第一节 向量及其线性运算
[教学目的]掌握向量概念,会用坐标表示向量,并能用向量代数的基本知识解决问题,弄清空间直角坐标系概念,会求向量的模、方向角、两点距离
[教学重点]向量及其坐标表示
[教学难点]运用向量解决空间问题
[教学过程]
一、问题的提出
在实际问题中,如质量、温度、体积等这样只有大小,没有方向的量,我们称之为数量或标量。此外如物体运动速度、加速度、力和力矩等这样不仅有大小,而且有方向的量,应称作什么呢?应该怎样表示呢?怎样计算出它的大小、确定它的方向呢?
二、向量的概念
向量或矢量:不仅有大小,而且有方向的量(如物体运动速度、加速度、力和力矩等)。
向量的表示:通常用有向线段来表示;
有向线段的长度表示向量的大小;
有向线段的方向表示向量的方向。
以为起点,为终点的有向线段所表示的向量,记为或 、、或黑体字母、、等表示向量。
向量的模:向量的大小。向量、、的模依次记为、、。
零向量:模等于零的向量,记作或,零向量的方向为任意的。
单位向量:模为1的向量,方向与相同的单位向量称为向量的单位向量,记作。
两个向量和称为相等:方向相同且模相等,记作。经过平行移动后能够完全重合的向量是相等的。
自由向量:向量与起点无关,可以在空间自由平移。
的负向量:与向量有相等长度而方向相反的向量,记作。
三、向量的线性运算
(一)向量的加减法
1.向量相加的平行四边形法则
两向量、始于同一点,作以、为邻边的平行四边形,则由始点到对角顶点的向量称为、之和,记为。
2.向量相加的三角形法则
如将平行移动,使其始点与的终点重合,则由的始点到终点的向量叫做、之和。
推广:空间任意有限个向量的和
从第一个向量开始,依次把下一个向量的起点放在前一个向量的终点上,最后从第一个
向量的起点到最末一个向量的终点的有向线段,就是这些向量的和。这种方法叫做向量加法的多边形法则。
3.向量加法的运算规律
(1)交换律:
(2)结合律:
4.两向量的差
向量减向量:向量与向量的负向量之和,
特别地,当时,有
5.向量有关的不等式
由三角形两边之和大于第三边的原理,有
及
其中,当与同向或反向时等号成立。
(二)向量与数的乘法
1.概念:
向量与实数的乘积,记作
(1)是一个向量
(2),即向量的长度为。
(3)若,与的方向相同;
若,与的方向相反;
若,是零向量;
(4)若为零向量,规定。
2.运算规律
(1)结合律:
(2)分配律:
其中,、为实数
(3)的单位向量可写为:
((其中:为非零向量)
(4)定理1
向量,那么,向量平行于的充分必要条件是:存在唯一实数,使。
证: 充分性:若存在唯一实数,使,则与同向(当)或反向(当),因此必有。
必要性:若,取,有
当与同向时取正值,当与反向时取负值,即有。
再证唯一性,设,又设,两式相减,得
,及。
因,故,即。
定理证毕。
四、空间直角坐标系
(一)空间直角坐标系(坐标系)
过空间一定点,作三条相互垂直的数轴,它们都以点为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为轴(横轴)、轴(纵轴)、轴(竖轴),统称为坐标轴。定点称为坐标原点。
坐标轴的正向通常符合右手法则:即以右手握住轴,当右手的四个手指从轴的正半轴以角度转向轴的正半轴时,大拇指所指方向就是轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了。
(二)坐标面
在空间直角坐标系中,两条坐标轴确定的一个平面称为坐标面,分别为
面、面、面
通常取面位于水平位置,轴竖直向上。
三个坐标面将空间分为个部分,每一部分称为卦限,含有轴、轴与轴正半轴的那个卦限称为第一卦限,个卦限的编号分别用I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示
(三)点的坐标和向量的坐标分解式
1. 点的坐标
设为空间一已知点,过作三个平面分别垂直于轴、轴与轴,这三个平面与轴、轴与轴交于、、三点,点、、在轴、轴与轴的坐标依次为、、,我们把这组数称为点的坐标,记为,并依次称、和为点的横坐标、纵坐标和竖坐标。
特别地,原点的坐标为,
轴、轴、轴上的点的坐标分别为,,,
三个坐标面上的点的坐标分别为,,。
2. 向量的坐标分解式
点关于点的向径:在直角坐标系中,以坐标原点为始点,向空间一点所引的向量,通常用表示。
基本单位向量:在、、轴的正方向上各取一个单位向量,分别记为、、。
利用向量的加法可得,
所以,
五、利用坐标作向量的线性运算
1.方法
设 ,
即 ,
利用向量加法的交换律与结合律,以及数乘向量的结合律与分配律,有
即
这里为任意实数。
定理1指出,当向量时,向量,相当于,坐标表示式为
这也相当于向量与的坐标成比例:
六、向量的模、方向角、两点距离公式
(1) 向量的模与两点间距离公式
1. 向量的模
任给向量,作向径,则,
点的坐标为,
因此。
2. 两点间距离
分析:已知空间两点和,求和之间的距离
过和各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面,这六个平面围成一个以
为对角线的长方体,由于及均为直角三角形,所以
所以
例1 求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
证: 因为
所以
故为等腰三角形。
(二)方向角和方向余弦
1. 方向角
非零向量与三条坐标轴的夹角称为向量的方向角
2. 方向余弦
方向角的余弦称为向量的方向余弦,易得
以及关系式
如果是非零向量,则的单位向量,因此
这说明以的三个方向余弦为坐标的向量是的单位向量。
例2 已知两点,,计算向量的模,方向余弦及单位向量。
解:
它的单位向量
例3 已知向量的,求向量。
解: 向量的方向余弦有下列关系
。
由此,解得
。
则向量的坐标为
于是所求向量有两个:。
七、课堂小结
(一)向量的概念
(二)向量的线性运算
(三)空间直角坐标系
(四)利用坐标作向量的线性运算
(五)向量的模、方向角、两点距离公式
八、布置作业