13.1.2线段的垂直平分线的性质 课件（共29张PPT） 初中数学人教版八年级上册
文档属性
| 名称 | 13.1.2线段的垂直平分线的性质 课件（共29张PPT） 初中数学人教版八年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 21.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-11 20:54:54 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
13.1.2线段的垂直平分线的性质
第十三章——轴对称
COTENTS
能用尺规作图过一点作已知直线的垂线；
理解并掌握线段垂直平分线的性质及判定；
01
02
学习目标
能作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图.
03
知识回顾
上节课我们学习了线段垂直平分线的概念，什么叫线段垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．也把这条直线叫做中垂线.
N
M
P
如图，MN⊥AA′，垂足为P,
且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线.
A′
A
探究新知
【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想AP1和BP1 ，AP2和BP2 ，AP3和BP3… 之间的大小关系．
A
B
l
P1
P2
P3
AP1=BP1 ，AP2=BP2 ，AP3 =BP3 …
探究新知
A
B
l
P1
P2
P3
【猜想】线段的垂直平分线上的任意一点与这条线段两个端点的距离相等.
【提问】在图中的直线 l 上任取一点，这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？
下面我们尝试证明该猜想是否正确.
【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想AP1和BP1 ，AP2和BP2 ，AP3和BP3… 之间的大小关系．
A
B
l
┐
C
P
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在 l 上．求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB = 90°．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
【结论】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
符号语言：
∵ OA =OB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
B
l
┐
O
P
【思考】反过来，如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
已知：如图，PA =PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．
证明：如图作PC⊥AB
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
A
B
P
┐
C
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
【结论】线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
A
B
l
┐
O
P
1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等.
2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.
A
B
l
┐
O
P
例题练习
尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使点K 和点C 在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和E为圆心，以大于DE一半的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．直线CF 就是所求的垂线．
为什么直线CF 就是所求作的垂线？
K
A
B
C
D
E
F
剪刀
从作法的（2）（3）步可知CD=CE，DF=EF，
∴点C，F 都在DE的垂直平分线上．
∴CF 就是线段DE的垂直平分线．
又∵点D，E 在直线 AB 上，
∴CF 就是所求直线 AB 的垂线．
【思考】为什么直线CF 就是所求作的垂线？
A
B
C
D
E
F
剪刀
【思考】有时我们感觉两个平面图形是成轴对称的，但是如何验证呢？在不折叠图形的情况下，你能准确地做出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，只要能找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能试着作出这条直线吗？
【分析】我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A、B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
A
B
作法：如图所示：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧（想一想为什么），两弧线相交于C，D两点；
（2）作直线CD，即是所求作的直线.
A
B
C
D
这种作法的依据是什么？
这种作图方法还有哪些作用？
线段垂直平分线的尺规作图
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能试着作出这条直线吗？
确定线段的中点
作对称轴的步骤：
①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
②连：连接这对对应点；
③作：做出对应点所连线段的垂直平分线.
找对应点时，一般找图形的顶点或转折点，这样做出的图形更准确.
例题练习
如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.
A
A′
l
可以选择一对对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线 l，则 l 就是这个五角星的一条对称轴.
类似地，请你尝试作出这个五角星的其他对称轴.
A
C
线段的垂直平分线
小结
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段
两个端点的距离相等
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
谢谢观看
13.1.2线段的垂直平分线的性质
第十三章——轴对称
COTENTS
能用尺规作图过一点作已知直线的垂线；
理解并掌握线段垂直平分线的性质及判定；
01
02
学习目标
能作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图.
03
知识回顾
上节课我们学习了线段垂直平分线的概念，什么叫线段垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．也把这条直线叫做中垂线.
N
M
P
如图，MN⊥AA′，垂足为P,
且 AP = A′P，则称直线MN是线段AA′ 的垂直平分线.
A′
A
探究新知
【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想AP1和BP1 ，AP2和BP2 ，AP3和BP3… 之间的大小关系．
A
B
l
P1
P2
P3
AP1=BP1 ，AP2=BP2 ，AP3 =BP3 …
探究新知
A
B
l
P1
P2
P3
【猜想】线段的垂直平分线上的任意一点与这条线段两个端点的距离相等.
【提问】在图中的直线 l 上任取一点，这一点与线段AB两个端点的距离相等吗？
下面我们尝试证明该猜想是否正确.
【探究】如图，直线 l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请猜想AP1和BP1 ，AP2和BP2 ，AP3和BP3… 之间的大小关系．
A
B
l
┐
C
P
已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点
P 在 l 上．求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB = 90°．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
【结论】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
符号语言：
∵ OA =OB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
B
l
┐
O
P
【思考】反过来，如果PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
【猜想】与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，即如果 PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
已知：如图，PA =PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．
证明：如图作PC⊥AB
则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌ Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
A
B
P
┐
C
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
【结论】线段垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
符号语言：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
A
B
l
┐
O
P
1、从上面两个结论可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B的距离都相等.
2、反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线 l 可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.
A
B
l
┐
O
P
例题练习
尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使点K 和点C 在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和E为圆心，以大于DE一半的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．直线CF 就是所求的垂线．
为什么直线CF 就是所求作的垂线？
K
A
B
C
D
E
F
剪刀
从作法的（2）（3）步可知CD=CE，DF=EF，
∴点C，F 都在DE的垂直平分线上．
∴CF 就是线段DE的垂直平分线．
又∵点D，E 在直线 AB 上，
∴CF 就是所求直线 AB 的垂线．
【思考】为什么直线CF 就是所求作的垂线？
A
B
C
D
E
F
剪刀
【思考】有时我们感觉两个平面图形是成轴对称的，但是如何验证呢？在不折叠图形的情况下，你能准确地做出轴对称图形的对称轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，只要能找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴.
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能试着作出这条直线吗？
【分析】我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A、B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
A
B
作法：如图所示：
（1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径作弧（想一想为什么），两弧线相交于C，D两点；
（2）作直线CD，即是所求作的直线.
A
B
C
D
这种作法的依据是什么？
这种作图方法还有哪些作用？
线段垂直平分线的尺规作图
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能试着作出这条直线吗？
确定线段的中点
作对称轴的步骤：
①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；
②连：连接这对对应点；
③作：做出对应点所连线段的垂直平分线.
找对应点时，一般找图形的顶点或转折点，这样做出的图形更准确.
例题练习
如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.
A
A′
l
可以选择一对对应点A和A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线 l，则 l 就是这个五角星的一条对称轴.
类似地，请你尝试作出这个五角星的其他对称轴.
A
C
线段的垂直平分线
小结
性质：线段垂直平分线上的点与这条线段
两个端点的距离相等
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
谢谢观看