人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题13.1轴对称【十大题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题13.1轴对称【十大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 14:30:29 | ||
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文档简介
专题13.1 轴对称【十大题型】
【人教版】
【题型1 识别轴对称图形】 1
【题型2 确定对称轴的条数】 2
【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】 3
【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】 4
【题型5 折叠问题】 5
【题型6 镜面对称】 6
【题型7 画轴对称图形】 7
【题型8 台球桌上的轴对称】 8
【题型9 添加图形使成为轴对称图形】 10
【题型10 设计轴对称图案】 11
知识点1：轴对称
（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称
轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
【题型1 识别轴对称图形】
【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24八年级·广东广州·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．正五边形 D．直角三角形
【变式1-2】（23-24八年级·吉林四平·期末）下列三角形中，不是轴对称图形的是( )
A．有两个角相等的三角形
B．有两个角分别是120°和30°的三角形
C．有一个角是45°的直角三角形
D．有一个角是60°的直角三角形
【变式1-3】（23-24八年级·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．
知识点2：轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【题型2 确定对称轴的条数】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ．
【变式2-1】（23-24八年级·山东烟台·期末）下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24八年级·黑龙江大庆·期中）要使大小两个圆组合成的图形有无数条对称轴，应采用第（ ）种画法
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】
【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）下列说法正确的是( )
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等三角形一定关于某直线对称
C．若与成轴对称，则
D．点，点在直线两旁，且与直线交于点,若,则点与点关于直线对称
【变式3-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，与关于直线对称，为上任一点（，，不共线），下列结论中不正确的是( )
A． B．垂直平分线段
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上
【变式3-3】（23-24八年级·全国·课后作业）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）
A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行
C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直
【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】
【例4】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·开学考试）如图所示的2×2方格中，连接AB，AC，AD，则∠A+∠B+∠C的和（ ）．
A．必是直角 B．必是锐角 C．必是钝角 D．是锐角或钝角
【变式4-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点．
(1)请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由．
(2)承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，连接．点关于直线，的对称点分别是点，．若，则点，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．7 D．9
【题型5 折叠问题】
【例5】（23-24八年级·北京·期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
A．B． C．D．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江温州·期末）如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24八年级·云南昆明·开学考试）一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米.
【变式5-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）将如图（1）所示的长方形纸片按如下步骤操作：（1）如图（2），以过点A的直线为对称轴折叠纸片，使点B恰好落在边上的点处，折痕与交于点E；（2）如图（3），以过点E的直线为对称轴折叠纸片，使点A恰好落在边上的点处，折痕交边于点F；（3）将纸片展平．那么的度数为 ．
【题型6 镜面对称】
【例6】（23-24八年级·贵州遵义·期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（23-24八年级·河南许昌·期中）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词 APPLE在镜子中呈现的样子（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ．
【题型7 画轴对称图形】
【例7】（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上，
(1)在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点；
(2)求四边形的面积．
【变式7-2】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上．
(1)画出格点三角形关于直线对称的；
(2)的面积是
(3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹）
【变式7-3】（23-24八年级·全国·假期作业）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）．
【题型8 台球桌上的轴对称】
【例8】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式8-2】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？
【变式8-3】（23-24八年级·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【题型9 添加图形使成为轴对称图形】
【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）种．
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式9-1】（23-24八年级·河南安阳·期末）（1）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴；
【变式9-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）乐乐觉得轴对称图形很有意思，如图是4个完全相同的小正方形组成的形图，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使添画后的图形成为轴对称图形．
【变式9-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
【题型10 设计轴对称图案】
【例10】（23-24八年级·河北保定·期中）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形.并画出它的一条对称轴(如图例.画对一个得1分)
