人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.7全等三角形单元提升卷(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题12.7全等三角形单元提升卷(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 961.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 13:11:48 | ||
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文档简介
第12章 全等三角形单元提升卷
【人教版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·黑龙江黑河·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同;
B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关;
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形;
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2．（3分）（23-24八年级·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2011·北京·一模）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝4，BC＝5，AC＝1 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝40°
C．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5 D．∠C＝90°，AB＝8
5．（3分）（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
6．（3分）（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（ ）
A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
7．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（3分）（23-24八年级·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
9．（3分）（23-24八年级·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
10．（3分）（23-24八年级·山东济南·期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，，，则 ．
12．（3分）（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ．
13．（3分）（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得．
14．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．
15．（3分）（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．
16．（3分）（23-24八年级·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
(1)求证：
(2)若，，，求的度数．
18．（6分）（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为，
(1)求证：；
(2)求小华从点B走到点E的时间．
19．（8分）（23-24八年级·河南郑州·期中）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角；
项目数据 …
任务：
(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ；
A．②→③→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．②→④→③→①
(2)若，则 ；
(3)请你说明他们作法的正确性．
20．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）在的高、交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
21．（8分）（23-24八年级·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点E．若，，求的度数．
解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容）
∵（已知），
（ ），
∴（ ），
．
∵平分（已知），
∴（ ），
．
∴（ ），
．
∵（已知），
∴（ ）．
在直角三角形中，
∵（ ），
∴．
22．（8分）（23-24八年级·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴，
在中，（依据2），
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A．； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
23．（8分）（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）【问题背景】
如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点．
【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上；
【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系；
【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第12章 全等三角形单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·黑龙江黑河·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同;
B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关;
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形;
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
【答案】C
【分析】直接利用全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”与性质“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可得．
【详解】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，选项说法正确，不符合题意；
B、图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关，选项说法正确，不符合题意；
C、全等图形的面积相等，但面积相等的两个图形不一定是全等图形；选项说法错误，符合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，选项说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义与性质，解题的关键是掌握全等三角形的定义与性质．
2．（3分）（23-24八年级·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的知识．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．
【详解】解：图中的两个三角形全等
与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角
故选：D．
3．（2011·北京·一模）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知O是的中点，再加上对顶角相等即可证明，利用证明全等．本题考查了三角形全等的判定方法，认真观察图形，选择合适的方法是解此题的关键．
【详解】解：∵将两根钢条的中点O连在一起，
∴，
在和中，
，
∴ ，
故选：B．
4．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝4，BC＝5，AC＝1 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝40°
C．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5 D．∠C＝90°，AB＝8
【答案】C
【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得
【详解】A、因为AB+ AC= BC，所以这三边不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、根据AB=5，BC=4，∠A=40°不能画出唯一三角形，如图所示△ABD和△ABC，故本选项不符合题意；
C、根据∠A=60°，∠B=50°，AB=5，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个唯一的三角形，故本选项不符合题意；
故选：C
根据题意得，
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．（3分）（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，证明，，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作于，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
