人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.6添加辅助线构造全等【七大题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.6添加辅助线构造全等【七大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 13:08:14 | ||
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文档简介
专题12.6 添加辅助线构造全等【七大题型】
【人教版】
【题型1 连接两点构造全等】 1
【题型2 作平行线构造全等】 2
【题型3 作垂线构造全等】 3
【题型4 倍长中线构造全等】 4
【题型5 截长补短构造全等】 5
【题型6 补全图形构造全等】 7
【题型7 旋转构造全等】 8
【题型1 连接两点构造全等】
【例1】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）是等边三角形内一点，，，，则的度数为______．
【变式1-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，已知，交于点，且试用两种方法证明．
【变式1-2】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂直平分，求证：．
【变式1-3】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中） 如图，中，平分，垂直平分，于，于．
证明； 若，，求、的长．
【题型2 作平行线构造全等】
【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期末） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【变式2-1】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【变式2-2】（23-24八年级·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【变式2-3】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【题型3 作垂线构造全等】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
【变式3-3】（23-24八年级·江西抚州·期中）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【题型4 倍长中线构造全等】
【例4】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：．
【变式4-1】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·北京房山·期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【变式4-3】（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）阅读理解：
（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．
【题型5 截长补短构造全等】
【例5】（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，则的值为__________；
(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式5-2】（23-24八年级·江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
【变式5-3】（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由．
【题型6 补全图形构造全等】
【例6】（23-24八年级·山东泰安·期末）已知，如图中，，，的平分线交于点，，
求证：.
【变式6-1】（23-24八年级·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【变式6-3】（23-24·北京海淀·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．
【题型7 旋转构造全等】
【例7】（23-24·四川巴中·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ．
【变式7-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ．
【变式7-2】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24八年级·四川眉山·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 ．
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专题12.6 添加辅助线构造全等【七大题型】
【人教版】
【题型1 连接两点构造全等】 1
【题型2 作平行线构造全等】 5
【题型3 作垂线构造全等】 12
【题型4 倍长中线构造全等】 16
【题型5 截长补短构造全等】 23
【题型6 补全图形构造全等】 33
【题型7 旋转构造全等】 42
【题型1 连接两点构造全等】
【例1】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）是等边三角形内一点，，，，则的度数为______．
【答案】
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【解答】
解：连接
等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为．
【变式1-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，已知，交于点，且试用两种方法证明．
【答案】证明：方法一：
连接．
在和中，
≌，
在和中，
，
≌
；
证明：方法二：连接．
，，，
≌，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等．
方法一：连接，先证明≌，然后证明≌，即可证得；
方法二：连接，证明≌，即可证得．
【变式1-2】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂直平分，求证：．
【答案】证明：连接，，
是的垂直平分线，
．
又，，
≌．
．
【解析】本题考查三角形全等判定“”的应用．通过作辅助线来构造全等三角形是常用的方法之一．
连接，证得，进而证得≌，则可得证．
【变式1-3】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中） 如图，中，平分，垂直平分，于，于．
证明； 若，，求、的长．
【答案】证明：连接，，
平分，，，
，，
且平分，
，
在与中，
，
≌，
；
解：在和中，
，
≌，
，
设，则，
，，，，
，
解得：，
，．
【解析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．
连接，，由平分，于，于，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得≌，则可得；
首先证得≌，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案．
【题型2 作平行线构造全等】
【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期末） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．
【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；
（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果．
【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．
在△PDF和△QDC中，，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=6，∴DE=3．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．
【变式2-1】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【答案】见详解
【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明 FMD CME，进而即可得到结论．
【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC，
∴是等边三角形，
∴BD=DF，
∵，
∴DF=CE，
又∵∠FMD=∠CME，
∴ FMD CME，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
【变式2-2】（23-24八年级·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【答案】(1)DM=EM．理由见详解；
(2)成立，理由见详解；
(3)MD=ME．
【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；
【详解】（1）解：DM=EM；
证明：过点E作EF//AB交BC于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
，
∴△DBM≌△EFM，
∴DM=EM．
（2）解：成立；
证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM；
∴DM=EM；
（3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：2，
∴MD=ME．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．
【题型3 作垂线构造全等】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．
【答案】见解析.
