点F，且．
(1)求证：；
(2)若．
①求的长；
②求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①6；②36
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
（1）由题意知，，，则，证明；
（2）①由题意知，，由，可得，计算求解即可；②根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴；
（2）①解：∵点E是的中点，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴的长为6；
②解：由题意知，，
∴的面积为36．
【变式4-2】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明，根据即可得到答案．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【变式4-3】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼点沿走到点，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，小林同学行走的速度为．
(1)请你求出教学楼的高度；
(2)小林从点到达点还需要多长时间？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，再结合，即可得到结论；
（2）利用路程除以速度即可得到答案．
【详解】（1）解：∵和的夹角为，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：教学楼的高度为．
（2）．
答：小林从点到达点还需要．
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】
【例5】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
延长到E，使，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可由，进而即可求解．
【详解】解：延长到E，使，连接，如图，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由为中点得，然后用“”证明即可；
（）由，得， 三角形的内角和得，最后由平行线的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，与相交于点，若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
本题考查三角形全等的判定与性质、三角形外角性质及三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）利用三角形全等判定与性质，证得，即可得证；
（2）利用全等三角形性质得到，再由三角形外角性质与三角形内角和定理数形结合即可得到答案．
【详解】（1）证明： ，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，，
在中，是其外角，则，
在中，．
【变式5-3】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）如图，某游乐园有两个滑梯与，滑梯的高与滑梯水平方向的长度相等，且的长度等于长方形周长的一半．
(1)两个滑梯与的长度是否相等？并说明理由．
(2)若，试说明．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行判定．
（1）根据的长度等于长方形周长的一半，得出，证明，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证出，即可证明；
【详解】（1）解：．
理由：∵的长度等于长方形周长的一半，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】
【例6】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明，根据即可得到答案．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【变式6-1】（23-24·吉林松原·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高线，于点F，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意，利用证明即可．
【详解】证明：在中，．
，
．
．
，
．
在和中，
，
．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案．
【详解】解：∵，是的高线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式6-3】（23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习）如图，在中，，，过点C作，连接．
(1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）；
(2)求证：．
解：∵，
∴________
∵
∴
在和中
∴，
∴（_______）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据运用作相等角的作图方法画图即可；
（2）根据平行线的性质可推出①及②，再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
（2）解：∵
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵
∴
在和中
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】
【例7】（23-24八年级·湖北鄂州·期末）如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由（1）得，且，即可求出的长．
【详解】（1）∵，
∴．
∴．
在和中，
∵
∴．
∴．
（2）∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，且.
∴．
【点睛】三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【变式7-1】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．
(1)试说明．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用证明三角形全等即可；
（2）全等三角形的性质，得到，证明，得到，即可得解．
【详解】（1）解：因为，
所以，
即．
在和中，
，
所以．
（2）因为，
所以，．
在和中，
，
所以，
所以，
所以．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．
【变式7-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）已知：如图，在和中，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
（1）根据得到即，证明即可．
（2）根据得到，结合，得到即，证明即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式7-3】（23-24·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；
（1）用即可证明；
（2）先证明，则，再证明，则，由与同底等高，得，再证明，则，最后与同底等高，
得，所以．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴在和中，
，
∴；
（2）
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵ ，,
∴，
∴
∵
∴与同底等高，
∴,
∴
∵，∴，
∴,
∴，
∴，∵，
∴，
∴，
∵
∴与同底等高，
∴，
∴，
∴的面积为面积的2倍．
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】
【例8】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴
，
∵ 平分，
，
∴ 平分，故①正确；
在上截取，连接，
在和中，
∴
，
在和中，
，，
故②不正确，④正确；
，
∴，
故③正确；
故选：C．
【变式8-1】（23-24八年级·云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由证明，再证，即可证明 ，由此可得．
【详解】证明： ，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
【变式8-2】（23-24八年级·辽宁阜新·期末）如图，于点，于点，与交于点，且，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用证明得到，进而利用证明，即可证明．
【详解】证明：，，
．
，
，即，
又∵，即
，
∴，
在与中，
，
，
．
【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在 中， 和 的平分线相交于点 F．
(1)如图1，连接，求证：
(2)如图2，当时，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质：
（1）在中，根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，从而得到，即可解答；
（2）连接，在上截取，连接，由（1）得：，从而得到，，再证明，可得，从而得到，可证明，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：在中， ，
∵和 的平分线相交于点 F．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，在上截取，连接，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】
【例9】（23-24八年级·福建三明·期中）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论；
（2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解；
【详解】（1）解：由沿射线的方向平移所得，
，，
，
为的中点，
，
．
在和中
，
；
（2）平分，
，
又，
．
，，
．
【变式9-1】（23-24·陕西西安·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键：先推出，由此证得，得到，即可推出．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【变式9-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由可得，利用即可证明；
（），可得，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴．
【变式9-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）已知，在中，，．在内部作，交于点D．将一个含有45°角的三角板如图放置，使直角边与重合，三角板沿平移．
(1)如图1，当三角板的另一条直角边过点A时，试证明；
(2)将三角板沿平移至图2的位置，与交于点M，过点M作，垂足为点N，试判断线段之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)过A作于P，于Q，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，得到，由(1)知，，等量代换得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）.