【变式10-1】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的两幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．
【变式10-2】（23-24八年级·甘肃平凉·期末）如图所示，
(1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
(2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合）
【变式10-3】（2024·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
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专题13.1 轴对称【十大题型】
【人教版】
【题型1 识别轴对称图形】 1
【题型2 确定对称轴的条数】 3
【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】 5
【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】 8
【题型5 折叠问题】 11
【题型6 镜面对称】 14
【题型7 画轴对称图形】 16
【题型8 台球桌上的轴对称】 19
【题型9 添加图形使成为轴对称图形】 22
【题型10 设计轴对称图案】 24
知识点1：轴对称
（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称
轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
【题型1 识别轴对称图形】
【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，对选项进行分析判断即可．
【详解】解：选项、、中的图形都能找到对称轴，使得对称轴两旁的部分能够相互重合，都是轴对称图形，选项中的图形，没有对称轴可以使对称轴两旁的部分能够相互重合，不是轴对称图形，
故选：．
【点睛】本题考查轴对称图形，解答本题的关键是明确轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【变式1-1】（23-24八年级·广东广州·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．正五边形 D．直角三角形
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、直角梯形不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、正五边形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、直角三角形不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式1-2】（23-24八年级·吉林四平·期末）下列三角形中，不是轴对称图形的是( )
A．有两个角相等的三角形
B．有两个角分别是120°和30°的三角形
C．有一个角是45°的直角三角形
D．有一个角是60°的直角三角形
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．直角三角形中只有等腰直角三角形是轴对称图形．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：根据轴对称图形的定义：
A、有两个内角相等的三角形，是轴对称图形，不符合题意；
B、有两个角分别是120°和30°的三角形，另一个内角也是30°，故是轴对称图形，不符合题意；
C、有一个内角为45°的直角三角形，是轴对称图形，不符合题意
D、有一个角是60°的直角三角形，找不到对称轴，则不是轴对称图形，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式1-3】（23-24八年级·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．
【答案】2
【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解．
【详解】解：如图所示，
即：满足条件的点的个数为2个，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键．
知识点2：轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【题型2 确定对称轴的条数】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ．
【答案】正方形
【分析】本题考查了求对称轴条数，分别写出各个图形的对称轴的条数，比较即可得出答案．
【详解】解：等腰直角三角形有条对称轴；
等边三角形有条对称轴；
半圆由条对称轴；
正方形有条对称轴；
∴对称轴最多的是正方形，
故答案为：正方形．
【变式2-1】（23-24八年级·山东烟台·期末）下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线是对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，有2条对称轴，符合题意；
B、是轴对称图形，有1条对称轴，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，有8条对称轴，不符合题意；
故选：A．
【变式2-2】（23-24八年级·黑龙江大庆·期中）要使大小两个圆组合成的图形有无数条对称轴，应采用第（ ）种画法
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查轴对称图形定义及对称轴的条数，一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴．
【详解】解：在给出的选项中的图形中，A ，C ，D有1条对称轴，B 有无数条对称轴．
所以要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用B画法．
故选：B．
【变式2-3】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．由等边三角形有三条对称轴可得答案．
【详解】解：如图所示，n的最小值为3．
故选：C．
【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】
【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．
【答案】①③④
【分析】根据轴对称的性质，多边形的内角和求解，然后判断作答即可．
【详解】解：由轴对称的性质可得，，直线，，
∴①③④正确，故符合要求；②错误，故不符合要求；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，多边形的内角和．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）下列说法正确的是( )
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等三角形一定关于某直线对称
C．若与成轴对称，则
D．点，点在直线两旁，且与直线交于点,若,则点与点关于直线对称
【答案】C
【分析】根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对着，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进行判断即可．
【详解】A.有的图形没有对称轴，该选项错误；
B.由于位置关系不明确，如图一，该选项错误，
C. 若与成轴对称，则，该选项正确；
D、因为线段与直线不一定垂直，所以不能正确判定，该选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是熟练把握轴对称的定义．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，与关于直线对称，为上任一点（，，不共线），下列结论中不正确的是( )
A． B．垂直平分线段
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上
【答案】D
【分析】利用轴对称的性质解答.
【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点，
垂直平分，
∴,与面积相等，故，，选项不符合题意；
直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意，
故选：D.
【点睛】此题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等.
