2024-2025学年贵州省遵义市红花岗区高二（上）开学数学试卷(含答案）

2024-2025学年贵州省遵义市红花岗区高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且斜率为的直线的点斜式方程为( )
A. B.
C. D.
2.直线：与：的交点坐标是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.若直线：与：平行，则它们之间的距离为( )
A. B. C. D.
5.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
6.若直线：经过第四象限，则的取值范围为( )
A. B. ，
C. D.
7.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
8.已知为直线上的一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，分别为，的中点，则( )
A. 在方向上的投影向量为
B. 在方向上的投影向量为
C. 在方向上的投影向量为
D. 在方向上的投影向量为
10.直线：与：在同一平面直角坐标系内的位置可能是( )
A. B. C. D.
11.若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为( )
A. B. C. D.
12.在空间直角坐标系中，若，，，四点可以构成一个平行四边形，则点的坐标可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______．
14.已知，，三点在同一条直线上，则 ______．
15.如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为的正方形，则 ______．
16.某公园的示意图为如图所示的六边形，其中，，，，且，米，米若计划在该公园内建一个有一条边在上的矩形娱乐健身区域，则该娱乐健身区域面积单位：平方米的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线经过点．
若与直线：垂直，求的方程；
若在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
18.本小题分
九章算术中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑中，平面，平面，为的中点，．
设，，，用，，表示；
若，求．
19.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是菱形，且，，，分别为，，的中点，．
求直线与所成角的余弦值；
求点到平面的距离．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，四边形为等腰梯形，，点，．
求点的坐标；
求等腰梯形的面积．
21.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别是，的中点，是上一点．
证明：平面．
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
22.本小题分
已知的三个顶点是，，．
过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程；
求的角平分线所在直线的方程．
参考答案
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14.．
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17.解：由题可知，的斜率为，
设的斜率为，因为，所以，则，
又经过点，所以的方程为，即；
若在两坐标轴上的截距为，即经过原点，设的方程为，
将代入解析式得，解得，
故的方程为，
若在两坐标轴上的截距不为，则设的方程为，
由，得，
故的方程为，
综上，的方程为或．
18.解：连接，，如图，，
因为为的中点，，
所以，，
所以
；
因为，
所以，
因为平面，平面，且，平面，平面，
所以，，，
又因为，
所以，即．
19.解：连接，因为底面是菱形，
所以，
因为，分别为，的中点，
所以，
则平面，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，
得，，，，
则，，
可得，，
故直线与所成角的余弦值为；
由知，
设平面的法向量为，
则
令，得，
所以点到平面的距离为．
20.解：因为，所以．
又，所以直线的方程为．
设，由，得，
解得或．
当时，，不符合题意．
当时，与不平行，符合题意，故点的坐标为．
，，
点到直线：的距离，
故等腰梯形的面积．
21.证明：取的中点，连接，，如图所示：
因为是的中点，所以，且；
又因为四边形为正方形，是的中点，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，；
设，则，
，；
因为，所以，解得，
所以，，；
设平面的法向量为，则，
令，得；
设平面的法向量为，则，
令，得，计算，，
因为两平面的夹角范围是，所以平面与平面夹角的余弦值为．
22.解：因为的面积是面积的倍，所以，
设，则，，
则，解得，
故直线的方程为，即．
显然，的斜率存在且不为零，设的方程为，
则过点且与垂直的直线的方程为．
设点关于直线对称的点为，因为直线的方程为，
所以，
整理得．
因为，所以，解得或．
又，，所以，
故直线的方程为，即．
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