人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题21.2一元二次方程的解法【十大题型】(学生版+解析)

专题21.2 一元二次方程的解法【十大题型】
【人教版】
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】 1
【题型2 配方法解一元二次方程】 2
【题型3 公式法解一元二次方程】 3
【题型4 因式分解法解一元二次方程】 4
【题型5 十字相乘法解一元二次方程】 5
【题型6 用适当方法解一元二次方程】 7
【题型7 用指定方法解一元二次方程】 7
【题型8 用换元法解一元二次方程】 8
【题型9 解含绝对值的一元二次方程】 8
【题型10 配方法的应用】 9
知识点1：直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）将方程的两边同时开平方，
得 ，
即 或 ，
所以 ， ．
【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0
【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ．
【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．
解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，．
我们称小明这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．
(2)请用“平均数法”解方程：．
知识点2 配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用配方法解方程，补全解答过程．
．
解：两边同除以3，得______________________________．
移项，得．
配方，得_________________________________，
即．
两边开平方，得__________________，
即，或．
所以，．
【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）用配方法解方程：．
【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：移项，得 第一步 二次项系数化为1，得 第二步 配方，得 第三步 由此可得 第四步 所以， 第五步
①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；
②请写出你认为正确的解答过程．
知识点3 公式法解一元二次方程
当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个
式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 公式法解一元二次方程】
【例3】（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用公式法解一元二次方程：．

解：方程化为．
，．
．
方程 实数根．
，
即 ，．
【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
知识点4 因式分解法解一元二次方程
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 因式分解法解一元二次方程】
【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）关于的一元二次方程的根是（ ）
A． B．0 C．1和2 D．和2
【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程：
解：方程两边因式分解，得，①
方程两边同除以，得，②
∴原方程的解为．③
(1)上面的运算过程第______步出现了错误．
(2)请你写出正确的解答过程．
【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（ ）
A．都为 B．都为 C．或 D．或
【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）利用因式分解求解方程
（1）；
(2)．
【题型5 十字相乘法解一元二次方程】
【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）试用十字相乘法解下列方程
(1)；
(2)．
【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）解关于的方程得（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）阅读下面材料：
材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为：
示例1：分解因式：
解：如图2，其中，，而；
∴；
示例2：分解因式：．
解：如图3，其中，，而；
∴；
材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；

示例3：分解因式：．
解：如图5，其中，，；
满足，；
∴
请根据上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式： ； ；
（2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解．
【题型6 用适当方法解一元二次方程】
【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2).
【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)；
(3)．
【题型7 用指定方法解一元二次方程】
【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）
（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）
【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）
(3)（用因式分解法）
(4)（用适当的方法）
【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）用指定的方法解方程：
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）
(3)（用因式分解法）
(4)（用适当的方法）
【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）按指定的方法解下列方程：
(1)（配方法）；
(2)（公式法）；
(3)（因式分解法）．
【题型8 用换元法解一元二次方程】
【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知，求的值．
【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（　　）
A． B．1 C．或1 D．3或
【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）若，则 ．
【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）利用换元法解下列方程：
(1)；
(2)．
【题型9 解含绝对值的一元二次方程】
【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：．解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为解得（舍去）；
②当x<0时，原方程化为，解得（舍去）．
综上所述，原方程的解是．
请参照上述方法解方程．
【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）解方程．
【变式9-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）解方程．
【变式9-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）解方程
【题型10 配方法的应用】
【例10】（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式的最小值．
解：，
∵，∴
∴当时，的最小值是4．
(1)【类比探究】
求代数式的最小值；
(2)【举一反三】
若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；
(3)【灵活运用】
已知，则________；
(4)【拓展应用】
如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【变式10-1】（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
【变式10-2】（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13
【变式10-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
无论取何实数，都有，
，即的最小值为．
【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ；
【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义；
【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．
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专题21.2 一元二次方程的解法【十大题型】
【人教版】
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】 1
【题型2 配方法解一元二次方程】 4
【题型3 公式法解一元二次方程】 6
【题型4 因式分解法解一元二次方程】 8
【题型5 十字相乘法解一元二次方程】 11
【题型6 用适当方法解一元二次方程】 14
【题型7 用指定方法解一元二次方程】 18
【题型8 用换元法解一元二次方程】 23
【题型9 解含绝对值的一元二次方程】 24
【题型10 配方法的应用】 27
知识点1：直接开平方法解一元二次方程
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）将方程的两边同时开平方，
得 ，
即 或 ，
所以 ， ．
【答案】 ±3 3 －3 2 －1
【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可
【详解】∵
∴±3
∴3，-3
∴2，-1
【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键
【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2+9＝0 B．－2x2=0 C．x2－3=0 D．(x－2)2=0
【答案】A
【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．
【详解】解：（A）移项可得，故选项A无解；
（B），即，故选项B有解；
（C）移项可得，故选项C有解；
