人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题13.4等腰三角形【十大题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册举一反三专题13.4等腰三角形【十大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 14:28:39 | ||
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文档简介
专题13.4 等腰三角形【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用等边对等角求解】 1
【题型2 利用等边对等角进行证明】 2
【题型3 利用三线合一求解】 4
【题型4 利用三线合一证明】 5
【题型5 格点中画等腰三角形】 7
【题型6 找出图中的等腰三角形】 8
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 9
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 10
【题型9 尺规作等腰三角形】 11
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 12
知识点：等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 利用等边对等角求解】
【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【变式1-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ．
【题型2 利用等边对等角进行证明】
【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知，，，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)已知 ，求证：．
【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
(1)如图1，当点D在线段上，且．
①证明：；
②证明：平分．
(2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【题型3 利用三线合一求解】
【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由．
【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在中，，点D为边的中点，连接，的平分线交于点E，已知．求和的度数．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点．
(1)当时，
①若，则点到的距离为________；
②若，，求的周长；
(2)若，且的面积为40，求周长的最小值．
【题型4 利用三线合一证明】
【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，．
(1)求证：是的中点；
(2)求证．
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 ___________．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ．
(1)求证：；
(2)问： 与 的位置关系并证明．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在中，，，于点，将沿折叠，使点A落在直线上的点处，是的平分线，交于点，交于点，连接．
(1)吗？为什么？
(2)试说明垂直平分．
【题型5 格点中画等腰三角形】
【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）；
(2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）．
【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【题型6 找出图中的等腰三角形】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．
【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，中，，，平分，于点，连结交于点，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】
【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．求证：是等腰三角形．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，，点分别在，上，以，为边在内作等边三角形，，连接并延长交于点，求证：．
【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】
【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，，，交于F，交于点E，求证：．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ．
【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且．
求证：
(1)；
(2)．
【题型9 尺规作等腰三角形】
【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】
【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个.
【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题13.4 等腰三角形【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用等边对等角求解】 2
【题型2 利用等边对等角进行证明】 6
【题型3 利用三线合一求解】 13
【题型4 利用三线合一证明】 18
【题型5 格点中画等腰三角形】 23
【题型6 找出图中的等腰三角形】 27
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 31
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 34
【题型9 尺规作等腰三角形】 38
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 42
知识点：等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 利用等边对等角求解】
【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得 ，即可求解；掌握折叠的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论.
【详解】解：设原来，则
∵，
∴，
∴，
增大后，，
∴，
∴，
∴，
∴的变化情况是减小，
故选：D.
【变式1-2】22-23八年级·浙江台州·期末）如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，由轴对称性质得，
设，得出，再由等腰三角形的性质得．再由直角三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：与关于对称，
，
设．
，
在中，，
．
又，
，
，
故选：A
【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ．
【答案】/36度
【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出．
【详解】解：连接、，如图，设，
由作法得垂直平分，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【题型2 利用等边对等角进行证明】
【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质等等：
（1）先证明，再利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，再由平角的定义推出，据此即可证明；
（3）先由平行线的性质得到，则根据（2）的结论可知，即可得到，即．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（）先根据等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和与平角定义即可求解；
（）直接用证明，再根据性质即可求解；
此题考查了等腰三角形的，三角形内角和，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）在和中
，
∴，
∴．
【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知，，，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)已知 ，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
(1)利用余角的性质，完善全等的条件，证明即可．
(2)延长到G，使，连接，证明证明即可．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）如图，延长到G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
(1)如图1，当点D在线段上，且．
①证明：；
②证明：平分．
(2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)或
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论．
