人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.3二次函数的性质【九大题型】(学生版+解析)

专题22.3 二次函数的性质【九大题型】
【人教版】
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 2
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】 2
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 3
【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 3
【题型5 根据二次函数的性质求最值】 4
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 4
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】 5
【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 5
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】 6
知识点1：二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当＞0时，抛物线开口向上；当＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；||越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) （，）
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。
增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（23-24九年级·河北保定·期中）对于抛物线，有下列四个判断：（1）抛物线的开口向下；（2）抛物线的顶点坐标是；（3）对称轴为直线；（4）当时，．其中，正确的判断个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象经过第一、三象限
B．函数图象有最高点
C．函数图象的对称轴是直线
D．当时，y随x的增大而减小
【变式1-2】（23-24·天津滨海新·二模）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
【变式1-3】（23-24·安徽宿州·一模）对于抛物线有下列说法：①顶点坐标为；②开口方向向上；③当时，随的增大减小；④与轴有两个不同交点，其中说法正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】
【例2】（23-24·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（23-24九年级·贵州黔东南·期末）二次函数的图象上有两点、，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．、的大小不确定
【变式2-2】（23-24九年级·福建漳州·期末）已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（ ）
A．可能最大，不可能最小 B．可能最大，也可能最小
C．可能最大，不可能最小 D．不可能最大，可能最小
【变式2-3】（23-24·浙江宁波·二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级·福建福州·期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（ ）
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【变式3-1】（23-24·福建莆田·一模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【变式3-2】（23-24九年级·北京东城·期中）已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ．
【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知点，点都在关于x的函数的图象上，且，则n的取值范围是 ．
【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】
【例4】（23-24·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为
【变式4-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大、已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 .
【变式4-3】（23-24·福建厦门·模拟预测）抛物线 过四个点，若，四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（ ）
A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为
C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为
【变式5-1】（23-24·山东枣庄·二模）点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）若二次函数的最大值是5，则的最小值为 ．
【变式5-3】（23-24·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】
【例6】（23-24·河北邢台·三模）点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（23-24·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知二次函数，在有最大值7，则所有满足条件的实数的值为 ．
【变式6-3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数 的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数 的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】
【例7】（23-24九年级·陕西西安·期中）若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【变式7-1】（23-24九年级·福建龙岩·阶段练习）抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点坐标为 ．
【变式7-2】（23-24九年级·山东济宁·期中）已知二次函数的对称轴为直线，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式7-3】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是 ．
【题型8 待定系数法求二次函数解析式】
【例8】（23-24九年级·江苏苏州·期末）已知二次函数图像经过点
(1) ； ； ；
(2)连接AC，将抛物线沿着直线AC方向平移后经过点，求平移后新抛物线的顶点．
【变式8-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）抛物线顶点，与x轴交于A、B两点，且．

(1)求y1的解析式及A、B间距离．
(2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且．求出新坐标系下抛物线的解析式及n值．
【变式8-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表：
… 0 2 3 …
… 5 0 0 …
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；
(2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知二次函数．
(1)当，时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求x的取值范围．
(2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】
【例9】（23-24九年级·四川德阳·期中）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ．
【变式9-1】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为 ．
【变式9-2】（23-24九年级·山东济宁·期末）如图，已知二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏连云港·期末）如图1，抛物线与x轴交于点、．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）如图1，点C是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C作轴，P为垂足，求的最大值；
（3）如图2，设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为，问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段绕点M顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题22.3 二次函数的性质【九大题型】
【人教版】
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】 2
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】 4
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】 7
【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】 9
【题型5 根据二次函数的性质求最值】 12
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】 15
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】 18
【题型8 待定系数法求二次函数解析式】 21
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】 25
知识点1：二次函数的性质
二次函数的图象是一条抛物线。当＞0时，抛物线开口向上；当＜0时，抛物线开口向下。|a|越大，抛物线的开口越小；||越小，抛物线的开口越大。
y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h
顶点 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) （，）
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值。 最小值(或最大值)为0(k或)。
增 减 性 a>0 x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
a<0 x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。 即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。
【题型1 根据二次函数解析式判断其性质】
【例1】（23-24九年级·河北保定·期中）对于抛物线，有下列四个判断：（1）抛物线的开口向下；（2）抛物线的顶点坐标是；（3）对称轴为直线；（4）当时，．其中，正确的判断个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键在于熟知对于二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
【详解】解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故（1）（3）正确，（2）错误，
当时，，故（4）错误，
故选C．
【变式1-1】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．该函数图象经过第一、三象限
B．函数图象有最高点
C．函数图象的对称轴是直线
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】∵，
∴，抛物线的开口向下，顶点坐标是，经过三、四象限，故选项A错误；
函数图象有最高点，故选项B正确；
对称轴是，故选项C错误；
抛物线的开口向下，对称轴是，当时，y随x的增大而增大，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
【变式1-2】（23-24·天津滨海新·二模）已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
【答案】B
【分析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.
