人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.4二次函数与一元二次方程【九大题型】(学生版+解析)

专题22.4 二次函数与一元二次方程【九大题型】
【人教版】
【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】 2
【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】 2
【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】 3
【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】 4
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】 5
【题型6 图象法解一元二次不等式】 6
【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】 8
【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】 10
【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】 11
知识点1：二次函数与一元二次方程
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）
【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例1】（23-24九年级·北京·阶段练习）若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为 ．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ．
【变式1-2】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．关于x的一元二次方程的根是，
C．
D．
【变式1-3】（23-24·广东广州·一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴的一个交点为（2，0），并且该抛物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边，则△ABC的周长为 ．
【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】
【例2】（23-24·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2-1】（23-24·广东广州·二模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限．
【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
【变式2-3】（23-24九年级·云南曲靖·期末）已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点.
(1)求k的取值范围
(2)若抛物线的图象经过点，求k值．
【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】
【例3】（23-24九年级·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过M两点，与x轴交于点N．

(1)点N（ ， ）；
(2)若抛物线与抛物线C关于y轴对称，求抛物线的解析式；
(3)若抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，与x轴的交点坐标为A，（点A在点的左边）
①求：的值；
②判断抛物线的顶点，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说明理由．
【变式3-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．
(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；
(2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．
【变式3-2】（23-24九年级·广东汕头·期末）若抛物线与x轴交于、两点，若，则c的最大值是 ．
【变式3-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线的雅礼弦长；
(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例4】（23-24九年级·山东临沂·期末）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为： ．
【变式4-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）“如果二次函数的图像与轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若、是关于的方程的两根，且，则，，，的大小关关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（23-24·江西赣州·二模）在平面坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，两点，且，下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
知识点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例5】（23-24九年级·北京通州·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
（1）函数的图象与轴 交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x … …
y … n …
则n的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为 ．（结果精确到0.1）
【变式5-1】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（ ）
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13
A． B．
C． D．
【变式5-2】（23-24九年级·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m﹣4 m﹣2 m﹣ m m﹣ m﹣2 m﹣4 …
若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是 　．
知识点3：二次函数与一元二次不等式的关系
（1）将一元二次不等式转化为（或）的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值；
（3）作出不等式对应的二次函数的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.
【题型6 图象法解一元二次不等式】
【例6】（23-24九年级·内蒙古赤峰·期中）阅读理解：
自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：．