理由：过A作于P，于Q，
则四边形是长方形
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了作图一平移变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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【人教版】
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】 1
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】 2
【题型3 一直角边一斜边用HL】 3
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】 5
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】 6
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】 7
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】 9
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】 10
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】 11
知识点：判定两个三角形全等的常用思路
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】
【例1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【变式1-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）已知，，求证：．
【变式1-2】（23-24·吉林白城·一模）如图，点E、F在上，且，求证：．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，，，求证：．
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】
【例2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是对角线上两点，且，连接．
试说明：
(1)；
(2)．
【变式2-1】（23-24八年级·四川雅安·期末）如图，在中，，D为边上一点，，点M在的延长线上，平分，且．连接交于F，G为边上一点，满足，连接交于H．
(1)与相等吗？为什么？
(2)求的度数．
【变式2-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在中，于点于点与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接．
【问题解决】（1）试说明：；
【问题探究】（2）与垂直吗？请说明理由．
【题型3 一直角边一斜边用HL】
【例3】（23-24八年级·河南平顶山·期末）在和中，，，，若边和上的高都是3，，则 ．
【变式3-1】（23-24八年级·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点．
(1)求证：．
(2)求．
【变式3-2】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，在中，于点，点、分别为、上的一点，接并延长交延长线于点，若，，，求证：．
证明：∵
∴
在和中，
∴（② ）
∴
在中
∵（③ ）
∴
∴④
∴
∵
∴⑤ （⑥ ）
∴
∴
【变式3-3】（23-24八年级·重庆·期中）如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当 时，和全等．
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】
【例4】（23-24八年级·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式4-1】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，在和中，，点E是的中点， 于点F，且．
(1)求证：；
(2)若．
①求的长；
②求的面积．
【变式4-2】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【变式4-3】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼点沿走到点，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，小林同学行走的速度为．
(1)请你求出教学楼的高度；
(2)小林从点到达点还需要多长时间？
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】
【例5】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，与相交于点，若，，求的度数．
【变式5-3】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）如图，某游乐园有两个滑梯与，滑梯的高与滑梯水平方向的长度相等，且的长度等于长方形周长的一半．
(1)两个滑梯与的长度是否相等？并说明理由．
(2)若，试说明．
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】
【例6】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【变式6-1】（23-24·吉林松原·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高线，于点F，．求证：．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【变式6-3】（23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习）如图，在中，，，过点C作，连接．
(1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）；
(2)求证：．
解：∵，
∴________
∵
∴
在和中
∴，
∴（_______）
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】
【例7】（23-24八年级·湖北鄂州·期末）如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【变式7-1】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．
(1)试说明．
(2)若，求的度数．
【变式7-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）已知：如图，在和中，．求证：
(1)；
(2)．
【变式7-3】（23-24·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】
【例8】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④
【变式8-1】（23-24八年级·云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，，，．求证：．
【变式8-2】（23-24八年级·辽宁阜新·期末）如图，于点，于点，与交于点，且，．求证：．
【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在 中， 和 的平分线相交于点 F．
(1)如图1，连接，求证：
(2)如图2，当时，若，求的长．
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】
【例9】（23-24八年级·福建三明·期中）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
【变式9-1】（23-24·陕西西安·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知，，．求证：．
