2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）第一次月考数学试卷（解析版

2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）第一次月考数学试卷
　
一、选择题（共10小题，每小题4分）
1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x2+x﹣6≤0}，则P∩Q等于（　　）
A．{2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
　
2．已知集合U={ 1，2，3，4，5，6，7 }，A={ 2，4，5，7 }，B={ 3，4，5 }则（ UA）∪（ UB）=（　　）
A．{ 1，6 } B．{ 4，5} C．{ 2，3，4，5，7 } D．{ 1，2，3，6，7 }
　
3．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．8
　
4．函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则（　　）
A．m=﹣2 B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1
　
5．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
　
6．在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　）
A．y=1 B． C．y=﹣x2﹣2x﹣1 D．y=1+x2
　
7．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，4]，则函数g（x）=f（x）+f（﹣x）的定义域是（　　）
A．[﹣4，2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，4] D．[﹣4，﹣2]
　
8．设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
　
9．函数y=的单调减区间为（　　）
A．R B．（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．（﹣∞，0），（0，+∞） D．（0，+∞）
　
10．已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则f（0），f（﹣3）+f（2）的大小关系是（　　）
A．f（0）＜f（﹣3）+f（2） B．f（0）=f（﹣3）+f（2） C．f（0）＞f（﹣3）+f（2） D．不确定
　
　
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分）
11．已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=　　　　　　．
　
12．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是　　　　　　．
　
13．函数f（x）=的定义域为　　　　　　．
　
14．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）=　　　　　　．
　
15．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+ ( http: / / www.21cnjy.com )∞）上的偶函数．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=　　　　　　．
　
　
三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应在写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）
16．（1）用列举法表示集合A={x|x2﹣3x+2=0}；
（2）用描述法表示“比﹣2大，且比1小的所有实数”组成的集合B；
（3）用另一种方法表示集合C={（x，y）|x+y=5，x∈N，y∈N}．
　
17．若A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，B∩A={9}，求A∪B．
　
18．（1）求函数y=x2﹣4x+5，x∈[0，5）的值域；
（2）已知函数f（x）=，x∈[3，5]求函数f（x）的最大值和最小值．
　
19．已知分段函数f（x）是奇函数，x∈（0，+∞）时的解析式为f（x）=．
（1）求f（﹣1）的值；
（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
　
　
2015-2016学年湖南省株洲十八中高一（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共10小题，每小题4分）
1．已知集合P={x∈N|1≤x≤10}，集合Q={x∈R|x2+x﹣6≤0}，则P∩Q等于（　　）
A．{2} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
【考点】交集及其运算；一元二次不等式的解法．
【分析】搞清N、R表达的数集，解出Q中的二次不等式，再求交集．
【解答】解：已知集合P={x∈N|1≤x≤10}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，
集合Q={x∈R|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，
所以P∩Q等于{1，2}，选B．
答案：B
【点评】本题考查二次不等式的解集和集合的交集，属容易题．
　
2．已知集合U={ 1，2，3，4，5，6，7 }，A={ 2，4，5，7 }，B={ 3，4，5 }则（ UA）∪（ UB）=（　　）
A．{ 1，6 } B．{ 4，5} C．{ 2，3，4，5，7 } D．{ 1，2，3，6，7 }
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】结合集合并集、补集的意义直接求解．
【解答】解：已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，
CUA={1，3，6}，CUB={1，2，6，7}，则（CUA）∪（CUB）={1，2，3，6，7}，
故选D．
【点评】本题考查集合的基本运算，属基本题．
　
3．设集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B的个数是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．8
【考点】并集及其运算．
【分析】根据题意，分析可得，该问题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，再由集合的元素数目与子集数目的关系可得答案．
【解答】解：A={1，2}，A∪B={1，2，3}，
则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合A={1，2}的子集个数问题，
所以满足题目条件的集合B共有22=4个．
故选择答案C．
【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想．
　
4．函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则（　　）
