12.3角的平分线的性质 教学课件(共27张PPT)初中数学人教版八年级上册

(共27张PPT)
12.3角的平分线的性质
第十二章——全等三角形
COTENTS
探索并证明角的平分线的性质，掌握角的平分线的判定；
会用尺规作一个角的平分线；
01
02
学习目标
会用角的平分线的性质和判定解决相关问题.
03
回顾旧知
三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图，AD是△ABC的角平分线
【注意】三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线.
C
A
B
1
2
D
我们之前学习了三角形的角平分线，什么是三角形的角平分线？
新课导入
在纸上画一个角（如图），思考：怎样得到它的角平分线？
A
O
B
用量角器度量；也可以将角剪下来用折纸的方法．　　
把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；折痕就是∠AOB的角平分线.
C
新课导入
如图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC
△ACD≌△ACB（SSS）
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
AC=AC
剪刀
从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
A
B
O
M
N
C
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
（2）分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
为什么OC就是角平分线呢
A
B
O
M
N
C
为什么OC就是角平分线呢
证明：
∵在 △OMC和△ONC中
∴△OMC≌△ONC (SSS)
∴ ∠MOC=∠NOC
即OC是∠AOB的角平分线
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB 的平分线OC.在OC上任意取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
P
A
O
B
C
D
E
P1
F
G
P2
M
N
发现： PD=PE
P1F=P1G
P2M=P2N
【猜想】角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
下面，我们开始证明这个猜想
证明一个几何命题时的步骤：
已知：一个点在一个角的平分线上
求证：这个点到角两边的距离相等
第一步：明确命题中的已知和求证
第二步：根据已知和求证，画出图形，并用符号语言书写已知求证
第三步：分析找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
如图，已知∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．求证：PD =PE．
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO = ∠PEO = 90 °.
在△PDO 和 △PEO 中，
∠PDO = ∠PEO，
∠AOC = ∠BOC，
OP = OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
【总结】角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
符号语言：
∵OC 是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，
∴PD = PE
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
P
A
O
B
C
D
E
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
S
实际问题
几何问题
A
O
B
在∠AOB 内是否存在点 P ，过点 P 作 OA、OB 的垂线并交 OA、OB 于点 D、E，使得 DP = EP ？
例题练习
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作∠AOB的角平分线OC，
截取OP=2.5cm ，P即为所求.
P
O
D
E
A
B
【猜想】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
P
O
D
E
A
B
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
证明：
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
OP = OP
PD = PE
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO (HL).
∴∠AOP =∠BOP
作射线 OP
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于18吗？
【总结】判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
符号语言：
P
A
O
B
C
D
E
∵ P 是∠AOB内一点，
PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别是D、E ，
且 PD = PE
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
例题练习
已知：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F.
∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴ PD = PE. 同理，PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
【思考】点 P 在∠A 的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点 P 在∠A 的平分线上.
D
F
A
B
C
P
N
M
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等
A
D
6
三角形的角平分线
小结
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
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