13.3.2等边三角形 课件(共29张PPT) 初中数学人教版八年级上册

(共29张PPT)
13.3.2等边三角形
第十三章——轴对称
探索等边三角形的轴对称性；
理解并掌握等边三角形的性质和判定方法；
01
02
学习目标
理解并掌握有一个角是30°的直角三角形的性质
03
知识回顾
上节课我们学习了等腰三角形，回顾一下关于等腰三角形的知识.
名称 图形 定义 性质 判定
等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 两腰相等 两边相等
等边对等角 等角对等边
三线合一
轴对称图形
引入新知
这节课我们来学习特殊的等腰三角形——等边三角形（三边都相等）
等腰三角形
等边三角形
腰
腰
底边
底角
顶角
底边＝腰
等边三角形具有等腰三角形的所有性质.
等边三角形还具有哪些性质？
【探究1】把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到等边三角形的什么性质？
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等.
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
A
B
C
证明：∵AB=BC=CA，
∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=60°.
如图，△ABC为等边三角形.
证明：∠A=∠B=∠C=60°.
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
几何语言：
A
B
C
如图，在 △ABC 中，
∵AB = BC = AC，
∴∠A =∠B = ∠C = 60°
【探究2】把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到等边三角形的什么性质？
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线相互重合.
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
A
B
C
A
B
C
【探究3】把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到等边三角形的什么性质？
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线.
A
B
C
A
B
C
图形 等腰三角形 等边三角形
性质 边
角
三线合一
对称性
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合
三个角都相等，且都是 60°
3 条对称轴
1 条对称轴
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合
两条边相等
三条边都相等
总结
【探究4】类比等腰三角形的判定，一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
图形 等腰三角形
判 定
三个角都相等的三角形是等边三角形
等边三角形
从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形
从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形
三条边都相等的三角形是等边三角形
【思考】等边三角形还有其他的判定方法吗？
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【总结】等边三角形的判定方法：
3. 有一个角是______的等腰三角形是等边三角形.
2. 三个角都______的三角形是等边三角形；
1. 三边都______的三角形是等边三角形；
相等
相等
60°
例题练习
如图，在等边三角形 ABC 中，DE∥BC.
求证：△ADE 是等边三角形.
A
C
B
D
E
证明：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等边三角形.
本题还有其他证法吗？
若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵　△ABC 是等边三角形，
∴　∠BAC =∠B =∠C
∵　DE∥BC，∴　∠B =∠D，∠C =∠E．
∴　∠EAD =∠D =∠E．
∴　△ADE 是等边三角形．
A
D
E
B
C
【探究5】如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
A
C
B
∵△ABC 是 △ADC 的轴对称图形
∴AB＝AD
又∵∠B=60°
∴ △ABD 是等边三角形
又∵AC⊥BD
∴BC＝DC＝ AB
A
C
B
D
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么，它所对的直角边等于斜边的一半.
你还有其他方法证明该结论吗？
E
A
B
C
证明： 在BA上截取 BE=BC，连接 EC.
∵ ∠B= 60° ，BE = BC. ∴ △BCE是等边三角形，
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC，
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，
求证：BC = AB．
∴BC = AB．　　
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
含30°角的直角三角形的性质 ：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
几何语言：
∵　在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，　　
∴　BC = AB．　　
A
B
C
例题练习
如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？
A
B
C
D
E
分析：
BC
Rt△ACB
DE
Rt△AED
例题练习
如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°，立柱 BC，DE 的长是多少？
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°，
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m
∴
∴ 7.4=3.7（m）
又AD=，
∴DE== 3.7=1.85（m）
C
50
3
4
小结
1. __________的三角形等边三角形
3.____________的三角形是等边三角形
2.等边三角形的三个内角______ ，并且每一个内角________
三个角都相等
都相等
4.有____个角是___的______三角形是等边三角形
一
60°
等腰
三边都相等
等于 60°
5.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 .
一半
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