（1）①先证，根据即可证明；②根据等边对等角可证，根据可得，进而可证；
（2）分①点D在线段上，②点D在射线上，③点D在射线上，分别加以讨论即可．
【详解】（1）证明：① ，
，
，
在和中，
，
；
② 中，，
，
由①得，
，
，
平分．
（2）解：，
①点D在线段上，如图：
，
，
，
在和中，
，
；
，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点D在射线上时，如图：
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
③当点D在射线上时，如图：
同理可得 ，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴；
综上所述α，β之间的数量关系为：或．
【题型3 利用三线合一求解】
【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】
此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）先求得的度数，进而求得，根据等腰三角形的性质得出，理由三角形内角和定理求得，根据同角的余角相等即可求得；
（2）根据，且点F是的中点，得到，，证得后即可证得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
在Rt△FDC中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），理由如下：
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在中，，点D为边的中点，连接，的平分线交于点E，已知．求和的度数．
【答案】，
【分析】先由等腰三角形的性质，得到，再由，可得到的度数，进而求出的度数，由三角形内角和定理可求出的度数，由等腰三角形的性质可求出的度数．
【详解】解：∵，点D为边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在中，
，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和定理计算．
【详解】（1）因为，点是的中点，
所以，所以是的垂直平分线，
所以，
因为是的垂直平分线，所以，
所以；
（2）因为，点是的中点，
所以平分，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点．
(1)当时，
①若，则点到的距离为________；
②若，，求的周长；
(2)若，且的面积为40，求周长的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的三线合一性质即等边三角形的判定，根据，是的中点，可以判定，A，M，D三点共线，即平分，根据角平分线的性质，可以求出点到的距离，
其次，可以判定，再根据后，可以判定是等边三角形，进而去求周长．
（2）本题主要考查利用轴对称性求周长最小值，由于为定值，只要满足最小即可，利用垂直平分线，转化成求最小，即，最后求出周长最小值．
【详解】（1）①解：∵，是的中点；
∴处垂直平分；
连接；
∵；
∴，，三点共线；
即平分；
∵，；
∴到的距离为1．
②解：由题可知；
∵；
∴；
∴是等边三角形；
∵；
∴；
∴周长为18．
（2）解：∵；
∴；
∵垂直平分；
连接；
∴；
即;
∵；
∴；
即只需求出长即可；
∵；
∴=10；
∴周长的最小值为．
【题型4 利用三线合一证明】
【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，．
(1)求证：是的中点；
(2)求证．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由是中线得，进而可得，即得，再根据三角形三线合一即可求证；
（）由等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角性质即可求证；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的中线，
∴是的中线，
∵是高，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是的中点；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 ___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证；
（2）根据等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
为线段的中点，
；
（2）解：，
，
，
由（1）知，，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ．
(1)求证：；
(2)问： 与 的位置关系并证明．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（）根据证明即可；
（）利用全等三角形的性质推出，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到；
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴ ；
（2），理由：
∵，
∴，
又∵平分，
∴．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在中，，，于点，将沿折叠，使点A落在直线上的点处，是的平分线，交于点，交于点，连接．
(1)吗？为什么？
(2)试说明垂直平分．
【答案】(1)；理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据折叠的性质得出．即可证明，即可求证；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出，，则，推出，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论．
【详解】（1）解：，，，，
，
将沿折叠，使点落在直线上的点处，
是的平分线，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，，，
，
即，
，
是的平分线，
垂直平分．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠两部分对应边相等，对应角相等；等腰三角形“三线合一”；全等三角形对应边相等，对应角相等．
【题型5 格点中画等腰三角形】
【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
分三种情况：
①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，，
综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）；
(2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）．
【答案】(1)答案见解析（答案不唯一）
(2)答案见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）．
【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．
【答案】答案见解析
【分析】AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可
【详解】解：如图，
……
[答案不唯一]
【点睛】本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（2）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（3）作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，P点即为所求；
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：如图所示：
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形的定义，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【题型6 找出图中的等腰三角形】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法，
根据两边相等的三角形即可等腰三角形即可解答
【详解】解：
,
是等腰三角形；
垂直平分线交
是等腰三角形；
,
是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数是3个，
故选：B
【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．
【答案】3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．
【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，
，
，
∴都是等腰三角形；
故答案为：3．
【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)图中的等腰三角形有、
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键．
（1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论；
（2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵由（1）可得
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有、．
【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，中，，，平分，于点，连结交于点，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形.