【变式9-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【变式9-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）已知，在中，，．在内部作，交于点D．将一个含有45°角的三角板如图放置，使直角边与重合，三角板沿平移．
(1)如图1，当三角板的另一条直角边过点A时，试证明；
(2)将三角板沿平移至图2的位置，与交于点M，过点M作，垂足为点N，试判断线段之间的关系．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题12.5 判定两个三角形全等的常用思路【九大题型】
【人教版】
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】 1
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】 4
【题型3 一直角边一斜边用HL】 8
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】 13
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】 17
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】 21
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】 25
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】 31
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】 35
知识点：判定两个三角形全等的常用思路
【题型1 已知两边找另一边，用SSS】
【例1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．
（1）证明，则，进而可证；
（2）由题意得，，由，可得，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长度为9．
【变式1-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）已知，，求证：．
【答案】证明见详解；
【分析】
本题考查三角形全等的判定与性质，连接，根据边边边判定证明即可得到答案；
【详解】
证明：连接，
在与中，
∵，
∴，
，
∴．
【变式1-2】（23-24·吉林白城·一模）如图，点E、F在上，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据，得，利用证，再利用全等三角形性质即可证明结论，明解题的关键是学会利用全等三角形解决问题．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
，
．
【变式1-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接，证明得出，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【题型2 已知两边找夹角，用SAS】
【例2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，，，E，F分别是对角线上两点，且，连接．
试说明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由证明即可；
（2）由证明即可．
【详解】（1）解：因为，
即，
所以，
因为．
所以，
在和中，
所以，
所以，，
所以．
（2）解：因为，
所以，
在和中，
所以，
所以．
【变式2-1】（23-24八年级·四川雅安·期末）如图，在中，，D为边上一点，，点M在的延长线上，平分，且．连接交于F，G为边上一点，满足，连接交于H．
(1)与相等吗？为什么？
(2)求的度数．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用：
（1）先求出，再证 ，可得 ；
（2）先证 ，推出 ，结合 ，可得．
【详解】（1）解：与相等，理由如下：
，平分，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：在与中，
，
，
，
又 ，
．
【变式2-2】（23-24八年级·吉林·期中）如图，在中，，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质，由旋转性质可知，，则，证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】证明：由旋转性质可知，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【变式2-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，在中，于点于点与交于点F，连接，延长到点G，使得，连接．
【问题解决】（1）试说明：；
【问题探究】（2）与垂直吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）与垂直，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形的内角和定理．
（1）根据得出，根据得出，即可推出，最后即可根据得出；
（2）根据垂直的定义得出，根据全等三角形的性质得出，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：与垂直，理由如下：
∵，
∴，则，
由（1）可得：，
∴，
∴，即，
∴．
【题型3 一直角边一斜边用HL】
【例3】（23-24八年级·河南平顶山·期末）在和中，，，，若边和上的高都是3，，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作于点D，过作于点，可得，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵边和上的高都是3，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
∵，，
∴，
∴；
当在点D的同侧，在点的同侧时，如图，
同理可得：，；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
∵，，
∴，
∴，即；
当在点D的同侧，在点的两侧时，如图，
同理可得：；
综上，的值为或．
故答案为：或．
【变式3-1】（23-24八年级·四川甘孜·期末）如图，已知，，，，与交于点．
(1)求证：．
(2)求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，
（1）根据证明两个三角形全等即可；
（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；
解题的关键是掌握三角形全等的判定．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
【变式3-2】（23-24八年级·重庆北碚·期末）如图，在中，于点，点、分别为、上的一点，接并延长交延长线于点，若，，，求证：．
证明：∵
∴
在和中，
∴（② ）
∴
在中
∵（③ ）
∴
∴④
∴
∵
∴⑤ （⑥ ）
∴
∴
【答案】；；三角形的内角和定理，；；同旁内角互补，两直线平行．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解题的关键．根据全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质以及垂线定义判断求解即可．
【详解】解：证明：∵
∴
在和中，
∴（）
∴
在中
∵（三角形的内角和定理）
∴
∴
∴
∵
∴ 同旁内角互补，两直线平行
∴
∴
故答案为：；；三角形的内角和定理，；；同旁内角互补，两直线平行．
【变式3-3】（23-24八年级·重庆·期中）如图，中，，过点作，点P，Q分别在线段和射线上移动．若，则当 时，和全等．
【答案】或
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①时，；②当P运动到与C点重合时，，此时．
