人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.7二次函数中的最值问题【八大题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.7二次函数中的最值问题【八大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-12 11:08:31 | ||
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文档简介
专题22.7 二次函数中的最值问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 几何图形中线段最值问题】 1
【题型2 两线段和的最值问题】 2
【题型3 周长的最值问题】 4
【题型4 面积的最值问题】 6
【题型5 线段和差倍分的最值】 8
【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】 9
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】 10
【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】 12
【题型1 几何图形中线段最值问题】
【例1】（23-24九年级·广西钦州·期中）如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【变式1-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，，点C是上的动点，以为边在同侧作等边三角形，M、N分别是中点，最小值（ ）
A．3 B． C． D．
【变式1-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，在矩形中，，将对角线绕对角线交点O旋转，分别交边于点E、F，点P是边上的一个动点，且保持，连接，设．
(1)填空： ， ；（用含x的代数式表示）
(2)若的面积为S，求S与x的函数关系及面积的最小值；
(3)在运动过程中，是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
【变式1-3】（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形中，，F是边上的动点，将绕点A顺时针旋转至，将沿AF翻折至，连接交于点H，连接，则面积的最大值为 ．
【题型2 两线段和的最值问题】
【例2】（（23-24·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2-1】（（23-24·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点C为y轴正半轴上一点，且，D是线段上的动点（不与点A，C重合）．
(1)写出A、B、C三点坐标；
(2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标；
(3)如图2，若点E是线段上的动点，连接，当时，求的最小值．
【变式2-2】（（23-24·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围；
(3)连接，，直接写出的最小值．
【变式2-3】（（23-24·海南省直辖县级单位·二模）如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
(4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 周长的最值问题】
【例3】（（23-24·辽宁丹东·模拟预测）如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值；
(3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【变式3-1】（23-24九年级·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标；
(3)过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【变式3-2】（23-24九年级·全国·期末）如图抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
(3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
【变式3-3】（23-24九年级·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，
①求的最小值②求周长的最小值；
(3)如图2，N为射线CB上的一点，M是地物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，且，当为等腰三角形时，求点N的坐标．（直接写出点N的坐标，不要求写解答过程）
【题型4 面积的最值问题】
【例4】（23-24九年级·云南红河·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标；
(3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标；
【变式4-1】（23-24九年级·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，当取得最小值时，求此时点D的坐标．
(3)点P是直线上方抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值，并求此时点P的坐标．
【变式4-2】（23-24九年级·山东·期末）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期中）已知抛物线与y轴交于点，顶点为，过点直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最小值；
(3)若D，E两点都在第四象限，过点D作直线的垂线，垂足为F，直线与直线交于点G，连接，求证：四边形是平行四边形．
【题型5 线段和差倍分的最值】
【例5】（23-24·山东济南·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标；
(3)如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值．
【变式5-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点．
（1）连接，，则为 三角形；
（2）点为该抛物线对称轴上一点，当取最小值时， ．
【变式5-2】（23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标；
(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值．
【变式5-3】（23-24九年级·广东东莞·期中）如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】
【例6】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
【变式6-1】（23-24九年级·江西赣州·期中）观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．
．
【观察发现】（1）发现所列各组式子中两个因数的和都为_____________．
【问题解决】（2）若设其中一个因数为（，且为正整数），所列两个数的积为y，请说明哪个积最大，最大值是多少．
