人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.2三角形全等的判定(基础篇)【十大题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.2三角形全等的判定(基础篇)【十大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 13:10:31 | ||
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文档简介
专题12.2 三角形全等的判定（基础篇）【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用SSS证明三角形全等】 1
【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】 2
【题型3 利用SAS证明三角形全等】 4
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】 5
【题型5 利用ASA证明三角形全等】 6
【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】 7
【题型7 利用AAS证明三角形全等】 9
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】 10
【题型9 利用HL证明三角形全等】 11
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】 12
知识点1：由边边边（SSS）证明两个三角形全等
三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
【题型1 利用SSS证明三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明 或 ．
【变式1-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
【变式1-3】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图，点D在内部，，．求证：．
【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】
【例2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由：
已知：，，，．求：的度数．
解：因为，（已知）
所以______＋______（等式的性质）
即
在和中：
所以（ ）
所以 （全等三角形的相等）
因为
所以 ．
【变式2-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）CB∥EF．
【变式2-2】（23-24八年级·广东肇庆·阶段练习）如图，已知中，，是边上的中线，试猜想：
(1)与的大小关系；
(2)与的位置关系．并证明你的结论．
【变式2-3】（23-24八年级·吉林·期末）如图，已知点在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
知识点2：由边角边（SAS）证明两个三角形全等
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
【题型3 利用SAS证明三角形全等】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点、在上，，要用证，则需添加的条件为 ．
【变式3-2】（23-24·云南昆明·八年级·期末）如图，，．求证：．
【变式3-3】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方作等边，连接，求证：．
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】
【例4】（23-24·陕西·模拟预测）如图，在中，，过点作，且，求证：．
【变式4-1】（23-24八年级·上海·专题练习）如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？
解：因为 ，
即．
又因为（已知），
所以 ．
在和中，
所以 ．
因此．
【变式4-2】（23-24八年级·内蒙古通辽·期中）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结．
(1)求∠的度数．
(2)求证：．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：
(1)；
(2)．
知识点3：由角边角（ASA）证明两个三角形全等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
【题型5 利用ASA证明三角形全等】
【例5】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【变式5-2】（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，、、、在同一条直线上，，，，试说明：．
【变式5-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知：点B、E、C、F在一条直线上，．求证：．
【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】
【例6】（23-24八年级·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ．
【变式6-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在和中，点在边上，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知，的平分线恰好交于上一点，已知，，则 ．
知识点4：由角角边（AAS）证明两个三角形全等
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
【题型7 利用AAS证明三角形全等】
【例7】（23-24·陕西西安·八年级·期末）如图，点在上，，，．求证：
【变式7-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 ．
【变式7-2】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ．
【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥期末）如图，在四边形中，点在边上，．求证：．
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】
【例8】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ．
【变式8-1】（23-24八年级·重庆·期末）在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式8-2】（23-24八年级·上海普陀·期末）如图，已知，，．试说明的理由．
解：因为（已知），
所以（垂直的意义）．
同理 ．
所以（等量代换）．
在和中，
所以（ ）．
得 （全等三角形的对应边相等）．
又因为（已知），
所以（ ）．
【变式8-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，其中于点B，于点E，点P在上，已知，．
(1)求证：；
(2)求的长．
知识点5：由斜边、直角边（HL）证明两个三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
【题型9 利用HL证明三角形全等】
【例9】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，，是上一点，且，连接、，．求证：．
【变式9-2】（23-24八年级·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】
【例10】（23-24八年级·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．
(1)猜想此时与的位置关系，并说明理由；
(2)求的长．
【变式10-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线．如图，在的两边上，分别取，将两个直角三角板的直角顶点放在点，处作，的垂线，交点为，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点，画射线 就得到的平分线．
【变式10-2】（23-24八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，，．求证：．