（D），故选项D有解；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如果关于x的一元二次方程可以用直接开平方求解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：∵方程可以用直接开平方求解，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m的不程是解此题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．
解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，．
我们称小明这种解法为“平均数法”
(1)下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，．
上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______．
(2)请用“平均数法”解方程：．
【答案】(1)7，2，，．
(2)，．
【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
（2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，．
∴上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为7，2，，．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．
知识点2 配方法解一元二次方程
将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用配方法解方程，补全解答过程．
．
解：两边同除以3，得______________________________．
移项，得．
配方，得_________________________________，
即．
两边开平方，得__________________，
即，或．
所以，．
【答案】
【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
【详解】．
解：两边同除以3，得．
移项，得．
配方，得，
即．
两边开平方，得，
即，或．
所以，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．
【详解】解：
移项得：
配方得：
即
故选：B
【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）用配方法解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．
【详解】解：移项得，
配方得，即，
所以原方程的解为：，．
【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：移项，得 第一步 二次项系数化为1，得 第二步 配方，得 第三步 由此可得 第四步 所以， 第五步
①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；
②请写出你认为正确的解答过程．
【答案】①第三步；②详见解析
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程变为，然后配方为，再开平方即可．
【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；
②，
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
由此可得，
所以，．
知识点3 公式法解一元二次方程
当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个
式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 公式法解一元二次方程】
【例3】（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】根据公式法的公式，可得方程的各项系数，即可解答．
【详解】解： ，
，，，
从而得到一元二次方程为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．
【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用公式法解一元二次方程：．

解：方程化为．
，．
．
方程 实数根．
，
即 ，．
【答案】 有两个不相等的 2
【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．
【详解】解：方程化为．
，，．
．
方程有两个不相等的实数根．
，
即2，．
故答案为：；；有两个不相等的；；；2．
【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．
【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）用公式法解方程，下列代入公式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．
【详解】解：方程可化为
由求根公式可得：
故选：B
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根，由题意得，可求出．
【详解】方程有两根，
且．
求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，
所以，即 ，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．
知识点4 因式分解法解一元二次方程
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 因式分解法解一元二次方程】
【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）关于的一元二次方程的根是（ ）
A． B．0 C．1和2 D．和2
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得或，
故选：D．
【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程的过程：
解：方程两边因式分解，得，①
方程两边同除以，得，②
∴原方程的解为．③
(1)上面的运算过程第______步出现了错误．
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)②
(2)过程见解析
【分析】（1）根据等式的性质作答即可；
（2）先移项，然后用因式分解法求解．
【详解】（1）解：∵可能为0，
∴不能除以，
∴第②步出现了错误
故答案为②．
（2）解：方程两边因式分解，得，
移项，得，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）对于实数，，定义运算“”：，例如：．若，则方程的根为（ ）
A．都为 B．都为 C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．
现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．
【详解】解：根据定义运算可得，
即为，
即，
，，
则方程的根为或．
故选：．
【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）利用因式分解求解方程
（1）；
(2)．
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；
(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.
【详解】(1) ；
y=0或4y-3=0
∴，
故答案为：；
(2)
或
，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程时，给方程两边同除以y，解得，而丢掉y=0的情况．
【题型5 十字相乘法解一元二次方程】
【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）以下是解一元二次方程的一种方法：二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把排列为： 然后按斜线交叉相乘，再相加，得到，若此时满足，那么就可以因式分解为，这种方法叫做“十字相乘法”．那么按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．
【详解】∵
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．
【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）试用十字相乘法解下列方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案；
（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，进一步求解可得答案．
【详解】（1）解：
或
∴，；
（2）解：
或
∴，．
【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）解关于的方程得（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法求解即可．
直接运用十字相乘法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
故选B．
【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）阅读下面材料：
材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为：
示例1：分解因式：
解：如图2，其中，，而；
∴；
示例2：分解因式：．
解：如图3，其中，，而；
∴；
材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；

示例3：分解因式：．
解：如图5，其中，，；
满足，；
∴
请根据上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式： ； ；
（2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解．
【答案】（1），；（2），和
【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；
（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值．
【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，
∴原式=；
②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4）
满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4）
∴原式=；
（2）①
②
∴
∴
当时，
或，（舍），
当时，
或，或（舍）
综上所述，方程的整数解有和；
方法二：
或．
【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．
【题型6 用适当方法解一元二次方程】
【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：
，
解得，
（2）解：
，
解得，
（3）解：，，
解得，
（4）解：
，
，
，
解得，
【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)；
(2).