【拓展应用】（3）若大于0的a、b满足，求的最小值．
【变式6-2】（（23-24·贵州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，求二次函数的最大值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值．
【变式6-3】（23-24九年级·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
(1)直线上的“互补点”的坐标为_________；
(2)直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，m的最小值为k，求k的值．
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】
【例7】（（23-24九年级·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，设二次函数，、是实数，．
(1)若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式；
(2)若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点，；
(3)设函数和函数的最小值分别为和，若，求、的值．
【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值和二次函数图象的顶点坐标．
(2)已知点在该二次函数图象上．
①当时，求的值；
②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值．
【变式7-2】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知拋物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．
(1)如图，若该拋物线可以由抛物线先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为．
（i）求A，B两点的坐标；
（ii）若线段的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交交于点P，求证：四边形是菱形；
(2)已知，抛物线顶点M在直线上，若在自变量x的值满足的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值．
【变式7-3】（（23-24·广西贺州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．
【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】
【例8】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）用好错题本可以有效的积累解题策略，减少再错的可能．下面是小颖同学错题本上的一道题，请仔细阅读，并完成相应任务．
*年*月*日 星期天 错题*** 在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，. ①求此抛物线的对称轴；（用含的式子表示） ②记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围；
任务一：请帮助小颖完成上述错题订正；
任务二：若点也是此抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，直接写出的取值范围．
【变式8-1】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，点．
(1)求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标；
(2)点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出的取值范围．
【变式8-2】（（23-24·浙江温州·模拟预测）已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过．
(1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象；
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
【变式8-3】（23-24九年级·湖北·周测）已知抛物线经过点，与轴交于点，顶点在直线上．如图1，若点的坐标为，点的横坐标为1．
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)若当时，的最小值为2，最大值为11，请求出的取值范围；
(3)已知：点在抛物线上，点的坐标为，且，请直接写出符合题意的点的坐标．
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专题22.7 二次函数中的最值问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 几何图形中线段最值问题】 1
【题型2 两线段和的最值问题】 7
【题型3 周长的最值问题】 19
【题型4 面积的最值问题】 31
【题型5 线段和差倍分的最值】 41
【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】 51
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】 56
【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】 64
【题型1 几何图形中线段最值问题】
【例1】（23-24九年级·广西钦州·期中）如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】设，，根据正方形的性质和勾股定理列出关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．
【详解】解：作交延长线于，则四边形为矩形，
∴．
∵N是的中点，
∴，
∴．
设，，则，
在中，由勾股定理得：，
即．
∵，
∴当，即时，，
∴．即的最小值为5；
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．
【变式1-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，，点C是上的动点，以为边在同侧作等边三角形，M、N分别是中点，最小值（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，如图所示，连接，根据等边三角形的性质得到，，进而推出，设，则，，利用勾股定理得到，则，利用二次函数的性质求出的最小值，即可求出的到最小值．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，点N是的中点，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值，
∴有最小值，
故选D．
【变式1-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，在矩形中，，将对角线绕对角线交点O旋转，分别交边于点E、F，点P是边上的一个动点，且保持，连接，设．
(1)填空： ， ；（用含x的代数式表示）
(2)若的面积为S，求S与x的函数关系及面积的最小值；
(3)在运动过程中，是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)不成立，理由见详解