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=BD．
∴△ABD是等腰三角形．
∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED
∴AC=AE
∴△CDE、△ACE是等腰三角形；
∵AC=AE，∠BAC=60°，
∴∠ACE=60°，
∵，
∴∠BCE=30°
∴∠BCE=∠B
∴△CEB是等腰三角形
所以此图中有4个等腰三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形．
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】
【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由 ，利用“等角对等边”即可得证．
【详解】证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立．
【详解】∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】此题考查了等腰三角形的定义、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，，点分别在，上，以，为边在内作等边三角形，，连接并延长交于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定；证明，得出进而可得，即可得证．
【详解】证明：依题意是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论；
（2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出．
【详解】（1）解：证明：在中，，，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形．
（2），
证明：延长至，使，连接，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】
【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过E作于M，
平分，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，，，交于F，交于点E，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键．
先证明，由全等三角形的性质可得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出进而即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，由两直线平行，内错角相等，与两个角平分线，列出相等的角，通过等角对等边，可得到两个等腰三角形，代入已知线段长度，即可求解，解题的关键是：通过平行与角平分线的条件，推导出等腰三角形．
【详解】解：，
，，
又和的平分线分别交于点、，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知；
（2）先证明，得出，根据，，得出．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，且，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在和中
，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
【题型9 尺规作等腰三角形】
【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先画射线，在射线上截取，然后作的垂直平分线，垂足为O，再截取，再连接、，即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的作法以及垂直平分线和角平分线的性质，掌握作图方法、理解特殊线的性质是解题关键．求作以为底边的等腰三角形，则需要作线段的中垂线，点A在角的内部，则依据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），需要作的角平分线，与直线相交于一点即为点A，连接，即为所求作的等腰三角形．
【详解】解：如图，即为所求作的等腰三角形．
【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
①在上截取， 即为含角的直角三角形，②延长，并在上截取， 即为含45°角的直角三角形．
【详解】解：①为含角的直角三角形，
①为含角的直角三角形．
【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的作法是解答本题的关键．
根据等腰三角形的作图方法画图即可；根据图形写出已知、求证，证明法一：作的平分线，交于点，根据证明即可；证明法二：取的中点为，连接，根据证明即可；证明法三：过点作于点，根据证明即可．
【详解】如图，即为所求作的三角形．
已知：如图，中，．
求证：．
证明：法一：作的平分线，交于点
在和中
．
法二：取的中点为，连接．
在和中
法三：过点作于点
在和中
．
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】
【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个．
【答案】
【分析】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形．
【详解】解：①点在上时，
当时，
∵，，
∵，
∴，
∴,
∴；
当时，；
当时，；
②当点在上时，
存在，
综上，使为等腰三角形的点P有个，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可．
【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线，
∴当P在l上时满足PA=PB，
作BC的中垂线交l于，满足；
作BP=BC与l交于、两点，满足，；
作CP=BC与l交于、两点，满足，；
满足题意的点P共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个.
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解．
【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有；
第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P；
故符合条件的点P有6个点．
故答案为：6．
【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，
以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，
∴直线m上存在4个点C，使为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．
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【人教版】
【题型1 利用等边对等角求解】 1
【题型2 利用等边对等角进行证明】 2
【题型3 利用三线合一求解】 4
【题型4 利用三线合一证明】 5
【题型5 格点中画等腰三角形】 7
【题型6 找出图中的等腰三角形】 8
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 9
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 10
【题型9 尺规作等腰三角形】 11
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 12
知识点：等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 利用等边对等角求解】
【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【变式1-2】（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ．
【题型2 利用等边对等角进行证明】
【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知，，，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)已知 ，求证：．
【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
(1)如图1，当点D在线段上，且．
①证明：；
②证明：平分．
(2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【题型3 利用三线合一求解】
【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由．
【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在中，，点D为边的中点，连接，的平分线交于点E，已知．求和的度数．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点．
(1)当时，
①若，则点到的距离为________；
②若，，求的周长；
(2)若，且的面积为40，求周长的最小值．
【题型4 利用三线合一证明】
【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，．
(1)求证：是的中点；
(2)求证．
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 ___________．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ．
(1)求证：；
(2)问： 与 的位置关系并证明．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在中，，，于点，将沿折叠，使点A落在直线上的点处，是的平分线，交于点，交于点，连接．
(1)吗？为什么？
(2)试说明垂直平分．
【题型5 格点中画等腰三角形】
【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）；
(2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）．
【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【题型6 找出图中的等腰三角形】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．
【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，中，，，平分，于点，连结交于点，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】
【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．求证：是等腰三角形．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，，点分别在，上，以，为边在内作等边三角形，，连接并延长交于点，求证：．
【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】
【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，，，交于F，交于点E，求证：．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ．
【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且．
求证：
(1)；
(2)．
【题型9 尺规作等腰三角形】
【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】
【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个.