【变式1-3】（23-24·安徽宿州·一模）对于抛物线有下列说法：①顶点坐标为；②开口方向向上；③当时，随的增大减小；④与轴有两个不同交点，其中说法正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图像和判别式的性质，依次对各个选项分析，即可得到答案．
【详解】∵顶点坐标为：
∴①的结论错误；
∵的二次项系数为：1
∴开口方向向上，②结论正确；
∵当时，随的增大而增大
∴③的结论错误；
∵判断和轴有两个不同交点，即判断有两个不相等的实数根
∵
∴有两个不相等的实数根
∴与轴有两个不同交点
∴④的结论正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程判别式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．
【题型2 根据二次函数的性质比较大小】
【例2】（23-24·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
本题考查抛物线的性质，根据点和点在抛物线上得到，，表示出 ，， ，，，结合判断式子与0的关系即可得到答案；
【详解】解：∵点和点在抛物线上，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，在该抛物线上，
∴， ，
，，
∴，，，，
∴，
故选：D．
【变式2-1】（23-24九年级·贵州黔东南·期末）二次函数的图象上有两点、，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．、的大小不确定
【答案】A
【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，
∵，，
∴，
∴点A离二次函数的对称轴更远，
∵二次函数的开口向下，离抛物线对称轴越近其所对的函数值越大，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·福建漳州·期末）已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（ ）
A．可能最大，不可能最小 B．可能最大，也可能最小
C．可能最大，不可能最小 D．不可能最大，可能最小
【答案】B
【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分和两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可．
【详解】解：在中，
对称轴为直线，
令，解得：，，
∴函数图像与x轴交于，，
∵，
∴离对称轴最远，离对称轴最近，
当时，开口向上，
∴；
当时，开口向下，
∴；
∴和可能最大，也可能最小，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析．
【变式2-3】（23-24·浙江宁波·二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，．
【详解】解：∵，
∴，
∴当时，有最大值为，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线，
设的对称点为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小．
【题型3 根据二次函数的对称性求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级·福建福州·期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（ ）
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【答案】A
【分析】由当＝1，＝3时，y1＝y2可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1＋y2的最小值，进而求解．
【详解】∵当＝1，x2＝3时，．
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝﹣4x＋c＝＋c﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），
∴当y1＝y2＝c﹣4时，y1＋y2取最小值为2c﹣8，
∴2c﹣8≥2，
解得c≥5．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【变式3-1】（23-24·福建莆田·一模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当且时，都有，
∴且时，都有，
∴且，解得；
∴m的取值范围为，
故选：D．
【变式3-2】（23-24九年级·北京东城·期中）已知抛物线经过，两点．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解答本题的关键．
根据抛物线经过点，，求出对称轴，再根据抛物线性质即可解答．
【详解】解：∵抛物线经过点，，
∴对称轴为，
∵，
∴当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大，
∵，是抛物线上的两点是该抛物线上的两点，且，
∴根据对称性可得P点对称点，
∴或．
故答案为：或．
【变式3-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知点，点都在关于x的函数的图象上，且，则n的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据抛物线的对称轴，求出的值，进而得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为：，
∵点，点都在抛物线上，且函数值相同，
∴两个点关于对称轴对称，
∴，解得：；
∴，
∴，
∵，对称轴为，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴当时，有最大值为，当时，有最小值为：；
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据抛物线的对称性求出的值．
【题型4 根据二次函数的增减性求字母的取值范围】
【例4】（23-24·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为
【答案】
【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【详解】解：∵
，
∴对称轴为，
∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上，
∴，顶点坐标为，最小值为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．先求出对称轴，再根据当时，y随x的增大而减小，得出，求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，且抛物线开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
解得：．
故答案为：．
【变式4-2】（23-24九年级·吉林长春·期中）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大、已知此二次函数的图象上有一点，则m的取值范围为 .