解：设，解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图像（如图所示），由图像可知：当或时函数图像位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为或．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透的数学思想有______．
(2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式，的解集为______．
(3)用类似的方法解一元二次不等式：．
【变式6-1】（23-24九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）

A．或 B．或 C． D．
【变式6-2】（23-24九年级·江苏泰州·期中）二次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．

【变式6-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】
【例7】（23-24九年级·山东临沂·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点是第二象限内抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、，求面积的最大值；
(3)若点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点的坐标.
【变式7-1】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，其对称轴为直线．

（1）若一次函数的图象经过点A，则点所在的象限是 ；
（2）若点M是抛物线的顶点，且，则 ．
【变式7-2】（23-24九年级·河北张家口·期末）题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则正确的是（ ）

A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
【变式7-3】（23-24九年级·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】
【例8】（2024·贵州贵阳·九年级期末）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
【变式8-1】（23-24九年级·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有交点，且与轴相交于点，则下列四种说法：①当时，抛物线与轴有唯一公共点；②当时，随的增大而增大；③点的纵坐标的最大值为2；④抛物线与轴的两交点的距离的最大值为．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【变式8-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，则：
（1）该拋物线的对称轴为直线 ；
（2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为 ．
【变式8-3】（23-24·福建福州·模拟预测）已知二次函数．
(1)当时，
①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等的实数根，求证：；
(2)若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围．
【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】
【例9】（23-24·河南新乡·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线：．
(1)求二次函数解析式；
(2)已知点的坐标为，将线段沿直线向下平移得到线段，使点始终在直线上，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围．
【变式9-1】（23-24九年级·广东东莞·期中）已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为 ．
【变式9-2】（23-24·吉林长春·一模）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m， 当自变量x≥m时，函数y关于x的函数图象为，将G沿直线x=m翻折后得到的函数图象为，函数G的图象由和两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x（x≥2）的对折函数为
（1）写出函数y = 2x+1（x≥ 1）的对折函数；
（2）若函数y =2x 2（x≥）的对折函数与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，求△ABC的周长；
（3）若点P(m，5)在函数y = 4( x≥ 1)的对折函数的图象上，求m的值；
（4）当函数y= 4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围
【变式9-3】（23-24九年级·重庆渝中·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点．
图⑴ 图⑵
(1)求这个拋物线的解析式．
(2)若点是直线上方抛物线上一个动点，过作轴交直线于，过作轴交轴于，以为邻边构造矩形，求矩形周长的最大值及此时点的坐标．
(3)如图（2），将线段向上平移1个单位长度，平移后的线段记作．然后将抛物线沿射线进行平移，平移的距离记为．若平移后的抛物线与线段有交点，请直接写出的取值范围．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题22.4 二次函数与一元二次方程【九大题型】
【人教版】
【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】 2
【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】 5
【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】 7
【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】 12
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】 15
【题型6 图象法解一元二次不等式】 19
【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】 22
【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】 29
【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】 35
知识点1：二次函数与一元二次方程
根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 一元二次方程根的情况
△＞0 抛物线与x轴交于，两点，且， 此时称抛物线与x轴相交 一元二次方程 有两个不相等的实数根
△＝0 抛物线与x轴交切于这一点，此时称抛物线与x轴相切 一元二次方程 有两个相等的实数根
△＜0 抛物线与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根）
【题型1 由二次函数图象确定相应方程根的情况】
【例1】（23-24九年级·北京·阶段练习）若二次函数y＝2x2+4x﹣c与x轴的一个交点是（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为 ．