【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题13.4 等腰三角形【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用等边对等角求解】 2
【题型2 利用等边对等角进行证明】 6
【题型3 利用三线合一求解】 13
【题型4 利用三线合一证明】 18
【题型5 格点中画等腰三角形】 23
【题型6 找出图中的等腰三角形】 27
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】 31
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】 34
【题型9 尺规作等腰三角形】 38
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】 42
知识点：等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
【题型1 利用等边对等角求解】
【例1】（23-24八年级·浙江嘉兴·期末）如图，四边形中，，将沿着折叠，点B恰好落在边上的点处．若，则可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；由折叠得，，由等腰三角形的性质得，由三角形外角的性质得 ，即可求解；掌握折叠的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠得：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式1-1】（23-24八年级·福建三明·期末）某平板电脑支架如图所示，其中，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若增大，则的变化情况是（ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，设设原来，求出此时，然后类似求出变化后，然后两角作差即可得出结论.
【详解】解：设原来，则
∵，
∴，
∴，
增大后，，
∴，
∴，
∴，
∴的变化情况是减小，
故选：D.
【变式1-2】22-23八年级·浙江台州·期末）如图，与关于对称，，在上取一点，使得．若，则的度数是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，由轴对称性质得，
设，得出，再由等腰三角形的性质得．再由直角三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：与关于对称，
，
设．
，
在中，，
．
又，
，
，
故选：A
【变式1-3】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ．
【答案】/36度
【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出．
【详解】解：连接、，如图，设，
由作法得垂直平分，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
解得，
．
故答案为：．
【题型2 利用等边对等角进行证明】
【例2】（23-24八年级·河南安阳·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)当时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质等等：
（1）先证明，再利用即可证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据等边对等角得到，再由平角的定义推出，据此即可证明；
（3）先由平行线的性质得到，则根据（2）的结论可知，即可得到，即．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
．
【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（）先根据等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和与平角定义即可求解；
（）直接用证明，再根据性质即可求解；
此题考查了等腰三角形的，三角形内角和，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）∵，
∴，
又∵，，
∴；
（2）在和中
，
∴，
∴．
【变式2-2】（23-24八年级·四川宜宾·期中）如图，已知，，，，垂足为F．
(1)求证：；
(2)已知 ，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
(1)利用余角的性质，完善全等的条件，证明即可．
(2)延长到G，使，连接，证明证明即可．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）如图，延长到G，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【变式2-3】（23-24八年级·广东肇庆·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为一边在的右侧作，使，连接．
(1)如图1，当点D在线段上，且．
①证明：；
②证明：平分．
(2)如图2，当点D在直线上，设．则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)或
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，第二问注意分类讨论．
（1）①先证，根据即可证明；②根据等边对等角可证，根据可得，进而可证；
（2）分①点D在线段上，②点D在射线上，③点D在射线上，分别加以讨论即可．
【详解】（1）证明：① ，
，
，
在和中，
，
；
② 中，，
，
由①得，
，
，
平分．
（2）解：，
①点D在线段上，如图：
，
，
，
在和中，
，
；
，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当点D在射线上时，如图：
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
③当点D在射线上时，如图：
同理可得 ，
∴，
在中，，
∴，
∴．
∵，
∴；
综上所述α，β之间的数量关系为：或．
【题型3 利用三线合一求解】
【例3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）如图所示，在中，，于点，，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若点F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】
此题考查了等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）先求得的度数，进而求得，根据等腰三角形的性质得出，理由三角形内角和定理求得，根据同角的余角相等即可求得；
（2）根据，且点F是的中点，得到，，证得后即可证得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
在Rt△FDC中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2），理由如下：
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【变式3-1】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，在中，，点D为边的中点，连接，的平分线交于点E，已知．求和的度数．
