2024-2025学年北京市延庆区高三9月月考数学试题（pdf版，含答案）

2024北京延庆高三 9月月考
数 学
2024.09
本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共 40分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U ={x | 3 x 3}，集合 A ={x | 0 x 1} ，则 U A =
（A） (1,3) （B） ( 3,0) (1,3)
（C） ( 3,0) （D） ( 3,0 1,3)
（2）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (a,1)，且满足 (1 i) z = 2，则a =
（A）1 （B） 1
（C） 2 （D） 2
（3）下列函数中，是奇函数且在定义域内是减函数的是
1
（A） y = （B） y = x
3
x
（C） y = x | x | （D） y = log 1 x
2
（4）若a b 0，c d 0，则一定有
a b a b
（A） （B）
c d c d
a b a b
（C） （D）
d c d c
（5）若 0 a 1，则
1 1
a a
（A） a 3 a 2 （B） 2 3
1 1
（C） log log a a （D） sin a cos a
2 3
1 4x
（6）已知函数 f (x) = ，则 f (x)
2x
（A）图象关于 y 轴对称，且在[0，+ ) 上是增函数
（B）图象关于 y 轴对称，且在[0，+ ) 上是减函数
第1页/共10页
（C）图象关于原点对称，且在[0，+ ) 上是增函数
（D）图象关于原点对称，且在[0，+ ) 上是减函数
（7）已知函数 f (x) = 3log2 x 2(x 1) ，则不等式 f (x) 0的解集是
（A） (1,4) （B） ( ,1) (4,+ )
（C） (0,1) (4,+ ) （D） (0,4)
（8）设已知数列{an}中， a1 =1， an a
n
n+1 = 2 ， n
*
N ，则下列结论错误的是
（A） a2 = 2 （B）a4 a3 = 2
（C） a2n 是等比数列 （D） a2n 1 + a
n+1
2n = 2
m
（9）设函数 f (x) = x + (m R) 的定义域为 ( 1,2) ，则“ 3 m ≤ 0 是“ f (x) 在区间
x 2
( 1,2) 内有且仅有一个零点 的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）在△ABC 中， AB = AC = 4 2 ，当 R 时， | AB + BC | 的最小值为 4 ．若
π π
2
AM = MB ， AP = sin AB + cos
2 AC ，其中 [ , ]，则 | MP |的最大值为
6 3
（A） 2 （B） 4
（C） 2 5 （D） 4 2
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
1
（11）函数 f (x) = + lg x的定义域是_________．
x 1
（12）把函数 f (x) = 8x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，得到的图象对应的函
数解析式是 y = _________．
2
（13）已知函数 f (x) = x + 在 a,+ )存在最小值3，则满足题意的a =_________．
x
|x|， x≤m，
（14）若函数 f (x)= 存在最小值，则m 的一个取值为_________； 2
x 2mx + 4m，x m
m 的最大值为_________．
（15）函数 f (t) = 0.03sin(1000πt) + 0.02sin(2 000πt) + 0.01sin(3 000πt) 的图象可以近似表示某音叉的
声音图象.给出下列四个结论：
第2页/共10页
1
① 是函数 f (t)的一个周期；
500
1
② f (t)的图象关于直线 t = 对称；
500
1
③ f (t)的图象关于点 ( ，0)对称；
500
1 1
④ f (t )在 ， 上单调递增.
6 000 6 000
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题 13分）
已知{an}(n
*
N )是各项均为正数的等比数列， a1 =16， 2a3 + 3a2 = 32 .
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn = 3log2 an ，求数列{bn}的前 n项和 Sn ，并求 Sn 的最大值．
（17）（本小题 14分）
已知函数 f (x) = 3 sin 2 x cos 2 x(0 2) ，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为
已知，
（Ⅰ）求 f (x) 的解析式；
π
（Ⅱ）当 x [0, ]时，关于 x 的不等式 f (x) m恒成立，求实数m 的取值范围.
2
π
条件①：函数 f (x) 的图象经过点 ( , 2)；
3
条件②：函数 f (x) 的图象可由函数 g(x) = 2sin 2x的图象平移得到；
π
条件③：函数 f (x) 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 .
2
注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题 14分）
已知函数 f (x) = ln x + sin x .
（Ⅰ）求曲线 y = f (x)在点 (1,f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[1,e]上的最小值.