【分析】（1）由矩形的性质可得，可证，可得由可得；
（2）由，可得，根据二次函数的性质可求面积的最小值；
（3）若，则可证，可得，即，方程无解，则不存在x的值使．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形
∴
∴且
∴
∴
∵且
∴
∴
故答案为：
（2）解：依题意
∵，
∴
∵的面积为S，
∴S与x的函数关系
∴开口向上，当时，面积的最小值为
（3）解：不成立
理由如下：若，则
又∵
∴，且
∴
∴
∴
则方程无解，
∴不存在x的值使，
即不成立．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，列代数式表达式、全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形中，，F是边上的动点，将绕点A顺时针旋转至，将沿AF翻折至，连接交于点H，连接，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质和旋转的性质可得，
连接，作交 于 Q， 于 M，连接，设交于点 O．证出，可得，再证明，可得，同理，从而得到，设，则，再证出，列出含x的面积公式，利用二次函数配方即可得到最大值．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
，
，
∵将绕点A顺时针旋转至，
∴，
，
∴，
，
连接，作交 于 Q， 于 M，连接，设交于点 O．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴时，的面积最大，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及二次函数的运用，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定及二次函数的运用．
【题型2 两线段和的最值问题】
【例2】（（23-24·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点，则的最小值为
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，；当时，，则；
∴、
将点、代入二次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，此时，点的坐标为，
又，
∴函数顶点D坐标为，
设直线的表达式为，
将、代入一次函数表达式得：，
解得，，
∴直线的表达式为：，
当时，，解得，
故点，
则的最小值为；
（3）解：对于，令，则，
解得，或，
∴点的坐标为；
又，
∴；
①当点P在x轴上方时，如图2中，
∵，则，
∴，
过点B作于点H，
∴
∴
∴
设
则，
∴
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
则
则；
②当点P在x轴下方时，同理可得；
故点P的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
【变式2-1】（（23-24·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点C为y轴正半轴上一点，且，D是线段上的动点（不与点A，C重合）．
(1)写出A、B、C三点坐标；
(2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标；
(3)如图2，若点E是线段上的动点，连接，当时，求的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得，，结合写出A、B、C三点坐标即可；
（2）设直线的解析式为，把，分别代入解析式，确定直线的解析式，设点，对称点坐标为，代入抛物线解析式中，计算解答即可；
（3）过点C作轴，且使得，连接，利用三角形全等，把线段和最小值转化为三角形不等式，解答即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求解析式，三角形全等的判定与性质，三角形不等式求最值，熟练掌握相关知识，特别是三角形不等式是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得，
解得，，
∴，，
∴,
∵，
∴．
（2）设直线的解析式为，
把，分别代入解析式，得
，
故直线的解析式为，
设点，
则其对称点坐标为，
代入抛物线解析式中，得
，
整理，得，
解方程，得(舍去)，
当时，，
故．
（3）过点C作轴，且使得，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴．
∵轴，
∴，
∵，
∵
∴
∴，
∴的最小值变成了的最小值，
∵，
故当点P，D，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，
∴的最小值为．
【变式2-2】（（23-24·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围；
(3)连接，，直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）由得，，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）根据，四边形是正方形，得，设，则；当正方形与抛物线有唯一公共点时，，可得此时；当正方形与抛物线有唯一公共点时，可得此时；画出图形可得答案；
（3）求出；设，则，，可看作轴上的点到点和点的距离之和，当，，共线时，取最小值，求出可得答案．
【详解】（1）解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，四边形是正方形，
，
设，则；
当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图：
把代入得：
，
解得或在左侧，舍去；
此时；
当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图：
把代入得：
，
解得：或与重合，舍去，
此时；
由图可知，当时，正方形与抛物线有公共点；
当正方形与抛物线有公共点时，点横坐标的取值范围是；
（3）解：在中，令得：，
解得：或，
；
设，则，
，
，
，
当最小时，取最小值，
而可看作轴上的点到点和点的距离之和，如图：
当，，共线时，取最小值，最小值为的长，
，
的最小值为，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，最短路径等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式2-3】（（23-24·海南省直辖县级单位·二模）如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
(4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，5
(4)存在，，
【分析】
对于（1），直接将点B，C的坐标代入关系式得出方程组，再求出解即可；
对于（2），先求出点A，C的坐标，进而求出直线的关系式，再求出，可知，
作轴，交于点，设P，K的坐标，并表示出，然后根据面积相等列出方程，并求出解；
对于（3），先确定最小时Q的位置，再根据勾股定理求出答案；
对于（4），①当点在轴下方时，有，根据可求出答案；
②当点在轴上方时，与是平行四边形的对角线，设点E，P的坐标，再根据对角线交点的坐标相同得出方程，求出解可得答案．
【详解】（1）
抛物线经过点，
∴，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）
令，则，
则，
，
设直线表达式为，又，
∴，
解得，
，
，
，
∴，
当时，，
