九年级数学上点拨与精练第22章二次函数22.1.3二次函数y=a（x-h）2 k的图像和性质3（含解析）
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| 名称 | 九年级数学上点拨与精练第22章二次函数22.1.3二次函数y=a（x-h）2 k的图像和性质3（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 14:32:59 | ||
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文档简介
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九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质3
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质
学习目标：
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2+k的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2+k的平移规律．
老师告诉你
抛物线y=ax2到y＝a(x－h)2+k的平移方法“八字诀”上加下减，左加右减
上加下减：是指抛物线y=ax2向上平移时，在y=ax2后加上一个正数，向下平移时在y=ax2后减去一个正数。
左加右减：是指抛物线y=ax2向左平移时，在括号内x的后加上一个正数，向右平移时，在括号内x的后减去一个正数，
一、知识点拨
知识点1二次函数y=a(x-h) +k的图像
二次函数y=a(x-h) +k的图像特征：
a>0,开口向上，a<0,开口向下；
对称轴直线x=h;
顶点坐标:（h,k）
【新知导学】
例1-1．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0
【对应导练】
1．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．若二次函数y＝（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
4．如图，二次函数y＝x（x﹣2）﹣4的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2二次函数y=a(x-h) +k的性质
y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0
图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点
最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性 当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大；当x＜h 时，y随x增大而减小.
【新知导学】
例2-1．关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
例2-2 .设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【对应导练】
1．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则h的值为（ ）
A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6
2．下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
3．顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
知识点3二次函数y=a(x-h) +k的图像与y=ax2的平移关系
二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变.
【新知导学】
例3-1 .已知函数．
（1）指出函数图象的开口方向是 ，顶点是 ；
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
【对应导练】
1．若将抛物线y＝a（x﹣h）2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为y＝ax2+k，则h+k的值为（ ）
A．6 B．0 C．﹣2 D．﹣6
2．将抛物线y＝ax2向左平移2个单位，经过点（﹣4，﹣4），则a＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a+b+c＝ ﹣1 ．
题型训练
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在平移中的应用
1 .将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数 y＝﹣2（x+3）2+1的图象．
（1）确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值．
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在几何中的应用
2．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．
3．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．
（1）如图，若该抛物线可以由抛物线y＝ax2先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为（0，﹣21）．
（i）求A，B两点的坐标；
（ii）若线段AM的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交AM交于点P，求证：四边形ADME是菱形；
（2）已知a＝1，抛物线顶点M在直线y＝2x﹣5上，若在自变量x的值满足2h≤x≤2h+3的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值．
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在探究中的应用
4．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式．
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．
5．如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
6．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2 .若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3 .若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0且a，h，k均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，h＜0，k＞0 B．a＞0，h＜0，k＜0
C．a＞0，h＞0，k＜0 D．a＜0，h＞0，k＜0
5．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h，k为常数）图象开口向下，当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．若抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，a，h，k均为常数）的顶点坐标为（3，﹣1），且抛物线过点（0，3），则下列对于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．抛物线与y轴交于负半轴
7．二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过（0，4），（8，5）两点，若a＜0，0＜h＜8，则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .已知抛物线y=a(x+1)2经过点，，则______填“”，“”，或“”．
10 .已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 _____．（任意写出一个解析式）
11 .已知二次函数 ，当－1≤x≤6时，函数的最小值为______．
12 .二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m …
y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 …
则这个二次函数的对称轴为直线x＝ ，m＝ （m＞0）．
13．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＜y2，则m的取值范围是
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（7分）已知抛物线,当时,有最大值,且抛物线过点(1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)当y随x的增大而增大时,求x的取值范围;
(3)求抛物线与y轴的交点坐标.
15．（8分）已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）求点A，B，C，D的坐标并画出该二次函数的大致图象；
（2）写出抛物线可由抛物线如何平移得到；
（3）求四边形BOCD的面积.
16．（8分）已知一个二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）该二次函数的对称轴是 ；顶点坐标是 ；
（3）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围． ．
17．（8分）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4
竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．
18 .（8分）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
19 .（9分）如图，抛物线经过点，且顶点坐标为，它的对称轴与x轴交于点C.
（1）求此抛物线的表达式.
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得是以为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标.
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标.
九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质3
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质
学习目标：
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2+k的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2+k的平移规律．
老师告诉你
抛物线y=ax2到y＝a(x－h)2+k的平移方法“八字诀”上加下减，左加右减
上加下减：是指抛物线y=ax2向上平移时，在y=ax2后加上一个正数，向下平移时在y=ax2后减去一个正数。
左加右减：是指抛物线y=ax2向左平移时，在括号内x的后加上一个正数，向右平移时，在括号内x的后减去一个正数，
一、知识点拨
知识点1二次函数y=a(x-h) +k的图像
二次函数y=a(x-h) +k的图像特征：
a>0,开口向上，a<0,开口向下；
对称轴直线x=h;
顶点坐标:（h,k）
【新知导学】
例1-1．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．
【解答】解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上；
∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．
故选：C．
【点评】判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．
例1-2．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0
【分析】根据顶点所处的位置确定m、k的符号．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m）2+k
∴顶点为（﹣m，k），
∵顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，k＜0，
∴m＜0，k＜0，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
【对应导练】
1．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由函数解析式字母系数的正负，把一次函数与二次函数的图象相比较看是否一致进行解答．
【解答】解：由解析式y＝a（x+m）2+n可知，a＞0，图象开口向上，其顶点坐标为（﹣m，n），又因为m＜0，n＜0；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D；
C中，由二次函数图象可知a＜0，而由一次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，排除C；选项B正确．
故选：B．
【点评】解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．
2．若二次函数y＝（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），
∴坐标原点可能是点A．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上，故A错误；
当x＝1时，函数有最小值2，故B错误；
对称轴为直线x＝1，故C错误；
顶点坐标为（1，2），故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
4．如图，二次函数y＝x（x﹣2）﹣4的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵y＝x（x﹣2）﹣4＝（x﹣1）2﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣5），
故A、C、D不合题意，B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟知二次函数的性质是解题的关键．
知识点2二次函数y=a(x-h) +k的性质
y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0
图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点
最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性 当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大；当x＜h 时，y随x增大而减小.