【变式3-3】（23-24八年级·全国·课后作业）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）
A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行
C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直
【答案】C
【分析】根据图象的翻折和平移的性质得出对应点连线被翻移线平分．
【详解】∵如图所示：△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的，
∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分．
故选C．
【点睛】此题主要考查了几何变换的类型，根据翻折和平移的性质得出是解题关键．
【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】
【例4】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．
【详解】解：∵△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵△ABC的面积是：×BC×AD＝×6×5＝15，
∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形BEF与三角形CEF关于AD对称，面积相等是解决本题的关键．
【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·开学考试）如图所示的2×2方格中，连接AB，AC，AD，则∠A+∠B+∠C的和（ ）．
A．必是直角 B．必是锐角 C．必是钝角 D．是锐角或钝角
【答案】C
【分析】观察图形可知该图形关于线段AC所在的直线对称，从而得到∠1+∠3=90°，∠2=45°，从而求得三个角的和．
【详解】解：∵2×2正方格关于线段AC所在的直线对称，
∴∠1=∠4，
∵∠4+∠3=90°，∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，角度的计算，以及角的分类，解题的关键是发现本图关于线段AC所在的直线对称．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点．
(1)请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由．
(2)承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【答案】(1)时，．证明见解析
(2)的长度小于7，理由见解析
【分析】本题考查轴对称的性质、三角形的三边关系，（1）连接、，根据轴对称的性质可得，，然后判断出点P、B、R三点共线时，再根据平角的定义求解；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．
【详解】（1）解：如图，时，，证明如下：
连接、，
∵P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点，
∴，，
∵，
，
∴点P、B、R三点共线，
∴；
（2）解：的长度小于7，理由如下：
当，则点P、B、R三点不在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
即的长度小于7．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，连接．点关于直线，的对称点分别是点，．若，则点，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．连接，先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的三边关系定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵点关于直线，的对称点分别是点，，且，
，
在中，，
，
故选：B．
【题型5 折叠问题】
【例5】（23-24八年级·北京·期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题．
【详解】由第一次对折后中间有一个矩形，排除B、C；
由第二次折叠矩形正在折痕上，排除D；
故选：A．
【点睛】本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江温州·期末）如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，由折叠的性质可得，，求出，结合得出，，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式5-2】（23-24八年级·云南昆明·开学考试）一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米.
【答案】
【分析】本题是考查简单图形的折叠问题，动手操作一下即可看出阴影部分的周长是长方形的周长，再根据长方形周长公式求解，即可解题．
【详解】解：如图：
由折叠的特点可知，，，
阴影部分的周长是：（厘米），
故答案为：．
【变式5-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）将如图（1）所示的长方形纸片按如下步骤操作：（1）如图（2），以过点A的直线为对称轴折叠纸片，使点B恰好落在边上的点处，折痕与交于点E；（2）如图（3），以过点E的直线为对称轴折叠纸片，使点A恰好落在边上的点处，折痕交边于点F；（3）将纸片展平．那么的度数为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质，可知，．由第一次折叠后，由第二次折叠，即可求解．
【详解】解：如图所示，将纸片展平后，根据折叠的性质，可知，．
∴第一次折叠后．
∵纸片为长方形，
∴．
∴．
∴．
∴第二次折叠后．
∴将纸片展平后， ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
【题型6 镜面对称】
【例6】（23-24八年级·贵州遵义·期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：这两个图应关于水面对称，旗子的方向应该朝左，船头应该向左．A选项符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了镜面对称的性质，解决本题的关键是根据所给图形的特征利用轴对称得到相应图形．
【变式6-1】（23-24八年级·河南许昌·期中）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词 APPLE在镜子中呈现的样子（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与A显示的图片成轴对称，
故选A．
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【变式6-2】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．
【详解】9点的时钟，在镜子里看起来应该是3点，所以最接近9点的时间在镜子里看起来就更接近3点，所以应该是图B所示，最接近9点时间．
故选：B．
【点睛】主要考查镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【变式6-3】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ．
【答案】
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：．
故答案为：．
【题型7 画轴对称图形】
【例7】（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴．
【答案】见解析（画出三个即可）
【分析】本题主要考查的是画轴对称图形，属于基础题型．首先画出对称轴，然后根据轴对称图形的性质画出图形即可．
【详解】解：如图，即为所求作的三角形．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上，
(1)在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：．
【变式7-2】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上．
(1)画出格点三角形关于直线对称的；
(2)的面积是
(3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析，
【分析】本题考查作图-轴对称变换，线段最短，勾股定理；
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）延长，交直线于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）的面积是
（3）如图所示，延长，交直线于点，
此时，为最大值，
则点即为所求．
由勾股定理得，，
最大值为．
故答案为：．
【变式7-3】（23-24八年级·全国·假期作业）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．根据轴对称的性质画图．
【详解】解：如图，
【题型8 台球桌上的轴对称】
【例8】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．
【详解】解：如图，
可以瞄准点击球．
故答案为：．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】如下图
【详解】如图，
由图可知可以瞄准的点为点D．故选D．
【变式8-2】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？
【答案】见解析
【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求．
【详解】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N．
理由：由轴对称性质得．
又∵，
∴．
∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】A
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6=337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
【题型9 添加图形使成为轴对称图形】
【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）种．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，得出共有6处满足题意.