【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．
【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∴CE＝CF，
∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，
∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），
∴∠ACF＝∠ECB，
∴∠ACB＝∠ECF，
∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ACB+∠AOB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
【变式3-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
【答案】详见解析
【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.
【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，
则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，
又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，
∴，
∴DF=CG，.
又，
∴≌，
.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
【答案】详见解析
【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案.
【详解】如图，过点D作的延长线于点G，
，
，
，
又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，
∴，
，
又∵BC=BE，
，
又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，
∴，
∴EF=DF.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
【变式3-3】（23-24八年级·江西抚州·期中）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【答案】见解析
【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可；
方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可．
【详解】证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F=∠CGE=90°，
在△BFE和△CGE中，，
∴△BFE≌△CGE（AAS），
∴BF=CG，
在△ABF和△DCG中，，
∴△ABF≌△DCG（AAS），
∴AB=CD；
方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
∴∠F=∠BAE．
又∵∠BAE=∠D，
∴∠F=∠D，
∴CF=CD，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB=CF，
∴AB=CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
【题型4 倍长中线构造全等】
【例4】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论．
【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示
∵点是的中点，
∴DE=CE，
∵
∴∠1=∠M
在△ADE和△MCE中
∴△ADE≌△MCE
∴AD=MC，AE=ME
∵
∴MC＋BC=AB
∴BM=AB
在△BAE和△BME中
∴△BAE≌△BME
∴∠BEA=∠BEM
∵∠BEA＋∠BEM=180°
∴∠BEA=∠BEM=90°
∴
【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．
【变式4-1】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是 ．
【答案】1＜x＜3
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【详解】解：如图所示，AB＝2，AC＝4，
延长AD至E，使AD＝DE，
在△BDE与△CDA中，
∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，
∴△BDE≌△CDA，
∴AE＝2x，BE＝AC＝4，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2，
∴1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
【点睛】本题考查了三角形的中线、三角形三边关系，有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
【变式4-2】（23-24八年级·北京房山·期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长至点，使得，连接，可证得 ，则，再通过证明 ，可得到，从而得到即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，
判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
【变式4-3】（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）阅读理解：
（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系，
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，
【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△ EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
，
∵，
∴，
∴，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，
由D为BC中点，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EG（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，
由是边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．
【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键．
【题型5 截长补短构造全等】
【例5】（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，则的值为__________；
(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论；
（2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可；
（3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵正方形外角的平分线为，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵点，分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：，理由如下：
如图所示，延长至点，使得，连接，
由正方形基本性质得：，，
∴，
∴，，
由（1）知，，且，
∴，
∴，
∴，即：，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．
【详解】解：如图，在上截取 连接
平分
故选：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-2】（23-24八年级·江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
【答案】见解析
【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．
【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中，，
∴△FCE≌△F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△F′BE中，，
∴△ABE≌△F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证
（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证；
（3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
方法：延长到，使，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：
如图，在上截取，连接，
由知，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
方法：理由：延长到，使，连接，
由知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型6 补全图形构造全等】
【例6】（23-24八年级·山东泰安·期末）已知，如图中，，，的平分线交于点，，
求证：.
【答案】见解析.