【变式10-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，已知是的高，E为上一点，交于点F，且，求的度数．
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专题12.2 三角形全等的判定（基础篇）【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用SSS证明三角形全等】 1
【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】 4
【题型3 利用SAS证明三角形全等】 8
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】 10
【题型5 利用ASA证明三角形全等】 14
【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】 17
【题型7 利用AAS证明三角形全等】 20
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】 23
【题型9 利用HL证明三角形全等】 27
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】 29
知识点1：由边边边（SSS）证明两个三角形全等
三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
【题型1 利用SSS证明三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的应用，由点，分别是，的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
【详解】解：∵点，分别是，的三等分点，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
故选：D．
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明 或 ．
【答案】
【分析】由、、可证出；由、、可证出．综上即可得出结论．
【详解】解：在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
【变式1-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【变式1-3】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图，点D在内部，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由，可知，再利用即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】
【例2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由：
已知：，，，．求：的度数．
解：因为，（已知）
所以______＋______（等式的性质）
即
在和中：
所以（ ）
所以 （全等三角形的相等）
因为
所以 ．
【答案】；；对应角；
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要考查了学生的逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
根据，，得出，再利用证明 ，即可得出结论．
【详解】解：因为，（已知）
所以（等式的性质）
即
在和中：
所以
所以（全等三角形的对应角相等）
因为所以．
故答案为：；；；；；；；；对应角；．
【变式2-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）CB∥EF．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）由SSS证明△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，由内错角相等即可得出结论；
（2）由（1）得：∠ABC=∠DEF，得出∠CBE=∠FEB，由内错角相等即可得出结论．
试题解析：（1）∵AE=DB，
∴AE-BE=DB-BE，
即AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，
∴AC∥DF；
（2）由（1）得：∠ABC=∠DEF，
∴∠CBE=∠FEB，
∴CB∥EF.
【变式2-2】（23-24八年级·广东肇庆·阶段练习）如图，已知中，，是边上的中线，试猜想：
(1)与的大小关系；
(2)与的位置关系．并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）本题考查三角形中线的性质和三角形全等的判定与性质，灵活利用三角形全等判定，即可解题．
（2）本题考查利用三角形全等的性质，再结合邻补角互补即可证明该题．
【详解】（1）解：，理由如下：
是边上的中线，
，
在与中，
，
．
（2），理由如下：
证明：（已证），
，
，
，
．
【变式2-3】（23-24八年级·吉林·期末）如图，已知点在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)是等腰三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识．
（1）根据即可证明；
（2）由（1）可知，即可得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在与中，
，
；
（2）解：是等腰三角形．理由：
，
，
，
即是等腰三角形．
知识点2：由边角边（SAS）证明两个三角形全等
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
【题型3 利用SAS证明三角形全等】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．
【答案】（或边角边）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等．
【详解】由题意知，，
在和中，
，
．
故答案为：．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点、在上，，要用证，则需添加的条件为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据且证，则添加条件为，即可作答．
【详解】解：∵运用证，且
∴添加条件为
即和中
∴
故答案为：
【变式3-2】（23-24·云南昆明·八年级·期末）如图，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据直接证明两三角形全等，即可得证．
【详解】证明：在和中，
∵，
∴
【变式3-3】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方作等边，连接，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定．先根据等边三角形的性质可得，，，从而可得，，再利用即可得证．
【详解】证明：，均为等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，，
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】
【例4】（23-24·陕西·模拟预测）如图，在中，，过点作，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，利用证明，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即．
【变式4-1】（23-24八年级·上海·专题练习）如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？
解：因为 ，
即．
又因为（已知），
所以 ．
在和中，
所以 ．
因此．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．
根据三角形外角的性质可得，再根据，证明，然后证明，得到．
【详解】解：因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即．
又因为（已知），
所以．
，
在和中，
所以．
因此．
【变式4-2】（23-24八年级·内蒙古通辽·期中）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结．
(1)求∠的度数．
(2)求证：．
【答案】(1)115°
(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质；