第3页/共10页
（19）（本小题 14分）
为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优
秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和 PK 赛，每人只能参加其中的一项. 据统计，中小学生参与该
项知识竞答活动的人数共计 4.8万，其中获奖学生情况统计如下：
奖项 单人赛 PK 赛
组别 一等奖 二等奖 三等奖 获奖
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
（Ⅱ）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以 X 表示这 2 人中 PK 赛获奖的人数，求 X 的分布列和
数学期望；
（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取 3 人，设这 3 人中来自中学组的人数为 ，来自小学组的人数为 ，试
判断 D( )与 D( )的大小关系.（结论不要求证明）
（20）（本小题 15分）
ln x
已知函数 f (x) = (a 0) ．
ax
（Ⅰ）求 f (x) 的单调区间；
1
（Ⅱ）若 f (x)≤ x 对 x (0, + ) 恒成立，求 a的取值范围；
a
（Ⅲ）若 x2 ln x1 + x1 ln x2 = 0 ( x1 x2 )，证明： x1 + x2 2 ．
（21）（本小题 15分）
已知数列 {an}(n =1,2, , 2022) ， a1,a2 , a2022 为从 1 到 2022 互不相同的整数的一个排列，设集合
j
A ={x | x = an+i ,n = 0,1,2, 2022 j} , A中元素的最大值记为 M ,最小值记为 N .
i=1
（Ⅰ）若数列{an}为:1，3，5， ，2019，2021，2022 ，2020，2018， ，4，2 ,且 j = 3，
写出M，N 的值；
（Ⅱ）若 j = 3，求 M 的最大值及 N 的最小值；
（Ⅲ）若 j = 6 ，试求 M 的最小值.
第4页/共10页
参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）D （2）A （3）B （4）C （5） B
（6）D （7）A （8）D （9）A （10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11）{x | x 0，且 x 1} （12） 2 x （13） 2
（14）0 （第一空不唯一，区间[0，4]上任意值都可以） ， 4
（注：第一空 2 分，第二空 3 分）
（15）①③④ （注：对一个 2 分，对 2 个 4 分，对 3 个 5 分）
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）(本小题 13分)
解：（Ⅰ）设 a 的公比为 qn ，因为a1 = 16,2a3 + 3a2 = 32，
2q2所以 + 3q 2 = 0． ………2分
1
解得 q = 2（舍去）或 q = ． ………4分
2
1
a n 1 5 n因此 n 的通项公式为an =16 ( ) = 2 ． ………6分
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn = 3(5 n) log2 2 =15 3n ， ………7分
当 n≥ 2时，bn bn 1 = 3， ………8分
故{bn}是首项为b1 = 12 ，公差为 3的单调递减等差数列. ………9分
1 3
则 S =12n+ n(n 1)( 3) = (n2 9n) . ………10分 n
2 2
又b5 = 0，所以数列 bn 的前 4 项为正数，
所以当 n = 4 或5时， Sn 取得最大值，且最大值为 S4 = S5 = 30 ． ………13分
（17）(本小题 14分)
π
（Ⅰ） f (x) = 3 sin 2 x cos 2 x = 2sin(2 x ) ． ………2分
6
π
选条件①：函数 f (x) 的图象经过点 ( , 2) . ………3分
3
π 2 π π
则 f ( ) = 2sin( ) = 2．
3 3 6
2 π π π
即 = 2k + (k Z)． ………5分
3 6 2
所以 = 3k +1． ………6分
第5页/共10页
因为0 2，
所以 =1 . ………7分
π
所以 f (x) = 2sin(2x ) . ………8分
6
条件②：函数 f (x) 的图象可由函数 g(x) = 2sin 2x的图象平移得到.…3分
因为函数 f (x) 的图象可由函数 g(x) = 2sin 2x的图象平移得到，
所以函数 f (x) 的周期与函数 g(x) 的周期相同.
2π
因为函数 g(x) 的周期T = =π，
2
所以函数 f (x) 的周期T = π . ………6分
2π
则 = π，即 =1． ………7分
2
π
所以 f (x) = 2sin(2x ) . ………8分
6
π
选条件③：函数 f (x) 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 . ……3分
2
π
因为函数 f (x) 的图象相邻的两个对称中心之间的距离为 ，
2
所以函数 f (x) 的周期T = π . ………6分
2π
则 = π，即 =1． ………7分
2
π
所以 f (x) = 2sin(2x ) . ………8分
6
（Ⅱ） 因为关于 x 的不等式 f (x) m 恒成立，

所以 f (x) 在 x 0， 的最大值不大于m 即可．
2
π
因为0 x ，
2
π π 5π
所以 2x .