【新知导学】
例2-1．关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，且a＝﹣3＜0，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；
顶点坐标是（1，2），故选项C符合题意；
当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是关键．
例2-2 .设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】把点的坐标分别代入可求得y1，y2，y3的值，比较大小可求得答案．
【解答】解：
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，
∴y1＝﹣（﹣2+1）2+3＝2，y2＝﹣（1+1）2+3＝﹣1，y3＝﹣（2+1）2+3＝﹣6，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
【对应导练】
1．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则h的值为（ ）
A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6
【分析】利用分类讨论的方法可以求得h的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，
∴当h≤1时，x＝1时，函数取得最大值﹣4，
即﹣4＝﹣（1﹣h）2+5，解得h1＝4（舍去），h2＝﹣2；
当1＜h＜3时，当x＝h时函数取得最大值0与题干中的函数值y的最大值为﹣4矛盾，故此种情况不存在；
当h≥3时，x＝3时，函数取得最大值﹣4，
即﹣4＝﹣（3﹣h）2+5，解得h3＝0（舍去），h4＝6；
由上可得，h的值是﹣2或6，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意；
B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意；
D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．
3．顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据开口方向、形状与函数的图象相同，可知所求抛物线的二次项系数为﹣，再根据顶点（﹣5，﹣1），即可写出相应的函数解析式．
【解答】解：顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是y＝﹣（x+5）2﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是根据题目中的条件，可以写出相应的函数解析式．
4．二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
【分析】由二次函数的性质可确定出a的范围．
【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t，
∴a＜0，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴t≤1，
∴a＜0，t≤1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
知识点3二次函数y=a(x-h) +k的图像与y=ax2的平移关系
二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变.
【新知导学】
例3-1 .已知函数．
（1）指出函数图象的开口方向是 ，顶点是 ；
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
【分析】（1）、（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据平移的平移规律求解．
【解答】解：（1）函数图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）；
故答案为：向下，（﹣2，﹣2）；
（2）当x＞﹣2时，y随x的增大而小；
故答案为：＞﹣2；
（3）把抛物线yx2就先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线y（x+2）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
【对应导练】
1．若将抛物线y＝a（x﹣h）2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为y＝ax2+k，则h+k的值为（ ）
A．6 B．0 C．﹣2 D．﹣6
【分析】先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到h、k的值．
【解答】解：函数y＝a（x﹣h）2先的顶点坐标为（h，0），
∵是向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣h﹣3）2﹣3，
即y＝ax2+k
∴﹣h﹣3＝0，k＝﹣3．
∴h＝﹣3，
∴h+k＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握点的平移规律：横坐标左移减，右移加，纵坐标上移加，下移减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．
2．将抛物线y＝ax2向左平移2个单位，经过点（﹣4，﹣4），则a＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征即可求解．
【解答】解：将抛物线y＝ax2向左平移2个单位后得到y＝a（x+2）2，
∵y＝a（x+2）2经过点（﹣4，﹣4），
∴﹣4＝（﹣4+2）2a，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
3．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a+b+c＝ ﹣1 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线为y＝2（x﹣1+1）2﹣1﹣2，即y＝2x2﹣3，
∴a＝2，b＝0，c＝﹣3，
∴a+b+c＝2+0﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
题型训练
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在平移中的应用
1.将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数 y＝﹣2（x+3）2+1的图象．
（1）确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值．
【分析】（1）根据已知和平移的特点得出a＝﹣2，﹣h+2＝3，k+3＝1，求出即可；
（2）根据求出的函数解析式和二次函数的性质得出即可；
（3）根据二次函数的性质得出即可．
【解答】解：（1）∵将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数y＝﹣2（x+3）2+1的图象，
∴a（x﹣h+2）2+k+3＝﹣2（x+3）2+1，
a＝﹣2，﹣h+2＝3，k+3＝1，
解得：a＝﹣2，h＝﹣1，k＝﹣2；
（2）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k＝﹣2（x+1）2﹣2，
∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标 （﹣1，﹣2）；
（3）∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标 （﹣1，﹣2），
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣1时，y有最大值，y的最大值是﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象与几何变换等知识点，能求出函数的解析式和理解二次函数的性质是解此题的关键．
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在几何中的应用
2．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．
【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线的解析式，从而可以求得m的值；
（2）首先将a的值代入得到二次函数的解析式，然后将点P的横坐标代入即可求得其纵坐标，然后根据PQ∥x轴得到点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，从而求得点Q的坐标，从而求得三角形的面积．
【解答】解：（1）∵点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，
∴a＝a（m﹣1）2，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P在第一象限内，
∴m＝2；
（2）∵a的值为3，
∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2，
∵点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y＝3（x﹣1）2＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∵PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，
∴3＝3（x﹣1）2，
解得：x＝2或x＝0，
∴点Q的坐标为（0，3），
∴PQ＝2，
∴S△PQO＝×3×2＝3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意求得点P的坐标，另外还应了解平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同．
3．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．
（1）如图，若该抛物线可以由抛物线y＝ax2先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为（0，﹣21）．
（i）求A，B两点的坐标；
（ii）若线段AM的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交AM交于点P，求证：四边形ADME是菱形；
（2）已知a＝1，抛物线顶点M在直线y＝2x﹣5上，若在自变量x的值满足2h≤x≤2h+3的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值．
【分析】（1）（i）根据平移的性质和待定系数法，求出该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+4，令y＝0，求出x的值，即可得到A，B两点的坐标；
（ii）根据二次函数的性质，得到顶点M（5，4），利用垂直平分线的性质，得到EA＝EM，AD＝DM，P（4，2），再利用待定系数法和勾股定理，求出直线DE的解析式，得到D（8，0），进而求得AD＝EM，即可证明四边形ADME是菱形；
（2）分两种情况讨论：①当h≥0时；②当h＜0时，利用二次函数的性质，分别求出最小值方程，求解即可得到答案．
【解答】（1）（i）解：由平移性质可知，该抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+4，
∵点C（0，﹣21）在抛物线上，
∴25a+4＝﹣21，
解得：a＝﹣1，
∴该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+4，
令y＝0，则﹣（x﹣5）2+4＝0，
解得：x1＝3，x2＝7，
∵该抛物线与x轴交于A，B两点，且A在B的左边，
∴A（3，0）、B（7，0）；
（ii）证明：∵抛物线y＝﹣（x﹣5）2+4的顶点为M，
∴M（5，4），
∵ED是AM的垂直平分线，
∴EA＝EM，AD＝DM，点P为AM的中点，
∴点P的坐标为，
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴4k+b＝2，解得：，
∴直线DE的解析式为，
令x＝0，则y＝b，
∴E（0，b），
∴，，
∴，
解得：b＝4，
∴直线DE的解析式为，E（0，4），
令y＝0，则，
解得：x＝8，
∴D（8，0），
∴AD＝8﹣3＝5，
∵，
∴AD＝EM，
∴EA＝EM＝AD＝DM，
∴四边形ADME是菱形；
（2）解：∵a＝1，
∴抛物线解析式y＝（x﹣h）2+k，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝h，顶点坐标M（h，k），
∵抛物线顶点M在直线y＝2x﹣5上，
∴2h﹣5＝k，
①当h≥0时，此时2h≤x≤2h+3在对称轴x＝h的右侧，y随x的增大而增大，
∴y的最小值为y（2h），
∴，
解得：，（舍去）；
②当h＜0时，
若2h+3＜h，即h＜﹣3，此时2h≤x≤2h+3在对称轴x＝h的左侧，y随x的增大而减小，
∴y的最小值为y（2h+3），
∴，
∴，
解得：，（舍去）；
若2h+3≥h，即﹣3≤h＜0，此时对称轴x＝h在2h≤x≤2h+3的范围内，
∴y的最小值为y（h），
∴，
解得：（舍去），
综上可知，h的值为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的判定等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在探究中的应用