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
（1）利用配方法解方程；
（2）先移项，再利用提公因式法解方程．
【详解】（1）解：移项，得，
配方，得，
，
两边开平方，得，
所以，，；
（2）解：原方程可变形为：，
，
，
或，
所以，，
【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）用适当的方法解下列方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可；
（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；
（3）方程利用因式分解法求解即可；
（4）方程利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：方程整理得：，
开方得：，
解得：，；
（2）解：方程整理得：，
这里，，，
△，
，
解得：，；
（3）解：方程移项得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
（4）解：配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）利用平方差公式，可以解答此方程；
（2）利用因式分解法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
解得，；
（2）解：，
，
或，
解得，；
（3）解：，
，
或，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
【题型7 用指定方法解一元二次方程】
【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
（2）x2+2 x﹣3=0（配方法）
（3）（x+1）（x-2）=4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）=0（因式分解法）
【答案】（1）x1＝4，x2＝﹣2；（2）x1＝1，x2＝﹣3；（3）x1＝3，x2＝﹣2；（4）x1＝﹣1，x2＝2．
【分析】（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；
（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；
（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；
（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；
【详解】解：（1）∵
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）∵x2+2x＝3，
∴x2+2x+1＝4，
∴（x+1）2＝4，
∴x+1＝±2，
∴x1＝1，x2＝﹣3；
（3）∵x2﹣x﹣6＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣6）＝25，
∴x＝，
∴x1＝3，x2＝﹣2；
（4）∵
∴（x+1）（2﹣x）＝0，
∴x+1＝0或2﹣x＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.
【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）
(3)（用因式分解法）
(4)（用适当的方法）
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．
（2）先化为一般式，再根据算出，以及代入进行化简，即可作答．
（3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答．
（4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出的值，即可作答．
【详解】（1）解：
移项，得
配方，得，即
∴
解得，；
（2）解：
∴
解得；
（3）解：
则
解得；
（4）解：
∴
解得．
【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）用指定的方法解方程：
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）
(3)（用因式分解法）
(4)（用适当的方法）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）移项，得：，
系数化1，得：，
配方，得：，
，
，
∴，；
（2）原方程可变形为，
，，，
，原方程有两个不相等的实数根，
，
∴，；
（3）原方程可变形为：，
整理得：，
解得，；
（4）原方程可变形为：，
整理得：，
，
∴，
【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．
【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）按指定的方法解下列方程：
(1)（配方法）；
(2)（公式法）；
(3)（因式分解法）．
【答案】(1)，．
(2)，．
(3)，．
【分析】（1）先把方程化为，可得，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）先计算，再利用求根公式解方程即可；
（3）先移项，再把方程左边分解因式可得，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
∴，
配方得：，
∴或，
解得：，．
（2）解：，
∴，
∴，
∴，．
（3）解：，
移项得：，
∴，
∴或，
解得：，．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．
【题型8 用换元法解一元二次方程】
【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知，求的值．
【答案】3
【分析】先用换元法令，再解关于的一元二次方程即可．
【详解】解：令，则原等式可化为：
，
解得：，
，
，即．
的值为3．
【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意为非负数是本题的关键．
【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）关于x的方程，则的值是（　　）
A． B．1 C．或1 D．3或
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．
设，则此方程可化为，然后用因式分解法求解即可．
【详解】解：设，则此方程可化为，
∴，
∴或，
解得，，
∴的值是1或．
∵，即，
方程无解，故舍去，
∴的值是1，
故选：B．
【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）若，则 ．
【答案】1或
【分析】本题主要考查解一元二次方程，设，则原方程可变形为，方程变形后运用因式分解法求出x的值即可得到结论．
【详解】解：设，则原方程可变形为，
整理得，，
，
，，
∴，，
即或，
故答案为：1或．
【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）利用换元法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，，，
【分析】（1）根据换元思想，设，则或，由此即可求解；
（2）设，则或，由此即可求解．
【详解】（1）解：（1）设，则原方程化为，
∴或，
当时，，
∴，，
当时，，此时方程无解，
∴原方程的解是，．
（2）解：设，则原方程化为，
∴或，
当时，，
∴，，
当时，，
∴，．
∴原方程的解是，，，．
