1.2矩形的性质与判定（第一课时）矩形的性质课件（34张PPT） 2023-2024学年北师大版九年级数学上册

(共34张PPT)
1.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
第一章 特殊的平行四边形
创设情境，导入新课
平行四边形有哪些性质？
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
中心对称图形
边
角
对角线
对称性
根据四边形的不稳定性，观察在平行四边形的变化过程中，当有一个角是直角时，会产生什么特殊的平行四边形？
不变：
变：
对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形.
角的大小.
探究新知，经历过程
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形与四边形、平行四边形的关系
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一个角
是直角
矩形
你能用集合表示它们之间的关系吗？
四边形
平行四边形
矩 形
韦恩图：
边 角 对角线 对称性
矩形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
中心对称
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？
想一想
（2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
活动1 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
矩形的性质：
对称性： 图形，对称轴： 条.
轴对称
2
活动2：准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
（3）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流.
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC
与 DB 相交于点 O。
求证（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD.
证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，
∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等），
AB∥DC（矩形的对边平行）.
∴∠ABC +∠BCD = 180°.
又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°.
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC
与 DB 相交于点 O。
求证（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；（2）AC = BD.
（2）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AB = DC（矩形的对边相等），
在△ABC 和 △DCB 中，
∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌∠DCB.
∴AC = DB.
矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质：
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
知识要点
矩形的性质
矩形的对边平行且相等.
角
对角线
边
矩形的对角线相等.
矩形的对角线互相平分.
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角相等.
对称性
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.
（1） 矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？ （2）在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？ （3）你能发现它有什么特殊的性质吗？
（4）你能借助于矩形加以证明吗？
议一议
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等）
OA = OC = AC，OB = OD = BD，
∴OA = OD.
∵∠AOD = 120°，
∴∠ODA =∠OAD = (180° - 120°) = 30°.
∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5.
A
B
C
D
O
典例精析
例2 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD，
DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接 DE.
∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE =∠CED.
∴∠CED =∠AED.
又∵ DE=DE，∠DFE=∠C=90°
∴△ DEF≌△DEC(AAS) ∴ DF = DC.
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于
点 O，下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
练一练
直角三角形斜边上的中线的性质
A 　
B 　
C 　
D 　
E 　
活动3：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E.
B
C
E
A
问题 BE 是一条怎样的线段？
它的长度与斜边AC有什么关系？
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
由此你能得到怎样的结论
2
证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE，
连接 AD，CD.
∵AE = EC，BE = ED，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
∵∠ABC = 90°，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD.
如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC.
∴ BE = BD = AC.
E
C
B
A
D
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
1. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC 与BD 相交于
点 O，AB=6，OA=4. 求 BD 与 AD 的长.
【选自教材P13 随堂练习】
巩固练习，深化提高
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD（矩形的对角线相等），
∴BD = 2AO = 8，
在 Rt△ABD 中，AD2 + AB2 = BD2，
AD2 + 62 = 82，
∴AD = .
【选自教材P13 习题1.4 第1题】
2. 一个矩形的对角线长为 6 ，对角线与一边的夹角是 45°，
求这个矩形的各边长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A = 90°，
又∵∠ABD = 45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB = AD，AB2 + AD2 = 62，
∴AB = AD = BC = CD = .
【选自教材P13 习题1.4 第2题】
3. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长
为 15，求这个矩形较短边的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD = 15，∴OD = OC = 7.5，
又∵∠COD = 60，
∴△COD是等边三角形，
∴ CD = 7.5 .
【选自教材P13 习题1.4 第3题】
4. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论.
解：四边形 ADCE 是菱形，
证明：∵ AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形 ADCE 为平行四边形.
又∵在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，
D 为 AB 中点，
∴ AD = CD . ∴四边形 ADCE 为菱形.
【选自教材P134 习题1.4 第4题】
5. 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形.
证明：如图，在△ABC 中，AC边的中线 BD 等于 AC 的一半，则 AD = BD = DC，
∴∠1=∠A，∠2=∠C.
又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°，
故△ABC 为直角三角形.
例3 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是 AB、AC 的中点．
(1)若 AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF
的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4.
∴四边形AEDF的周长为 AE＋DE＋DF＋AF
＝5＋5＋4＋4＝18.
(2)求证：EF 垂直平分 AD.
证明：∵ DE＝AE，DF＝AF，
∴ E、F 在线段 AD 的垂直平分线上，
∴ EF 垂直平分 AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想到直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
总结
直角三角形斜边上的中线的性质常见模型
归纳总结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( )
A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定
3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° （提示：外角定理）
A
C
C
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm．
2.5
5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为 AB 中点，若 DE = 5，AE = 8，则 BE 的长为______．
6
第4题图
第5题图
6. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
（1）求证：BD = BE；
（2）若∠DBC = 30°，BO = 4，求四边形 ABED 的面积.
A
B
C
D
O
E
(1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，AB∥CD.
又∵ BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴ AC = BE.
∴ BD = BE.
(2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4，
∴ BD = 2BO = 2×4 = 8.
∵∠DBC = 30°，∠DCB=90°
∴ CD = BD = ×8 = 4，∠BDC=60°
∴ AB = CD = 4，∵BD=BE，∠BDC=60°
∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=8
在 Rt△BCD 中，BC =
∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = .
A
B
C
D
O
E
课堂小结
这节课你们都学会了哪些知识？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
矩形的性质：
具有平行四边形的一切特征.
四个角都是直角.
对角线相等且平分.
直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.