【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可．
【详解】证明：如图，
延长交的延长线于，
平分
【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段为所求作的线段；
（2）已知：如图，是直角三角形，，．
求证：．
解法一：如图，在上截取一点，使得，连接．
∵，，∴．
∵，∴是等边三角形．
∴，．
∵，∴．
∴．∴．
∵，∴．
解法二：如图，延长至点，使，连接．
∵，，
∴，，
∵，，，
∴．∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，∴．
【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
【变式6-3】（23-24·北京海淀·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．
【答案】（1）30°；（2）30°；（3）为或或．
【分析】（1）由，，可以确定，旋转角为，时是等边三角形，且，知道的度数，进而求得的大小；
（2）由，，可以确定，连接、．，，，由案．依次证明，．利用角度相等可以得到答案．
（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，是等边三角形时，在内部时，在外部时，求得答案．
【详解】解：（1）解（1）∵，，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
又∵，
∴为等腰三角形，
∴，
∴．
（2）方法1：如图作等边，连接、．
，．
，，
．
，
．
．①
，，
．②
，③
由①②③，得，
，．
，，
．
，，
．
．
．④
，，
．⑤
，⑥
由④⑤⑥，得．
．
．
．
．
方法2 如下图所示，构造等边三角形ADE，连接CE．
∵在等腰三角形ACD中，，
∴，
∵，
∴．
可证．
结合角度，可得，．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
方法3 如下图所示，平移CD至AE，连接ED，EB，则四边形ACDE是平行四边形．
∵，
∴四边形ACDE是菱形，
∴，．
∴，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，
∴，，
∴．
∴．
（3）由（1）知道，若，时，则；
①由（1）可知，设时可得，，
，
．
②由（2）可知，翻折到△，则此时，
，
，
③以为圆心为半径画圆弧交的延长线于点，连接，
，
．
综上所述，为或或时，．
【点睛】本题是一道几何结论探究题，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法，并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的．
【题型7 旋转构造全等】
【例7】（23-24·四川巴中·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ．
【答案】2
【分析】根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．
【详解】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中 ，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，
∴2BC=4，
∴BC=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．
【变式7-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ．
【答案】，，．
【分析】通过旋转至，可得 是等边三角形，将 放在一个三角形中，进而求出各角大小。
【详解】解：将逆时针旋转，得到，
∵，是等边三角形，且旋转角相等，则,
∴是等边三角形. 则
又∵ ∴
故以线段三边构成的三角形为
所以
故答案为： .
【点睛】此题旨在考查图形旋转的特性和实际应用，以及等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转的应用是解题的关键.
【变式7-2】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题．
【详解】解：连接，由题意可知，
则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴
∴，
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
【变式7-3】（23-24八年级·四川眉山·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 ．
【答案】12
【分析】将△BDM绕点D旋转120°，构造出全等三角形，将MN转为为BM+CN即可
【详解】
将△BDM绕点D旋转120°得到△；
∵△由△BDM旋转所得，
∴DM=，BD=DC，BM=∠=∠BDM；
∵∠BDC＝120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°，
故∠+∠CDN=60°，即∠=60°；
在△MDN和△中∶
DM=，∠=∠MDN，DN=DN
∴△MDN≌△；
∴MN=；
△AMN的周长=AM+AN+MN
=AM+AN+
=AM+AN+CN+
=(AM+)+(AN+CN)
=AB+AC；
∵△ABC是边长为6，
∴△AMN的周长=6+6=12．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和旋转的性质，根据旋转的性质构建全等三角形，将未知长度的边转化为已知长度的边是解题的关键．
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【人教版】
【题型1 连接两点构造全等】 1
【题型2 作平行线构造全等】 2
【题型3 作垂线构造全等】 3
【题型4 倍长中线构造全等】 4
【题型5 截长补短构造全等】 5
【题型6 补全图形构造全等】 7
【题型7 旋转构造全等】 8
【题型1 连接两点构造全等】
【例1】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）是等边三角形内一点，，，，则的度数为______．
【变式1-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，已知，交于点，且试用两种方法证明．
【变式1-2】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂直平分，求证：．
【变式1-3】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中） 如图，中，平分，垂直平分，于，于．
证明； 若，，求、的长．
【题型2 作平行线构造全等】
【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期末） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【变式2-1】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【变式2-2】（23-24八年级·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【变式2-3】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【题型3 作垂线构造全等】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
【变式3-3】（23-24八年级·江西抚州·期中）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【题型4 倍长中线构造全等】
【例4】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：．
【变式4-1】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24八年级·北京房山·期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【变式4-3】（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）阅读理解：
（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．
【题型5 截长补短构造全等】
【例5】（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，则的值为__________；
(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式5-2】（23-24八年级·江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
【变式5-3】（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由．
【题型6 补全图形构造全等】
【例6】（23-24八年级·山东泰安·期末）已知，如图中，，，的平分线交于点，，
求证：.
