(共19张PPT)
2.2.2 函数的奇偶性
【学习要求】
1．理解函数的奇偶性及其几何意义；
2．学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3．掌握判断函数奇偶性的方法与步骤．
【学法指导】
通过函数的奇偶性概念的学习，认识函数奇偶性概念的形成过程；通过从代数的角度给予函数奇偶性的代数形式表达、推理，培养严谨、认真、科学的探究精神，并渗透数形结合的数学思想方法．
填一填·知识要点
1．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的
x∈A，都有f(－x)＝________，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
2．如果对于函数y＝f(x)的定义域内的任意的一个x，都有
f(－x)＝________，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
3．函数的奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有____________，而如果一个函数既不是奇函数，也不是偶函数(常说该函数是______________)，则说该函数不具有____________．
4．奇、偶函数的性质：偶函数的图象关于________对称，奇函
数的图象关于________对称.
奇偶性
非奇非偶函数
奇偶性
y轴
原点
看一看·问题探究、课堂更高效
[问题情境] 美丽的蝴蝶，盛开的鲜花，六角形的雪花晶体，中国的古建筑，我们学校的综合大楼，它们都具有对称的美．这种“对称美”在数学中也有大量的反映．今天，让我们开启知识的大门，进入更精彩纷呈的函数奇偶性的学习．
研一研·问题探究
探究点一 偶函数的概念
问题1 观察下列函数的图象，你能通过函数的图象，归纳出三个函数的共同特征吗？
答 三个函数的定义域关于原点对称，
三个函数的图象关于y轴对称．
研一研·问题探究
问题2 一对关于y轴对称的点的坐标有什么关系？
答 横坐标互为相反数，纵坐标相等
问题
3
怎样说明函数
y
＝
x
2
的图象关于
y
轴对称？
问题4 如果函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，我们就说这个函数是偶函数，那么如何从代数的角度定义偶函数？
答 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数
研一研·问题探究
研一研·问题探究
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探究点二 奇函数的概念
问题1 观察函数f(x)＝x和f(x)＝ 的图象(如图)，你能发
现两个函数图象有什么共同特征吗？
答 容易得到定义域关于原点对称，图象关于原点对称．
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问题2 求出当x取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝x的
值，及当x分别取－3，－2，－1,1,2,3时，函数f(x)＝ 的
值，从中你能发现什么规律？
研一研·问题探究
问题3 你能把问题2中的由具体的函数值得出的规律抽象成一般形式吗？
答 对于R内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．
小结 (1)奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数；(2)函数的奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性，而如果一个函数既不是奇函数，也不是偶函数(常说该函数是非奇非偶函数)，则说该函数不具有奇偶性；(3)奇、偶函数的性质：偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称．
研一研·问题探究
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小结 (1)对于一个函数来说，它的奇偶性有四种可能：是奇函数但不是偶函数；是偶函数但不是奇函数；既是奇函数又是偶函数；既不是奇函数也不是偶函数．(2)用定义判断函数奇偶性的步骤：①先求定义域，看是否关于原点对称；②再判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否恒成立．
研一研·问题探究
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跟踪训练3 如图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－4)＝
________.
－2
解析 f(－4)＝－f(4)＝－2.
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练一练 当堂检测
②
析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得
的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题
2.已知函数
若
，求
的值。
．
【解】
方法一：由题意得
①
①＋②得
∵
∴
②
所以
，即
∴
方法二：构造函数
，
则
一定是奇函数
因此
又∵
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3．偶函数y＝f(x)的定义域为[t－4，t]，则t＝________.
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，故t－4＝－t，
得t＝2.
4. 如果二次函数
定义在 是偶函数，则
解析 偶函数的定义域应当关于原点对称，
故a－2＝－(a+4) ， 得a＝-1 且b－3=0 得b＝3 故得a+b=2
2
2
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课堂小结
1．两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x，如果都有f(－x)＝－f(x) f(－x)＋f(x)＝0 f(x)为奇函数；如果都有f(－x)＝f(x) f(－x)－f(x)＝0 f(x)为偶函数．
2．两个性质：函数为奇函数 它的图象关于原点对称；函数为偶函数 它的图象关于y轴对称．
课后作业
P43 T5,7
