2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数是虚数单位的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.已知，，则等于( )
A. B. C. D.
5.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于分为及格，则这名学生期末语文成绩的及格率为( )
A. B. C. D.
9.“，”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.在中，，，已知点满足，且，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。
11.已知复数满足，，则的虚部为______．
12.在中，若：：：：，则的大小是______．
13.的内角，，的对边分别为，，若，，，则的面积为______．
14.如图，在某个海域，一艘渔船以海里时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处，发现小岛在其东北方向，则处离小岛的距离为______海里．
15.边长为的等边中，，，则的最小值为______．
16.如果存在函数为常数，使得对函数定义域内任意都有成立，那么称为函数的一个“线性覆盖函数”给出如下四个结论：
函数存在“线性覆盖函数”；
对于给定的函数，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；
为函数的一个“线性覆盖函数”；
若为函数的一个“线性覆盖函数”，则
其中，所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数，且．
求的值和的最小正周期；
求在上的单调递增区间．
18.本小题分
已知，，分别为三边，，所对的角，向量，，且．
求角的大小；
若，且，求边的长．
19.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，已知．
求角．
从以下三个条件中任选一个，求的面积．
边上的中线；；角的平分线，点在线段上．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20.本小题分
对于函数，，若存在实数，，使得函数，则称为，的“合成函数”．
已知，，试判断是否为，的“合成函数”？若是，求实数，的值；若不是，说明理由；
已知，，为，的“合成函数”，且，，若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
已知，，为，的“合成函数”其中，，的定义域为，当且仅当时，取得最小值若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数的最大值．
参考答案
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17.解：因为，所以，
即，解得，
所以
，
所以的最小正周期为．
由，解得，
所以的单调递增区间为，
所以在上的单调递增区间为．
18.解：由，，
得，
又，，
，则，可得，即；
，，
又，，即，
，得．
由余弦定理得，
解得．
19.解：由题意，
由正弦定理可得，即，
则，
由余弦定理得，所以，
所以，所以，
又因为，所以；
若选：由边边上的中线，如图，
所以，即，
即，又因为，所以，
由知，所以，
所以；
若选：当，由，所以，
由正弦定理：，即，解得，
由可得，即，
解得：或舍，
所以；
若选：角的平分线，则，又因为，
在中由余弦定理可得，
所以，此时，所以，所以，
所以可得为等腰三角形，所以，
所以．
20.解：假设为，的“合成函数”，
则，
所以，解得，，
所以为，的“合成函数”，且，；
因为，且，，
所以，
由，
得，
令，
则，所以，
因为，所以，故，
所以方程为在上有解，
所以，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
所以，
所以；
由题意，
得，
当且仅当，即时取等号，
所以，解得，
所以，
则恒成立，
因为，所以，
又，当且仅当时取等号，
所以，
所以，
所以实数的最大值为．
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