A．m=﹣2 B．m=2 C．m=﹣1 D．m=1
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．
【分析】直接利用二次函数的性质，求解即可．
【解答】解：函数f（x）=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，
可得：﹣=1，解得m=﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的简单性质应用，考查计算能力．
　
5．设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】要计算f（1）的值，根据f（x）是 ( http: / / www.21cnjy.com )定义在R上的奇函数，我们可以先计算f（﹣1）的值，再利用奇函数的性质进行求解，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，代入即可得到答案．
【解答】解：∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，
∴f（﹣1）=2（﹣1）2﹣（﹣1）=3，
又∵f（x）是定义在R上的奇函数
∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3
故选A
【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数的奇偶性的性质是解答本题的关键．
　
6．在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　）
A．y=1 B． C．y=﹣x2﹣2x﹣1 D．y=1+x2
【考点】函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据基本函数的单调性逐项判断即可．
【解答】解：y=1为常数函数，不单调，排除A；
y=﹣x2﹣2x﹣1=﹣（x+1）2，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，在（﹣∞，0）上不单调，故排除C；
y=1+x2在（﹣∞，0）上单调递减，故排除D；
y==﹣+1，当x∈（﹣∞，0）时，递减，﹣递增，所以y=在（﹣∞，0）上为增函数
，
故选B．
【点评】本题考查函数单调性判断，属基础题，单调性的证明一般用定义、导数，判断则可用定义、导数、图象、基本函数的单调性等多种方法．
　
7．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，4]，则函数g（x）=f（x）+f（﹣x）的定义域是（　　）
A．[﹣4，2] B．[﹣2，2] C．[﹣2，4] D．[﹣4，﹣2]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数y=f（x）的定义域是[﹣2，4]，求出f（﹣x）的定义域，再进行求解；
【解答】解：∵函数y=f（x）的定义域是[﹣2，4]，
∴﹣2≤﹣x≤4，可得﹣4≤x≤2，即f（﹣x）的定义域为：[﹣4，2]，
∴函数g（x）=f（x）+f（﹣x）的定义域取交集，
可得{x|﹣2≤x≤2}，
故选B；
【点评】此题主要考查函数的定义域及其求法，注意抽象函数定义域的求法，是一道基础题；
　
8．设abc＞0，二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的图象；函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】分别从抛物线的开口方向，对称轴，f（0）的符号进行判断即可．
【解答】解：A．抛物线开口向下，∴a＜0，又f（0）=c＜0．
∵abc＞0，∴b＞0，此时对称轴x=＞0，与图象不对应．
B．抛物线开口向下，∴a＜0，又f（0）=c＞0．
∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＜0，与图象不对应．
C．抛物线开口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．
∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＞0，与图象不对应．
D．抛物线开口向上，∴a＞0，又f（0）=c＜0．
∵abc＞0，∴b＜0，此时对称轴x=＞0，与图象对应．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，要从抛物线的开口方向，对称轴，以及f（0），几个方面进行研究．
　
9．函数y=的单调减区间为（　　）
A．R B．（﹣∞，0）∪（0，+∞） C．（﹣∞，0），（0，+∞） D．（0，+∞）
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】根据分式函数的单调性进行求解．
【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
由分式函数的性质知函数的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
故选：C．
( http: / / www.21cnjy.com )
【点评】本题主要考查函数的单调区间的求解，根据分式函数的性质是解决本题的关键．比较基础．
　
10．已知定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，则f（0），f（﹣3）+f（2）的大小关系是（　　）
A．f（0）＜f（﹣3）+f（2） B．f（0）=f（﹣3）+f（2） C．f（0）＞f（﹣3）+f（2） D．不确定
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上是单调减函数，
∴f（0）=0，且f（x）在（1，+∞）为减函数，
则f（﹣3）+f（2）=f（2）﹣f（3）＞0，
即f（0）＜f（﹣3）+f（2），
故选：A．
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．
　
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分）
11．已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=　{﹣1，2}　．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合．
【分析】根据已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B
【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，
∴A∩B={﹣1，2}
故答案为：{﹣1，2}
【点评】本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．
　
12．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是　a≤1　．
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【专题】集合．
【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．
【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，