【答案】，
【分析】先由等腰三角形的性质，得到，再由，可得到的度数，进而求出的度数，由三角形内角和定理可求出的度数，由等腰三角形的性质可求出的度数．
【详解】解：∵，点D为边的中点，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
在中，
，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握相关图形的性质是解题的关键．
【变式3-2】（23-24八年级·陕西榆林·开学考试）如图，在中，，是边上的中线，的垂直平分线分别交、、于点、、，连接，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，结合线段的垂直平分线性质证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，等腰三角形中等边对等角原理，直角三角形的性质和三角形内角和定理计算．
【详解】（1）因为，点是的中点，
所以，所以是的垂直平分线，
所以，
因为是的垂直平分线，所以，
所以；
（2）因为，点是的中点，
所以平分，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，线段垂直平分线性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【变式3-3】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点．
(1)当时，
①若，则点到的距离为________；
②若，，求的周长；
(2)若，且的面积为40，求周长的最小值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的三线合一性质即等边三角形的判定，根据，是的中点，可以判定，A，M，D三点共线，即平分，根据角平分线的性质，可以求出点到的距离，
其次，可以判定，再根据后，可以判定是等边三角形，进而去求周长．
（2）本题主要考查利用轴对称性求周长最小值，由于为定值，只要满足最小即可，利用垂直平分线，转化成求最小，即，最后求出周长最小值．
【详解】（1）①解：∵，是的中点；
∴处垂直平分；
连接；
∵；
∴，，三点共线；
即平分；
∵，；
∴到的距离为1．
②解：由题可知；
∵；
∴；
∴是等边三角形；
∵；
∴；
∴周长为18．
（2）解：∵；
∴；
∵垂直平分；
连接；
∴；
即;
∵；
∴；
即只需求出长即可；
∵；
∴=10；
∴周长的最小值为．
【题型4 利用三线合一证明】
【例4】（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，．
(1)求证：是的中点；
(2)求证．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由是中线得，进而可得，即得，再根据三角形三线合一即可求证；
（）由等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角性质即可求证；
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的中线，
∴是的中线，
∵是高，
∴，
∴，
∵是中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即是的中点；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【变式4-1】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
(1)求证：；
(2)若，则的度数为 ___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出，从而可得，然后根据等腰三角形的三线合一性质即可得证；
（2）根据等边对等角可得，，根据三角形外角的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
的垂直平分线交于点，
，
，
，
为线段的中点，
；
（2）解：，
，
，
由（1）知，，
，
，，
，，
，
．
故答案为：．
【变式4-2】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ．
(1)求证：；
(2)问： 与 的位置关系并证明．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（）根据证明即可；
（）利用全等三角形的性质推出，根据等腰三角形三线合一的性质即可得到；
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
在和中，
，
∴ ；
（2），理由：
∵，
∴，
又∵平分，
∴．
【变式4-3】（23-24八年级·山东聊城·期中）已知：如图，在中，，，于点，将沿折叠，使点A落在直线上的点处，是的平分线，交于点，交于点，连接．
(1)吗？为什么？
(2)试说明垂直平分．
【答案】(1)；理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，根据折叠的性质得出．即可证明，即可求证；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出，，则，推出，根据等腰三角形三线合一，即可得出结论．
【详解】（1）解：，，，，
，
将沿折叠，使点落在直线上的点处，
是的平分线，
，
，
在和中，
，
．
（2）解：由（1）得，，，
，
即，
，
是的平分线，
垂直平分．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握折叠两部分对应边相等，对应角相等；等腰三角形“三线合一”；全等三角形对应边相等，对应角相等．
【题型5 格点中画等腰三角形】
【例5】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，分三种情况：当时，当时，当时，即可解答．
【详解】解：如图所示：
分三种情况：
①当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
②当时，以点为圆心，以长为半径作圆，交网格线的格点为，，
③当时，作的垂直平分线，交网格线的格点为，，，，
综上所述：使成为等腰三角形，则满足条件的点有个，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，分三种情况讨论是解题的关键．
【变式5-1】（23-24八年级·浙江宁波·期末）在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1中，画一个以为腰的等腰（为格点）；
(2)在图2中，画一个以为底的等腰（为格点）．
【答案】(1)答案见解析（答案不唯一）
(2)答案见解析（答案不唯一）
【分析】本题主要考查作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图2中，即为所求（答案不唯一）．
【变式5-2】（23-24八年级·北京通州·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．
【答案】答案见解析
【分析】AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可
【详解】解：如图，
……
[答案不唯一]
【点睛】本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．
【变式5-3】（23-24八年级·浙江温州·期中）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、M、N均落在格点上，在图1、图2、图3给定的网格中按要求作图．
