13.4课题学习 最短路径问题 课件(共31张PPT) 初中数学人教版八年级上册

(共31张PPT)
13.4课题学习
最短路径问题
第十三章——轴对称
能够利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
能运用“两点之间线段最短”和“垂线段最短” 探索最短路径问题；
01
02
学习目标
知识回顾
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
P
l
A
B
C
D
PC最短，因为垂线段最短
引入新知
【探究1】相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图 中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.到河边哪个地方饮马可使他所走的路线全程最短？
l
你可以将这个实际问题抽象为数学问题吗？
l
C
A
B
l
当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 CB 的和最小.
【思考】如图，点A，B 分别是直线l异侧的两个点，点C是直线 l 上的一个动点，当点C 在什么位置时到点 A，点 B 的距离的和最短，即 AC+BC 的值最小？
A
l
B
C
连接A，B两点，交直线 l 于点C，则点C 即为所求的位置，可以使得 AC+BC 的值最小.
两点之间，线段最短
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
如果我们能够把点 B 转移到直线 l 的另外一侧 B′，同时使得对直线上任意一点C，满足 BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直线 l 上使得满足 BC=B′C 的点应该怎么找呢？
A
B
l
A
B
l
作法：
作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；
(2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求．
B′
C
你能证明这个结论吗？
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′所以AC+BC < AC′+B′C′.
由点 C′ 的任意性可知，AC+BC 的值是
最小的，故点 C 的位置符合要求.
l
A
B

B′
C
C′
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，连接A，B两点，交直线 l 于点C，则点C 即为所求的位置，可以使得 AC+BC 的值最小.（两点之间，线段最短）.
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.

A
B
l

C
B′

B
l

A
C
先作点 B 关于直线 l 的对称点的 B′，连接 AB′ 交直线 l 于点 C（也可以作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连接 A′B 交直线 l 于点C），此时点C就是所求作的点.
【探究2】如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线 a 和 b，N 为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线 b，交直线 a 于点 M.当点 N 在什么位置的时候，AM+MN+NB 的值最小？
A
B
a
b
M
N
A
B
a
b
M
N
【分析】由于河宽是固定的，则 MN 的大小是固定的.当AM+MN+BN 的值最小时，也即AM+BN的值最小.
A′
将 AM 沿着与河岸垂直的方向平移，点 M 移动到点N，点 A 移动到点 A′，则 AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点 N 在直线 b 的什么位置时，A′N+NB 的值最小.
如图，连接A′，B两点的线中，线段A′B最短.因此，线段A′B 与直线 b 的交点位置即为所求的位置，即在点 N 处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
你能证明这个结论吗？
A
B
a
b
M
N
A′
A
B
M
N
a
b
A′
M′
N′
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B∴A′N+NB即A′N+NB+MN∴AM+NB+MN即AM+NB+MN的值最小.
D
B
D
D
D
小结


A
B
l
C
B′


B
l
A
C
A
B
a
b
M
N
A′
1.直线异侧的两点、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题
2.造桥选址问题
谢谢观看