13.3.1等腰三角形 课件(共35张PPT) 初中数学人教版八年级上册

(共35张PPT)
13.3.1等腰三角形
第十三章——轴对称
探索等腰三角形的轴对称性；
理解并掌握等腰三角形的性质和判定方法；
01
02
学习目标
能用尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形.
03
复习旧知
回顾之前所学的知识，将三角形按照边的相等关系进行分类：
三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
今天我们主要学习其中的等腰三角形
引入新知
等腰三角形
腰
腰
底边
底角
顶角
什么叫等腰三角形，等腰三角形具有哪些因素？
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
【思考】等腰三角形具有什么性质呢？
【探究】如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC 有什么特点？
剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC 中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形
△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角， 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？
重合的线段 重合的角
　
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
A
B D C
沿折痕重合
【猜想1】等腰三角形的两个底角相等
A
B D C
【猜想2】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
在纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面的猜想仍然成立吗？
下面我们尝试利用三角形的全等证明这些性质
A
B
C
D
已知：如图，△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C
作底边 BC 的中线 AD
AB = AC
BD = CD
AD = AD
∴△BAD≌△CAD (SSS).
∴∠B =∠C .
在 △BAD 和 △CAD 中，
你还能利用其他方法证明等腰三角形的该性质吗？
A
B
C
D
已知：如图，△ABC 中，AB=AC,求证：∠B=∠C
作底边上的高线.
方法二：
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中，
AB＝AC
AD＝AD
∵ AD⊥BC，
∴∠B＝∠C.
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL).
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
A
B
C
D
已知：如图，△ABC 中，AB=AC,求证：∠B=∠C
在 △ABD 与 △ACD 中，
AB＝AC
∠BAD＝∠CAD，
AD＝AD
∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线，
作顶角的角平分线 AD.
∴∠B＝∠C.
∴ △ABD≌△ACD (SAS).
∴∠BAD＝∠CAD.
方法三：
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等
（简写成“等边对等角”）.
几何语言：
∵ △ABC 是等腰三角形，
∴ ∠B=∠C (等角对等边).
A
B
C
在上述不同方法的证明过程中，由三角形顶角作的底边上的中线、高线、顶角角平分线有什么特点？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
完全重合
尝试证明猜想二，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = DC，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC.
证明：∵AB = AC，BD = DC，
∴∠ADB =∠ADC =90°即AD⊥BC.
∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴ ∠BAD =∠CAD，∠ADB=∠ADC.
∴△BAD≌△CAD (SSS).
∴在△ABD 和△ADC 中，
AB＝AC ，
AD＝AD ，
BD = DC .
∴底边 BC 的中线也是∠A 的平分线和底边上的高.
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）
【注意】腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
几何语言：
(1)∵△ABC是等腰三角形，BD = CD (已知)
∴______________，________ (等腰三角形的“三线合一”)
(2)∵△ABC是等腰三角形，∠BAD＝∠CAD (已知)
∴_________，AD⊥BC，_________________________
(3)∵△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC
∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”)
∠BAD =∠CAD
AD⊥BC
BD = CD
(等腰三角形的“三线合一”)
∠BAD =∠CAD
例题练习
A
B
C
D
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数.
解：∵ AB = AC，BD = BC = AD，
∴∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°.
解得 x = 36°.
于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°，
设∠A = x，则∠BDC = ∠A+ ∠ABD = 2x，
从而∠ABC = ∠C = ∠BDC =2x，
∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.（等边对等角）
【探究】如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反之，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？
相等？
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C.求证：AB = AC.
分析：
构造两个全等三角形
证明边相等
作∠BAC 的
角平分线
作BC边上的高
添加“BC边上的中线 ”
这条辅助线可以吗？
SSA(╳)
AAS(√)
AAS(√)
在△ABD和△ACD中，
∠1=∠2，
∴ △ABD≌△ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
证明：过点A作AD平分∠BAC交BC于点D.
∴∠1=∠2，
方法一
D
1
2
在△ABE和△ACE中 ，
∴∠AEB=∠AEC = 90°，
证明：过点A作AE⊥BC交BC于点E.
∠AEB=∠AEC，
∠B=∠C，
AE=AE，
∴ △ABE≌△ACE（AAS）.
∴AB=AC.
方法二
E
由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
等腰三角形的判定：如果有一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. （简写成“等角对等边”）
几何语言：
∵ 在△ABC 中，∠B =∠C，
∴AB=AC. (等角对等边)
即△ABC为等腰三角形.
例题练习
A
B
C
E
（
（
1
2
D
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC.
求证：AB = AC.
分析：
证明 AB = AC
先证明 ∠B = ∠C
利用∠1 =∠2，AD∥BC
例题练习
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC.
求证：AB = AC.
∴ AB = AC(__________)．
∴∠1 =∠B (_______________________)，
∠2 =∠C (_______________________)．
证明：∵ AD∥BC，
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
等角对等边
∴∠B =∠C，
又∵∠1 =∠2，
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例题练习
已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形.
(4) 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求.
(3) 在 MN 上取一点 C，使 DC = h；
(2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN，
交 AB 于点 D；
作法：
(1) 作线段 AB = a；
D
A
等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角等.(简写成“等边对等角”).
等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称 “三线合一”）
等腰三角形的判定：如果有一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. (简写成“等角对等边”)
等腰三角形
小结
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