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数的性质，先得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而增大，可得．根据题意有，即，问题随之得解．
【详解】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当时，随的增大而增大，
∴，即．
∵点在二次函数的图象上，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式4-3】（23-24·福建厦门·模拟预测）抛物线 过四个点，若，四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
依据题意，可得抛物线的对称轴是直线，又当时，，从而，且当时，，故，然后分和两种情形讨论，结合四个数中有且只有一个大于零，即可判断得解．
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线．
又当时，
∴，且当时，．
∴．
①若，则当时，y随x的增大而增大．
∵，
∴．
∵四个数中有且只有一个大于零，
又，
∴
∴．
∴
②若，
则当时，y随x的增大而减小．
∵
∴．
∴四个数中没有一个大于0，不合题意．
故选：D．
【题型5 根据二次函数的性质求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江杭州·阶段练习）设二次函数（，m，k是实数），则（ ）
A．当时，函数y的最大值为 B．当时，函数y的最大值为
C．当时，函数y的最大值为 D．当时，函数y的最大值为
【答案】C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、求二次函数的最值，求出二次函数与x轴的交点坐标是．得到二次函数的对称轴是直线．根据开口方向进一步求出最值即可．
【详解】解：由题意，令，
∴，
∴．
∴二次函数与x轴的交点坐标是．
∴二次函数的对称轴是：直线．
∵，
∴y有最大值．
当，y最大，
即
当时，函数y的最大值为；
当时，函数y的最大值为．
综上，C选项正确．
故选：C．
【变式5-1】（23-24·山东枣庄·二模）点在以直线为对称轴的二次函数的图象上，则的最大值等于 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值．根据对称轴公式求出，把代入解析式得，用含t的式子表示出，找到最大值即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
∴
，
∴当时，取最大值，最大值为，
故答案为：．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）若二次函数的最大值是5，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，由题意得出，当时，最大，为，从而得出，将化为，利用二次函数的性质即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：二次函数有最大值，
，
，
当时，最大，为，
二次函数的最大值是5，
，
，
，
，抛物线开口向上，
当时，最小，为，
故答案为：．
【变式5-3】（23-24·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为轴是解题的关键．
由题意可知对称轴为轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的，
得到的最小值为，无最大值．
【详解】二次函数的图象经过点，，，
对称轴为直线，
，，
，
把，代入得，
解得：．
当时，该函数有最大值和最小值，
时，取最大值，
时，取最小值，
，
又 ，
的最小值为，无最大值．
故选B．
【题型6 根据二次函数的最值求字母的取值范围】
【例6】（23-24·河北邢台·三模）点，在函数的图像上，当时，函数的最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围．
本题主要考查了在一定范围内讨论二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图像的特征是解题的关键．
【详解】由，得抛物线的对称轴为，顶点坐标为．
由题意得A点在B点的左边．
如图3，当点B与顶点重合时，，解得；
当点A，B对称时，．此时若函数的最大值为4，最小值为；
当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近，
，
解得，
∴a的取值范围是．
故选D．
【变式6-1】（23-24·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数值的最大值为，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出对称点，根据二次函数的性质求出的取值范围．
【详解】解：二次函数的对称轴，
令，，
点关于直线的对称点为，
如图：
，
开口向上，
当时，函数值的最大值为，
，
故答案为：．
【变式6-2】（23-24九年级·浙江温州·期中）已知二次函数，在有最大值7，则所有满足条件的实数的值为 ．
【答案】9或