要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法．
(1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以AB为腰的等腰△ABP．
(2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以AB为底的等腰△ABP．
(3)在图3中的格线MN上确定一点P，使PA与PB的长度之和最小．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（2）利用等腰三角形的定义，找出满足条件的点，标出所有的点即可；
（3）作A关于MN的对称点A′，连接BA′，交MN于P，P点即为所求；
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：
（3）解：如图所示：
【点睛】本题考查了作图——应用与设计作图，等腰三角形的定义，轴对称的性质，轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
【题型6 找出图中的等腰三角形】
【例6】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D、E，则图中等腰三角形的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质，三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定方法，
根据两边相等的三角形即可等腰三角形即可解答
【详解】解：
,
是等腰三角形；
垂直平分线交
是等腰三角形；
,
是等腰三角形，
则图中等腰三角形的个数是3个，
故选：B
【变式6-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形．
【答案】3
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答．
【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，
，
，
∴都是等腰三角形；
故答案为：3．
【变式6-2】（23-24八年级·吉林白山·期中）如图，在四边形中，，，，点E是线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)直接写出图中所有的等腰三角形．
【答案】(1)见解析
(2)图中的等腰三角形有、
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握全等三角形的判定成为解题的关键．
（1）根据平行线的性质判定，再由可得，再结合，利用即可证明结论；
（2）根据（1）的结论可得，再结合等腰梯形的性质即可确定所有等腰三角形．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵由（1）可得
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有、．
【变式6-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）如图，中，，，平分，于点，连结交于点，则图中的等腰三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的判定，运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，证得∠CAD=∠BAD=30°，CD=ED，AC=AE，即△ABD、△CDE、△ACE、△BCE是等腰三角形.
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴AD=BD．
∴△ABD是等腰三角形．
∵AD是角平分线，∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴CD=ED
∴AC=AE
∴△CDE、△ACE是等腰三角形；
∵AC=AE，∠BAC=60°，
∴∠ACE=60°，
∵，
∴∠BCE=30°
∴∠BCE=∠B
∴△CEB是等腰三角形
所以此图中有4个等腰三角形．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；要综合运用直角三角形的两个锐角互余和角平分线的性质，找到相等的线段，来判定等腰三角形．
【题型7 利用等角对等边证明等腰三角形】
【例7】（23-24八年级·山西吕梁·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线与交于点，与交于点，连接．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，由 ，利用“等角对等边”即可得证．
【详解】证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴为等腰三角形．
【变式7-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在中，，是斜边上的高，角平分线交于点．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【分析】根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立．
【详解】∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
【点睛】此题考查了等腰三角形的定义、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式7-2】（23-24八年级·湖北恩施·期末）如图，，点分别在，上，以，为边在内作等边三角形，，连接并延长交于点，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定；证明，得出进而可得，即可得证．
【详解】证明：依题意是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
【变式7-3】（23-24八年级·北京密云·期末）如图，在中，，，与的角平分线、分别交、边于点D和点E．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出，进而得出，即可得出结论；
（2）延长至，使，连接，利用等边对等角和三角形的外角得出，再证明，根据全等三角形的性质得出，再根据线段的和差即可得出．
【详解】（1）解：证明：在中，，，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形．
（2），
证明：延长至，使，连接，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【题型8 利用等角对等边求边长或证明边相等】
【例8】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（ ）
A．50 B．55 C．60 D．65
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过E作于M，
平分，，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【变式8-1】（23-24八年级·广东惠州·期末）如图，，，交于F，交于点E，求证：．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握ASA证明三角形全等，是解题的关键．