作轴，交于点，
设，则
则，
则，，
．
即点的横坐标为或．
（3）
存在，
点与点关于对称轴对称，
当点在直线与对称轴交点处时最小，
此时，
由（2）知，
，所以这个最小值为5．
（4）
存在，设，
①当点在轴下方时，有，
,
，
则，
（舍去），，
②当点在轴上方时，与是平行四边形的对角线，
设，
，
∴，
则，
又，
，即，
综上所述，存在3个点：，．
【点睛】
本题主要考查了求二次函数的关系式，求一次函数的关系式，解一元二次方程，勾股定理，根据轴对称求线段和最小，平行四边形的性质，注意多种情况讨论，不要丢解．
【题型3 周长的最值问题】
【例3】（（23-24·辽宁丹东·模拟预测）如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值；
(3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，再把点，代入解析式即可求解；
（2）过点作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，面积最大，由此可对称点的坐标；再根据轴对称最值问题可求出周长的最小值；
（3）由可得原抛物线的顶点坐标，由旋转的性质可得的顶点坐标，进而可求出的对称轴；则需要分类讨论当时；当时；当时，分别建立方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线过点，点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）由（1）知函数解析式为：．
，
直线：，
过点作，设直线的解析式为：，
当的面积最大时，直线与抛物线有且仅有一个交点，
令，整理得，
，
解得：，
，
，即；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，此时的周长最小，
，
，
，，
周长的最小值为：．
（3）由（1）知原抛物线的顶点坐标，绕点旋转后的顶点，
的对称轴为直线；
设点的坐标为，
若是等腰三角形，则需要分类讨论：
当时，如图；
，解得；
或；
当时；
，无解；
当时，如图，
，解得，
．
综上可知，存在，点的坐标为或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积最值问题，轴对称最值问题，等腰三角形存在性问题，（2）关键是求出点的坐标；（3）关键是进行正确的分类讨论，根据两点间距离公式建立方程．
【变式3-1】（23-24九年级·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标；
(3)过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)的周长最小为，的坐标为
(3)四边形的面积最大为，此时
【分析】（1）把两点代入抛物线的解析式得到，求解即可得出答案；
（2）求得，待定系数法求出直线的解析式为，从而得出直线的解析式为，联立得出，关于抛物线的对称轴对称，直线与对称轴的交点即为点，此时，的周长为最小，求出，即可得解；
（3）过点作轴的垂线，交直线于点，设点的坐标为，则，则，求出，由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：由抛物线可得，当时，，
，对称轴为直线，
设直线的解析式为，代入点，点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
∵如图，关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与对称轴的交点即为点，此时，
∴最小，
∴的周长为最小，
∵直线的解析式为，当时，，
的坐标为，
∵，
∴的周长最小为；
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点，
设点的坐标为，则，其中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为，此时．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级·全国·期末）如图抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
(3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：，函数的对称轴为：；
(2)
(3)点的坐标为或．
【分析】
（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；
（2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；
（3），即可求解．
【详解】（1）
解：，点，
则抛物线的表达式为：，
故，解得：，
故抛物线的表达式为：①，
函数的对称轴为：；
（2）
解：四边形的周长，其中、是常数，
故最小时，周长最小，
取点关于直线对称点，则，
取点，则，
故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，
四边形的周长的最小值
；
（3）
解：如图，设直线交轴于点，
直线把四边形的面积分为两部分，
又，
则或，
则或，
即：点的坐标为或，
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或②
联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去），
故点的坐标为或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，通过确定点点来求最小值，是本题的难点．
【变式3-3】（23-24九年级·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，
①求的最小值②求周长的最小值；
(3)如图2，N为射线CB上的一点，M是地物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，且，当为等腰三角形时，求点N的坐标．（直接写出点N的坐标，不要求写解答过程）
【答案】(1)
(2)①，②
(3)，或，或，．
【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；
（2）①设为关于直线的对称点，连接，，根据点到直线的距离垂线段最短可知，当、E、F三点共线，而且时，最小，最小值为，②设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，．当，．．共线时，的周长最小，最小值为的长；
（3）求出直线的解析式，利用方程组求出点的坐标，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点．分三种情形：当时，当时，当时，分别构建方程求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点，点．
，
，
抛物线的解析式为；
（2）令，则，
解得或3，
，
，
是等腰直角三角形，
①设为关于直线的对称点，连接，，
，
根据点到直线的距离垂线段最短可知，当、E、F三点共线，而且时，最小，最小值为，
如图1，过点作，垂足为F，
此时是等腰直角三角形， ，
故的最小值为；
②如解图2，设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，．
由对称性可知，，的周长，
当，．．共线时，的周长最小，最小值为的长，
令，则，
解得或3，
，
，
是等腰直角三角形，
垂直平分，且，，
，
，
，关于轴对称，
，
，
的周长的最小值为．
（3）设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
点在射线上，