【详解】选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，4处，5处，6处，选择的位置共有6处．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，根据定义构建轴对称图形，成为轴对称图形每种可能性都必须考虑到，不能有遗漏.
【变式9-1】（23-24八年级·河南安阳·期末）（1）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴；
【答案】见解析.
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别作出符合题意的图形即可；
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
【变式9-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）乐乐觉得轴对称图形很有意思，如图是4个完全相同的小正方形组成的形图，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使添画后的图形成为轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义添加即可.
【详解】解： 如图．
【点睛】此题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的特点是解题的关键.
【变式9-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
【答案】13
【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
【详解】如图所示：
一共有13画法，
故答案为：13
【题型10 设计轴对称图案】
【例10】（23-24八年级·河北保定·期中）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形.并画出它的一条对称轴(如图例.画对一个得1分)
【答案】见解析.
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的两幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．
【详解】解：如图所示．
【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级·甘肃平凉·期末）如图所示，
(1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
(2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合）
【答案】(1)一、都是轴对称图形；二、阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和
(2)见详解
【分析】本题主要考查从不同图形中寻找共同特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、数学语言表述能力和空间观念；
（1）可以从图形的对称性和图形阴影部分的面积来考虑；
（2）根据两个特征设计出一个图案即可；
【详解】（1）所给的四个图案具有的共同特征：一都是轴对称图形；二，阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和；
（2）同时具备上述两个特征的部分图案如下：
【变式10-3】（2024·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析
【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；
（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．
【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
（2）如图：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
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【人教版】
【题型1 识别轴对称图形】 1
【题型2 确定对称轴的条数】 2
【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】 3
【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】 4
【题型5 折叠问题】 5
【题型6 镜面对称】 6
【题型7 画轴对称图形】 7
【题型8 台球桌上的轴对称】 8
【题型9 添加图形使成为轴对称图形】 10
【题型10 设计轴对称图案】 11
知识点1：轴对称
（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称
轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
【题型1 识别轴对称图形】
【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24八年级·广东广州·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．正五边形 D．直角三角形
【变式1-2】（23-24八年级·吉林四平·期末）下列三角形中，不是轴对称图形的是( )
A．有两个角相等的三角形
B．有两个角分别是120°和30°的三角形
C．有一个角是45°的直角三角形
D．有一个角是60°的直角三角形
【变式1-3】（23-24八年级·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．
知识点2：轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【题型2 确定对称轴的条数】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ．
【变式2-1】（23-24八年级·山东烟台·期末）下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（23-24八年级·黑龙江大庆·期中）要使大小两个圆组合成的图形有无数条对称轴，应采用第（ ）种画法
A． B． C． D．
【变式2-3】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】
【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）下列说法正确的是( )
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等三角形一定关于某直线对称
C．若与成轴对称，则
D．点，点在直线两旁，且与直线交于点,若,则点与点关于直线对称
【变式3-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，与关于直线对称，为上任一点（，，不共线），下列结论中不正确的是( )
A． B．垂直平分线段
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上
【变式3-3】（23-24八年级·全国·课后作业）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）
A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行
C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直
【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】
【例4】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 ．
【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·开学考试）如图所示的2×2方格中，连接AB，AC，AD，则∠A+∠B+∠C的和（ ）．
A．必是直角 B．必是锐角 C．必是钝角 D．是锐角或钝角
【变式4-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点．
(1)请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由．
(2)承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，连接．点关于直线，的对称点分别是点，．若，则点，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．7 D．9
【题型5 折叠问题】
【例5】（23-24八年级·北京·期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
A．B． C．D．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江温州·期末）如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24八年级·云南昆明·开学考试）一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米.