同理，，
设的面积为，由题意得，
，
解得，
即的面积为11，
故选：A
6．（3分）（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（ ）
A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
【答案】B
【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．
【详解】解：，，为公共边，
，即甲、乙全等；
中，，即，
虽，，
不全等于，即丙、丁不全等．
综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．找着，即是正确解决本题的关键．
7．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可．
【详解】解：过C作轴于M，轴于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
．
故选:A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出．
8．（3分）（23-24八年级·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键．
，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】解：，．理由如下：
在与中，，
，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
在与中，，
，
∴．
在与中，，
，
∴．
在与中，
，
∴．
在与中，，
∴．
故选：D
9．（3分）（23-24八年级·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．
【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′＋∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
10．（3分）（23-24八年级·山东济南·期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
∴，
，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，才平分，
假设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的①②④；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．属于选择题中的压轴题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，，，则 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，证明得出，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．（3分）（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ．
【答案】30
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O作于M，于N，连接，利用角平分线的性质求得，然后利用求解即可．
【详解】解：过O作于M，于N，连接，
∵点O到边的距离为3，
∴，
∵的周长为20，
∴
∵，的平分线交于点O，，，
∴，
∴
，
故答案为：30．
13．（3分）（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、(在直角三角形中)．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
点在同一条直线上，且，即在和中，已经有两边对应相等，根据判定两个三角形全等的方法：，所以可添加条件为．
【详解】解：．
以下证明添加条件为时，．
，
，
，
，
在和中，
∴．
故答案为：．
14．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．
【答案】4
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据全等三角形的判定画出图形，即可判断．
【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．
由图可得，所有格点三角形的个数是4，
故答案为：4．
15．（3分）（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题考查全等三角形的对应边相等的性质，根据对应角分情况讨论是本题的关键．
用表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与 是对应边两种情况讨论即可．
【详解】解：∵，点为的中点，
，
设点、的运动时间为，则，，
①当时，
，
解得：，
则，
故点的运动速度为：；
②当时，
∵，
∴，
∴，
故点的运动速度为；
故答案为：2或．
16．（3分）（23-24八年级·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ．
【答案】/66度
【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小，
∴当点A、P、E在同一直线上，且时，，
，
，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
(1)求证：
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（6分）（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为，
(1)求证：；
(2)求小华从点B走到点E的时间．
【答案】(1)见解析
(2)8s
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，
（1）先证明，再根据证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，再求出，进而可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
∵，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴小华走的时间是．
19．（8分）（23-24八年级·河南郑州·期中）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角；
项目数据 …
任务：
(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ；
A．②→③→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．②→④→③→①
(2)若，则 ；
(3)请你说明他们作法的正确性．
【答案】(1)D
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了实践操作题——利用全等三角形原理测长度，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的方法．
（1）根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到，标记直杆的底端点，测量的长度”的顺序，从新排列“解决过程”，即得；
（2）根据判定和全等，得到，进一步解答即可；
（3）根据判定的合理性说明他们作法的正确性．
【详解】（1）正确的顺序应是：
②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；
④记下直杆与地面的夹角；
③使直杆顶端缓慢下滑，直到；
①标记测试直杆的底端点，测量的长度．
故答案为：；
（2）在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（3）证明：由（2）知，在和中，
，
，
．
即测量的长度，就等于的长度，即点的高度．
20．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）在的高、交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
（2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数；
（3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系．
此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形．
【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示：
，，
，，
，
（2）解：在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）解：、、的数量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是的高，，
，，
在和中，
，
，
，，
由（2）可知：，即，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
21．（8分）（23-24八年级·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点E．若，，求的度数．
解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容）
∵（已知），
（ ），
∴（ ），
．
∵平分（已知），
∴（ ），
．
∴（ ），
．
∵（已知），
∴（ ）．
在直角三角形中，
∵（ ），