4．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式．
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．
【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a（x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；
（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；
（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题关键是熟练掌握二次函数性质、全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想．
5．如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由中点坐标公式得点C（1，），即可求解；
（3）①当y＝时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，则x＝2+（不合题意的值已舍去），即可求解；
②过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣2）2+2，
将点A的坐标代入上式得：0＝a×（4﹣2）2+2，
解得：a＝﹣，
抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式为y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，y＝﹣（x﹣2）2+2，
由中点坐标公式得点C（1，），
当x＝1时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，
则CE＝﹣＝；
（3）①由（2）知，C（1，），
当y＝时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，
则x＝2+（不合题意的值已舍去），
即点F（2+，）；
②方法一：
设点D（m，0），则点F（m+1，），
过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，
则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，
由定点F′、D的坐标得，直线DF′的表达式为：y＝3（x﹣m），
将点B的坐标代入上式得：2＝3（2﹣m），
解得：m＝，
则点F′（，3），点D（，0），
则BD+BF最小值为：DF′＝＝2；
方法二：作点C关于x轴的对称点E（1，﹣），
则△CBF≌△OED（SAS），
则BF＝DE，
则BD+BF＝BD+DE≥BE，当D、B、E共线时，BD+BF＝BE为最小，
则BE＝＝2；
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到点的对称性、平行四边形的性质等，确定BD+BF＝DF′为最小是解题的关键．
6．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a（x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；
（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；
（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题关键是熟练掌握二次函数性质、全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想．
牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用顶点式直接求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
2 .若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为，根据二次函数图像的性质即可求出结论.
【详解】由得
二次函数的对称轴为，
∵该函数图像的开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小,
∴
解得
故选：D
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.
3 .若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为，根据二次函数图像的性质即可求出结论.
【详解】由得
二次函数的对称轴为，
∵该函数图像的开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小,
∴
解得
故选：D
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.
4．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0且a，h，k均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，h＜0，k＞0 B．a＞0，h＜0，k＜0
C．a＞0，h＞0，k＜0 D．a＜0，h＞0，k＜0
【分析】由题意可知开口向上，对称轴直线x＝h在y轴的右侧，顶点（h，k）在第四象限，据此判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0且a，h，k均为常数）的图象经过第一、二、四象限，
∴开口向上，对称轴直线x＝h在y轴的右侧，顶点（h，k）在第四象限，
∴a＞0，h＞0，k＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，能正确观察图象是解本题的关键．
5．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h，k为常数）图象开口向下，当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】根据图象开口向下，得出a＜0，再将x＝1，y＝1；x＝6，y＝6代入函数解析式，得出可能的h的值．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
将x＝1，y＝1；x＝6，y＝6代入，
得：，
∴5＝a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2
a[（6﹣h）2﹣（1﹣h）2]＝5
a[（6﹣h+1﹣h）（6﹣h﹣1+h）]＝5
a（7﹣2h） 5＝5
a＝
∵a＜0，
∴7﹣2h＜0，
∴h＞3.5，
∴h可能的值为，
故答案为：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，通过开口向下和当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，得出h的取值范围，也可以将选项中的答案代入，排除错误选项．
6．若抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，a，h，k均为常数）的顶点坐标为（3，﹣1），且抛物线过点（0，3），则下列对于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．抛物线与y轴交于负半轴
【分析】先利用待定系数法求出解析式，再根据二次函数的图象和性质判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，a，h，k均为常数）的顶点坐标为（3，﹣1），且抛物线过点（0，3），
∴9a﹣1＝3，
∴a＝，
∴y＝（x﹣3）2﹣1，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴是直线x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大，抛物线与y轴交于正半轴，
故C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图形和性质是关键．
7．二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过（0，4），（8，5）两点，若a＜0，0＜h＜8，则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过（0，4）、（8，5）两点．若a＜0，0＜h＜8，则点（0，4）到对称轴的距离大于点（8，5）到对称轴的距离，所以h﹣0＞8﹣h，然后解不等式后进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而（0，4），（8，5）两点，
∴h﹣0＞8﹣h，
解得h＞4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，p＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴＞h，
∴x1+x2＞2h．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与一次函数的性质，掌握函数与方程的关系．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .已知抛物线y=a(x+1)2经过点，，则______填“”，“”，或“”．
【答案】>
【分析】先根据顶点式得到抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线，然后二次函数的性质和点离对称轴的远近进行判断．
【详解】抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线，
所以点，，到直线的距离分别为5和2，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
10 .已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 _____．（任意写出一个解析式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据“当x＜1时y随x增大而减小；当x＞1时y随x增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可．
【详解】∵当x＜1时y随x增大而减小；当x＞1时y随x增大而增大，
∴对称轴为x＝1，开口向上，
∴符合条件的二次函数可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的增减性是以二次函数的对称轴为界的，难度不大．
11 .已知二次函数 ，当－1≤x≤6时，函数的最小值为______．
【答案】
【分析】根据对称轴和x的取值范围，判断出离对称轴最远的点为最小值，代入求值即可；
【详解】解：
对称轴为：，
∵，
∴抛物线开口朝下，离对称轴越远，函数值越小，
∵－1≤x≤6，－1离对称轴最远，
∴当时，函数取得最小值：，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12 .二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m …
y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 …
则这个二次函数的对称轴为直线x＝ ，m＝ 4 （m＞0）．
【分析】利用表中数据可抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝，利用待定系数法求得二次函数的解析式，把y＝﹣6代入即可求得m的值．
【解答】解：∵x＝0，y＝6；x＝1，y＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c＝6，
∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，
把y＝﹣6代入得，﹣6＝﹣x2+x+6，
解得x＝4或x＝﹣3，
∵m＞2，
∴m＝4，
故答案为：，4．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求函数的解析式，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．
13．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＜y2，则m的取值范围是 m＜1或m＞5 ．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，即可求得点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），根据点的坐标特征即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝3，函数图象开口向上，
∴点P（5，y1）关于直线x＝3的对称点为（1，y1），
∵y1＜y2，
∴m＜1或m＞5，
故答案为：m＜1或m＞5．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（7分）已知抛物线,当时,有最大值,且抛物线过点(1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)当y随x的增大而增大时,求x的取值范围;
(3)求抛物线与y轴的交点坐标.
