2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二（上）开学数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年福建省福州市部分学校教学联盟高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点在平面上的投影的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A. B.
C. D.
4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量( )
A. B.
C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是( )
A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是直角三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
7.如图，三棱柱中，，分别为，中点，过，，作三棱柱的截面交于，且，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.在梯形中，，为钝角，且，若为线段上一点，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 向量，，若，则
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
10.已知正方体的棱长为，下列四个结论中正确的是( )
A. 平面
B. 直线与直线为异面直线
C. 直线与直线所成的角为
D. 平面
11.如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得平面
B. 周长的最小值为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为______．
14.若存在实数，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时， ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且，，分别为，的中点．
证明：平面．
求平面与平面夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求边上的中线长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且．
证明：平面；
当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离．
18.本小题分
平面四边形中，，，，．
求；
求四边形周长的取值范围；
若为边上一点，且满足，，求的面积．
19.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，，分别是线段、的中点，在平面内的射影为．
求证：平面；
若点为棱的中点，求三棱锥的体积；
在线段上是否存在点，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
设是平面的一个法向量，
则，取，则，
所以平面的一个法向量，
又，所以，
因为平面，
所以平面；
解：因为平面，
所以是平面的一个法向量，
，，，
所以，．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
16.解：因为，由正弦定理可得，
又因为，则，
所以，
整理得，即，
因为，所以，
所以，
所以；
由余弦定理 ，且，
则有，
又，故．
设边上中线为，则，
所以
，
可得，
故AB边上中线长为．
17.解：证明：连结，交于点，连结，
因为，所以，
又，即，
所以，
所以，
因为面，面，
所以平面．
以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可取，
平面的法向量可取，
所以，，得．
因为，，
所以，
所以，
所以即为点到直线的距离，
又因为．
所以点到直线的距离为．
18.解：因为，，
所以，
在中由余弦定理得，；
在中，，
即，
所以，
所以，当且仅当时取等号；
又，当且仅当时取等号
则，即，
所以，
所以
即四边形周长的取值范围为；
因为，所以，又，
所以，，
又，所以，
在中由余弦定理，
即，
在中由余弦定理，
即，
又，
所以，
所以，
又，
所以，
即，
所以，所以，
所以，
所以．
19.证明：连接，，
因为在平面内的射影为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为是中点，且是正三角形，
所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，
所以四边形是菱形，
所以，
而，分别是线段、的中点，所以，所以，
又，、平面，
所以平面．
解：由知平面，
所以平面，
而，
所以．
解：假设存在点满足题意，取的中点，连接，过作交于，连接，
则，即，，，四点共面，
由知平面，
因为、平面，
所以，，所以二面角就是，即，
在菱形中，作，
则，且，
所以，
因为，且，所以，
又，所以．
第1页，共1页