【变式5-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）将如图（1）所示的长方形纸片按如下步骤操作：（1）如图（2），以过点A的直线为对称轴折叠纸片，使点B恰好落在边上的点处，折痕与交于点E；（2）如图（3），以过点E的直线为对称轴折叠纸片，使点A恰好落在边上的点处，折痕交边于点F；（3）将纸片展平．那么的度数为 ．
【题型6 镜面对称】
【例6】（23-24八年级·贵州遵义·期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-1】（23-24八年级·河南许昌·期中）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词 APPLE在镜子中呈现的样子（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（ ）
A．B．C．D．
【变式6-3】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ．
【题型7 画轴对称图形】
【例7】（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上，
(1)在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点；
(2)求四边形的面积．
【变式7-2】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上．
(1)画出格点三角形关于直线对称的；
(2)的面积是
(3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹）
【变式7-3】（23-24八年级·全国·假期作业）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）．
【题型8 台球桌上的轴对称】
【例8】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
【变式8-2】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？
【变式8-3】（23-24八年级·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【题型9 添加图形使成为轴对称图形】
【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）种．
A．6 B．5 C．4 D．3
【变式9-1】（23-24八年级·河南安阳·期末）（1）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴；
【变式9-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）乐乐觉得轴对称图形很有意思，如图是4个完全相同的小正方形组成的形图，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使添画后的图形成为轴对称图形．
【变式9-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
【题型10 设计轴对称图案】
【例10】（23-24八年级·河北保定·期中）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形.并画出它的一条对称轴(如图例.画对一个得1分)
【变式10-1】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的两幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．
【变式10-2】（23-24八年级·甘肃平凉·期末）如图所示，
(1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
(2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合）
【变式10-3】（2024·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
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专题13.1 轴对称【十大题型】
【人教版】
【题型1 识别轴对称图形】 1
【题型2 确定对称轴的条数】 3
【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】 5
【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】 8
【题型5 折叠问题】 11
【题型6 镜面对称】 14
【题型7 画轴对称图形】 16
【题型8 台球桌上的轴对称】 19
【题型9 添加图形使成为轴对称图形】 22
【题型10 设计轴对称图案】 24
知识点1：轴对称
（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴
对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称
轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
【题型1 识别轴对称图形】
【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，对选项进行分析判断即可．
【详解】解：选项、、中的图形都能找到对称轴，使得对称轴两旁的部分能够相互重合，都是轴对称图形，选项中的图形，没有对称轴可以使对称轴两旁的部分能够相互重合，不是轴对称图形，
故选：．
【点睛】本题考查轴对称图形，解答本题的关键是明确轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【变式1-1】（23-24八年级·广东广州·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．直角梯形 C．正五边形 D．直角三角形