（1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】（1）解：．
．
，
；
（2）证明：在中，，，
．
．
在和中，
，
，
．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是根据三角形全等的判定方法，证明．
（1）利用正方形的性质得，，再利用得，即可证明；
（2）由（1）知，再结合条件证得，即．
【详解】（1）证明：∵四边形、都是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：设与相交于点，与相交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
知识点3：由角边角（ASA）证明两个三角形全等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
【题型5 利用ASA证明三角形全等】
【例5】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了利用证明三角形全等，由P为的中点，可得，再由对顶角相等可得出，结合已知条件可得出．
【详解】解为的中点，
．
又 ，
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键．
①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等来说理．
【详解】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等，故本选项符合题意；
B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式5-2】（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，、、、在同一条直线上，，，，试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可证明结论．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
) ．
【变式5-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知：点B、E、C、F在一条直线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，由平行线的性质得到，，由线段之间的关系得到，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】
【例6】（23-24八年级·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ．
【答案】3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
【变式6-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据，，再根据对顶角相等，利用证明即可．
【详解】解：由题意，得，，
在与中，
∴，
∴，
∴小开这样判断的依据是．
故选：D．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在和中，点在边上，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用“”证明是解题关键．
（1）首先证明，然后利用“”证明即可；
（2）首先根据全等三角形的性质可得，，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质可得，然后由求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∴．
【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知，的平分线恰好交于上一点，已知，，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．延长交的延长线于点，根据等腰三角形的性质得到，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出．
【详解】解：延长交的延长线于点，
平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：7．
知识点4：由角角边（AAS）证明两个三角形全等
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
【题型7 利用AAS证明三角形全等】
【例7】（23-24·陕西西安·八年级·期末）如图，点在上，，，．求证：
【答案】见详解
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据“”可判断．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【详解】解：，
，
在和中，
，
．
【变式7-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 ．
【答案】
【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．
根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定．
【详解】解： ，
，
两根高度相同的木杆竖直插在地面上，
∴，，
在和中，
，
∴．
故答案为：．
【变式7-2】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过，，可得，即可通过证明．
【详解】证明：，
，即，
，
，
即，
在与中，
．
【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥期末）如图，在四边形中，点在边上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了全等三角形的判定．利用等角的余角相等求得和，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】
【例8】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，，即可得出答案．
【详解】解：是边上的高，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：6．
【变式8-1】（23-24八年级·重庆·期末）在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）根据“”证明即可；
（2）根据三角形内角和定理得出，根据，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式8-2】（23-24八年级·上海普陀·期末）如图，已知，，．试说明的理由．
解：因为（已知），
所以（垂直的意义）．
同理 ．
所以（等量代换）．
在和中，
所以（ ）．
得 （全等三角形的对应边相等）．
又因为（已知），
所以（ ）．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，垂线的意义，根据垂线得意义可得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明．
【详解】解：因为（已知），
所以（垂直的意义）．
同理．
所以（等量代换）．
在和中，
所以（）．
得（全等三角形的对应边相等）．
又因为（已知），
所以（等腰三角形三线合一性质）
【变式8-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，其中于点B，于点E，点P在上，已知，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据垂直及各角之间的等量代换得出，再由全等三角形的判定即可证明；
（2）由题意得：，，再由全等三角形的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
在和中
，
∴；
（2）解：由题意得：，，
由（1）得，
∴，．
∴．
答：的长为．
知识点5：由斜边、直角边（HL）证明两个三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
【题型9 利用HL证明三角形全等】
【例9】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，添加的条件为，
∵，，
∴，