【答案】x1＝1，x2＝﹣3．
【分析】根据抛物线对称性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标，即得到关于x的一元二次方程x2 ＝ 2x的根．
【详解】解：由x2﹣＝﹣2x得到：2x2+4x﹣c＝0，
∵二次函数y＝2x2+4x﹣c的图象与x轴的一个交点为（1，0），对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，
∴二次函数y＝2x2+4x﹣c的图象与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴关于x的一元二次方程x2﹣＝﹣2x的根为：x1＝1，x2＝﹣3．
故答案是：x1＝1，x2＝﹣3．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点坐标，解题的技巧性在于巧妙的运用抛物线的对称性质求得抛物线与x轴的两个交点坐标．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根为 ．
【答案】
【分析】先利用抛物线的对称性求得抛物线与轴的另一交点，然后利用抛物线与一元二次方程的关系即可求解．
【详解】解：根据图象知，抛物线与x轴的一个交点是，对称轴是直线．
设该抛物线与x轴的另一个交点是．则，
解得，，
即该抛物线与x轴的另一个交点是．
所以关于x的一元二次方程的根为．
故答案是：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，理解掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
【变式1-2】（23-24·陕西西安·模拟预测）已知二次函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．关于x的一元二次方程的根是，
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定的符号，再结合对称轴求解抛物线与轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可．
【详解】解：由函数图像可知开口向下，与轴交于正半轴，
，，
∵对称轴为，
∴，
∴，故A不符合题意；
∵抛物线与轴交于，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴关于x的一元二次方程的根是，；故B不符合题意；
∵抛物线与轴交于，，对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴∵，
∴，故C符合题意；
∴；
∴错误，故D不符合题意；
故选：C．
【变式1-3】（23-24·广东广州·一模）已知抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴的一个交点为（2，0），并且该抛物线与x轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰△ABC的两条边，则△ABC的周长为 ．
【答案】14
【分析】先求出抛物线解析式，再求出抛物线与轴另外的交点，然后在分类讨论等腰三角形的腰和底，即可求解
【详解】抛物线与轴交于点（，）
抛物线的解析式为：
解得：，
抛物线与轴另外的交点坐标为（，）
抛物线与轴的两个交点横坐标的值恰好是等腰的两条边
当为的腰，为的底时，，该情况不成立；
当为的腰，为的底时，的周长为
故答案为：
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式及抛物线与坐标轴点的坐标，等腰三角形的性质及三角形三边关系的应用，解题关键是分类讨论等腰三角形的底和腰，避免漏解．
【题型2 由二次函数图象与坐标轴的交点情况求字母的值】
【例2】（23-24·安徽合肥·模拟预测）已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答．
【详解】解：函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，
当时，此时与两坐标轴两个交点，
当时，则或，
解得，或，
由上可得，的值是0，或1，共4个．
故选：A．
【变式2-1】（23-24·广东广州·二模）若关于的方程有两个不相等的实数根，则抛物线的顶点在第 象限．
【答案】四
【分析】根据方程有两个不相等的实数根得到a的取值范围，结合顶点判断即可得到答案；
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴，，
∴抛物线的顶点在第四象限，
故答案为：四；
【点睛】本题考查一元二次方程判别式与根的情况及抛物线的顶点，解题的关键是熟练掌握方程有两个不等的实数根及抛物线顶点坐标．
【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）抛物线y＝x2＋ax＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的方程x2＋ax＋3﹣t＝0（t为实数），在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（ ）
A．6＜t＜11 B．t≥2 C．2≤t＜11 D．2≤t＜6
【答案】C
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根看做函数与函数的交点问题，再由的范围确定y的取值范围，然后确定t的值即可．
【详解】解：∵的对称轴为直线，
∴，
∴，
∴一元二次方程的实数根可以看做与函数的交点问题，
∵方程在的范围内有实数根，
当时，，
当时，，
当时，，
函数在时有最小值2，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．
【变式2-3】（23-24九年级·云南曲靖·期末）已知抛物线的图象与坐标轴有3个交点.
(1)求k的取值范围
(2)若抛物线的图象经过点，求k值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法求解析式；
（1）抛物线的图象与坐标轴有3个交点则与轴一个交点，与轴两个交点，据此求解即可；
（2）把代入计算即可．
【详解】（1）∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，
∴抛物线与轴一个交点，与轴两个交点，
∴方程有两不等实数根，
∴，
解得
（2）把代入得，
解得，
由（1）可得，
∴．
【题型3 确定x轴与抛物线的截线长】
【例3】（23-24九年级·江西南昌·期末）如图，已知抛物线C：的对称轴为直线，且抛物线经过M两点，与x轴交于点N．

(1)点N（ ， ）；
(2)若抛物线与抛物线C关于y轴对称，求抛物线的解析式；
(3)若抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为，与x轴的交点坐标为A，（点A在点的左边）
①求：的值；
②判断抛物线的顶点，…，是否在一条直线上，若在，请直接写出直线解析式；不在，请说明理由．
【答案】(1)，0
(2)
(3)①5350；②不在一条直线上，理由见解析
【分析】（1）M、N两点关于抛物线的对称轴直线对称，利用中点坐标公式即可求解；
（2）由对称可求得与x轴的两个交点坐标，与y轴的交点坐标，利用待定系数法即可求解；
（3）①求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求得，从而可求解；
②由抛物线的解析式，可求得各抛物线的顶点，…，的坐标；求出过两点的直线的解析式，验证点不在直线上即可；