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、平行四边形不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、直角梯形不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、正五边形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、直角三角形不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式1-2】（23-24八年级·吉林四平·期末）下列三角形中，不是轴对称图形的是( )
A．有两个角相等的三角形
B．有两个角分别是120°和30°的三角形
C．有一个角是45°的直角三角形
D．有一个角是60°的直角三角形
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的概念求解．直角三角形中只有等腰直角三角形是轴对称图形．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：根据轴对称图形的定义：
A、有两个内角相等的三角形，是轴对称图形，不符合题意；
B、有两个角分别是120°和30°的三角形，另一个内角也是30°，故是轴对称图形，不符合题意；
C、有一个内角为45°的直角三角形，是轴对称图形，不符合题意
D、有一个角是60°的直角三角形，找不到对称轴，则不是轴对称图形，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式1-3】（23-24八年级·重庆南岸·期末）图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是 个．
【答案】2
【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解．
【详解】解：如图所示，
即：满足条件的点的个数为2个，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键．
知识点2：轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这
两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【题型2 确定对称轴的条数】
【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ．
【答案】正方形
【分析】本题考查了求对称轴条数，分别写出各个图形的对称轴的条数，比较即可得出答案．
【详解】解：等腰直角三角形有条对称轴；
等边三角形有条对称轴；
半圆由条对称轴；
正方形有条对称轴；
∴对称轴最多的是正方形，
故答案为：正方形．
【变式2-1】（23-24八年级·山东烟台·期末）下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线是对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，有2条对称轴，符合题意；
B、是轴对称图形，有1条对称轴，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，有8条对称轴，不符合题意；
故选：A．
【变式2-2】（23-24八年级·黑龙江大庆·期中）要使大小两个圆组合成的图形有无数条对称轴，应采用第（ ）种画法
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查轴对称图形定义及对称轴的条数，一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴．
【详解】解：在给出的选项中的图形中，A ，C ，D有1条对称轴，B 有无数条对称轴．
所以要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用B画法．
故选：B．
【变式2-3】（23-24八年级·河北廊坊·期末）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．由等边三角形有三条对称轴可得答案．
【详解】解：如图所示，n的最小值为3．
故选：C．
【题型3 由轴对称图形的特征进行判断】
【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，正六边形关于直线l成轴对称的图形是正六边形，有下列说法：①；②；③直线；④．其中正确的是 （请写出所有正确说法的序号）．
【答案】①③④
【分析】根据轴对称的性质，多边形的内角和求解，然后判断作答即可．
【详解】解：由轴对称的性质可得，，直线，，
∴①③④正确，故符合要求；②错误，故不符合要求；
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，多边形的内角和．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式3-1】（23-24八年级·全国·课后作业）下列说法正确的是( )
A．任何一个图形都有对称轴
B．两个全等三角形一定关于某直线对称
C．若与成轴对称，则
D．点，点在直线两旁，且与直线交于点,若,则点与点关于直线对称
【答案】C
【分析】根据轴对称的定义：两个图形沿一条直线对着，直线两旁的部分能完全重合，那么这两个图形成轴对称进行判断即可．
【详解】A.有的图形没有对称轴，该选项错误；
B.由于位置关系不明确，如图一，该选项错误，
C. 若与成轴对称，则，该选项正确；
D、因为线段与直线不一定垂直，所以不能正确判定，该选项错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是熟练把握轴对称的定义．
【变式3-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，与关于直线对称，为上任一点（，，不共线），下列结论中不正确的是( )
A． B．垂直平分线段
C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上
【答案】D
【分析】利用轴对称的性质解答.
【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点，
垂直平分，
∴,与面积相等，故，，选项不符合题意；
直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意，
故选：D.
【点睛】此题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等.