故选：D．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，，是上一点，且，连接、，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，等角对等边，先由平行线的性质求出，再由等角对等边得到，据此利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式9-2】（23-24八年级·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：C．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．
【详解】证明：∵与分别为，边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】
【例10】（23-24八年级·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．
(1)猜想此时与的位置关系，并说明理由；
(2)求的长．
【答案】(1)；见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
（1）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）根据，得出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵于D，于E，
∴，
又∵根据题意得：，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
答：的长为．
【变式10-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线．如图，在的两边上，分别取，将两个直角三角板的直角顶点放在点，处作，的垂线，交点为，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点，画射线 就得到的平分线．
【答案】
【分析】本题考查作图之应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，证明，推出，即可求得．
【详解】解：如图，作射线，
在和中，
，
，
，
射线平分．
故答案为：．
【变式10-2】（23-24八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用证明即可得到结论．
【详解】证明：∵，
在和中，
，
∴．
∴．
【变式10-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，已知是的高，E为上一点，交于点F，且，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够灵活运用其性质是解题的关键．根据证明得，推出是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
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【人教版】
【题型1 利用SSS证明三角形全等】 1
【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】 2
【题型3 利用SAS证明三角形全等】 4
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】 5
【题型5 利用ASA证明三角形全等】 6
【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】 7
【题型7 利用AAS证明三角形全等】 9
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】 10
【题型9 利用HL证明三角形全等】 11
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】 12
知识点1：由边边边（SSS）证明两个三角形全等
三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
【题型1 利用SSS证明三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明 或 ．
【变式1-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
【变式1-3】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图，点D在内部，，．求证：．
【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】
【例2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由：
已知：，，，．求：的度数．
解：因为，（已知）
所以______＋______（等式的性质）
即
在和中：
所以（ ）
所以 （全等三角形的相等）
因为
所以 ．
【变式2-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）CB∥EF．
【变式2-2】（23-24八年级·广东肇庆·阶段练习）如图，已知中，，是边上的中线，试猜想：
(1)与的大小关系；
(2)与的位置关系．并证明你的结论．
【变式2-3】（23-24八年级·吉林·期末）如图，已知点在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
知识点2：由边角边（SAS）证明两个三角形全等
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
【题型3 利用SAS证明三角形全等】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点、在上，，要用证，则需添加的条件为 ．
【变式3-2】（23-24·云南昆明·八年级·期末）如图，，．求证：．
【变式3-3】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方作等边，连接，求证：．
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】
【例4】（23-24·陕西·模拟预测）如图，在中，，过点作，且，求证：．
【变式4-1】（23-24八年级·上海·专题练习）如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？
解：因为 ，
即．
又因为（已知），
所以 ．
在和中，
所以 ．
因此．
【变式4-2】（23-24八年级·内蒙古通辽·期中）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结．
(1)求∠的度数．
(2)求证：．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：
(1)；
(2)．
知识点3：由角边角（ASA）证明两个三角形全等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
【题型5 利用ASA证明三角形全等】
【例5】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：．
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【变式5-2】（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，、、、在同一条直线上，，，，试说明：．
【变式5-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知：点B、E、C、F在一条直线上，．求证：．
【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】
【例6】（23-24八年级·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ．
【变式6-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在和中，点在边上，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知，的平分线恰好交于上一点，已知，，则 ．
知识点4：由角角边（AAS）证明两个三角形全等
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
【题型7 利用AAS证明三角形全等】
【例7】（23-24·陕西西安·八年级·期末）如图，点在上，，，．求证：
【变式7-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 ．
【变式7-2】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ．
【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥期末）如图，在四边形中，点在边上，．求证：．