答案：(1)
(2)
(3)(0,-12)
解析：(1)∵抛物线,当时,有最大值,∴抛物线的解析式为.∵抛物线过点2),∴此抛物线的解析式为.
(2)∵抛物线的对称轴为直线,且抛物线开口向下,∴当时,y随x的增大而增大,的取值范围为.
(3)当时,,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-12).
15．（8分）已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）求点A，B，C，D的坐标并画出该二次函数的大致图象；
（2）写出抛物线可由抛物线如何平移得到；
（3）求四边形BOCD的面积.
答案：解：（1）令，则，解得或，
点A在点B的左侧，
，，令，则，.
由函数解析式知，图象的顶点D的坐标为.
图象如图所示.
（2）把抛物线向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线.
（3）连接OD，.
16．（8分）已知一个二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）该二次函数的对称轴是 x＝﹣1 ；顶点坐标是 （﹣1，﹣4） ；
（3）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围． ﹣4≤y＜0 ．
【分析】（1）根据描点，连线得出图象；
（2）观察图象得出对称轴和顶点坐标即可；
（3）根据图象可知在自变量取值范围内的函数图象都在x轴下方，进而得出答案．
【解答】解：（1）描点，连线，如图所示．
（2）观察图象可知对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣4）；
故答案为：x＝﹣1；（﹣1，﹣4）；
（3）观察图象可知﹣3＜x＜1时，﹣4≤y＜0．
故答案为：﹣4≤y＜0．
【点评】本题主要考查了画二次函数图象，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，确定函数值的取值范围等，从图象中获取信息是解题的关键．
17．（8分）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4
竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（3，0.9），那么该运动员竖直高度的最大值为0.9，把顶点坐标连同（0，0）代入所给的函数解析式，求得a的值后即可求得相应的函数解析式；
（2）落入沙坑，则竖直高度y为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，求得x后取正值即为l1和l2的长度，比较l1，l2的大小即可．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3，0.9）．
∴该运动员竖直高度的最大值为0.9米．
设函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+0.9．
∵经过点（0，0），
∴9a+0.9＝0，
解得：a＝﹣0.1．
∴函数解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．
（2）取y＝0．
第一次训练时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝6．
∴l1＝6．
第二次训练时，0＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝4.4．
∴l1＝4.4．
∵6＞4.4，
∴l1＞l2．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点（x1，y），（x2，y），则抛物线的对称轴为：直线x＝．
18 .（8分）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；
（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，
∴，
∴；
（2）当时，抛物线解析式为，
令，即，
解得或，
令，，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴，
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【点评】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
19 .（9分）如图，抛物线经过点，且顶点坐标为，它的对称轴与x轴交于点C.
（1）求此抛物线的表达式.
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得是以为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标.
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标.
答案：(1)抛物线的顶点坐标为，.抛物线经过点，，，.
(2)设点P的坐标为.，
由勾股定理可得
，
，
，，
，
解得(舍去).
当时，.点P的坐标为.
(3)点P不是第一象限内此抛物线上与距离最远的点.
设直线的方程为，将代入得，解得，直线的方程为.
设过抛物线上与距离最远的点且与平行的直线的解析式为.
直线过抛物线上与距离最远的点.直线与抛物线有且只有一个交点，即有两个相等的实数根.，，解得.则，解得，此时.第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标为.
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九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质3
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质
学习目标：
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2+k的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2+k的平移规律．
老师告诉你
抛物线y=ax2到y＝a(x－h)2+k的平移方法“八字诀”上加下减，左加右减
上加下减：是指抛物线y=ax2向上平移时，在y=ax2后加上一个正数，向下平移时在y=ax2后减去一个正数。
左加右减：是指抛物线y=ax2向左平移时，在括号内x的后加上一个正数，向右平移时，在括号内x的后减去一个正数，
一、知识点拨
知识点1二次函数y=a(x-h) +k的图像
二次函数y=a(x-h) +k的图像特征：
a>0,开口向上，a<0,开口向下；
对称轴直线x=h;
顶点坐标:（h,k）
【新知导学】
例1-1．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0
【对应导练】
1．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．若二次函数y＝（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
4．如图，二次函数y＝x（x﹣2）﹣4的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2二次函数y=a(x-h) +k的性质
y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0
图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点
最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性 当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大；当x＜h 时，y随x增大而减小.
【新知导学】
例2-1．关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
例2-2 .设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【对应导练】
1．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则h的值为（ ）
A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6
2．下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
3．顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
知识点3二次函数y=a(x-h) +k的图像与y=ax2的平移关系
二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变.
【新知导学】
例3-1 .已知函数．
（1）指出函数图象的开口方向是 ，顶点是 ；
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
【对应导练】
1．若将抛物线y＝a（x﹣h）2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为y＝ax2+k，则h+k的值为（ ）
A．6 B．0 C．﹣2 D．﹣6
2．将抛物线y＝ax2向左平移2个单位，经过点（﹣4，﹣4），则a＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a+b+c＝ ﹣1 ．
题型训练
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在平移中的应用
1 .将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数 y＝﹣2（x+3）2+1的图象．
（1）确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值．
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在几何中的应用
2．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．
3．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．
（1）如图，若该抛物线可以由抛物线y＝ax2先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为（0，﹣21）．
（i）求A，B两点的坐标；
（ii）若线段AM的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交AM交于点P，求证：四边形ADME是菱形；
（2）已知a＝1，抛物线顶点M在直线y＝2x﹣5上，若在自变量x的值满足2h≤x≤2h+3的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值．
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在探究中的应用
4．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式．
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．
5．如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
6．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2 .若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3 .若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0且a，h，k均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，h＜0，k＞0 B．a＞0，h＜0，k＜0
C．a＞0，h＞0，k＜0 D．a＜0，h＞0，k＜0
5．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h，k为常数）图象开口向下，当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
6．若抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，a，h，k均为常数）的顶点坐标为（3，﹣1），且抛物线过点（0，3），则下列对于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．抛物线与y轴交于负半轴
7．二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过（0，4），（8，5）两点，若a＜0，0＜h＜8，则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
8．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .已知抛物线y=a(x+1)2经过点，，则______填“”，“”，或“”．
10 .已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 _____．（任意写出一个解析式）
11 .已知二次函数 ，当－1≤x≤6时，函数的最小值为______．
12 .二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m …
y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 …
则这个二次函数的对称轴为直线x＝ ，m＝ （m＞0）．
13．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＜y2，则m的取值范围是
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（7分）已知抛物线,当时,有最大值,且抛物线过点(1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)当y随x的增大而增大时,求x的取值范围;
(3)求抛物线与y轴的交点坐标.
