2024-2025学年浙江省名校协作体高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省名校协作体高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.记复数的共轭复数为，若，则( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A. 两人都中靶的概率为 B. 两人都不中靶的概率为
C. 恰有一人中靶的概率为 D. 至少一人中靶的概率为
4.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个互相垂直的平面，，是两条直线，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.设函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则下列说法正确的个数有( )
二面角的大小为常数 二面角的大小为常数
二面角的大小为常数
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某次校十佳歌手评比中，位评委给出的分数分别为，，，，计算得平均数，方差，现去掉一个最高分分和一个最低分分后，对新数据下列说法正确的是( )
A. 极差变大 B. 中位数不变 C. 平均数变小 D. 方差变大
10.已知，，分别是三个内角，，的对边，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则
C. 若是所在平面内的一点，且，则是直角三角形
D. 若，，则的最大值是
11.四面体中，，，，记四面体外接球的表面积为，当变化时，则( )
A. 当时，
B. 当四面体体积最大时，
C. 可以是
D. 可以是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______．
13.已知，且，则的最小值为______．
14.在正四面体中，，分别为，的中点，，截面将四面体分成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，．
Ⅰ当时求集合；
Ⅱ若，求的取值范围．
16.本小题分
为了了解某项活动的工作强度，随机调查了参与活动的名志愿者，统计他们参加志愿者服务的时间单位：小时，并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图．
Ⅰ估计志愿者服务时间不低于小时的概率；
Ⅱ估计这名志愿者服务时间的众数，平均数同一组数据用该组数据的中点值代替；
Ⅲ估计这名志愿者服务时间的第百分位数结果保留两位小数．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调递减区间；
Ⅱ将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值．
18.本小题分
如图，已知四棱锥中，，，，且．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ若平面与平面垂直，，求四棱锥的体积．
19.本小题分
已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”设，．
Ⅰ判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由；
Ⅱ当时，若函数与的图象恰有一个交点，求的值；
Ⅲ当时，设，已知在上有两个零点，，证明：．
参考答案
1.
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14.：
15.解：当时，；
Ⅱ因为，，
当时，，，
若，则，即；
当时，，，
若，则或，此时满足，
若，则或，此时满足，
若，则，此时满足，
若，，此时不满足，
综上，的范围为或
16.解：Ⅰ根据题意可得，，
愿者服务时间不低于小时的频率为，
估计志愿者服务时间不低于小时的概率为；
Ⅱ估计这名志愿者服务时间的众数为小时；
估计这名志愿者服务时间的平均数为：
小时；
Ⅲ前几组的频率依次为，，，，
估计这名志愿者服务时间的第百分位数为：
小时．
17.解：
，
Ⅰ令，，
则，，
故函数的单调递减区间为，；
Ⅱ将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变，再向右平移个单位，
得到函数的图象，
若且，
则，，
所以，
．
18.解；证明：取的中点，连接，，，
因为，，，
所以≌，且，
所以，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
过作延长线于一点，
由知平面，平面，
则平面平面，故为直线与平面所成角，
在等腰直角中，，则，，
在中，，
，
在中，，
在中，，
．
直线与平面所成角的正弦值为．
由知平面平面，又平面平面，
则平面与平面重合，即，，，四点共线，
在中，，
，
在中，，
，
四边形的面积为：
，
由知平面，故为四棱锥的高，
四棱锥的体积．
19.解：Ⅰ是．理由如下：
，，，
，所以，
故是“反比例对称函数”．
Ⅱ法一当时，，
则在为减函数，在为增函数，
因为，
则在在为增函数，为减函数，
记，
则在为增函数，为减函数，
所以，
且时，时，
因为只有一个零点，所以，
所以．
法二当时，，
因为函数与的图像恰有一个交点，
即有一个解，
得，
令，得仅有一个解，
显然，
因为，则有，
要使仅有一个解，只需，或舍，
所以．
Ⅲ证明：因为在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以，故在上单调递减，
在上至多有一个零点．
在上有两个零点，，不妨设，
下分情况讨论：
，结论成立；
，则，
设，此时，
由，得到，也即，
因为，所以，
因为，由在上单调递减，
所以，即，得证．
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