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】
【例8】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ．
【变式8-1】（23-24八年级·重庆·期末）在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【变式8-2】（23-24八年级·上海普陀·期末）如图，已知，，．试说明的理由．
解：因为（已知），
所以（垂直的意义）．
同理 ．
所以（等量代换）．
在和中，
所以（ ）．
得 （全等三角形的对应边相等）．
又因为（已知），
所以（ ）．
【变式8-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，其中于点B，于点E，点P在上，已知，．
(1)求证：；
(2)求的长．
知识点5：由斜边、直角边（HL）证明两个三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
【题型9 利用HL证明三角形全等】
【例9】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，，是上一点，且，连接、，．求证：．
【变式9-2】（23-24八年级·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】
【例10】（23-24八年级·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．
(1)猜想此时与的位置关系，并说明理由；
(2)求的长．
【变式10-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线．如图，在的两边上，分别取，将两个直角三角板的直角顶点放在点，处作，的垂线，交点为，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点，画射线 就得到的平分线．
【变式10-2】（23-24八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，，．求证：．
【变式10-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，已知是的高，E为上一点，交于点F，且，求的度数．
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专题12.2 三角形全等的判定（基础篇）【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用SSS证明三角形全等】 1
【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】 4
【题型3 利用SAS证明三角形全等】 8
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】 10
【题型5 利用ASA证明三角形全等】 14
【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】 17
【题型7 利用AAS证明三角形全等】 20
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】 23
【题型9 利用HL证明三角形全等】 27
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】 29
知识点1：由边边边（SSS）证明两个三角形全等
三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．
当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．
【题型1 利用SSS证明三角形全等】
【例1】（23-24八年级·山西晋中·期末）如图是某款雨伞的实物图，图是该雨伞部分骨架示意图．测得，点，分别是，的三等分点，，那么的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的应用，由点，分别是，的三等分点，，得出，根据三边对应相等，证明．解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
【详解】解：∵点，分别是，的三等分点，
∴，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
故选：D．
【变式1-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，，，用三角形全等的判定“SSS”可证明 或 ．
【答案】
【分析】由、、可证出；由、、可证出．综上即可得出结论．
【详解】解：在和中，
，
∴；
在和中，
，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．
【变式1-2】（23-24八年级·广东广州·期中）如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明见解析．
【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【变式1-3】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图，点D在内部，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的判定，由，可知，再利用即可证明结论，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【题型2 SSS与全等三角形的性质综合应用】
【例2】（23-24八年级·山东菏泽·阶段练习）阅读并完成下面的推理过程以及括号内的理由：
已知：，，，．求：的度数．
解：因为，（已知）
所以______＋______（等式的性质）
即
在和中：
所以（ ）
所以 （全等三角形的相等）
因为
所以 ．
【答案】；；对应角；
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要考查了学生的逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
根据，，得出，再利用证明 ，即可得出结论．
【详解】解：因为，（已知）
所以（等式的性质）
即
在和中：
所以
所以（全等三角形的对应角相等）
因为所以．
故答案为：；；；；；；；；对应角；．
【变式2-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，已知AE=DB，BC=EF，AC=DF，求证：（1）AC∥DF；（2）CB∥EF．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【详解】试题分析：（1）由SSS证明△ABC≌△DEF，得出对应角相等∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，由内错角相等即可得出结论；
（2）由（1）得：∠ABC=∠DEF，得出∠CBE=∠FEB，由内错角相等即可得出结论．
试题解析：（1）∵AE=DB，
∴AE-BE=DB-BE，
即AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A=∠D，∠ABC=∠DEF，
∴AC∥DF；
（2）由（1）得：∠ABC=∠DEF，
∴∠CBE=∠FEB，
∴CB∥EF.
【变式2-2】（23-24八年级·广东肇庆·阶段练习）如图，已知中，，是边上的中线，试猜想：
(1)与的大小关系；
(2)与的位置关系．并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）本题考查三角形中线的性质和三角形全等的判定与性质，灵活利用三角形全等判定，即可解题．
（2）本题考查利用三角形全等的性质，再结合邻补角互补即可证明该题．
【详解】（1）解：，理由如下：
是边上的中线，
，
在与中，
，
．
（2），理由如下：
证明：（已证），
，
，
，
．
【变式2-3】（23-24八年级·吉林·期末）如图，已知点在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)是等腰三角形
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识．
（1）根据即可证明；
（2）由（1）可知，即可得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在与中，
，
；
（2）解：是等腰三角形．理由：
，
，
，
即是等腰三角形．
知识点2：由边角边（SAS）证明两个三角形全等