【点睛】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．
【题型9 解含绝对值的一元二次方程】
【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：．解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为解得（舍去）；
②当x<0时，原方程化为，解得（舍去）．
综上所述，原方程的解是．
请参照上述方法解方程．
【答案】
【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．
【详解】解：分两种情况：
①当，即时，原方程化为，解得；
②当，即时，原方程化为，解得（舍去），（舍去）．
综上所述，原方程的解是．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．
【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）解方程．
【答案】，
【分析】对进行分类讨论，先把绝对值号化简后方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合的取值范围最终确定答案即可．
【详解】解：①当，即时，方程变形得：
∴
∴
∴，；
②当，即时，方程变形得：
∴
∴
∴（舍去），（舍去）
∴综上所述，原方程的解是或．
【点睛】本题考查了含绝对值的方程、一元二次方程的解法等知识，渗透了分类讨论的思想．
【变式9-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）解方程．
【答案】
【分析】分与，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．
【详解】当，即时，
原方程可化为：
整理得：
解得：
当，即时，
原方程可化为：
整理得
∵
∴此方程无实数解，
综上所述，原方程的解为：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论化简绝对值是解题的关键．
【变式9-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）解方程
【答案】，
【分析】根据题意分x-5≥0和x-5＜0两种情况，分别解方程即可．
【详解】解：①当x-5≥0时，即x≥5时，原方程化为，即，
，
∴，
∴原方程无解，
②当x-5＜0时，即x＜5时，原方程化为，即，
，
∴
解得：，．
【点睛】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，解题的关键是根据题意分两种情况讨论．
【题型10 配方法的应用】
【例10】（23-24九年级上·河北沧州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式的最小值．
解：，
∵，∴
∴当时，的最小值是4．
(1)【类比探究】
求代数式的最小值；
(2)【举一反三】
若当________时，有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；
(3)【灵活运用】
已知，则________；
(4)【拓展应用】
如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)3
(2)；大；1
(3)1
(4)当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：
（1）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可；
（2）把原式利用配方法变形为，再仿照题意求解即可；
（3）把原式利用配方法变形为，再利用非负数的性质求解即可；
（4）设，则，则，进而求出，则，据此可得答案．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴，
∴当时，的最小值为3；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为1，
故答案为：；大；1；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）解：设，则，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，最大，最大值为48，
∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为．
【变式10-1】（2023·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
【答案】B
【分析】利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
∴当时，有最小值；
当时，即：，
∴，
∴，
∴，即是非正数；
故选项错误，选项正确；
故选B．
【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．
【变式10-2】（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）已知三角形的三条边为，且满足，则这个三角形的最大边的取值范围是（ ）
A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13
【答案】C
【分析】先利用配方法对含a的式子和含有b的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a和b的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：∵a2-10a+b2-16b+89=0，
∴（a2-10a+25）+（b2-16b+64）=0，
∴（a-5）2+（b-8）2=0，
∵（a-5）2≥0，（b-8）2≥0，
∴a-5=0，b-8=0，
∴a=5，b=8．
∵三角形的三条边为a，b，c，
∴b-a＜c＜b+a，
∴3＜c＜13．
又∵这个三角形的最大边为c，
∴8＜c＜13．
故选：C．
【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．
【变式10-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解：；
无论取何实数，都有，
，即的最小值为．
【尝试应用】（1）请直接写出的最小值______ ；
【拓展应用】（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义；
【创新应用】（3）如图，在四边形中，，若，求四边形的面积最大值．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）利用配方法把变形为，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；
（2）利用配方法得到，则可判断，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论取何实数，二次根式都有意义；
（3）利用三角形面积公式得到四边形的面积，由于，则四边形的面积，利用配方法得到四边形的面积，然后根据非负数的性质解决问题．
【详解】解：（1）
，
无论取何实数，都有，
，即的最小值为；
故答案为：；
（2），
，
，
无论取何实数，二次根式都有意义；
（3），
四边形的面积，
，
，
四边形的面积
，
当，四边形的面积最大，最大值为．
【点睛】本题考查了配方法的应用：利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和，然后利用非负数的性质确定代数式的最值．
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