【详解】（1）解：∵M、N两点关于抛物线的对称轴直线对称，且，
∴点N的横坐标为：，
∴点N的坐标为；
故答案为：，0；
（2）解：∵，，且抛物线与抛物线C关于y轴对称，
∴抛物线与x轴的交点坐标分别为，抛物线与y轴的交点为；
设抛物线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴；
（3）解：①令，得，
∴，其中，
∴；
②不在一条直线上．
，
设所在直线的解析式为：，
，
∴，
∴，
把点代入，
，
∴点不在直线上．
∴顶点不在一条直线上．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴交点坐标，图形的对称等知识，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【变式3-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．
(1)求抛物线与x轴两交点间的距离；
(2)当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝8，求抛物线的解析式．
【答案】(1)与x轴两交点间的距离为6
(2)
【分析】（1）令y＝0，解一元二次方程求得抛物线与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），即可求解；
（2）根据题意求得l的解析式为y＝2，y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2，进而根据一元二次方程根与系数的关系，求得x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，根据x2﹣x1＝8，求得的值，即可求解．
【详解】（1）令y＝0得：
mx2+4mx﹣5m＝0，
∴m（x2+4x﹣5）＝0，
∵m为二次函数二次项系数，
∴m≠0，
∴x2+4x﹣5＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝1，
∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），
∴与x轴两交点间的距离为1﹣（﹣5）＝6；
（2）∵直线l过点（0，2）且平行于x轴，
∴直线l的解析式为y＝2，
∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：
∴2＝mx2+4mx﹣5m，
∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣5﹣，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16+20+，
∵x2﹣x1＝8，
∴（x1﹣x2）2＝64，
∴36+＝64，
∴m＝，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级·广东汕头·期末）若抛物线与x轴交于、两点，若，则c的最大值是 ．
【答案】0
【分析】根据根与系数关系定理，结合，转化为不等式组，求解集后定最大值．
【详解】∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴
∴，
解得，
故c的范围是，
c的最大值是0．
故答案为：0
【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，不等式组的解法，不等式求最值，熟练掌握定理与不等式组的解法是解题的关键．
【变式3-3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线的雅礼弦长；
(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
【答案】(1)4
(2)
(3)，或，
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得，根据的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得，根据，求得出与之间的函数关系式，根据恒成立，可得，根据，为正整数，且，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
雅礼弦长；
（2），，
，
，，
，
，
当时，最小值为，
当时，最大值小于，
；
（3）由题意，令，
，，
则，
同理，
，
，
要不论为何值，恒成立，
即：恒成立，
由题意得：，，
解得：，
，为正整数，且，
则，或，．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
【题型4 抛物线与x轴交点上的四点问题】
【例4】（23-24九年级·山东临沂·期末）已知抛物线的图象与x轴的两交点的横坐标分别、，而的两根为、，则、β、M、N的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出函数和y=2的图象草图，根据函数图象可直接求解．
【详解】解：∵a=1>0
∴抛物线的开口向上，与x轴的两个交点的横坐标分别是、
又∵的两根是抛物线与直线y=2的交点横坐标，且
∴抛物线的图象如图，

由图象可知：
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系和数形结合思想，解题的关键是正确画出函数的图象．
【变式4-1】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 的两个根为、（）则实数，，，的大小关系为： ．
【答案】/
【分析】根据二次函数的图象和性质即可求出答案
【详解】解：设函数，
当时，
，或，
当时，
由题意可知： 的两个根为、（），由于抛物线开口向上，由抛物线的图象可知：，
故答案为：
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系
【变式4-2】（23-24九年级·浙江杭州·期末）“如果二次函数的图像与轴有两个交点，那么一元二次方程有两个不相等的实数根．”请根据这句话的理解，解决以下问题；若、是关于的方程的两根，且，则，，，的大小关关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根可得出二次函数y=-（x-a）（x-b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），将y=-（x-a）（x-b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a、b、m、n的大小关系．
【详解】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，
∴二次函数y=-（x-a）（x-b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），
∴将y=-（x-a）（x-b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象，
二次函数y=-（x-a）（x-b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．
画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，画出两函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．