【详解】解：①当P运动到时，如图所示：
在和中，
，
∴，
即；
②当P运动到与C点重合时，如图所示：
在和中，
，
∴），
即．
综上所述，的长度是或．
故答案为：或．
【题型4 已知边为角的对边找任一角，用AAS】
【例4】（23-24八年级·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果．
【详解】解：，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
故选：C．
【变式4-1】（23-24八年级·广东惠州·期中）如图，在和中，，点E是的中点， 于点F，且．
(1)求证：；
(2)若．
①求的长；
②求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①6；②36
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
（1）由题意知，，，则，证明；
（2）①由题意知，，由，可得，计算求解即可；②根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，，
∴；
（2）①解：∵点E是的中点，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴的长为6；
②解：由题意知，，
∴的面积为36．
【变式4-2】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明，根据即可得到答案．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【变式4-3】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼点沿走到点，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，小林同学行走的速度为．
(1)请你求出教学楼的高度；
(2)小林从点到达点还需要多长时间？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；
（1）先证明，再结合，即可得到结论；
（2）利用路程除以速度即可得到答案．
【详解】（1）解：∵和的夹角为，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：教学楼的高度为．
（2）．
答：小林从点到达点还需要．
【题型5 已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS】
【例5】（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
延长到E，使，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可由，进而即可求解．
【详解】解：延长到E，使，连接，如图，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【变式5-1】（23-24八年级·江苏苏州·期末）如图，在中，为中点，为边上一点，连接，并延长至点 ，使得，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由为中点得，然后用“”证明即可；
（）由，得， 三角形的内角和得，最后由平行线的性质即可求解；
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（）得：，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【变式5-2】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，与相交于点，若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】
本题考查三角形全等的判定与性质、三角形外角性质及三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）利用三角形全等判定与性质，证得，即可得证；
（2）利用全等三角形性质得到，再由三角形外角性质与三角形内角和定理数形结合即可得到答案．
【详解】（1）证明： ，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，，
在中，是其外角，则，
在中，．
【变式5-3】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）如图，某游乐园有两个滑梯与，滑梯的高与滑梯水平方向的长度相等，且的长度等于长方形周长的一半．
(1)两个滑梯与的长度是否相等？并说明理由．
(2)若，试说明．
【答案】(1)相等，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行判定．
（1）根据的长度等于长方形周长的一半，得出，证明，即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证出，即可证明；
【详解】（1）解：．
理由：∵的长度等于长方形周长的一半，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【题型6 已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA】
【例6】（23-24·四川达州·模拟预测）如图，在梯形中，，，于点E，，求证．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明，根据即可得到答案．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【变式6-1】（23-24·吉林松原·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高线，于点F，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意，利用证明即可．
【详解】证明：在中，．
，
．
．
，
．
在和中，
，
．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， 是 的高线，与 相交于点 ．若 ，且 的面积为12，则的长度为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案．
【详解】解：∵，是的高线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵的面积为12，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式6-3】（23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习）如图，在中，，，过点C作，连接．
(1)基本尺规作图：作，交线段于点F（保留作图疯迹）；
(2)求证：．
解：∵，
∴________
∵
∴
在和中
∴，
∴（_______）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据运用作相等角的作图方法画图即可；
（2）根据平行线的性质可推出①及②，再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④．
【详解】（1）解：如图：即为所求；
（2）解：∵
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵
∴
在和中
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
【题型7 已知边为角的邻边找边的对角，用AAS】
【例7】（23-24八年级·湖北鄂州·期末）如图，中，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的和分别在和中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．
（2）由（1）得，且，即可求出的长．
【详解】（1）∵，
∴．
∴．
在和中，
∵
∴．
∴．
（2）∵，
∴，
∵是边上的中线，
∴，且.