15．（8分）已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）求点A，B，C，D的坐标并画出该二次函数的大致图象；
（2）写出抛物线可由抛物线如何平移得到；
（3）求四边形BOCD的面积.
16．（8分）已知一个二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）该二次函数的对称轴是 ；顶点坐标是 ；
（3）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围． ．
17．（8分）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4
竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．
18 .（8分）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
19 .（9分）如图，抛物线经过点，且顶点坐标为，它的对称轴与x轴交于点C.
（1）求此抛物线的表达式.
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得是以为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标.
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标.
九年级数学上点拨与精练
二次函数
22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质3
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质
学习目标：
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2+k的图象．
2．能正确说出y＝a(x－h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握抛物线y＝a(x－h)2+k的平移规律．
老师告诉你
抛物线y=ax2到y＝a(x－h)2+k的平移方法“八字诀”上加下减，左加右减
上加下减：是指抛物线y=ax2向上平移时，在y=ax2后加上一个正数，向下平移时在y=ax2后减去一个正数。
左加右减：是指抛物线y=ax2向左平移时，在括号内x的后加上一个正数，向右平移时，在括号内x的后减去一个正数，
一、知识点拨
知识点1二次函数y=a(x-h) +k的图像
二次函数y=a(x-h) +k的图像特征：
a>0,开口向上，a<0,开口向下；
对称轴直线x=h;
顶点坐标:（h,k）
【新知导学】
例1-1．二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．
【解答】解：∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上；
∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，
∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．
故选：C．
【点评】判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．
例1-2．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（ ）
A．m＜0，k＜0 B．m＜0，k＞0 C．m＞0，k＜0 D．m＞0，k＞0
【分析】根据顶点所处的位置确定m、k的符号．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m）2+k
∴顶点为（﹣m，k），
∵顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，k＜0，
∴m＜0，k＜0，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
【对应导练】
1．已知函数y＝ax和y＝a（x+m）2+n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数图象在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由函数解析式字母系数的正负，把一次函数与二次函数的图象相比较看是否一致进行解答．
【解答】解：由解析式y＝a（x+m）2+n可知，a＞0，图象开口向上，其顶点坐标为（﹣m，n），又因为m＜0，n＜0；所以顶点坐标在第四象限，排除A、D；
C中，由二次函数图象可知a＜0，而由一次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，排除C；选项B正确．
故选：B．
【点评】解决此类问题步骤一般为：（1）根据图象的特点判断a取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断其顶点坐标是否符合要求．
2．若二次函数y＝（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，进而求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），
∴坐标原点可能是点A．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上，故A错误；
当x＝1时，函数有最小值2，故B错误；
对称轴为直线x＝1，故C错误；
顶点坐标为（1，2），故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
4．如图，二次函数y＝x（x﹣2）﹣4的图象在平面直角坐标系中的位置大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】把解析式化成顶点式，根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵y＝x（x﹣2）﹣4＝（x﹣1）2﹣5，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣5），
故A、C、D不合题意，B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟知二次函数的性质是解题的关键．
知识点2二次函数y=a(x-h) +k的性质
y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0
图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点
最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k
增减性 当x＜h时，y随x增大而减小；当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大；当x＜h 时，y随x增大而减小.
【新知导学】
例2-1．关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，且a＝﹣3＜0，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；
顶点坐标是（1，2），故选项C符合题意；
当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是关键．
例2-2 .设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】把点的坐标分别代入可求得y1，y2，y3的值，比较大小可求得答案．
【解答】解：
∵A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+3上的三点，
∴y1＝﹣（﹣2+1）2+3＝2，y2＝﹣（1+1）2+3＝﹣1，y3＝﹣（2+1）2+3＝﹣6，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
【对应导练】
1．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，则h的值为（ ）
A．﹣2或4 B．0或6 C．1或3 D．﹣2或6
【分析】利用分类讨论的方法可以求得h的值，本题得以解决．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为﹣4，
∴当h≤1时，x＝1时，函数取得最大值﹣4，
即﹣4＝﹣（1﹣h）2+5，解得h1＝4（舍去），h2＝﹣2；
当1＜h＜3时，当x＝h时函数取得最大值0与题干中的函数值y的最大值为﹣4矛盾，故此种情况不存在；
当h≥3时，x＝3时，函数取得最大值﹣4，
即﹣4＝﹣（3﹣h）2+5，解得h3＝0（舍去），h4＝6；
由上可得，h的值是﹣2或6，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．下列关于抛物线y＝﹣（x+1）2+4的判断中，错误的是（ ）
A．形状与抛物线y＝﹣x2相同
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜1时，y＞0
【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、抛物线y＝﹣（x+1）2+4形状与y＝﹣x2相同，此选项不符合题意；
B、抛物线y＝﹣（x+1）2+4对称轴x＝﹣1，此选项不符合题意．
C、对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，由于a＝﹣1＜0，当x＞﹣1时，函数值y随x值的增大而减小，此选项错误，符合题意；
D、抛物线y＝﹣（x+1）2+4＝﹣（x+3）（x﹣1），a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，抛物线与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），所以当y＞0时，﹣3＜x＜1，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题是，熟记性质是解题的关键．
3．顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据开口方向、形状与函数的图象相同，可知所求抛物线的二次项系数为﹣，再根据顶点（﹣5，﹣1），即可写出相应的函数解析式．
【解答】解：顶点（﹣5，﹣1），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线的是y＝﹣（x+5）2﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是根据题目中的条件，可以写出相应的函数解析式．
4．二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
【分析】由二次函数的性质可确定出a的范围．
【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t，
∴a＜0，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴t≤1，
∴a＜0，t≤1．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
知识点3二次函数y=a(x-h) +k的图像与y=ax2的平移关系
二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：
平移规律(设 h＞0，k＞0)：
★简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变.