【变式4-3】（23-24·江西赣州·二模）在平面坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．现将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，两点，且，下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键．因为抛物线开口向下，所以抛物线向上平移，对称轴不变，与轴的两交点距离变长解答即可．
【详解】解：抛物线与轴相交于，两点，
抛物线的对称轴为直线，
将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴相交于，两点，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线向上平移对称轴不变，
，
即，
抛物线开口向下，
将此抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴两交点间距离会变长，
，
故选：C．
知识点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【题型5 图象法确定一元二次方程的近似根】
【例5】（23-24九年级·北京通州·期末）有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
（1）函数的图象与轴 交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x … …
y … n …
则n的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；
（4）请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为 ．（结果精确到0.1）
【答案】（1）无；（2）-4；（3）见解析；（4），或
【分析】（1）根据函数式满足的条件判断出，所以与y轴没有交点；
（2）把x=1代入函数式即可；
（3）根据表格坐标点描点连线即可；
（4）将表示为函数的形式，找函数图像与x轴的交点即可．
【详解】由题意可得：，故与y轴无交点；
故填：无；
把x=1代入函数式，得：n= 4 ；
故填：；
根据表中数据描点连线如图：
将表示为函数的形式，即函数与x轴的交点，根据图像可得：，或；
故填：，或．
【点睛】此题考查函数与方程的关系，会根据函数表达式做函数图像，观察函数图象找出其与坐标轴的交点．
【变式5-1】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（ ）
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解．
【详解】解：由表格可得：
当时，；
当时，，
又∵一元二次方程的根为，，且，
∴，，
故选：A．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程（，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键．
【变式5-2】（23-24九年级·安徽黄山·期末）如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个解只可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程的一个解，进而即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象上有两点分别为，，
∴方程的一个解，
∴方程的解为：，
即．
故选：C．
【变式5-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量x与函数y的对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … m﹣4 m﹣2 m﹣ m m﹣ m﹣2 m﹣4 …
若1＜m＜1，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的取值范围是 　．
【答案】﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3
【详解】∵1＜m＜1，
∴－1＜m－2＜－，＜m－＜1，
∴y=0在y=m－2与y=m－之间，
∴对应的x的值在－1与0之间，及2与3之间，即－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
故答案为：－1＜x1＜0，2＜x2＜3．
点睛：根据函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，再根据函数的增减性即可判断方程两个根的范围．
知识点3：二次函数与一元二次不等式的关系
（1）将一元二次不等式转化为（或）的形式；
（2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值；
（3）作出不等式对应的二次函数的草图；
（4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零.
【题型6 图象法解一元二次不等式】
【例6】（23-24九年级·内蒙古赤峰·期中）阅读理解：
自主学习，请阅读下列解题过程．
解一元二次不等式：．
解：设，解得，，则抛物线与x轴的交点坐标为和，画出二次函数的大致图像（如图所示），由图像可知：当或时函数图像位于x轴上方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为或．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透的数学思想有______．
(2)借助阅读材料直接写出一元二次不等式，的解集为______．
(3)用类似的方法解一元二次不等式：．
【答案】(1)转化思想和数形结合
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式组的关系、二次函数的图象、抛物线与x轴的交点坐标、一元二次方程的解法等知识点；
（1）根据题意容易得出结论；了解常见的数学思想是解题的关键；
（2）观察图像即可写出一元二次不等式的解集；掌握运用二次函数图像确定不等式的解集以及数形结合思想是解题的关键；
（3）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，大致画出画出抛物线，根据确定一元二次不等式的解集即可；
理解二次函数图像的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据解题过程中，渗透了转化思想和数形结合思想．
故答案为：转化思想和数形结合．
（2）解：由图像可知：当时函数图像位于x轴及其下方，此时，即，
∴一元二次不等式的解集为：．
故答案为：．
（3）解：设，解得：，
∴抛物线与x轴的交点坐标为和．
如图：画出二次函数的图像，
有图像可知：当时，函数图像位于x轴上方，此时，即，
∴一元二次不等式的解集为：．
【变式6-1】（23-24九年级·重庆·学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）

A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
【详解】∵抛物线与直线交于，
∴不等式为：或，
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键.
【变式6-2】（23-24九年级·江苏泰州·期中）二次函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．

【答案】
【分析】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．先得到函数的图象与轴的交点为，，再利用数形结合的方法解题即可.
