向量及其运算
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第一节 向量及其线性运算
[教学目的]掌握向量概念，会用坐标表示向量，并能用向量代数的基本知识解决问题，弄清空间直角坐标系概念，会求向量的模、方向角、两点距离
[教学重点]向量及其坐标表示
[教学难点]运用向量解决空间问题
[教学过程]
一、问题的提出
在实际问题中，如质量、温度、体积等这样只有大小，没有方向的量，我们称之为数量或标量。此外如物体运动速度、加速度、力和力矩等这样不仅有大小，而且有方向的量，应称作什么呢？应该怎样表示呢？怎样计算出它的大小、确定它的方向呢？
二、向量的概念
向量或矢量：不仅有大小，而且有方向的量（如物体运动速度、加速度、力和力矩等）。
向量的表示：通常用有向线段来表示；
有向线段的长度表示向量的大小；
有向线段的方向表示向量的方向。
以为起点，为终点的有向线段所表示的向量，记为或 、、或黑体字母、、等表示向量。
向量的模：向量的大小。向量、、的模依次记为、、。
零向量：模等于零的向量，记作或，零向量的方向为任意的。
单位向量：模为1的向量，方向与相同的单位向量称为向量的单位向量，记作。
两个向量和称为相等：方向相同且模相等，记作。经过平行移动后能够完全重合的向量是相等的。
自由向量：向量与起点无关，可以在空间自由平移。
的负向量：与向量有相等长度而方向相反的向量，记作。
三、向量的线性运算
（一）向量的加减法
1.向量相加的平行四边形法则
两向量、始于同一点，作以、为邻边的平行四边形，则由始点到对角顶点的向量称为、之和，记为。
2.向量相加的三角形法则
如将平行移动，使其始点与的终点重合，则由的始点到终点的向量叫做、之和。
推广：空间任意有限个向量的和
从第一个向量开始，依次把下一个向量的起点放在前一个向量的终点上，最后从第一个
向量的起点到最末一个向量的终点的有向线段，就是这些向量的和。这种方法叫做向量加法的多边形法则。
3.向量加法的运算规律
（1）交换律：
（2）结合律：
4.两向量的差
向量减向量：向量与向量的负向量之和，
特别地，当时，有
5.向量有关的不等式
由三角形两边之和大于第三边的原理，有
及
其中，当与同向或反向时等号成立。
（二）向量与数的乘法
1.概念：
向量与实数的乘积，记作
（1）是一个向量
（2），即向量的长度为。
（3）若，与的方向相同；
若，与的方向相反；
若，是零向量；
（4）若为零向量，规定。
2.运算规律
（1）结合律：
（2）分配律：
其中，、为实数
（3）的单位向量可写为：
（（其中：为非零向量）
（4）定理1
向量，那么，向量平行于的充分必要条件是：存在唯一实数，使。
证： 充分性：若存在唯一实数，使，则与同向（当）或反向（当），因此必有。
必要性：若，取，有
当与同向时取正值，当与反向时取负值，即有。
再证唯一性，设，又设，两式相减，得
，及。
因，故，即。
定理证毕。
四、空间直角坐标系
（一）空间直角坐标系（坐标系）
过空间一定点，作三条相互垂直的数轴，它们都以点为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴。定点称为坐标原点。
坐标轴的正向通常符合右手法则：即以右手握住轴，当右手的四个手指从轴的正半轴以角度转向轴的正半轴时，大拇指所指方向就是轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了。
（二）坐标面
在空间直角坐标系中，两条坐标轴确定的一个平面称为坐标面，分别为
面、面、面
通常取面位于水平位置，轴竖直向上。
三个坐标面将空间分为个部分，每一部分称为卦限，含有轴、轴与轴正半轴的那个卦限称为第一卦限，个卦限的编号分别用I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示
（三）点的坐标和向量的坐标分解式
1. 点的坐标