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的性质四种情况讨论，即可求解．
【详解】解：
，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
∵在有最大值7，抛物线开口向上，
∴当，即时，，
此时，（舍去）；
当，即时，
若，即，
此时，解得：（舍去）；
若，即，
此时，解得：（舍去）；
此时，解得：；
当，即时，
此时，解得：；
综上所述，a的值为9或．
故答案为：9或
【变式6-3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数 的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数 的最小值为，最大值为，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质及根的判别式等知识，利用数形结合和分类讨论是解题的关键．
由完美点的概念和根的判别式求出和的值，再由抛物线的解析式求出顶点坐标和与坐标轴的交点坐标，根据函数值，即可求得的取值范围．
【详解】解：令，即，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴，则，
又方程根为，
∴，，
∴函数，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为，
与轴交点为，根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点，
在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；且当时，函数的最大值为，最小值为，则．
故选：B．
【题型7 由二次函数的对称性求函数值或对称轴】
【例7】（23-24九年级·陕西西安·期中）若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，，则n的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线．故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求的值．
【详解】解：抛物线过点、，
对称轴是直线，
又抛物线与轴只有一个交点，
顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入，得：
，
即．
故选：A．
【变式7-1】（23-24九年级·福建龙岩·阶段练习）抛物线与轴的一个交点为，则另一个交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意，得出该抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
该抛物线的对称轴为直线，
设另一个交点横坐标为，
∵抛物线与轴的一个交点为，
∴，
解得：，
∴另一个交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的对称轴，解题的关键是掌握二次函数图象的对称轴为直线．
【变式7-2】（23-24九年级·山东济宁·期中）已知二次函数的对称轴为直线，则的值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的对称性；先求得与轴的两个交点坐标，进而根据对称性得出对称轴，根据题意建立方程，即可求解．
【详解】解：当时，
解得：，即抛物线与轴的交点坐标为，
∵抛物线的对称轴为直线
∴
故选：B．
【变式7-3】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点在线段AB上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是 ．
【答案】2
【分析】根据题意得出当P与A点重合时，取得最小值，即是该抛物线的顶点，且经过点，求得该抛物线的解析式的对称轴与的长度，同理得出当P与B点重合时，取得最大值，利用二次函数与x轴的交点及对称性，即可求解．
【详解】解：当抛物线的顶点与A点重合时，的最小值是，
根据题意知是该抛物线的顶点，且经过点，
此时，设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，
∴此时，
∴，
当抛物线的顶点与B点重合时，取得最大值，
根据题意知是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为，抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，利用抛物线的对称性解题是关键．
【题型8 待定系数法求二次函数解析式】
【例8】（23-24九年级·江苏苏州·期末）已知二次函数图像经过点
(1) ； ； ；
(2)连接AC，将抛物线沿着直线AC方向平移后经过点，求平移后新抛物线的顶点．
【答案】(1)1；；3
(2)或
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移：
（1）把代入，求出的值即可；
（2）先求出直线的解析式，则平移时的抛物线的顶点在与直线平行的直线上，求出解析式为，设平移后的顶点坐标为，得抛物线的解析式为，代入，求出m的值即可．