【详解】解：∵由函数图象可知，当时，函数图象在轴的下方（包括交点），
∴函数的图象与轴的交点为，，把作为一个整体，代入上面的函数中，）
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江温州·期中）二次函数的图象如图，对称轴为直线．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到时的函数值的取值范围，再根据一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答．
【详解】解：对称轴为直线x=-=1，
解得b=-2，
所以二次函数解析式为y=x2-2x，
y=（x-1）2-1，
x=1时，y=-1，
x=-2时，y=4-2×（-2）=8，
∵x2+bx-t=0的解相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当-1≤t＜8时，在-1＜x＜4的范围内有解．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解是解题的关键．
【题型7 二次函数与一次函数的综合运用】
【例7】（23-24九年级·山东临沂·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点，点是第二象限内抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接、，求面积的最大值；
(3)若点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）先根据一次函数的解析式求出点、的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）作轴交于点，设，则，可得，根据，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）连接、，交直线于点，先求出点的坐标，结合，可得，进而得到，再结合对称性可得，推出，可得点的纵坐标，即可求解．
【详解】（1）解：在中，令，得；令，得，
，，
把、两点的坐标分别代入线，
可得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）作轴交于点，如图，
设，则，
点是第二象限内抛物线上一点
；
，
，
当时，的最大值为，
面积的最大值为；
（3）连接、，交直线于点，如图，
令，
解得：，，
，
，，
，
∴，
点、关于直线对称，
，
，
点是纵坐标为，
．
【变式7-1】（23-24九年级·安徽六安·期中）如图，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，其对称轴为直线．

（1）若一次函数的图象经过点A，则点所在的象限是 ；
（2）若点M是抛物线的顶点，且，则 ．
【答案】 四
【分析】本题考查根据二次函数的图象，勾股定理，
（1）根据抛物线的位置得到，b，c的值，然后确定k的值判断点的位置即可；
（2）由题意可得抛物线的解析式为为，然后得到点C和点M的坐标，利用勾股定理构建方程解题即可．
【详解】（1）∵抛物线开口向上，
∴，
又∵对称轴为，
∴，
又过点，
∴，
∴，
∴点在第四象限，
故答案为：四；
（2）又∵抛物线过，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴，，
连接，则，

∴，
解得（负舍），
故答案为：．
【变式7-2】（23-24九年级·河北张家口·期末）题目：“如图，抛物线与直线相交于点和点．点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，丁答：，则正确的是（ ）

A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整
C．甲、丙答案合在一起才完整 D．甲、丁答案合在一起才完整
【答案】B
【分析】当点在线段上时，当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分类求解确定的位置，进而求解．
【详解】解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
将点的坐标代入直线表达式得：，解得，
抛物线的解析式为，直线的解析式为，
当点在线段上时，线段与抛物线只有一个公共点，
，的距离为3，而A，B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即，
当点在点的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点，
综上所述，或，即甲、乙答案合在一起才完整，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、不等式的性质等，分类求解确定位置是解题的关键．
【变式7-3】（23-24九年级·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上找一点Q（不与点O重合），使为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标；
(3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标．
【答案】(1)
(2)，或
(3)的最大值是，此时的P点坐标是
【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可；
（2）分情况讨论当为腰时点D坐标即可；
（3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴．
把A，B两点坐标代入解析式，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵ ，
∴，
∴，
∵为等腰三角形，点Q在y轴上（不与点O重合），
当时，
，
或；
当时，
，
，
；
综上所述，，或；
（3）解：∵在中，，
∴．
∵轴，，
∴．
在中，，，
∴，
∴．
在中，，，
∴．
设直线l的解析式为，
把A，B两点的坐标代入解析式，得，
解得：，
∴直线l的解析式为；
设点P的坐标为，则，
∴．
∵，