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．
此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．
【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．
（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
【题型3 利用SAS证明三角形全等】
【例3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，小明要测量水池的宽，但没有足够长的绳子，聪明的他想了如下办法：先在地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到，使，连接并延长到，使，连接并测量出它的长度，则的长度就是的长，理由是根据 （用简写形式即可），可以得到，从而由全等三角形的对应边相等得出结论．
【答案】（或边角边）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意知，，，可用证明两三角形全等．
【详解】由题意知，，
在和中，
，
．
故答案为：．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，点、在上，，要用证，则需添加的条件为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据且证，则添加条件为，即可作答．
【详解】解：∵运用证，且
∴添加条件为
即和中
∴
故答案为：
【变式3-2】（23-24·云南昆明·八年级·期末）如图，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据直接证明两三角形全等，即可得证．
【详解】证明：在和中，
∵，
∴
【变式3-3】（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，等边中，是的角平分线，为上一点，以为一边且在下方作等边，连接，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定．先根据等边三角形的性质可得，，，从而可得，，再利用即可得证．
【详解】证明：，均为等边三角形，
，，
，
，即，
在和中，，
【题型4 SAS与全等三角形的性质综合应用】
【例4】（23-24·陕西·模拟预测）如图，在中，，过点作，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，利用证明，根据“全等三角形的对应边相等”即可得证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即．
【变式4-1】（23-24八年级·上海·专题练习）如图，在中，已知点、、分别在边、、上，且，，，那么和的大小关系如何？为什么？
解：因为 ，
即．
又因为（已知），
所以 ．
在和中，
所以 ．
因此．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键．
根据三角形外角的性质可得，再根据，证明，然后证明，得到．
【详解】解：因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
即．
又因为（已知），
所以．
，
在和中，
所以．
因此．
【变式4-2】（23-24八年级·内蒙古通辽·期中）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结．
(1)求∠的度数．
(2)求证：．
【答案】(1)115°
(2)见解析
【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质；
（1）根据得出，进而根据三角形外角的性质可得出答案；
（2）证明，根据全等三角形的性质即可得出．
【详解】（1）解：．
．
，
；
（2）证明：在中，，，
．
．
在和中，
，
，
．
【变式4-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，四边形、都是正方形，连接、．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是根据三角形全等的判定方法，证明．
（1）利用正方形的性质得，，再利用得，即可证明；
（2）由（1）知，再结合条件证得，即．
【详解】（1）证明：∵四边形、都是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：设与相交于点，与相交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
知识点3：由角边角（ASA）证明两个三角形全等
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．
用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．
【题型5 利用ASA证明三角形全等】
【例5】（23-24八年级·河南郑州·期末）如图，为的中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点．试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了利用证明三角形全等，由P为的中点，可得，再由对顶角相等可得出，结合已知条件可得出．
【详解】解为的中点，
．
又 ，
【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）一块三角形玻璃被摔成如图所示的四块，小江想去买一块形状、大小与原来一样的玻璃，但是他只想带去其中的两块，则这两块玻璃的编号可以是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的应用，学会把实际问题转化为数学问题是解答的关键．
①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等来说理．
【详解】解：A、①②两块玻璃是已知两角及其一夹边，可用证明全等，故本选项符合题意；
B、②④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
C、③④两块玻璃是已知一角，无法证明全等，故本选项不符合题意；
D、①④两块玻璃是已知两角，无法证明全等，故本选项不符合题意．
故选：A．
【变式5-2】（23-24八年级·山东枣庄·阶段练习）如图，、、、在同一条直线上，，，，试说明：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可证明结论．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
) ．
【变式5-3】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知：点B、E、C、F在一条直线上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，由平行线的性质得到，，由线段之间的关系得到，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴．
【题型6 ASA与全等三角形的性质综合应用】
【例6】（23-24八年级·云南昭通·阶段练习）如图，，，，，则等于 ．
【答案】3；
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，根据得到，结合角边角判定即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
【变式6-1】（23-24八年级·重庆·期末）如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B处，选对岸正对的一棵树A，然后沿河岸直行到达树C，继续前行到达点D处，再从点D处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A正好被树C遮挡住的点E处时，停止行走，此时的长度即为河岸的宽度．小开这样判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据，，再根据对顶角相等，利用证明即可．
【详解】解：由题意，得，，
在与中，
∴，
∴，
∴小开这样判断的依据是．
故选：D．
【变式6-2】（23-24八年级·浙江·期末）如图，在和中，点在边上，，，．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用“”证明是解题关键．
（1）首先证明，然后利用“”证明即可；
（2）首先根据全等三角形的性质可得，，再结合等腰三角形“等边对等角”的性质可得，然后由求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∴．