【新知导学】
例3-1 .已知函数．
（1）指出函数图象的开口方向是 ，顶点是 ；
（2）当x 时，y随x的增大而减小；
（3）怎样移动抛物线就可以得到抛物线．
【分析】（1）、（2）根据二次函数的性质求解；
（3）根据平移的平移规律求解．
【解答】解：（1）函数图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣2）；
故答案为：向下，（﹣2，﹣2）；
（2）当x＞﹣2时，y随x的增大而小；
故答案为：＞﹣2；
（3）把抛物线yx2就先向左平移2个单位，再向下平移2个单位可以得到抛物线y（x+2）2﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
【对应导练】
1．若将抛物线y＝a（x﹣h）2先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为y＝ax2+k，则h+k的值为（ ）
A．6 B．0 C．﹣2 D．﹣6
【分析】先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到h、k的值．
【解答】解：函数y＝a（x﹣h）2先的顶点坐标为（h，0），
∵是向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到，
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣h﹣3）2﹣3，
即y＝ax2+k
∴﹣h﹣3＝0，k＝﹣3．
∴h＝﹣3，
∴h+k＝﹣6，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握点的平移规律：横坐标左移减，右移加，纵坐标上移加，下移减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．
2．将抛物线y＝ax2向左平移2个单位，经过点（﹣4，﹣4），则a＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的坐标特征即可求解．
【解答】解：将抛物线y＝ax2向左平移2个单位后得到y＝a（x+2）2，
∵y＝a（x+2）2经过点（﹣4，﹣4），
∴﹣4＝（﹣4+2）2a，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
3．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a+b+c＝ ﹣1 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线为y＝2（x﹣1+1）2﹣1﹣2，即y＝2x2﹣3，
∴a＝2，b＝0，c＝﹣3，
∴a+b+c＝2+0﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
题型训练
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在平移中的应用
1.将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数 y＝﹣2（x+3）2+1的图象．
（1）确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）说明此二次函数的增减性和最大（小）值．
【分析】（1）根据已知和平移的特点得出a＝﹣2，﹣h+2＝3，k+3＝1，求出即可；
（2）根据求出的函数解析式和二次函数的性质得出即可；
（3）根据二次函数的性质得出即可．
【解答】解：（1）∵将抛物线y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左移动2个单位，再向上平移3个单位得到二次函数y＝﹣2（x+3）2+1的图象，
∴a（x﹣h+2）2+k+3＝﹣2（x+3）2+1，
a＝﹣2，﹣h+2＝3，k+3＝1，
解得：a＝﹣2，h＝﹣1，k＝﹣2；
（2）∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k＝﹣2（x+1）2﹣2，
∴图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标 （﹣1，﹣2）；
（3）∵图象的开口方向向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标 （﹣1，﹣2），
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x≥﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣1时，y有最大值，y的最大值是﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象与几何变换等知识点，能求出函数的解析式和理解二次函数的性质是解此题的关键．
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在几何中的应用
2．已知点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，且点P在第一象限内．
（1）求m的值；
（2）过P点作PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，若a的值为3，试求P点，Q点及原点O围成的三角形的面积．
【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线的解析式，从而可以求得m的值；
（2）首先将a的值代入得到二次函数的解析式，然后将点P的横坐标代入即可求得其纵坐标，然后根据PQ∥x轴得到点Q的纵坐标与点P的纵坐标相同，从而求得点Q的坐标，从而求得三角形的面积．
【解答】解：（1）∵点P（m，a）是抛物线y＝a（x﹣1）2上的点，
∴a＝a（m﹣1）2，
解得：m＝2或m＝0，
∵点P在第一象限内，
∴m＝2；
（2）∵a的值为3，
∴二次函数的解析式为：y＝3（x﹣1）2，
∵点P的横坐标为2，
∴点P的纵坐标y＝3（x﹣1）2＝3，
∴点P的坐标为（2，3），
∵PQ∥x轴交抛物线y＝a（x﹣1）2于点Q，
∴3＝3（x﹣1）2，
解得：x＝2或x＝0，
∴点Q的坐标为（0，3），
∴PQ＝2，
∴S△PQO＝×3×2＝3．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意求得点P的坐标，另外还应了解平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标相同．
3．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．
（1）如图，若该抛物线可以由抛物线y＝ax2先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为（0，﹣21）．
（i）求A，B两点的坐标；
（ii）若线段AM的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交AM交于点P，求证：四边形ADME是菱形；
（2）已知a＝1，抛物线顶点M在直线y＝2x﹣5上，若在自变量x的值满足2h≤x≤2h+3的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值．
【分析】（1）（i）根据平移的性质和待定系数法，求出该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+4，令y＝0，求出x的值，即可得到A，B两点的坐标；
（ii）根据二次函数的性质，得到顶点M（5，4），利用垂直平分线的性质，得到EA＝EM，AD＝DM，P（4，2），再利用待定系数法和勾股定理，求出直线DE的解析式，得到D（8，0），进而求得AD＝EM，即可证明四边形ADME是菱形；
（2）分两种情况讨论：①当h≥0时；②当h＜0时，利用二次函数的性质，分别求出最小值方程，求解即可得到答案．
【解答】（1）（i）解：由平移性质可知，该抛物线解析式为y＝a（x﹣5）2+4，
∵点C（0，﹣21）在抛物线上，
∴25a+4＝﹣21，
解得：a＝﹣1，
∴该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+4，
令y＝0，则﹣（x﹣5）2+4＝0，
解得：x1＝3，x2＝7，
∵该抛物线与x轴交于A，B两点，且A在B的左边，
∴A（3，0）、B（7，0）；
（ii）证明：∵抛物线y＝﹣（x﹣5）2+4的顶点为M，
∴M（5，4），
∵ED是AM的垂直平分线，
∴EA＝EM，AD＝DM，点P为AM的中点，
∴点P的坐标为，
设直线DE的解析式为y＝kx+b，
∴4k+b＝2，解得：，
∴直线DE的解析式为，
令x＝0，则y＝b，
∴E（0，b），
∴，，
∴，
解得：b＝4，
∴直线DE的解析式为，E（0，4），
令y＝0，则，
解得：x＝8，
∴D（8，0），
∴AD＝8﹣3＝5，
∵，
∴AD＝EM，
∴EA＝EM＝AD＝DM，
∴四边形ADME是菱形；
（2）解：∵a＝1，
∴抛物线解析式y＝（x﹣h）2+k，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝h，顶点坐标M（h，k），
∵抛物线顶点M在直线y＝2x﹣5上，
∴2h﹣5＝k，
①当h≥0时，此时2h≤x≤2h+3在对称轴x＝h的右侧，y随x的增大而增大，
∴y的最小值为y（2h），
∴，
解得：，（舍去）；
②当h＜0时，
若2h+3＜h，即h＜﹣3，此时2h≤x≤2h+3在对称轴x＝h的左侧，y随x的增大而减小，
∴y的最小值为y（2h+3），
∴，
∴，
解得：，（舍去）；
若2h+3≥h，即﹣3≤h＜0，此时对称轴x＝h在2h≤x≤2h+3的范围内，
∴y的最小值为y（h），
∴，
解得：（舍去），
综上可知，h的值为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的判定等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质在探究中的应用
4．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式．
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A、C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值．
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为．
【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a（x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；
（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；
（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题关键是熟练掌握二次函数性质、全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想．
5．如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由中点坐标公式得点C（1，），即可求解；
（3）①当y＝时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，则x＝2+（不合题意的值已舍去），即可求解；
②过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x﹣2）2+2，
将点A的坐标代入上式得：0＝a×（4﹣2）2+2，
解得：a＝﹣，
抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式为y＝﹣x2+2x；
（2）由（1）知，y＝﹣（x﹣2）2+2，
由中点坐标公式得点C（1，），