∴当时，有最大值是，此时最大，
∴，
当时，，
∴，
∴的最大值是，此时的P点坐标是．
【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键．
【题型8 由抛物线与线段的交点个数问题求字母取值范围】
【例8】（2024·贵州贵阳·九年级期末）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜或a≤﹣2 D．﹣2≤a＜
【答案】C
【分析】分a＞0，a＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
【详解】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当a＜0时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当a＞0时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2
故选C．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
【变式8-1】（23-24九年级·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若抛物线与线段有交点，且与轴相交于点，则下列四种说法：①当时，抛物线与轴有唯一公共点；②当时，随的增大而增大；③点的纵坐标的最大值为2；④抛物线与轴的两交点的距离的最大值为．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】①把代入，由于方程根的判别式，所以抛物线与x轴有唯一公共点，即可判断①正确；
②根据二次函数的增减性即可判断②正确；
③抛物线过点时，点C的纵坐标最大，求出此时点C的纵坐标，即可判断③错误；
④抛物线过点时，与x轴的两交点间的距离最大，求出此时的值，即可判断④正确．
【详解】解：①把代入，得，
方程即为，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，
∴抛物线与x轴有唯一公共点，
即当时，抛物线与x轴有唯一公共点，故①正确；
②∵中，
，开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当时，y随x的增大而增大，故②正确；
③∵抛物线与线段有交点，且与y轴相交于点C，
∴抛物线过点时，点C的纵坐标最大，
把代入，得，解得，
此时抛物线是，即，
此时点C的坐标为，即点C的纵坐标的最大值为20，故③错误；
④∵抛物线与线段AB有交点，
∴抛物线过点时，与x轴的两交点间的距离最大，
把代入，得，解得，
此时抛物线是，
解方程，得，，
所以抛物线与x轴的两交点间的距离的最大值为，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
【变式8-2】（23-24九年级·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，则：
（1）该拋物线的对称轴为直线 ；
（2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为 ．
【答案】 1 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想；
（1）把解析式配方即可求解；
（2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为；分及两种情况讨论，结合图象即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴拋物线的对称轴为直线；
故答案为：1；
（2）∵抛物线与x轴有交点，
∴，
即；
当时，，即抛物线与y轴的交点C的坐标为，
∵点Q的纵坐标也为m，
∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即轴；
①当分时，如图，
则或时，线段与抛物线只有一个公共点；
解得：或；
∴；
故答案为：1；
②当时，如图，
则或时，线段与抛物线只有一个公共点；
解得：或；
∴；
综上，满足条件的m取值范围为：或．
故答案为：或．
【变式8-3】（23-24·福建福州·模拟预测）已知二次函数．
(1)当时，
①若该函数图像的对称轴为直线，且过点，求该函数的表达式；
②若方程有两个相等的实数根，求证：；
(2)若，已知点，点，当二次函数的图像与线段有交点时，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)① ②见解析
(2)或
【分析】（1）①根据对称轴求得，再把代入得，，即可求解；
②根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再利用配方法可得，根据平方的非负性可得，即可求解；
（2）由题意可得，从而求得抛物线的顶点为，抛物线与x轴的交点为、，当抛物线过点或时，根据二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】（1）解：①∵，对称轴为直线，
∴，
∴，
把点代入得，，
∴该函数的表达式为；
②∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∴抛物线的顶点为，
把代入得，，
解得或，
∴抛物线与x轴的交点为、，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，根据越大，抛物线的开口越小，当时，二次函数的图像与线段有交点，
当抛物线过点时，，
解得，
如图，当时，二次函数的图像与线段有交点，
综上所述，当或时，二次函数的图像与线段有交点．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与判别式的关系，运用数形结合思想是解题的关键．
【题型9 由几何变换后得交点个数确定字母的取值范围】
【例9】（23-24·河南新乡·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，作直线：．
(1)求二次函数解析式；