【变式6-3】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知，的平分线恰好交于上一点，已知，，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．延长交的延长线于点，根据等腰三角形的性质得到，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出．
【详解】解：延长交的延长线于点，
平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：7．
知识点4：由角角边（AAS）证明两个三角形全等
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．
【题型7 利用AAS证明三角形全等】
【例7】（23-24·陕西西安·八年级·期末）如图，点在上，，，．求证：
【答案】见详解
【分析】先根据平行线的性质得到，然后根据“”可判断．本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【详解】解：，
，
在和中，
，
．
【变式7-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是 ．
【答案】
【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．
根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定．
【详解】解： ，
，
两根高度相同的木杆竖直插在地面上，
∴，，
在和中，
，
∴．
故答案为：．
【变式7-2】（23-24·山东淄博·八年级·期末）如图， 点在的外部，点在上，交于点， ，．求证： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和，熟知判定方法是解题的关键．通过，，可得，即可通过证明．
【详解】证明：，
，即，
，
，
即，
在与中，
．
【变式7-3】（23-24八年级·安徽合肥期末）如图，在四边形中，点在边上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】
本题考查了全等三角形的判定．利用等角的余角相等求得和，再利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【题型8 AAS与全等三角形的性质综合应用】
【例8】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且交于点F，若，则线段的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，，即可得出答案．
【详解】解：是边上的高，是边上的高，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故答案为：6．
【变式8-1】（23-24八年级·重庆·期末）在中，，过点A作于点D，延长至点E，使得，过点E作，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）根据“”证明即可；
（2）根据三角形内角和定理得出，根据，求出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴．
【变式8-2】（23-24八年级·上海普陀·期末）如图，已知，，．试说明的理由．
解：因为（已知），
所以（垂直的意义）．
同理 ．
所以（等量代换）．
在和中，
所以（ ）．
得 （全等三角形的对应边相等）．
又因为（已知），
所以（ ）．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形三线合一的性质，垂线的意义，根据垂线得意义可得出，再利用证明，根据全等三角形的性质可得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明．
【详解】解：因为（已知），
所以（垂直的意义）．
同理．
所以（等量代换）．
在和中，
所以（）．
得（全等三角形的对应边相等）．
又因为（已知），
所以（等腰三角形三线合一性质）
【变式8-3】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，其中于点B，于点E，点P在上，已知，．
(1)求证：；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
（1）根据垂直及各角之间的等量代换得出，再由全等三角形的判定即可证明；
（2）由题意得：，，再由全等三角形的性质结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：由题意得：，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴
在和中
，
∴；
（2）解：由题意得：，，
由（1）得，
∴，．
∴．
答：的长为．
知识点5：由斜边、直角边（HL）证明两个三角形全等
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．
“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立．
【题型9 利用HL证明三角形全等】
【例9】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，添加的条件为，
∵，，
∴，
故选：D．
【变式9-1】（23-24八年级·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，，是上一点，且，连接、，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，等角对等边，先由平行线的性质求出，再由等角对等边得到，据此利用即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【变式9-2】（23-24八年级·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：C．
【变式9-3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．
【答案】见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．
【详解】证明：∵与分别为，边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【题型10 HL与全等三角形的性质综合应用】
【例10】（23-24八年级·广西贵港·期末）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．
(1)猜想此时与的位置关系，并说明理由；
(2)求的长．
【答案】(1)；见解析
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
（1）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）根据，得出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵于D，于E，
∴，
又∵根据题意得：，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
答：的长为．
【变式10-1】（23-24八年级·辽宁大连·期末）一天数学课堂上，小明忘记了带圆规，于是他尝试用直角三角板来画角平分线．如图，在的两边上，分别取，将两个直角三角板的直角顶点放在点，处作，的垂线，交点为，一个三角板的斜边与另一个三角板直角边交于点，画射线 就得到的平分线．
【答案】
【分析】本题考查作图之应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，证明，推出，即可求得．
【详解】解：如图，作射线，
在和中，
，
，
，
射线平分．
故答案为：．
【变式10-2】（23-24八年级·江苏盐城·期末）已知：如图，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用证明即可得到结论．
【详解】证明：∵，
在和中，
，
∴．
∴．
【变式10-3】（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，已知是的高，E为上一点，交于点F，且，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，能够灵活运用其性质是解题的关键．根据证明得，推出是等腰直角三角形，由此即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
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