【变式6-1】（23-24八年级·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【变式6-3】（23-24·北京海淀·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．
【题型7 旋转构造全等】
【例7】（23-24·四川巴中·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ．
【变式7-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ．
【变式7-2】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（23-24八年级·四川眉山·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 ．
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专题12.6 添加辅助线构造全等【七大题型】
【人教版】
【题型1 连接两点构造全等】 1
【题型2 作平行线构造全等】 5
【题型3 作垂线构造全等】 12
【题型4 倍长中线构造全等】 16
【题型5 截长补短构造全等】 23
【题型6 补全图形构造全等】 33
【题型7 旋转构造全等】 42
【题型1 连接两点构造全等】
【例1】（23-24八年级·湖南衡阳·期末）是等边三角形内一点，，，，则的度数为______．
【答案】
【解析】【分析】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【解答】
解：连接
等边三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为．
【变式1-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，已知，交于点，且试用两种方法证明．
【答案】证明：方法一：
连接．
在和中，
≌，
在和中，
，
≌
；
证明：方法二：连接．
，，，
≌，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应边相等．
方法一：连接，先证明≌，然后证明≌，即可证得；
方法二：连接，证明≌，即可证得．
【变式1-2】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，，，垂直平分，求证：．
【答案】证明：连接，，
是的垂直平分线，
．
又，，
≌．
．
【解析】本题考查三角形全等判定“”的应用．通过作辅助线来构造全等三角形是常用的方法之一．
连接，证得，进而证得≌，则可得证．
【变式1-3】（23-24八年级·辽宁辽阳·期中） 如图，中，平分，垂直平分，于，于．
证明； 若，，求、的长．
【答案】证明：连接，，
平分，，，
，，
且平分，
，
在与中，
，
≌，
；
解：在和中，
，
≌，
，
设，则，
，，，，
，
解得：，
，．
【解析】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．
连接，，由平分，于，于，根据角平分线的性质，即可得，又由且平分，根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可证得≌，则可得；
首先证得≌，即可得，然后设，由，即可得方程，解方程即可求得答案．
【题型2 作平行线构造全等】
【例2】（23-24八年级·安徽合肥·期末） P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．
【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；
（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果．
【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．
在△PDF和△QDC中，，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；
（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF．
∵PE⊥AC，∴AE=EF．
∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD．
∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DEAC．
∵AC=6，∴DE=3．
【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．
【变式2-1】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．
求让：
【答案】见详解
【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明 FMD CME，进而即可得到结论．
【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F，
∵是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DF∥AC，
∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC，
∴是等边三角形，
∴BD=DF，
∵，
∴DF=CE，
又∵∠FMD=∠CME，
∴ FMD CME，
∴．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
【变式2-2】（23-24八年级·贵州黔西·期末）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
【答案】C
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【变式2-3】（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
【答案】(1)DM=EM．理由见详解；
(2)成立，理由见详解；
(3)MD=ME．
【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；
【详解】（1）解：DM=EM；
证明：过点E作EF//AB交BC于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
，
∴△DBM≌△EFM，
∴DM=EM．
（2）解：成立；
证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C；
又∵EF//AB，
∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．
又∵BD=EC，
∴EF=BD．
又∵EF//AB，
∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM；
∴DM=EM；
（3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：2，
∴MD=ME．
【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．
【题型3 作垂线构造全等】
【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC，求证：∠OAC+∠OBC＝180°．
【答案】见解析.
【分析】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．由Rt△CFA≌Rt△CEB，推出∠ACF＝∠ECB，推出∠ACB＝∠ECF，由∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，可得∠ACB+∠AOB＝180°，推出∠OAC+∠OBC＝180°．
【详解】如图，作CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∵OC平分∠MON，CE⊥ON于E，CF⊥OM于F．
∴CE＝CF，
∵AC＝BC，∠CEB＝∠CFA＝90°，
∴Rt△CFA≌Rt△CEB（HL），
∴∠ACF＝∠ECB，
∴∠ACB＝∠ECF，
∵∠ECF+∠MON＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ACB+∠AOB＝180°，
∴∠OAC+∠OBC＝180°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.