∴．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形内角和等于180°、角平分线的定义和垂直的定义，关键是可以根据题意灵活变化，最终求出所要求的问题的答案．
由，，根据三角形内角和等于，可得的度数，因为平分，从而可得的度数，进而求得的度数，由可得的度数，从而求得的度数．
【详解】解：（已知），
（三角形内角和等于180°），
（等式的性质），
．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
，
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
，
（已知），
（垂直的定义），
在直角三角形中，
（直角三角形的两锐角互余），
．
22．（8分）（23-24八年级·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴，
在中，（依据2），
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A．； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边
(2)C
(3)见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．
（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
（3）判断，即可．
【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）
解：如图，延长至点，使,连接．
是的中线，
,
在与中，
,
，
,
在中，，
即，
．
故选：C．
（3）证明：如图4，延长至F，使连接，
是的中点，
∴,
又
∴ ，
，，
∵，
∴,
,
即，
又∵，
∴ ，
∴，
∴．
23．（8分）（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）【问题背景】
如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点．
【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上；
【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系；
【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答；
（2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答；
（3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。
【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点，
，是的角平分线，
，
点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）；
（2），理由如下：
如图，过点作的垂线段，交的延长线于点，
是的角平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，
根据（2）中原理可得，
是的平分线，
，
，
平分，，，
．
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【人教版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·黑龙江黑河·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同;
B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关;
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形;
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2．（3分）（23-24八年级·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2011·北京·一模）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝4，BC＝5，AC＝1 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝40°
C．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5 D．∠C＝90°，AB＝8
5．（3分）（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
6．（3分）（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（ ）
A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
7．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．（3分）（23-24八年级·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
9．（3分）（23-24八年级·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
10．（3分）（23-24八年级·山东济南·期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，，，则 ．
12．（3分）（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ．
13．（3分）（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得．
14．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．
15．（3分）（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．
16．（3分）（23-24八年级·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
(1)求证：
(2)若，，，求的度数．
18．（6分）（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为，
(1)求证：；
(2)求小华从点B走到点E的时间．
19．（8分）（23-24八年级·河南郑州·期中）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角；
项目数据 …
任务：
(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ；
A．②→③→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．②→④→③→①
(2)若，则 ；
(3)请你说明他们作法的正确性．
20．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）在的高、交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
21．（8分）（23-24八年级·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点E．若，，求的度数．
解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容）
∵（已知），
（ ），
∴（ ），
．
∵平分（已知），
∴（ ），
．
∴（ ），
．
∵（已知），
∴（ ）．
在直角三角形中，
∵（ ），
∴．
22．（8分）（23-24八年级·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴，
在中，（依据2），
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A．； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
23．（8分）（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）【问题背景】
如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点．
【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上；
【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系；
【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第12章 全等三角形单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24八年级·黑龙江黑河·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同;
B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关;
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形;
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
【答案】C
【分析】直接利用全等三角形的定义“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”与性质“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可得．
【详解】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，选项说法正确，不符合题意；