先证明，由全等三角形的性质可得出，由等角对等边可得出，等量代换可得出进而即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式8-2】（23-24八年级·湖北十堰·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，由两直线平行，内错角相等，与两个角平分线，列出相等的角，通过等角对等边，可得到两个等腰三角形，代入已知线段长度，即可求解，解题的关键是：通过平行与角平分线的条件，推导出等腰三角形．
【详解】解：，
，，
又和的平分线分别交于点、，
，，
，，
，，
，
故答案为：．
【变式8-3】（23-24八年级·上海青浦·期末）已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，垂足分别为E、F，再过点D作，交于点G，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知；
（2）先证明，得出，根据，，得出．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，且，
∴平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：在和中
，
∴，
∴，
∵，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的判定，等边对等角，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
【题型9 尺规作等腰三角形】
【例9】（23-24八年级·广东佛山·阶段练习）如图，已知一个等腰三角形的底边为c，底边上的高为，求作这个等腰三角形．（保留作图痕迹，不必写作法）
【答案】见解析
【分析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握垂线的画法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先画射线，在射线上截取，然后作的垂直平分线，垂足为O，再截取，再连接、，即为所求．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【变式9-1】（23-24八年级·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
【答案】见解析
【分析】本题主要考查线段垂直平分线、角平分线的作法以及垂直平分线和角平分线的性质，掌握作图方法、理解特殊线的性质是解题关键．求作以为底边的等腰三角形，则需要作线段的中垂线，点A在角的内部，则依据角平分线的性质（角平分线上的点到角的两边距离相等），需要作的角平分线，与直线相交于一点即为点A，连接，即为所求作的等腰三角形．
【详解】解：如图，即为所求作的等腰三角形．
【变式9-2】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图．已知一个含有角的直角三角形，请利用它用两种不同的方法构造一个含角的直角三角形．（尺规作图，不写做法，保留作图轨迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图和等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
①在上截取， 即为含角的直角三角形，②延长，并在上截取， 即为含45°角的直角三角形．
【详解】解：①为含角的直角三角形，
①为含角的直角三角形．
【变式9-3】（2024·江苏泰州·一模）证明：等腰三角形的两底角相等．要求：
（1）用无刻度的直尺和圆规作等腰，使底边，腰；
（2）结合图形，写出已知、求证，并完成证明；
（3）证明过程若需添加辅助线，则辅助线也需用无刻度的直尺和圆规作图．
【答案】见解析
【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的作法是解答本题的关键．
根据等腰三角形的作图方法画图即可；根据图形写出已知、求证，证明法一：作的平分线，交于点，根据证明即可；证明法二：取的中点为，连接，根据证明即可；证明法三：过点作于点，根据证明即可．
【详解】如图，即为所求作的三角形．
已知：如图，中，．
求证：．
证明：法一：作的平分线，交于点
在和中
．
法二：取的中点为，连接．
在和中
法三：过点作于点
在和中
．
【题型10 确定与已知两点构成等腰三角形的点】
【例10】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，在中，，，点D在CA上，且，动点P从A点出发沿A→B→C的路线运动，运动到点C停止．在点P的运动过程中，使为等腰三角形的点P有 个．
【答案】
【分析】点在上时，存在三种情况使为等腰三角，点在上时，存在一种情况使为等腰三角形．
【详解】解：①点在上时，
当时，
∵，，
∵，
∴，
∴,
∴；
当时，；
当时，；
②当点在上时，
存在，
综上，使为等腰三角形的点P有个，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解本题的关键．
【变式10-1】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）如图所示，在长方形的对称轴上找点，使得、均为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用分类讨论的思想，当PB=PC，BP=BC，CP=BC时分别找到点P即可．
【详解】如图所示，l为长方形ABCD的对称轴，即l为AB的垂直平分线，
∴当P在l上时满足PA=PB，
作BC的中垂线交l于，满足；
作BP=BC与l交于、两点，满足，；
作CP=BC与l交于、两点，满足，；
满足题意的点P共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论是解题的关键．
【变式10-2】（23-24八年级·山东济宁·期中）如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个.
【答案】6
【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解．
【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有；
第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P；
第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P；
第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P；
第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P；
第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P；
故符合条件的点P有6个点．
故答案为：6．
【变式10-3】（23-24八年级·北京海淀·期中）如图，线段的一个端点B在直线m上，直线m上存在点C，使为等腰三角形，这样的点C有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，
以A为圆心，以的长为半径画弧与直线m交于点D，此时，同理以B为圆心以的长为半径画弧与直线m交于E、C，此时，，再作的垂直平分线与直线m交于点F，此时，
∴直线m上存在4个点C，使为等腰三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．
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