∴．
【点睛】三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
【变式7-1】（23-24八年级·江西吉安·阶段练习）将两个三角形纸板和按如图所示的方式摆放，连接．已知，，．
(1)试说明．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用证明三角形全等即可；
（2）全等三角形的性质，得到，证明，得到，即可得解．
【详解】（1）解：因为，
所以，
即．
在和中，
，
所以．
（2）因为，
所以，．
在和中，
，
所以，
所以，
所以．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．
【变式7-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）已知：如图，在和中，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．
（1）根据得到即，证明即可．
（2）根据得到，结合，得到即，证明即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式7-3】（23-24·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在四边形中，于点F，交BC于点G，交的延长线于点E，且．
(1)求证：；
(2)如图2，连接AG，若，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是面积的2倍．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；
（1）用即可证明；
（2）先证明，则，再证明，则，由与同底等高，得，再证明，则，最后与同底等高，
得，所以．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴在和中，
，
∴；
（2）
∵
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵ ，,
∴，
∴
∵
∴与同底等高，
∴,
∴
∵，∴，
∴,
∴，
∴，∵，
∴，
∴，
∵
∴与同底等高，
∴，
∴，
∴的面积为面积的2倍．
【题型8 已知两角找夹边，用ASA】
【例8】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①③ B．③④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．
根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果．
【详解】解：∵ ，
∴
，
∵ 平分，
，
∴ 平分，故①正确；
在上截取，连接，
在和中，
∴
，
在和中，
，，
故②不正确，④正确；
，
∴，
故③正确；
故选：C．
【变式8-1】（23-24八年级·云南昭通·期末）如图，C，F为线段BE上两点，，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由证明，再证，即可证明 ，由此可得．
【详解】证明： ，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
【变式8-2】（23-24八年级·辽宁阜新·期末）如图，于点，于点，与交于点，且，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用证明得到，进而利用证明，即可证明．
【详解】证明：，，
．
，
，即，
又∵，即
，
∴，
在与中，
，
，
．
【变式8-3】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）在 中， 和 的平分线相交于点 F．
(1)如图1，连接，求证：
(2)如图2，当时，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)7
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质：
（1）在中，根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，从而得到，即可解答；
（2）连接，在上截取，连接，由（1）得：，从而得到，，再证明，可得，从而得到，可证明，从而得到，即可求解．
【详解】（1）证明：在中， ，
∵和 的平分线相交于点 F．
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，在上截取，连接，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【题型9 已知两角找任一角的对边，用AAS】
【例9】（23-24八年级·福建三明·期中）如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．
(1)若为的中点，求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．
（1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论；
（2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解；
【详解】（1）解：由沿射线的方向平移所得，
，，
，
为的中点，
，
．
在和中
，
；
（2）平分，
，
又，
．
，，
．
【变式9-1】（23-24·陕西西安·三模）如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键：先推出，由此证得，得到，即可推出．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【变式9-2】（23-24八年级·浙江金华·阶段练习）如图，在和中，点在同一直线上，，．
(1)求证：；
(2)当时，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由可得，利用即可证明；
（），可得，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵
∴．
【变式9-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）已知，在中，，．在内部作，交于点D．将一个含有45°角的三角板如图放置，使直角边与重合，三角板沿平移．
(1)如图1，当三角板的另一条直角边过点A时，试证明；
(2)将三角板沿平移至图2的位置，与交于点M，过点M作，垂足为点N，试判断线段之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论；
(2)过A作于P，于Q，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，得到，由(1)知，，等量代换得到，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）.
理由：过A作于P，于Q，
则四边形是长方形
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由(1)知，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了作图一平移变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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