B、图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关，选项说法正确，不符合题意；
C、全等图形的面积相等，但面积相等的两个图形不一定是全等图形；选项说法错误，符合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，选项说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义与性质，解题的关键是掌握全等三角形的定义与性质．
2．（3分）（23-24八年级·上海·专题练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的知识．解题时要认准对应关系．全等图形要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案．
【详解】解：图中的两个三角形全等
与，与分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角
故选：D．
3．（2011·北京·一模）如图，将两根钢条的中点O连在一起，使可以绕着点O自由旋转，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知O是的中点，再加上对顶角相等即可证明，利用证明全等．本题考查了三角形全等的判定方法，认真观察图形，选择合适的方法是解此题的关键．
【详解】解：∵将两根钢条的中点O连在一起，
∴，
在和中，
，
∴ ，
故选：B．
4．（3分）（23-24八年级·山东烟台·期中）根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝4，BC＝5，AC＝1 B．AB＝5，BC＝4，∠A＝40°
C．∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝5 D．∠C＝90°，AB＝8
【答案】C
【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得
【详解】A、因为AB+ AC= BC，所以这三边不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、根据AB=5，BC=4，∠A=40°不能画出唯一三角形，如图所示△ABD和△ABC，故本选项不符合题意；
C、根据∠A=60°，∠B=50°，AB=5，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个唯一的三角形，故本选项不符合题意；
故选：C
根据题意得，
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
5．（3分）（23-24八年级·重庆南岸·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
【答案】A
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据角平分线的性质得到，证明，，根据题意列方程，解方程即可．
【详解】解：如图，作于，
是的角平分线，，，
，
在和中，
，
，
同理，，
设的面积为，由题意得，
，
解得，
即的面积为11，
故选：A
6．（3分）（23-24八年级·河南洛阳·阶段练习）有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（ ）
A．甲、乙全等，丙、丁全等 B．甲、乙全等，丙、丁不全等
C．甲、乙不全等，丙、丁全等 D．甲、乙不全等，丙、丁不全等
【答案】B
【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．
【详解】解：，，为公共边，
，即甲、乙全等；
中，，即，
虽，，
不全等于，即丙、丁不全等．
综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．找着，即是正确解决本题的关键．
7．（3分）（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可．
【详解】解：过C作轴于M，轴于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
．
故选:A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出．
8．（3分）（23-24八年级·河南平顶山·期中）如图，的高与相交于点，，的延长线交于点，则图中共有全等的直角三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：．熟练掌握运用全等三角形的判定方法是解题关键．
，，利用全等三角形的判定可证明，做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】解：，．理由如下：
在与中，，
，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
在与中，，
，
∴．
在与中，，
，
∴．
在与中，
，
∴．
在与中，，
∴．
故选：D
9．（3分）（23-24八年级·重庆开州·期中）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（ ）
A．105° B．110° C．100° D．120°
【答案】C
【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．
【详解】解：如图延长C′D交AB′于H．
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′＋∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
10．（3分）（23-24八年级·山东济南·期中）如图，在和中，，，，，连接相交于点M，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】由SAS证明得出，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作，如图所示：则，由AAS证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，即，
在和中，
，
∴，
，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
∴平分，④正确；
∵，
∴当时，才平分，
假设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的①②④；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．属于选择题中的压轴题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，，，，则 ．
【答案】/55度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，证明得出，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出答案．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．（3分）（23-24八年级·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为3，且的周长为20，则的面积为 ．
【答案】30
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O作于M，于N，连接，利用角平分线的性质求得，然后利用求解即可．
【详解】解：过O作于M，于N，连接，
∵点O到边的距离为3，
∴，
∵的周长为20，
∴
∵，的平分线交于点O，，，
∴，
∴
，
故答案为：30．
13．（3分）（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，已知在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，，．请你添加一个条件 ，使得．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、(在直角三角形中)．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
点在同一条直线上，且，即在和中，已经有两边对应相等，根据判定两个三角形全等的方法：，所以可添加条件为．
【详解】解：．
以下证明添加条件为时，．
，
，
，
，
在和中，
∴．
故答案为：．
14．（3分）（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是 ．
【答案】4
【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据全等三角形的判定画出图形，即可判断．
【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．
由图可得，所有格点三角形的个数是4，
故答案为：4．
15．（3分）（23-24八年级·四川成都·期中）如图，在中，，D是的中点．点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动，它们运动的时间为，设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题考查全等三角形的对应边相等的性质，根据对应角分情况讨论是本题的关键．
用表示出相关线段，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与 是对应边两种情况讨论即可．
【详解】解：∵，点为的中点，
，
设点、的运动时间为，则，，
①当时，
，
解得：，
则，
故点的运动速度为：；
②当时，
∵，
∴，
∴，
故点的运动速度为；
故答案为：2或．
16．（3分）（23-24八年级·陕西商洛·期中）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数为 ．
【答案】/66度
【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果