【变式3-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，是延长线上一点，且，是上一点，，求证：.
【答案】详见解析
【分析】分别过点D、C作AB的垂线，构建与，证其全等即可求得答案.
【详解】如图，过点C作于点G，过点D作的延长线于点F，
则有∠DFB=∠CGB=∠CGA=90°，
又∵∠DBF=∠CBG，BD=BC，
∴，
∴DF=CG，.
又，
∴≌，
.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，，，延长交于.求证：.
【答案】详见解析
【分析】如图，过点D作的延长线于点G，易证，再证即可得答案.
【详解】如图，过点D作的延长线于点G，
，
，
，
又∵∠ACB=∠BGD=90°，BA=BD，
∴，
，
又∵BC=BE，
，
又∵∠EBF=∠DGF=90°，∠EFB=∠DFG，
∴，
∴EF=DF.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，学会添加常用辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
【变式3-3】（23-24八年级·江西抚州·期中）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．
【答案】见解析
【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可；
方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可．
【详解】证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F=∠CGE=90°，
在△BFE和△CGE中，，
∴△BFE≌△CGE（AAS），
∴BF=CG，
在△ABF和△DCG中，，
∴△ABF≌△DCG（AAS），
∴AB=CD；
方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F．
∴∠F=∠BAE．
又∵∠BAE=∠D，
∴∠F=∠D，
∴CF=CD，
在△ABE和△FCE中，，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB=CF，
∴AB=CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
【题型4 倍长中线构造全等】
【例4】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知，点是的中点，且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论．
【详解】解：延长AE、BC交于点M，如下图所示
∵点是的中点，
∴DE=CE，
∵
∴∠1=∠M
在△ADE和△MCE中
∴△ADE≌△MCE
∴AD=MC，AE=ME
∵
∴MC＋BC=AB
∴BM=AB
在△BAE和△BME中
∴△BAE≌△BME
∴∠BEA=∠BEM
∵∠BEA＋∠BEM=180°
∴∠BEA=∠BEM=90°
∴
【点睛】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．
【变式4-1】（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）已知三角形的两边长分别是2和4，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是 ．
【答案】1＜x＜3
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【详解】解：如图所示，AB＝2，AC＝4，
延长AD至E，使AD＝DE，
在△BDE与△CDA中，
∵AD＝DE，BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，
∴△BDE≌△CDA，
∴AE＝2x，BE＝AC＝4，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即4﹣2＜2x＜4+2，
∴1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
【点睛】本题考查了三角形的中线、三角形三边关系，有关三角形的中线问题，通常要倍数延长三角形的中线，把三角形的一边变换到与另一边和中线的两倍组成三角形，再根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
【变式4-2】（23-24八年级·北京房山·期末）如图，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延长CB到点E，使BE=BD，连接AE．
（1）依题意补全图形；
（2）试判断AE与CD的数量关系，并进行证明．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）直接延长CB到点E，使BE=BD即可；
（2）延长至点，使得，连接，可证得 ，则，再通过证明 ，可得到，从而得到即可．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图，
判断：
证明如下：
延长至点，使得，连接
在和中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵AD平分∠BAC
∴
在和中，
∵
∴
∴
又∵
∴
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，主要涉及倍长中线的模型，熟记基本模型是解题关键．
【变式4-3】（23-24八年级·江西宜春·阶段练习）阅读理解：
（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______．
（2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：．
（3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）如图1延长到点，使得，再连接，由AD为中线，推出BD=CD，可证△ACD≌△EBD（SAS）得AC=EB，在中，由三边关系即可，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG由D为BC中点，BD=CD可证△FCD≌△GBD（SAS）得FC=GB，由，DF=DG得EF=EG，在△BEG中 由三边关系，
（3）如图3，延长AD到G使DG=AD，连结BG，由是边上的中点，得BD=CD，可证△ACD≌△GBD（SAS）得AC=GB，∠DAC=∠G，利用BE=BG即可推得答案，