设为空间一已知点，过作三个平面分别垂直于轴、轴与轴，这三个平面与轴、轴与轴交于、、三点，点、、在轴、轴与轴的坐标依次为、、，我们把这组数称为点的坐标，记为，并依次称、和为点的横坐标、纵坐标和竖坐标。
特别地，原点的坐标为，
轴、轴、轴上的点的坐标分别为，，，
三个坐标面上的点的坐标分别为，，。
2. 向量的坐标分解式
点关于点的向径：在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向空间一点所引的向量，通常用表示。
基本单位向量：在、、轴的正方向上各取一个单位向量，分别记为、、。
利用向量的加法可得，
所以，
五、利用坐标作向量的线性运算
1.方法
设 ，
即 ，
利用向量加法的交换律与结合律，以及数乘向量的结合律与分配律，有
即
这里为任意实数。
定理1指出，当向量时，向量，相当于，坐标表示式为
这也相当于向量与的坐标成比例：
六、向量的模、方向角、两点距离公式
（1） 向量的模与两点间距离公式
1. 向量的模
任给向量，作向径，则，
点的坐标为，
因此。
2. 两点间距离
分析：已知空间两点和，求和之间的距离
过和各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以
为对角线的长方体，由于及均为直角三角形，所以
所以
例1 求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
证： 因为
所以
故为等腰三角形。
（二）方向角和方向余弦
1. 方向角
非零向量与三条坐标轴的夹角称为向量的方向角
2. 方向余弦
方向角的余弦称为向量的方向余弦，易得
以及关系式
如果是非零向量，则的单位向量，因此
这说明以的三个方向余弦为坐标的向量是的单位向量。
例2 已知两点，，计算向量的模，方向余弦及单位向量。
解：
它的单位向量
例3 已知向量的，求向量。
解： 向量的方向余弦有下列关系
。
由此，解得
。
则向量的坐标为
于是所求向量有两个：。
七、课堂小结
（一）向量的概念
（二）向量的线性运算
（三）空间直角坐标系
（四）利用坐标作向量的线性运算
（五）向量的模、方向角、两点距离公式
八、布置作业
[教学目的]掌握向量概念，会用坐标表示向量，并能用向量代数的基本知识解决问题，弄清空间直角坐标系概念，会求向量的模、方向角、两点距离
[教学重点]向量及其坐标表示
[教学难点]运用向量解决空间问题
[教学过程]
一、问题的提出
在实际问题中，如质量、温度、体积等这样只有大小，没有方向的量，我们称之为数量或标量。此外如物体运动速度、加速度、力和力矩等这样不仅有大小，而且有方向的量，应称作什么呢？应该怎样表示呢？怎样计算出它的大小、确定它的方向呢？
二、向量的概念
向量或矢量：不仅有大小，而且有方向的量（如物体运动速度、加速度、力和力矩等）。
向量的表示：通常用有向线段来表示；
有向线段的长度表示向量的大小；
有向线段的方向表示向量的方向。
以为起点，为终点的有向线段所表示的向量，记为或 、、或黑体字母、、等表示向量。
向量的模：向量的大小。向量、、的模依次记为、、。
零向量：模等于零的向量，记作或，零向量的方向为任意的。
单位向量：模为1的向量，方向与相同的单位向量称为向量的单位向量，记作。
两个向量和称为相等：方向相同且模相等，记作。经过平行移动后能够完全重合的向量是相等的。
自由向量：向量与起点无关，可以在空间自由平移。
的负向量：与向量有相等长度而方向相反的向量，记作。
三、向量的线性运算
（一）向量的加减法
1.向量相加的平行四边形法则
两向量、始于同一点，作以、为邻边的平行四边形，则由始点到对角顶点的向量称为、之和，记为。
2.向量相加的三角形法则
如将平行移动，使其始点与的终点重合，则由的始点到终点的向量叫做、之和。
推广：空间任意有限个向量的和
从第一个向量开始，依次把下一个向量的起点放在前一个向量的终点上，最后从第一个
向量的起点到最末一个向量的终点的有向线段，就是这些向量的和。这种方法叫做向量加法的多边形法则。
3.向量加法的运算规律
（1）交换律：
（2）结合律：
4.两向量的差
向量减向量：向量与向量的负向量之和，