【详解】（1）解：把代入，得：
，
解得，，
故答案为：1；；3；
（2）解：设直线的解析式为：，
把，代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为：，
又由（1）得原抛物线的解析式为，
∴原抛物线顶点，
∵平移时的抛物线的顶点在与直线平行的直线上，
∴设平移时的抛物线的顶点所在直线解析式为，
把代入得，，
∴，
∴平移时的抛物线的顶点所在直线解析式为，
设平移后的顶点坐标为，
∴新抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得，或6，
∴平移时的抛物线的顶点坐标为或．
【变式8-1】（23-24九年级·河北邯郸·期末）抛物线顶点，与x轴交于A、B两点，且．

(1)求y1的解析式及A、B间距离．
(2)将x轴向下平移n个单位后得新坐标系，此时x轴与抛物线交于C、D两点，且．求出新坐标系下抛物线的解析式及n值．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，熟悉二次函数的性质和平移的特点是解题的关键．
（1）由待定系数法求出函数的表达式，进而求出点的坐标，最后根据两点间的距离公式，即可求解；
（2）由题意得，令，求出，则，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：，
将点代入得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
根据函数的对称性，点，
则；
（2）由题意得，，
令，则，
则，
则，
解得：，
则．
【变式8-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如下表：
… 0 2 3 …
… 5 0 0 …
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；
(2)点为抛物线上一点，抛物线与轴交于、两点，若，求出此时点的坐标．
【答案】(1)二次函数解析式为，顶点坐标为
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、坐标与图形、求二次函数解析式及顶点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）根据“当和时，”，设二次函数，根据时，，代入求出，得出二次函数解析式，再求出顶点坐标即可；
（2）根据和，求出，根据三角形面积公式、坐标与图形，得出点的纵坐标为或，当点的纵坐标为时，，求解得出点的坐标即可；根据二次函数解析式为，顶点坐标为，是最低点，判断当点的纵坐标为时的情况不存在．
【详解】（1）解：∵当和时，，
∴设二次函数，
∵时，，
∴代入得：，即，
解得：，
∴二次函数解析式为，即，
∴，，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵抛物线与轴交于、两点，由表格得和，
∴，
∵，
∴点到的距离，
∴点的纵坐标为或，
∵点为抛物线上一点，
∴当点的纵坐标为时，，即，
解得：，
∴点的坐标为或；
∵二次函数解析式为，顶点坐标为，
当点的纵坐标为时的情况不存在；
综上所述，点的坐标为或．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江金华·期末）已知二次函数．
(1)当，时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当时，求x的取值范围．
(2)当时，y的最小值为；当时，y的最小值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①；②或
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，（1）①将，代入解析式再平方成顶点式即可得到答案；②根据抛物线开口方向解答时，自变量取值范围即可．
（2）根据确定开口方向，再根据时，y的最小值为3得到c值，从对称轴代入解析式解出b值即可．
【详解】（1）解：①当，时，解析式为，
该函数的顶点坐标为；
②抛物线，开口向上，对称轴为直线，
当时，即，
解不等式得：或，
（2）∵二次函数开口向上，当时，y的最小值为3，
∴时，，
∵当时，y的最小值为；
∴时，，代入得：
，
，
∴，
∵对称轴在y轴左侧，a、b同号，，
∴，
故抛物线解析式为：．
【题型9 由二次函数的对称性求最短路径】
【例9】（23-24九年级·四川德阳·期中）如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上有一动点E，连接和，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了根据轴对称求线段和最小，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求对称轴，先作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接，根据确定最小值，再求出点A，C的坐标，然后根据对称性求出点D的坐标，最后根据两点之间距离公式求出答案．
【详解】
解：如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D，连接，连接 ，
则，
令，