【变式3-3】（23-24八年级·全国·课后作业）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（ ）
A．各对应点之间的距离相等 B．各对应点的连线互相平行
C．对应点连线被翻移线平分 D．对应点连线与翻移线垂直
【答案】C
【分析】根据图象的翻折和平移的性质得出对应点连线被翻移线平分．
【详解】∵如图所示：△A2B2C2是由△ABC沿直线l翻移后得到的，
∴图形的翻移所具有的性质是：对应点连线被翻移线平分．
故选C．
【点睛】此题主要考查了几何变换的类型，根据翻折和平移的性质得出是解题关键．
【题型4 由轴对称图形的特征进行求解】
【例4】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】
【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．
【详解】解：∵△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵△ABC的面积是：×BC×AD＝×6×5＝15，
∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形BEF与三角形CEF关于AD对称，面积相等是解决本题的关键．
【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·开学考试）如图所示的2×2方格中，连接AB，AC，AD，则∠A+∠B+∠C的和（ ）．
A．必是直角 B．必是锐角 C．必是钝角 D．是锐角或钝角
【答案】C
【分析】观察图形可知该图形关于线段AC所在的直线对称，从而得到∠1+∠3=90°，∠2=45°，从而求得三个角的和．
【详解】解：∵2×2正方格关于线段AC所在的直线对称，
∴∠1=∠4，
∵∠4+∠3=90°，∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，角度的计算，以及角的分类，解题的关键是发现本图关于线段AC所在的直线对称．
【变式4-2】（23-24八年级·全国·假期作业）如图，O为内部一点，，P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点．
(1)请指出当是什么角度时，会使得的长度等于7？并完整说明的长度为何在此时等于7的理由．
(2)承（1）小题，请判断当不是你指出的角度时，的长度小于7还是大于7？并完整说明你判断的理由．
【答案】(1)时，．证明见解析
(2)的长度小于7，理由见解析
【分析】本题考查轴对称的性质、三角形的三边关系，（1）连接、，根据轴对称的性质可得，，然后判断出点P、B、R三点共线时，再根据平角的定义求解；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答．
【详解】（1）解：如图，时，，证明如下：
连接、，
∵P、R为O分别以直线、为对称轴的对称点，
∴，，
∵，
，
∴点P、B、R三点共线，
∴；
（2）解：的长度小于7，理由如下：
当，则点P、B、R三点不在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
即的长度小于7．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）如图，直线，相交于点，为这两条直线外一点，连接．点关于直线，的对称点分别是点，．若，则点，之间的距离可能是（ ）
A．0 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．连接，先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的三边关系定理求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵点关于直线，的对称点分别是点，，且，
，
在中，，
，
故选：B．
【题型5 折叠问题】
【例5】（23-24八年级·北京·期末）一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解题．
【详解】由第一次对折后中间有一个矩形，排除B、C；
由第二次折叠矩形正在折痕上，排除D；
故选：A．
【点睛】本题考查的是学生的立体思维能力及动手操作能力，关键是由平面图形的折叠及图形的对称性展开图解答．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江温州·期末）如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，由折叠的性质可得，，求出，结合得出，，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键．
【详解】解：由折叠的性质可得：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式5-2】（23-24八年级·云南昆明·开学考试）一个长8厘米，宽5厘米的长方形纸片，沿对角线对折后，得到下面所示几何图形，阴影部分的周长是 厘米.
【答案】
【分析】本题是考查简单图形的折叠问题，动手操作一下即可看出阴影部分的周长是长方形的周长，再根据长方形周长公式求解，即可解题．
【详解】解：如图：
由折叠的特点可知，，，
阴影部分的周长是：（厘米），
故答案为：．
【变式5-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）将如图（1）所示的长方形纸片按如下步骤操作：（1）如图（2），以过点A的直线为对称轴折叠纸片，使点B恰好落在边上的点处，折痕与交于点E；（2）如图（3），以过点E的直线为对称轴折叠纸片，使点A恰好落在边上的点处，折痕交边于点F；（3）将纸片展平．那么的度数为 ．
【答案】
【分析】根据折叠的性质，可知，．由第一次折叠后，由第二次折叠，即可求解．
【详解】解：如图所示，将纸片展平后，根据折叠的性质，可知，．
∴第一次折叠后．
∵纸片为长方形，
∴．
∴．
∴．
∴第二次折叠后．
∴将纸片展平后， ．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．
【题型6 镜面对称】
【例6】（23-24八年级·贵州遵义·期末）如图是一只停放在平静水面上的小船，则它在水中的倒影表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：这两个图应关于水面对称，旗子的方向应该朝左，船头应该向左．A选项符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了镜面对称的性质，解决本题的关键是根据所给图形的特征利用轴对称得到相应图形．
【变式6-1】（23-24八年级·河南许昌·期中）小明照镜子的时候，发现T恤上的英文单词 APPLE在镜子中呈现的样子（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称，分析并作答．
【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所给的图片与A显示的图片成轴对称，
故选A．
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
【变式6-2】（23-24八年级·内蒙古呼和浩特·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近9：00（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．
【详解】9点的时钟，在镜子里看起来应该是3点，所以最接近9点的时间在镜子里看起来就更接近3点，所以应该是图B所示，最接近9点时间．
故选：B．
【点睛】主要考查镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【变式6-3】（23-24八年级·福建龙岩·阶段练习）在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ．
【答案】
【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：．
故答案为：．
【题型7 画轴对称图形】
【例7】（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，的三个顶点分别位于正方形网格线的交点上，我们把称为格点三角形，请你分别在图①，图②，图③的正方形网格中作一个格点三角形与成轴对称（所作图形不能重复），并画出对称轴．
【答案】见解析（画出三个即可）
【分析】本题主要考查的是画轴对称图形，属于基础题型．首先画出对称轴，然后根据轴对称图形的性质画出图形即可．