6 6 6
1 π
所以 sin(2x ) 1. ………11分
2 6
π
所以 1 2sin(2x ) 2，即 1 f (x) 2 .
6
π π π
当且仅当 2x = ，即 x = 时， f (x) 取得最大值 2 . ……13分
6 2 3
所以m 2 . ………14分
第6页/共10页
所以实数m 的取值范围为[2,+ ）.
（18）(本小题 14分)
1
（Ⅰ）由题意得， f (x) = + cos x，
x
所以 f (1) =1+ cos1， ………2分
又 f (1) = sin1， ………3分
所以曲线 y = f (x)在点 (1,f (1))处的切线方程
为 y sin1= (1+ cos1)(x 1) ，
即 y = (1+ cos1)x + sin1 cos1 1； ………5分
1
（Ⅱ）因为 f (x) = + cos x，
x
1
因为 y = 和 y = cos x均在区间因为[1,e]上单调递减，
x
所以 f (x)在区间[1,e]上单调递减，
因为 f (1) =1+ cos1 0 ， ………6分
1 1 2 1 1
f (e) = + cose + cos = 0， ………7分
e e 3 e 2
所以 f (x) = 0 在 (1,e) 上有且只有一个零点，记为 x0 ， ………8分
所以 x [1,x 0 )时， f (x) 0 ； ………9分
x (x 0,e]时， f (x) 0， ………10分
所以 f (x) 在区间[1,x0 ) 上单调递增， ………11分
在区间 (x0,e]上单调递减. ………12分
因为 f (1) = sin1,f (e) =1+ sin e ， ………13分
所以 f (x) 在区间[1,e]上的最小值为 sin1 . ………14分
注：学生如果用其他方法，按步骤给分
（19）（本小题 14分）
（Ⅰ）方法一：从表格中可知：获奖学生总数为： 40+ 40+120+100+ 32+ 58+ 210+100 = 700 人，获
得一等奖的 40+ 32 = 72 人，
72
记事件 A 为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生获得一等奖 ，则 P(A) = ,
700
记事件 B 为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生来自中学组 ，
第7页/共10页
40
则 A B为“从获奖学生中随机抽取1人，抽到的学生获得一等奖且来自中学组 ， P(A B) = ，因此
700
40
P(A B)
P(B | A) = = 700
5
= . ………4分
P(A) 72 9
700
5
从获奖学生中随机抽取1人，若获得一等奖，抽到的学生来自中学组的概率为 .
9
注：学生如果用其他方法，按步骤给分
（Ⅱ）X 的取值范围是 0,1,2 .
记事件 C 为“从中学组获奖者中取1人，该人是PK 赛获奖 ，
事件 D 为“从小学组获奖者中取1人，该人是PK 赛获奖 ，
中学组获奖者有 40+ 40+120+100 = 300 ，其中PK 赛获奖的人数为100，
小学组获奖者有32+ 58+ 210+100 = 400 ，其中PK 赛获奖的人数为100，
100 1 2 100 1 3
P(C) = = , P(C) = ; P(D) = = , P(D) = . ………6分
300 3 3 400 4 4
由题意知，事件C，D 相互独立，
1 1 2 3 1
所以 P(X = 0) = P(C D) =（1 ) (1 ) = = ; ………7分
3 4 3 4 2
1 3 2 1 5 5
P(X =1) = P(CD CD) = P(C)P(D) + P(C)P(D) = + = ; ………8分
3 4 3 4 12 12
1 1 1
P(X = 2) = P(CD) = P(C) P(D) = = . ………9分
3 4 12
所以 X 的分布列为:
X 0 1 2
X 的 数 学 期 望 1 5 1
P
2 12 12
1 5 1 7
E(X ) = 0 +1 + 2 = . ………11分
2 12 12 12
（Ⅲ） D( ) = D( ) . ………14分
（20）（本小题 15分）
（Ⅰ） f (x) 的定义域为 (0,+ )． ………1分
ln x 1 ln x
由 f (x) = 得 f (x) = ． ………2分
ax ax2
令 f (x) = 0得 x = e． ………3分
因为 a 0 ，所以当 x (0,e) 时， f (x) 0；当 x (e,+ ) 时， f (x) 0 ．
所以 f (x) 的单调递增区间为 (0,e)，单调递减区间为 (e,+ ) ．………5分
第8页/共10页
（Ⅱ）由 a 0 ，依题意， ln x ax2 + x≤0在 x (0,+ ) 上恒成立．