解得，，
∴．
令，则，
∴．
又∵抛物线对称轴为直线，点C与点D关于对称轴对称，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【变式9-1】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），点C为抛物线上任意一点（不与A，B重合），为的边上的高线，抛物线顶点与点的最小距离为1，则抛物线解析式为 ．
【答案】
【分析】根据题意可确定出A，B两点的坐标，从而求出对称轴为x=1，依题意要使DE最小则D点必在对称轴上，从而根据题意画出图形求解即可．
【详解】解：如图所示，使DE最小则D点必在对称轴x=1上，过点E作EF⊥AB，则AF=BF，
∴AD=BD，
∵为的边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBF=∠BDF=45°，
∴DF=BF=2．
当x=1时，y=-4a，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴EF=4a．
∵DE=1，
∴4a-2=1
解得：a=．
∴抛物线解析式为
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，结图象求最值问题，利用好数形结合找出最小值的点是解题的关键．
【变式9-2】（23-24九年级·山东济宁·期末）如图，已知二次函数图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点Q在线段OB上（不与点O、B重合），过点Q作QM⊥x轴交抛物线于点M，交线段BC于点N，求线段MN的最大值，及此时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)MN取得最大值为，
【分析】（1）直接将三点坐标代入解析式求解，即可求得解析式；
（2）周长最小即要使得PA+PC最小，A点关于对称轴的对称点是B点，连接CB交对称轴于P点，此时的PA+PC即为最小值；
（3）设Q（m，0），再把m代入BC所在一次函数解析式和二次函数解析式，把两者相减，得到一个代数式，再求这个代数式的最大值即可．
【详解】（1）将，，代入得：
解得：
二次函数的解析式为：；
（2）存在点P，使△PAC的周长最小
连接BC交抛物线对称轴于P，连接AP，如图：
，
由得抛物线对称轴是
，关于抛物线对称轴对称
而当B、P、C共线时，PB+CP最小，此时PA+CP也最小，
因，故此时△PAC的周长最小
设直线BC为，将，代入得：
解得：
直线BC解析式为：
令x＝1时，得y＝－2　
（3）如图：
设，，
该函数为开口向下的二次函数，且在时取得最大值
又Q在OB上，
∴
∴m可取的值包括了
时，
MN取得最大值为，
当x=时，y=
故M点坐标为：．
【点睛】本题考查二次函数交点式解析式的应用，考查一个点动点到两个顶点距离最小值的将军饮马模型，考查两点之间距离的最小值，掌握这些知识和模型是解题关键．
【变式9-3】（23-24九年级·江苏连云港·期末）如图1，抛物线与x轴交于点、．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）如图1，点C是抛物线在第四象限内图像上的一点，过点C作轴，P为垂足，求的最大值；
（3）如图2，设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为，问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段绕点M顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．
【分析】（1）由抛物线与x轴交于点、，可得解得即可；
（2）设点C坐标为，由点C在第四象限，，由PC⊥y轴可得点P，可求，当时，CP+OP最大值为 ；
（3）根据抛物线函数关系式可知，分两种情况，当点M在D点下方时，过点M作x轴平行线，分别过点N、，向所画直线作垂线，分别交于E、F，同理可知当点M在D点上方时，过N′作N′G⊥对称轴于G，可证（AAS），求出坐标为，代入抛物线函数关系式解方程，求出点M坐标综合即可．
【详解】解：（1）抛物线与x轴交于点、，
由题意得
解得
所以函数关系式为；
（2）设点C坐标为，点C在第四象限，，
∴点P，
，
∴时，CP+OP最大值为 ；
（3）根据抛物线函数关系式可知，
当点M在D点下方时，过点M作x轴平行线，分别过点N、，向所画直线作垂线，分别交于E、F，
∵∠NEM=∠DFN′=90°∠NMN′=90 ，
∴∠N+∠NME=90°，∠NME+∠N′MF=90°，
∴∠N=∠N′MF，
∵NM=N′M，
∴（AAS），
设点，，，
则坐标为，代入抛物线函数关系式，
，
，
△=312-4×236=17，
解得（舍去）， ，
同理可知当点M在D点上方时，设点，，，
则坐标为，代入抛物线函数关系式，
，
，
△=312-4×236=17，
（舍去），
综上可知或．
【点睛】本题考查抛物线的解析式，配方法，二次函数最值问题，图形旋转，三角形全等的判定与性质，一元二次方程及其解法，掌握抛物线的解析式，配方法，二次函数最值问题，图形旋转，三角形全等的判定与性质，一元二次方程及其解法，关键是引辅助线构造图形是解题关键．
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