2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年江苏省徐州市铜山区高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，从中取个球，则不同的取法种数是( )
A. B. C. D.
2.可表示为( )
A. B. C. D.
3.若名学生报名参加数学，计算机、航模兴趣小组．每人选报项．则不同的报名方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.在四棱柱中，，，则( )
A. B.
C. D.
5.在正方体中，下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
6.房间里有盏电灯，分别由个开关控制，至少开盏灯用以照明，则不同的方法种数是( )
A. B. C. D.
7.已知向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.已知，，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为如和除以所得的余数都是，则记为，若，，则的值可以是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 若向量，满足，则向量，的夹角是钝角
B. 若是空间的一组基底，且，则，，，四点共面
C. 若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底
D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为
10.已知，则( )
A.
B.
C.
D. ，，，，这个数中最大值为
11.在棱长为的正方体中，点满足，则( )
A. 当时，平面平面
B. 任意，三棱锥的体积是定值
C. 存在，使得与平面所成的角为
D. 当时，平面截该正方体的外接球所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在三棱锥中，、、分别是、、的中点，，则和所成角的度数为______．
13. ______．
14.某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，一共用了个球第层有个球，第层有个，第层有个球，，每层都摆放成“正三角形”，从第层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多个球，则这位同学共堆积了______层
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
有名女生名男生，在下列不同条件下，求不同的排列方法的种数．
全体排成一行，其中名男生互不相邻；
全体排成一行，其中甲、乙中间有且只有人；
全体排成前后两排，前排人，后排人，且后排至少个男生
16.本小题分
已知在图的平面四边形中，，，，沿着对角线将折起，如图中点到达处，使平面平面．
求线段的长度；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为：．
求展开式中含有的项；
求展开式中系数最大项．
18.本小题分
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点包括端点．
求证；
若二面角角的余弦值为，求点到平面的距离．
19.本小题分
莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用所有大于的正整数都可以被唯一表示为有限个质数质数是指大于的自然数中，只有和它本身两个因数的数的乘积形式：为的质因数个数，为质数，，，，，，例如：，对应，，，，，，．
现对任意，定义莫比乌斯函数．
求，；
记的所有真因数除了和以外的因数依次为，，，，
若，求；
若且，求
参考答案
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15.解：根据题意，全体排成一行，其中名男生互不相邻，
必须男女相间排列，且女生在两端，有种排法；
根据题意，分步进行分析：
在除甲乙外的人中，选出人，安排在甲乙之间，与甲乙一起作为一个整体，有种情况，
将这个整体与其他人全排列，有种排法，
则有种排法；
根据题意，分种情况讨论：
后排男女，有种排法；
后排男女，有种排法；
后排男，有种排法；
则共有种排法．
16.解：取的中点，连接，，
又因为，，，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
而平面，
所以，，，
所以；
由以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，
设平面的法向量，
则，即，令，
则，
所以，，，
所以，，
设直线与平面所成的角为，，
所以，．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由于的第项与第项的二项式系数之比为：，
故，整理得，解得．
故的展开式的通项为，
当时，含的项为．
设第项的系数最大，
故，整理得，，故；
展开式中系数的最大项为．
18.解：因为底面，且底面为正方形，
所以，，两两互相垂直，
则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
证明：因为，，
所以，即，
又因为，不在一条直线上，所以；
因为点满足，点是棱上的一个点包括端点，
所以，设，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，得，，则，
由题可得平面的一个法向量为，
因为二面角角的余弦值为，
所以，
解得或舍去，所以，
因为，所以点到平面的距离为．
19.解：，，，，，，，，
，
，，，，，，，，
；
，，，，，，，，，，，，，，，
．
，设，为偶数，
的所有因数除外都是，，，中的若干个数的乘积，
从个质数中任选个数的乘积一共有种结果，
，
．
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