且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．
故答案为：a≤1．
【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．
　
13．函数f（x）=的定义域为　{x|x≤4且x≠﹣2}　．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组得答案．
【解答】解：由，解得x≤4且x≠﹣2．
∴函数f（x）=的定义域为{x|x≤4且x≠﹣2}．
故答案为：{x|x≤4且x≠﹣2}．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
　
14．已知f（x）为奇函数，g（x）=f（x）+9，g（﹣2）=3，则f（2）=　6　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】将等式中的x用2代替；利用奇函数的定义及g（﹣2）=3，求出f（2）的值．
【解答】解：∵g（﹣2）=f（﹣2）+9
∵f（x）为奇函数
∴f（﹣2）=﹣f（2）
∴g（﹣2）=﹣f（2）+9
∵g（﹣2）=3
所以f（2）=6
故答案为6
【点评】本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意x都有f（﹣x）=﹣f（x）
　
15．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞ ( http: / / www.21cnjy.com )）上的偶函数．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=　﹣x4﹣x　．
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】先设x∈（0，+∞）得﹣x∈（﹣∞，0），代入已知的解析式求出f（﹣x），再由偶函数的关系式f（x）=f（﹣x）求出．
【解答】解：设x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0），
∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，∴f（﹣x）=﹣x﹣x4，
∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，
∴f（x）=f（﹣x）=﹣x﹣x4，
故答案为：﹣x4﹣x．
【点评】本题考查了利用函数 ( http: / / www.21cnjy.com )奇偶性求函数的解析式，即求谁设谁，利用负号转化到已知范围内，求出f（﹣x）的关系式，再利用偶函数的关系式求出f（x）的表达式，考查了转化思想．
　
三、解答题（本大题共4小题，共40分，解答应在写出必要的文字说明，证明过程或推演步骤）
16．（1）用列举法表示集合A={x|x2﹣3x+2=0}；
（2）用描述法表示“比﹣2大，且比1小的所有实数”组成的集合B；
（3）用另一种方法表示集合C={（x，y）|x+y=5，x∈N，y∈N}．
【考点】集合的表示法．
【专题】集合思想；综合法；集合．
【分析】根据集合的表示方法 表示出相对应的集合即可．
【解答】解：（1）用列举法表示集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}；
（2）用描述法表示“比﹣2大，且比1小的所有实数”组成的集合B，
∴B={﹣2＜x＜1，x∈R}；
（3）用另一种方法表示集合C={（x，y）|x+y=5，x∈N，y∈N}，
∴C={（0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0）}．
【点评】本题考查了集合的表示方法，是一道基础题．
　
17．若A={x2，2x﹣1，﹣4}，B={x﹣5，1﹣x，9}，B∩A={9}，求A∪B．
【考点】交集及其运算；并集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】根据A与B的交集中的元素为9，得到9属于A又属于B，求出x的值，确定出A与B，求出并集即可．
【解答】解：∵B∩A={9}，
∴9∈A，即x2=9或2x﹣1=9，
解得：x=3或x=﹣3或x=5，
经检验x=3或x=5不合题意，舍去，
∴x=﹣3，即A={9，﹣7，﹣4}，B={﹣8，4，9}，
则A∪B={﹣4，﹣8，﹣7，4，9}．
【点评】考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
　
18．（1）求函数y=x2﹣4x+5，x∈[0，5）的值域；
（2）已知函数f（x）=，x∈[3，5]求函数f（x）的最大值和最小值．
【考点】函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．
【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求出f（x）的对称轴x=2，可得f（2）最小，再由f（0），f（5）可得最大值，进而得到值域；
（2）求得f（x）=1﹣，可得f（x）在[3，5]递增，即可得到f（x）的最值．
【解答】解：（1）函数y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1的对称轴为x=2，
即有x=2∈[0，5]，取得最小值1；
当x=0时，f（0）=5；当x=5时，f（5）=10．
则f（x）是最大值为10．
即有函数f（x）的值域为[1，10]；
（2）函数f（x）==1﹣，
可得f（x）在[3，5]递增，
即有f（3）为最小值，且为；
f（5）取得最大值，且为．
【点评】本题考查函数的值域和最值的求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
　
19．已知分段函数f（x）是奇函数，x∈（0，+∞）时的解析式为f（x）=．
（1）求f（﹣1）的值；
（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；
（3）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）利用函数的奇偶性得到f（﹣1）=﹣f（1）代入求出即可；
（2）任取x∈（﹣∞，0）则﹣x∈（0，+∞），则f（﹣x）=，根据函数的奇偶性，从而得到函数在（﹣∞，0）是的解析式；
（3）任取x1，x2为区间（0，+∞）上的两个不相等的实数，且x1＜x2，则△x=x2﹣x1＞0，通过计算△y的值，从而证明函数的单调性．
【解答】解：（1）f（﹣1）=﹣f（1）=﹣；
（2）任取x∈（﹣∞，0）则﹣x∈（0，+∞），∴f（﹣x）=，
∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=，x∈（﹣∞，0）；
（3）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，证明如下：
任取x1，x2为区间（0，+∞）上的两个不相等的实数，且x1＜x2，
则△x=x2﹣x1＞0，
△y=f（x2）﹣f（x1）=﹣=，
∵x1＞0，x2＞0，∴（x2+1）＞0，（x1+1）＞0，
又x2﹣x1=△x＞0，
∴△y＞0，
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查了求函数的解析式问题，考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．