【详解】解：在上截取，连接，如图所示：
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小，
∴当点A、P、E在同一直线上，且时，，
，
，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24八年级·广东深圳·期末）如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
(1)求证：
(2)若，，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定理等知识点．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可；
（2）根据（1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据，结合角的和差关系即可得答案．
【详解】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（6分）（23-24八年级·广东湛江·期中）如图，两棵大树、之间相距（即），小华从点B沿走向点D，行走一段时间后，他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和C，且两条视线的夹角，且．已知大树的高为，小华行走的速度为，
(1)求证：；
(2)求小华从点B走到点E的时间．
【答案】(1)见解析
(2)8s
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，
（1）先证明，再根据证明三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，再求出，进而可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
∵，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴小华走的时间是．
19．（8分）（23-24八年级·河南郑州·期中）下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读，并完成相应的任务．
项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量，得到高度”的问题
问题提出 墙上有一点A，在无法直接测量的情况下，如何得到点A的高度？
项目图纸
解决过程 ①标记测试直杆的底端点，测量的长度．②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；③使直杆顶端缓慢下滑，直到；④记下直杆与地面的夹角；
项目数据 …
任务：
(1)由于项目记录员粗心，记录排乱了“解决过程”，正确的顺序应是 ；
A．②→③→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．②→④→③→①
(2)若，则 ；
(3)请你说明他们作法的正确性．
【答案】(1)D
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查了实践操作题——利用全等三角形原理测长度，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的方法．
（1）根据“使直杆斜靠在墙上，顶端与点重合，记下直杆与地面的夹角，而后使直杆顶端缓慢下滑，直到，标记直杆的底端点，测量的长度”的顺序，从新排列“解决过程”，即得；
（2）根据判定和全等，得到，进一步解答即可；
（3）根据判定的合理性说明他们作法的正确性．
【详解】（1）正确的顺序应是：
②找一根长度大于的直杆，使直杆斜靠在墙上，且顶端与点重合；
④记下直杆与地面的夹角；
③使直杆顶端缓慢下滑，直到；
①标记测试直杆的底端点，测量的长度．
故答案为：；
（2）在和中，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（3）证明：由（2）知，在和中，
，
，
．
即测量的长度，就等于的长度，即点的高度．
20．（8分）（23-24八年级·四川成都·期中）在的高、交于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图1，求的度数；
(3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论；
（2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数；
（3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系．
此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形．
【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示：
，，
，，
，
（2）解：在和中，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
（3）解：、、的数量关系是：，证明如下：
在上截取，连接，如图2所示：
是的高，，
，，
在和中，
，
，
，，
由（2）可知：，即，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
21．（8分）（23-24八年级·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，平分，点为线段上的一个动点，交的延长线于点E．若，，求的度数．
解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容）
∵（已知），
（ ），
∴（ ），
．
∵平分（已知），
∴（ ），
．
∴（ ），
．
∵（已知），
∴（ ）．
在直角三角形中，
∵（ ），
∴．
【答案】见解析
【分析】本题考查了三角形内角和等于180°、角平分线的定义和垂直的定义，关键是可以根据题意灵活变化，最终求出所要求的问题的答案．
由，，根据三角形内角和等于，可得的度数，因为平分，从而可得的度数，进而求得的度数，由可得的度数，从而求得的度数．
【详解】解：（已知），
（三角形内角和等于180°），
（等式的性质），
．
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
，
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
，
（已知），
（垂直的定义），
在直角三角形中，
（直角三角形的两锐角互余），
．
22．（8分）（23-24八年级·山东济南·期中）阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△ CDA（依据1），
∴，
在中，（依据2），
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1： ；依据2： ．
【归纳总结】
上述方法是通过延长中线，使，构造了一对全等三角形，将，，转化到一个三角形中，进而解决问题，这种方法叫做“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A．； B． ； C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
【答案】(1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边
(2)C
(3)见解释
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的性质．掌握题目中“倍长中线法”是解题的关键．
（1）掌握全等三角形的判定与性质，三角形的性质即可．
（2）利用“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”求解即可．
（3）判断，即可．
【详解】（1）解：依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（或“边角边”或“”）；
依据2：三角形两边的和大于第三边；
故答案为：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；三角形任意两边的和大于第三边．
（2）
解：如图，延长至点，使,连接．
是的中线，
,
在与中，
,
，
,
在中，，
即，
．
故选：C．
（3）证明：如图4，延长至F，使连接，
是的中点，
∴,
又
∴ ，
，，
∵，
∴,
,
即，
又∵，
∴ ，
∴，
∴．
23．（8分）（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）【问题背景】
如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点．
【初步探究】（1）如图1，连接，求证：点在的平分线上；
【深入探究】（2）如图2，延长交于点，过点作于点于点，并连接，试判断与的大小关系；
【拓展延伸】（3）如图3，延长交于点，连接交于点，过点作于点，于点，请问和有何数量关系？
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）过点作的垂线段，分别交于点，证明即可解答；
（2）过点作的垂线段，交的延长线于点，可得，证明，可得，即可解答；
（3）过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，同（2）中原理可得平分，可得即可解答。
【详解】（1）证明：如图，过点作的垂线段，分别交于点，
，是的角平分线，
，
点在的角平分线上（到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）；
（2），理由如下：
如图，过点作的垂线段，交的延长线于点，
是的角平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作的垂线段，交于点，过点作于点于点，
根据（2）中原理可得，
是的平分线，
，
，
平分，，，
．
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