当x＝1时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，
则CE＝﹣＝；
（3）①由（2）知，C（1，），
当y＝时，y＝﹣（x﹣2）2+2＝，
则x＝2+（不合题意的值已舍去），
即点F（2+，）；
②方法一：
设点D（m，0），则点F（m+1，），
过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F′（m+1，3），连接DF′，
则BD+BF＝BD+BF′≥DF′，当D、B、F′共线时，BD+BF＝DF′为最小，
由定点F′、D的坐标得，直线DF′的表达式为：y＝3（x﹣m），
将点B的坐标代入上式得：2＝3（2﹣m），
解得：m＝，
则点F′（，3），点D（，0），
则BD+BF最小值为：DF′＝＝2；
方法二：作点C关于x轴的对称点E（1，﹣），
则△CBF≌△OED（SAS），
则BF＝DE，
则BD+BF＝BD+DE≥BE，当D、B、E共线时，BD+BF＝BE为最小，
则BE＝＝2；
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到点的对称性、平行四边形的性质等，确定BD+BF＝DF′为最小是解题的关键．
6．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．
（1）求抛物线H的表达式；
（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；
（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a（x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；
（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；
（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；
②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），
∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，
将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，
令x＝0，得y＝3，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），
∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PE有最大值，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADP＝∠AOC，
∴PD∥OC，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PF＝EF＝PE，
∴S△PEF＝PF EF＝PE2，
∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，
如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，
则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，
在△PQG和△ACO中，
，
∴△PQG≌△ACO（AAS），
∴PG＝AO＝3，
∴点P到对称轴的距离为3，
又∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（x，y），则|x+1|＝3，
解得：x＝2或x＝﹣4，
当x＝2时，y＝﹣5，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
如图3，设AC的中点为M，
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴M（﹣，），
∵点Q在对称轴上，
∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，
根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，
∴x＝﹣2，此时y＝3，
∴P（﹣2，3）；
综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题关键是熟练掌握二次函数性质、全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想．
牛刀小试
选择题（共8小题，每小题4分，共32分）
1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用顶点式直接求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标为，对称轴为，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
2 .若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为，根据二次函数图像的性质即可求出结论.
【详解】由得
二次函数的对称轴为，
∵该函数图像的开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小,
∴
解得
故选：D
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.
3 .若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的表达式可知对称轴为，根据二次函数图像的性质即可求出结论.
【详解】由得
二次函数的对称轴为，
∵该函数图像的开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小,
∴
解得
故选：D
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据开口方向和对称轴确定图像的增减性是解题的关键.
4．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0且a，h，k均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0，h＜0，k＞0 B．a＞0，h＜0，k＜0
C．a＞0，h＞0，k＜0 D．a＜0，h＞0，k＜0
【分析】由题意可知开口向上，对称轴直线x＝h在y轴的右侧，顶点（h，k）在第四象限，据此判断即可．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0且a，h，k均为常数）的图象经过第一、二、四象限，
∴开口向上，对称轴直线x＝h在y轴的右侧，顶点（h，k）在第四象限，
∴a＞0，h＞0，k＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，利用了数形结合的思想，能正确观察图象是解本题的关键．
5．二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，h，k为常数）图象开口向下，当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【分析】根据图象开口向下，得出a＜0，再将x＝1，y＝1；x＝6，y＝6代入函数解析式，得出可能的h的值．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
将x＝1，y＝1；x＝6，y＝6代入，
得：，
∴5＝a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2
a[（6﹣h）2﹣（1﹣h）2]＝5
a[（6﹣h+1﹣h）（6﹣h﹣1+h）]＝5
a（7﹣2h） 5＝5
a＝
∵a＜0，
∴7﹣2h＜0，
∴h＞3.5，
∴h可能的值为，
故答案为：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，通过开口向下和当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，得出h的取值范围，也可以将选项中的答案代入，排除错误选项．
6．若抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，a，h，k均为常数）的顶点坐标为（3，﹣1），且抛物线过点（0，3），则下列对于该抛物线的说法正确的是（ ）
A．抛物线开口向下
B．抛物线对称轴是直线x＝﹣3
C．当x＞3时，y随x的增大而增大
D．抛物线与y轴交于负半轴
【分析】先利用待定系数法求出解析式，再根据二次函数的图象和性质判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，a，h，k均为常数）的顶点坐标为（3，﹣1），且抛物线过点（0，3），
∴9a﹣1＝3，
∴a＝，
∴y＝（x﹣3）2﹣1，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴是直线x＝3，当x＞3时，y随x的增大而增大，抛物线与y轴交于正半轴，
故C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图形和性质是关键．
7．二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象经过（0，4），（8，5）两点，若a＜0，0＜h＜8，则h的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过（0，4）、（8，5）两点．若a＜0，0＜h＜8，则点（0，4）到对称轴的距离大于点（8，5）到对称轴的距离，所以h﹣0＞8﹣h，然后解不等式后进行判断．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，
而（0，4），（8，5）两点，
∴h﹣0＞8﹣h，
解得h＞4．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
8．已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y＝px+q（p≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，p＜0，则x1+x2＞2h
B．若x1+x2＞2h，则a＞0，p＜0
C．若a＜0，p＜0，则x1+x2＞2h
D．若x1+x2＞2h，则a＜0，p＜0
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝h，由函数图象与系数的关系讨论（x1，y1）和（x2，y2）两点中x1+x2与2h的关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣h）2+k，
∴抛物线对称轴为直线x＝h，
∵a＜0，p＜0，
∴抛物线开口向下，一次函数中y随x增大而减小，
设x1＜x2，则y1＞y2，
∴＞h，
∴x1+x2＞2h．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与一次函数的性质，掌握函数与方程的关系．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .已知抛物线y=a(x+1)2经过点，，则______填“”，“”，或“”．
【答案】>
【分析】先根据顶点式得到抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线，然后二次函数的性质和点离对称轴的远近进行判断．
【详解】抛物线y=a(x+1)2+k(a>0，a，k为常数)的对称轴为直线，
所以点，，到直线的距离分别为5和2，
所以．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质．当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小.