设 g(x) = ln x ax2 + x ，
1 2ax2 + x +1
则 g (x) = 2ax +1= ． ………6分
x x
1 1+ 8a 1+ 1+ 8a令 g (x) = 0，得 x = 0（舍），1 x2 = 0 ．
4a 4a
当 x (0, x ) 时， g (x) 0，所以 g(x)2 在 (0, x2 ) 上单调递增；
当 x (x ,+ ) 时， g (x) 0，所以 g(x)2 在 (x2 ,+ )上单调递减．
故 g(x) = g(x ) = ln x 2max 2 2 ax2 + x2 ． ………8分
x +1
又由 g (x2 ) = 0得 ax
2 2
2 = ．
2
x
所以 g(x ) = ln x 2
+1 x 1
2 2 + x2 = ln x
2
2 + ．
2 2
x 1
依题意需 g(x)max≤0，即 ln x
2
2 + ≤0．
2
t 1
设 h(t) = ln t + ，则易知 h(t) 在 (0,+ )为增函数． ………10分
2
又 h(1) = 0 ，
所以对任意的 t (0,1]，有 h(t)≤0；对任意的 t (1,+ ) ，有 h(t) 0 ．
1+ 1+ 8a
所以 0 x2≤1，即 0 ≤1，解得 a≥1．
4a
所以 a的取值范围为 [1,+ ) ． ………11分
ln x1 ln x2
（Ⅲ）由 x2 ln x1 + x1 ln x2 = 0 (x1 x2 ) 得 + = 0 ，且 xx x 1
1 , x2 1．………12分
1 2
ln x
由（Ⅱ）知，当 a =1时， ≤x 1，当且仅当 x =1时取等号． ………13分
x
ln x1 ln x2
所以 x1 1， x2 1． ………14分
x1 x2
ln x1 ln x2
两式相加得 + x2 + x1 2，即 x1 + x2 2 0． ………15分 x1 x2
故 x1 + x2 2 ．
注：学生如果用其他方法，按步骤给分
（21）(本小题 15分）
（Ⅰ）M = 6063 ， N = 9 . ……… 4分
（Ⅱ） N 最小值为 6，M 的最大值 6063.
证明：对于 1，2，…，2021，2022的一个排列{an}，
第9页/共10页
3
若 j = 3，则 A中的每一个元素为 x = an+i = a ， n+1 + an+2 + an+3 ，n = 0,1,2,...,2019
i=1
3
由题意M = max( an+i )，n = 0,1,2, ,2019 ，
i=1
那么，对于任意的{an}，总有M 2020 + 2021+ 2022= 6063 .
3
同理，由题意 N = min( a )，n = 0,1,2, ,2019 ， n+i
i=1
那么，对于任意的{an}，总有 N 1+ 2 + 3= 6 ， ………… 8分
当 a = n (n =1，2， ，2022 ) 时，满足: N = 6 ，M = 6063n . ……… 9分
（Ⅲ）M的最小值为 6069.
由于 j = 6 ，对于 1，2，……，2021，2022的一个排列{an}，
6
A中的每一个元素为 x = a ， n+i，n = 0,1,2,...,2016
i=1
6
由题意M = max( a )，n = 0,1,2, ,2016 ， n+i
i=1
对于任意的{an}，都有
2022
M 1+2+ +2022，
6
2022 2023 2022
即 M ，M 6069 . ………… 11分
6 2
构造数列{an}： a2n = n，n =1,2, ,1011， a2n 1 = 2023 n，n =1,2, ,1011，
对于数列{an}，设任意相邻 6项的和为 T，则
T = a2n 1 + a2n + a2n+1 + a2n+2 + a2n+3 + a2n+4 ，或T = a2n + a2n+1 + a2n+2 + a2n+3 + a2n+4 + a2n+5
若T = a2n 1 + a2n + a2n+1 + a2n+2 + a2n+3 + a2n+4 ，则
T=（n + (n +1) + (n + 2)) + ((2023 n)+（2023 n 1) + (2023 n 2))
= 2023 3=6069， n =1,2, ,1009
若T = a2n + a2n+1 + a2n+2 + a2n+3 + a2n+4 + a2n+5 ，则
T = (n + (n +1) + (n + 2)) + ((2023 n 1) + (2023 n 2) + (2023 n 3))
= 2022 3 = 6066 ，（ n =1,2, ,1008）
所以T 6069，即对这样的数列{a }，M = 6069n ，
又 M 6069 ，所以 M 的最小值为 6069 . ………… 15分
第10页/共10页