【详解】解：如图，即为所求作的三角形．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上，
(1)在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：．
【变式7-2】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上．
(1)画出格点三角形关于直线对称的；
(2)的面积是
(3)在直线上找出点P，使最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析，
【分析】本题考查作图-轴对称变换，线段最短，勾股定理；
（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）延长，交直线于点，则点即为所求．利用勾股定理求出的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）的面积是
（3）如图所示，延长，交直线于点，
此时，为最大值，
则点即为所求．
由勾股定理得，，
最大值为．
故答案为：．
【变式7-3】（23-24八年级·全国·假期作业）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了作图轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．根据轴对称的性质画图．
【详解】解：如图，
【题型8 台球桌上的轴对称】
【例8】（23-24八年级·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下．
【详解】解：如图，
可以瞄准点击球．
故答案为：．
【变式8-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是 ( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【分析】如下图
【详解】如图，
由图可知可以瞄准的点为点D．故选D．
【变式8-2】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？
【答案】见解析
【分析】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求．
【详解】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N．
理由：由轴对称性质得．
又∵，
∴．
∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N．
【变式8-3】（23-24八年级·江苏常州·期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】A
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6=337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
【题型9 添加图形使成为轴对称图形】
【例9】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图所示的方格纸，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有（ ）种．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】根据轴对称的概念作答，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，得出共有6处满足题意.
【详解】选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，
选择的位置有以下几种：1处，2处，3处，4处，5处，6处，选择的位置共有6处．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，根据定义构建轴对称图形，成为轴对称图形每种可能性都必须考虑到，不能有遗漏.
【变式9-1】（23-24八年级·河南安阳·期末）（1）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑2个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰为轴对称图形．请在下图中画出两种不同的填涂方案设计，并用虚线标出对称轴；
【答案】见解析.
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别作出符合题意的图形即可；
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
【变式9-2】（23-24八年级·山东聊城·期中）乐乐觉得轴对称图形很有意思，如图是4个完全相同的小正方形组成的形图，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使添画后的图形成为轴对称图形．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的定义添加即可.
【详解】解： 如图．
【点睛】此题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的特点是解题的关键.
【变式9-3】（23-24八年级·江苏无锡·期中）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 种．
【答案】13
【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
【详解】如图所示：
一共有13画法，
故答案为：13
【题型10 设计轴对称图案】
【例10】（23-24八年级·河北保定·期中）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形.并画出它的一条对称轴(如图例.画对一个得1分)
【答案】见解析.
【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.
【详解】解：如图所示：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的两幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．
【答案】见解析
【分析】根据轴对称的性质画出图形即可．
【详解】解：如图所示．
【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级·甘肃平凉·期末）如图所示，
(1)观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：
(2)借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：新图案与图①～④的图案不能重合）
【答案】(1)一、都是轴对称图形；二、阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和
(2)见详解
【分析】本题主要考查从不同图形中寻找共同特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、数学语言表述能力和空间观念；
（1）可以从图形的对称性和图形阴影部分的面积来考虑；
（2）根据两个特征设计出一个图案即可；
【详解】（1）所给的四个图案具有的共同特征：一都是轴对称图形；二，阴影部分面积都等于四个小正方形的面积之和；
（2）同时具备上述两个特征的部分图案如下：
【变式10-3】（2024·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．
（2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．
【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析
【分析】（1）应从对称方面，阴影部分的面积等方面入手思考；
（2）应画出既是轴对称图形，且面积为4的图形．
【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；
（2）如图：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
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