特别地，当时，有
5.向量有关的不等式
由三角形两边之和大于第三边的原理，有
及
其中，当与同向或反向时等号成立。
（二）向量与数的乘法
1.概念：
向量与实数的乘积，记作
（1）是一个向量
（2），即向量的长度为。
（3）若，与的方向相同；
若，与的方向相反；
若，是零向量；
（4）若为零向量，规定。
2.运算规律
（1）结合律：
（2）分配律：
其中，、为实数
（3）的单位向量可写为：
（（其中：为非零向量）
（4）定理1
向量，那么，向量平行于的充分必要条件是：存在唯一实数，使。
证： 充分性：若存在唯一实数，使，则与同向（当）或反向（当），因此必有。
必要性：若，取，有
当与同向时取正值，当与反向时取负值，即有。
再证唯一性，设，又设，两式相减，得
，及。
因，故，即。
定理证毕。
四、空间直角坐标系
（一）空间直角坐标系（坐标系）
过空间一定点，作三条相互垂直的数轴，它们都以点为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为轴（横轴）、轴（纵轴）、轴（竖轴），统称为坐标轴。定点称为坐标原点。
坐标轴的正向通常符合右手法则：即以右手握住轴，当右手的四个手指从轴的正半轴以角度转向轴的正半轴时，大拇指所指方向就是轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了。
（二）坐标面
在空间直角坐标系中，两条坐标轴确定的一个平面称为坐标面，分别为
面、面、面
通常取面位于水平位置，轴竖直向上。
三个坐标面将空间分为个部分，每一部分称为卦限，含有轴、轴与轴正半轴的那个卦限称为第一卦限，个卦限的编号分别用I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示
（三）点的坐标和向量的坐标分解式
1. 点的坐标
设为空间一已知点，过作三个平面分别垂直于轴、轴与轴，这三个平面与轴、轴与轴交于、、三点，点、、在轴、轴与轴的坐标依次为、、，我们把这组数称为点的坐标，记为，并依次称、和为点的横坐标、纵坐标和竖坐标。
特别地，原点的坐标为，
轴、轴、轴上的点的坐标分别为，，，
三个坐标面上的点的坐标分别为，，。
2. 向量的坐标分解式
点关于点的向径：在直角坐标系中，以坐标原点为始点，向空间一点所引的向量，通常用表示。
基本单位向量：在、、轴的正方向上各取一个单位向量，分别记为、、。
利用向量的加法可得，
所以，
五、利用坐标作向量的线性运算
1.方法
设 ，
即 ，
利用向量加法的交换律与结合律，以及数乘向量的结合律与分配律，有
即
这里为任意实数。
定理1指出，当向量时，向量，相当于，坐标表示式为
这也相当于向量与的坐标成比例：
六、向量的模、方向角、两点距离公式
（1） 向量的模与两点间距离公式
1. 向量的模
任给向量，作向径，则，
点的坐标为，
因此。
2. 两点间距离
分析：已知空间两点和，求和之间的距离
过和各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面，这六个平面围成一个以
为对角线的长方体，由于及均为直角三角形，所以
所以
例1 求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
证： 因为
所以
故为等腰三角形。
（二）方向角和方向余弦
1. 方向角
非零向量与三条坐标轴的夹角称为向量的方向角
2. 方向余弦
方向角的余弦称为向量的方向余弦，易得
以及关系式
如果是非零向量，则的单位向量，因此
这说明以的三个方向余弦为坐标的向量是的单位向量。
例2 已知两点，，计算向量的模，方向余弦及单位向量。
解：
它的单位向量
例3 已知向量的，求向量。
解： 向量的方向余弦有下列关系
。
由此，解得
。
则向量的坐标为
于是所求向量有两个：。
七、课堂小结
（一）向量的概念
（二）向量的线性运算
（三）空间直角坐标系
（四）利用坐标作向量的线性运算
（五）向量的模、方向角、两点距离公式
八、布置作业