(2)已知点的坐标为，将线段沿直线向下平移得到线段，使点始终在直线上，若线段与抛物线有交点，请求出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点坐标，再用待定系数法求出直线解析式，设交抛物线于，点坐标为，则，根据以及应在直线上方，求出的取值范围．
【详解】（1）过点，，
，
解得，
二次函数解析式为；
（2），
，
设直线解析式为，将代入解析式得：
，
解得，
直线解析式为，
设交抛物线于，则点坐标为，
，
，
，
，
即，
解得或，
在直线的上方，应在直线上方，
，
综上所述，的取值范围为或．
【变式9-1】（23-24九年级·广东东莞·期中）已知抛物线的图象如图①所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查函数图像与直线的交点问题，先根据顶点式求出抛物线的顶点，在求出翻折后的对称点的坐标，最后借助于图像确定b的取值范围即可，掌握数形结合的思想是解题的关键．
【详解】解：抛物线的解析式为，
抛物线的顶点坐标为，
根据翻折变换，关于轴的对称点为，
当直线与图象②恰有3个公共点时，如图所示：此时，

当直线与轴重合时，与图象②有2个公共点，此时，
当直线处于直线与直线之间时，与图象②有4个公共点，此时，
当直线位于直线上方时，与图象②有2个公共点，此时，
由图可知：当直线与图象②有多于2个公共点时，则b的取值范围为，
故答案为：．
【变式9-2】（23-24·吉林长春·一模）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m， 当自变量x≥m时，函数y关于x的函数图象为，将G沿直线x=m翻折后得到的函数图象为，函数G的图象由和两部分共同组成，则函数G为原函数的“对折函数”，如函数y=x（x≥2）的对折函数为
（1）写出函数y = 2x+1（x≥ 1）的对折函数；
（2）若函数y =2x 2（x≥）的对折函数与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，求△ABC的周长；
（3）若点P(m，5)在函数y = 4( x≥ 1)的对折函数的图象上，求m的值；
（4）当函数y= 4(x≥n)的对折函数与x轴有不同的交点个数时，直接写出n的取值范围
【答案】（1）；（2）；（3）m=4或 6；（4）①当n< 1时，有4个交点；②当n= 1时，有3个交点；③当 13时，无交点
【分析】(1)利用对折函数的定义求解对折后的函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求解即可；
(2)先求解对折函数的解析式，得到C的坐标，利用勾股定理可得答案；
(3)先求解对折函数的解析式，把P的坐标代入即可得到答案；
(4)根据拐点的纵坐标分情况讨论，即可得到对折函数的图像，根据图像可得答案．
【详解】(1)如图1，设对折点为A，则点A( 1，3)，设对折图象与x轴的交点为A． B，
当y = 2x+1=0时，x=时，即点B(，0)，则点C( ，0)，
设直线AC为：
解得：
所以：直线AC的表达式为：y=2x+5，
故y= 2x+1(x 1)的对折函数为：
(2)由对折函数的定义得拐点坐标为： ，，
同理可得：函数y=2x 2()的对折函数
点C(0， 2)，
则AB=5，AC=，BC=，
则△ABC的周长为：
(3)令y= 4=0，则x= 1或3，如下图：即点A． B的坐标为( 1，0)、(3，0)，
则对折后函数的顶点坐标为( 3， 4)，该函数表达式为：y= 4，
即对折函数为
将点P(m，5)代入y= 4得：
解得：（舍去）
将点P(m，5)代入y= 4，
解得：（舍去）
综上：m=4或 6
(4)①当n< 1时，如图3:
此时x=n在点A( 1，0)的左侧，
从图中可以看出：函数与x轴有4个交点(A、B． C． D)；
②当n= 1时，x=n过点A，从图2可以看出：函数与x轴有3个交点；
③如图：同理：当 1④如图：同理：当n=3时，函数与x轴有3个交点；
⑤同理：当n>3时，无交点
【点睛】本题考查的是自定义下利用待定系数法求解一次函数，二次函数的解析式，利用函数图像判断函数与轴的交点个数，同时考查了二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式9-3】（23-24九年级·重庆渝中·阶段练习）如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点．
图⑴ 图⑵
(1)求这个拋物线的解析式．
(2)若点是直线上方抛物线上一个动点，过作轴交直线于，过作轴交轴于，以为邻边构造矩形，求矩形周长的最大值及此时点的坐标．
(3)如图（2），将线段向上平移1个单位长度，平移后的线段记作．然后将抛物线沿射线进行平移，平移的距离记为．若平移后的抛物线与线段有交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)矩形周长的最大值是6，点
(3)与
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）设点P的坐标为，根据矩形的性质可表示出点D的横坐标与点Q的纵坐标，先求得点C的坐标，再求得直线的解析式，将Q点纵坐标代入直线的解析式中可求得点Q、E的横坐标，最后表示出矩形的周长，求得a的值为多少时周长取得最大值．
（3）根据抛物线沿直线的平移规律设平移后的抛物线方程为：，然后分抛物线左、右支与相交，分两种情况讨论．
画出图像是帮助解决本题分类讨论的关键所在．
【详解】（1）将点的坐标代入抛物线中得：
，解得：
∴这个抛物线的解析式是：．
（2）设点P的坐标为，
由矩形的性质可知，点D的横坐标为a，点Q的纵坐标为．
在抛物线中，令，得，
所以点，又，可设直线的解析式为：
代入，解得：
∴直线的解析式为：
∵点均在直线上，
将Q点纵坐标代入直线的解析式中得：，解得：
∴
∴矩形的周长：
当时，，此时L的最大值为6，此时
即矩形周长的最大值是6，此时点．
（3）∵抛物线沿直线向右平移，直线的方程为
∴每水平向右平移个单位，则同时垂直向上平移m个单位，
故可设平移后的抛物线方程为：
根据题意可知四边形边长为1的正方形．则，
①当抛物线右支与相交时（如图），
解得：，
∴
∵
∴
②当抛物线左支与相交时（如图），有
解得：
∴
∵
∴
综合①②可知，t的取值范围是：与
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