【详解】（1）如图1延长到点，使得，再连接，
∵AD为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△ EDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠EDB，
AD=ED，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=6，
，
∵，
∴，
∴，
（2）如图2延长FD到G，使DG=FD，连结BG，EG，
由D为BC中点，BD=CD，
在△FDC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠FDC=∠GDB，
FD=GD，
∴△FCD≌△GBD（SAS），
∴FC=GB，
∵，DF=DG，
∴EF=EG，
在△BEG中EG
由是边上的中点，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∵CD=BD，
∠ADC=∠GDB，
AD=GD，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴AC=GB，∠DAC=∠G，
∵BE=AC，
∴BE=BG，
∴∠BED=∠G=∠CAD．
【点睛】本题考查中线加倍，三角形全等，三边关系，垂直平分线，等腰三角形，掌握中线加倍构造三角形，用三角形全等转化等量关系，用三边关系求取值范围，用垂直平分线转化线段，用等腰三角形证角是解题关键．
【题型5 截长补短构造全等】
【例5】（23-24八年级·湖北咸宁·期中）如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F．
(1)求证：；
(2)连接，则的值为__________；
(3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论；
（2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可；
（3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接，
∴，
∵E是边的中点，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∵正方形外角的平分线为，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵点，分别为，的中点，
∴为的中位线，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：，理由如下：
如图所示，延长至点，使得，连接，
由正方形基本性质得：，，
∴，
∴，，
由（1）知，，且，
∴，
∴，
∴，即：，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分线CD交AB于点D，已知AC=16，BC=9，则BD的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】如图，在上截取 连接证明利用全等三角形的性质证明 求解 再证明 从而可得答案．
【详解】解：如图，在上截取 连接
平分
故选：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-2】（23-24八年级·江西景德镇·期末）如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．
【答案】见解析
【分析】延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．
【详解】解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中，，
∴△FCE≌△F′CE（SAS），
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△F′BE中，，
∴△ABE≌△F′BE（AAS），
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴AE+BE=BE+EF=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
【变式5-3】（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证
（2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证；
（3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证．
【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
方法：延长到，使，连接，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
；
（2），，之间的数量关系为．
方法1：理由如下：
如图，在上截取，连接，
由知，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
．
方法：理由：延长到，使，连接，
由知，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）线段、、之间的数量关系为．
连接，过点作于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
【题型6 补全图形构造全等】
【例6】（23-24八年级·山东泰安·期末）已知，如图中，，，的平分线交于点，，
求证：.
【答案】见解析.
【分析】延长BD交CA的延长线于F，先证得△ACE≌△ABF，得出CE=BF；再证△CBD≌△CFD，得出BD=DF；由此得出结论即可．
【详解】证明：如图，
延长交的延长线于，
平分
【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，根据已知条件，作出辅助线是解决问题的关键．
【变式6-1】（23-24八年级·福建漳州·期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
(1)根据给出的线段及∠B，以线段为直角边，在给出的图形上用尺规作出的斜边，使得，保留作图痕迹，不写作法；
(2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）根据图形和命题的已知事项写出已知，根据命题的未知事项写出求证，再写出证明过程即可．
【详解】（1）解：如图所示，线段为所求作的线段；