10 .已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是 _____．（任意写出一个解析式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据“当x＜1时y随x增大而减小；当x＞1时y随x增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可．
【详解】∵当x＜1时y随x增大而减小；当x＞1时y随x增大而增大，
∴对称轴为x＝1，开口向上，
∴符合条件的二次函数可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的增减性是以二次函数的对称轴为界的，难度不大．
11 .已知二次函数 ，当－1≤x≤6时，函数的最小值为______．
【答案】
【分析】根据对称轴和x的取值范围，判断出离对称轴最远的点为最小值，代入求值即可；
【详解】解：
对称轴为：，
∵，
∴抛物线开口朝下，离对称轴越远，函数值越小，
∵－1≤x≤6，－1离对称轴最远，
∴当时，函数取得最小值：，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12 .二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m …
y … 0 4 6 6 4 … ﹣6 …
则这个二次函数的对称轴为直线x＝ ，m＝ 4 （m＞0）．
【分析】利用表中数据可抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝，利用待定系数法求得二次函数的解析式，把y＝﹣6代入即可求得m的值．
【解答】解：∵x＝0，y＝6；x＝1，y＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），
∴c＝6，
∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6），
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6，
把y＝﹣6代入得，﹣6＝﹣x2+x+6，
解得x＝4或x＝﹣3，
∵m＞2，
∴m＝4，
故答案为：，4．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求函数的解析式，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．
13．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q（m，y2）是抛物线上的两点，且y1＜y2，则m的取值范围是 m＜1或m＞5 ．
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，即可求得点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），根据点的坐标特征即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝3，函数图象开口向上，
∴点P（5，y1）关于直线x＝3的对称点为（1，y1），
∵y1＜y2，
∴m＜1或m＞5，
故答案为：m＜1或m＞5．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
三、解答题（共6小题，共48分）
14．（7分）已知抛物线,当时,有最大值,且抛物线过点(1,-3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)当y随x的增大而增大时,求x的取值范围;
(3)求抛物线与y轴的交点坐标.
答案：(1)
(2)
(3)(0,-12)
解析：(1)∵抛物线,当时,有最大值,∴抛物线的解析式为.∵抛物线过点2),∴此抛物线的解析式为.
(2)∵抛物线的对称轴为直线,且抛物线开口向下,∴当时,y随x的增大而增大,的取值范围为.
(3)当时,,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-12).
15．（8分）已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）求点A，B，C，D的坐标并画出该二次函数的大致图象；
（2）写出抛物线可由抛物线如何平移得到；
（3）求四边形BOCD的面积.
答案：解：（1）令，则，解得或，
点A在点B的左侧，
，，令，则，.
由函数解析式知，图象的顶点D的坐标为.
图象如图所示.
（2）把抛物线向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线.
（3）连接OD，.
16．（8分）已知一个二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）该二次函数的对称轴是 x＝﹣1 ；顶点坐标是 （﹣1，﹣4） ；
（3）当﹣3＜x＜1时，直接写出y的取值范围． ﹣4≤y＜0 ．
【分析】（1）根据描点，连线得出图象；
（2）观察图象得出对称轴和顶点坐标即可；
（3）根据图象可知在自变量取值范围内的函数图象都在x轴下方，进而得出答案．
【解答】解：（1）描点，连线，如图所示．
（2）观察图象可知对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣4）；
故答案为：x＝﹣1；（﹣1，﹣4）；
（3）观察图象可知﹣3＜x＜1时，﹣4≤y＜0．
故答案为：﹣4≤y＜0．
【点评】本题主要考查了画二次函数图象，确定抛物线的对称轴和顶点坐标，确定函数值的取值范围等，从图象中获取信息是解题的关键．
17．（8分）“急行跳远”是田径运动项目之一．运动员起跳后的腾空路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到落入沙坑的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 2.5 3 3.5 4
竖直高度y/m 0 0.8 0.875 0.9 0.875 0.8
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21，记该运动员第一次训练落入沙坑点的水平距离为l1，第二次训练落入沙坑点的水平距离为l2，请比较l1，l2的大小．
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（3，0.9），那么该运动员竖直高度的最大值为0.9，把顶点坐标连同（0，0）代入所给的函数解析式，求得a的值后即可求得相应的函数解析式；
（2）落入沙坑，则竖直高度y为0，分别代入（1）中得到的函数解析式和（2）中所给的函数解析式，求得x后取正值即为l1和l2的长度，比较l1，l2的大小即可．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为：（3，0.9）．
∴该运动员竖直高度的最大值为0.9米．
设函数关系式为：y＝a（x﹣3）2+0.9．
∵经过点（0，0），
∴9a+0.9＝0，
解得：a＝﹣0.1．
∴函数解析式为：y＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．
（2）取y＝0．
第一次训练时，0＝﹣0.1（x﹣3）2+0.9．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝6．
∴l1＝6．
第二次训练时，0＝﹣0.25（x﹣2.2）2+1.21．
解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝4.4．
∴l1＝4.4．
∵6＞4.4，
∴l1＞l2．
【点评】本题考查二次函数的应用．用到的知识点为：抛物线上有两点（x1，y），（x2，y），则抛物线的对称轴为：直线x＝．
18 .（8分）已知抛物线C：y＝（x﹣m）2+m+1．
（1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若m＝﹣2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
【答案】（1）m的取值范围是；（2）抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【分析】（1）先根据抛物线解析式得到抛物线的顶点坐标为（，），再根据第二象限点的坐标特征进行求解即可；
（2）先求出抛物线的解析式，然后求出抛物线与坐标轴的交点，由此求解面积即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（，），
∵抛物线的顶点坐标在第二象限，
∴，
∴；
（2）当时，抛物线解析式为，
令，即，
解得或，
令，，
∴如图所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），
∴OD=3，AB=2，
∴，
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3．
【点评】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，第二象限点的坐标特征，抛物线与坐标轴的交点坐标，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．
19 .（9分）如图，抛物线经过点，且顶点坐标为，它的对称轴与x轴交于点C.
（1）求此抛物线的表达式.
（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得是以为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标.
（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标.
答案：(1)抛物线的顶点坐标为，.抛物线经过点，，，.
(2)设点P的坐标为.，
由勾股定理可得
，
，
，，
，
解得(舍去).
当时，.点P的坐标为.
(3)点P不是第一象限内此抛物线上与距离最远的点.
设直线的方程为，将代入得，解得，直线的方程为.
设过抛物线上与距离最远的点且与平行的直线的解析式为.
直线过抛物线上与距离最远的点.直线与抛物线有且只有一个交点，即有两个相等的实数根.，，解得.则，解得，此时.第一象限内此抛物线上与距离最远的点的坐标为.
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