（2）已知：如图，是直角三角形，，．
求证：．
解法一：如图，在上截取一点，使得，连接．
∵，，∴．
∵，∴是等边三角形．
∴，．
∵，∴．
∴．∴．
∵，∴．
解法二：如图，延长至点，使，连接．
∵，，
∴，，
∵，，，
∴．∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，∴．
【点睛】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角及命题的证明过程的书写格式，掌握相关内容是解题的关键．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
【变式6-3】（23-24·北京海淀·八年级期末）在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．
（1）如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD 的大小为_________；
（2）如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；
（3）已知∠BAC的大小为m（），若∠CBD 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出的大小．
【答案】（1）30°；（2）30°；（3）为或或．
【分析】（1）由，，可以确定，旋转角为，时是等边三角形，且，知道的度数，进而求得的大小；
（2）由，，可以确定，连接、．，，，由案．依次证明，．利用角度相等可以得到答案．
（3）结合（1）（2）的解题过程可以发现规律，是等边三角形时，在内部时，在外部时，求得答案．
【详解】解：（1）解（1）∵，，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴．
又∵，
∴为等腰三角形，
∴，
∴．
（2）方法1：如图作等边，连接、．
，．
，，
．
，
．
．①
，，
．②
，③
由①②③，得，
，．
，，
．
，，
．
．
．④
，，
．⑤
，⑥
由④⑤⑥，得．
．
．
．
．
方法2 如下图所示，构造等边三角形ADE，连接CE．
∵在等腰三角形ACD中，，
∴，
∵，
∴．
可证．
结合角度，可得，．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴．
方法3 如下图所示，平移CD至AE，连接ED，EB，则四边形ACDE是平行四边形．
∵，
∴四边形ACDE是菱形，
∴，．
∴，
∴，
∴是等边三角形，是等腰三角形，
∴，，
∴．
∴．
（3）由（1）知道，若，时，则；
①由（1）可知，设时可得，，
，
．
②由（2）可知，翻折到△，则此时，
，
，
③以为圆心为半径画圆弧交的延长线于点，连接，
，
．
综上所述，为或或时，．
【点睛】本题是一道几何结论探究题，解答这类题目的关键是要善于从探究特殊结论中归纳出一般性解题方法，并灵活运用这种方法解答一般性的问题，真正达到举一反三的目的．
【题型7 旋转构造全等】
【例7】（23-24·四川巴中·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为 ．
【答案】2
【分析】根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．
【详解】解：将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，
由题意可得出：△DAF≌△BAF′，
∴DF=BF′，∠DAF=∠BAF′，
∴∠EAF′=45°，
在△FAE和△EAF′中 ，
∴△FAE≌△EAF′（SAS），
∴EF=EF′，
∵△ECF的周长为4，
∴EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=DF+FC+BC=4，
∴2BC=4，
∴BC=2．
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△FAE≌△EAF′是解题关键．
【变式7-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为 ．
【答案】，，．
【分析】通过旋转至，可得 是等边三角形，将 放在一个三角形中，进而求出各角大小。
【详解】解：将逆时针旋转，得到，
∵，是等边三角形，且旋转角相等，则,
∴是等边三角形. 则
又∵ ∴
故以线段三边构成的三角形为
所以
故答案为： .
【点睛】此题旨在考查图形旋转的特性和实际应用，以及等边三角形的性质，熟练掌握图形的旋转的应用是解题的关键.
【变式7-2】（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，点是等边三角形内一点，且，，，若将绕着点逆时针旋转后得到，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明为等边三角形，得，由可得，在中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出，可求的度数，由此即可解决问题．
【详解】解：连接，由题意可知，
则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴
∴，
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
【变式7-3】（23-24八年级·四川眉山·期末）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长是 ．
【答案】12
【分析】将△BDM绕点D旋转120°，构造出全等三角形，将MN转为为BM+CN即可
【详解】
将△BDM绕点D旋转120°得到△；
∵△由△BDM旋转所得，
∴DM=，BD=DC，BM=∠=∠BDM；
∵∠BDC＝120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠CDN=120°-60°=60°，
故∠+∠CDN=60°，即∠=60°；
在△MDN和△中∶
DM=，∠=∠MDN，DN=DN
∴△MDN≌△；
∴MN=；
△AMN的周长=AM+AN+MN
=AM+AN+
=AM+AN+CN+
=(AM+)+(AN+CN)
=AB+AC；
∵△ABC是边长为6，
∴△AMN的周长=6+6=12．
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和旋转的性质，根据旋转的性质构建全等三角形，将未知长度的边转化为已知长度的边是解题的关键．
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