设，
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点．
，，，
，，，
是等腰三角形，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
在第一象限，
，
的值为，，，
点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【题型4 面积的最值问题】
【例4】（23-24九年级·云南红河·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标；
(3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标；
【答案】(1)
(2)
(3)面积的最大值为，此时
【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可；
（2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解；
（3）设，，过点G作轴，交于点F，设直线BC的解析式为，利用待定系数法得出，确定，，结合图形得出三角形面积的二次函数，由函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2），
∴抛物线的对称轴为，
当时，，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵、两点关于对称，
∴抛物线的对称轴为直线
当时，，
∴
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，
∴
（3）如图2所示：设，
过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时，，面积的最大值为，此时．
【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
【变式4-1】（23-24九年级·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，当取得最小值时，求此时点D的坐标．
(3)点P是直线上方抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值，并求此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)4；
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2） 根据A，B是对称点，连接，交对称轴于点D，利用直线解析式与对称轴交点坐标计算即可．
（3）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设，则，则，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案．本题考查了待定系数法，抛物线的最值，线段和最小，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线过点
设抛物线解析式为，
故，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线，
∴对称轴为直线，
设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：
解得，
直线的解析式为：，
∵A，B是对称点，连接，交对称轴于点D，此时取得最小值，
当时，
，
故．
（3）如图，过点作轴的平行线，交于，
设，则，
则，，
∴
，由此可得，
当，最大为4，
当时，，
∴．
【变式4-2】（23-24九年级·山东·期末）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，四边形的面积最小，最小值为
(3)存在，或
【分析】（1）根据交点式列出函数解析式，即可求解；
（2）根据题意可得是等腰直角三角形，过点E作轴，垂足为，根据列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，设，证明，可得，进而列出方程，解方程即可求解；
【详解】（1）解：∵，，则，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴是等腰直角三角形，由点的运动可知：
，过点作轴，垂足为，
∴，
又∵，则，
∴
，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
∴，，
∴，
当时，四边形的面积最小，即为；
（3）解：存在，或，
当点在的右侧时，如图所示，
过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，
∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
当点在的右侧时，同理可得，
解得：或（舍去）
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，解题的关键是求出解析式，分类讨论点根据面积加减及线段关系列式求解．
【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期中）已知抛物线与y轴交于点，顶点为，过点直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最小值；
(3)若D，E两点都在第四象限，过点D作直线的垂线，垂足为F，直线与直线交于点G，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)8
(3)见解析
【分析】（1）由抛物线的顶点为，设，将代入即可求解；
（2）设过点的直线为，将代入可求得，联立抛物线可得：，整理得：，可知，，由题意可得，要使得最小，即最小即可，再根据即可求解；
（3）由题意可知，，，由（2）可知，为方程的解，可得，，设直线为，将，，代入可求得，当时，，可得点的纵坐标，进而可得，化简可得，进而可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴，
将代入，可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设过点的直线为，
将代入可得：，即：，
∴，
联立抛物线可得：，
整理得：，
点，点为直线与的交点，则方程的解为两点的横坐标，，
∴，，
∵，，
∴轴，
则，
要使得最小，即最小即可，
，
∵，
∴，
∴的最小值为：，
即：面积的最小值为．
（3）证明：∵，则点在直线上，
则，由题意可知：，则，
∵轴，则，
∴，则，
由（2）可知，为方程的解，
∴，，
则，，
，
设直线为，将，，代入可得，即，
∴当时，，
即：点的纵坐标，
∴，
即：
，
则，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，一元二次方程根与系数的关系，利用参数表示点的坐标是解决问题的关键．
【题型5 线段和差倍分的最值】
【例5】（23-24·山东济南·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标；
(3)如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，求得的解析式，设，则，利用相似三角形的判定与性质可得答案；
（3）在轴上取一点，使得，连接，由相似三角形的判定与性质可得，可得，即可解答．
【详解】（1）解：将代入，
得，
，
抛物线的解析式为，
令，则，
，
令，则，
，，
，即；
∴，，
（2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，
设：，将，代入得解得：，，
：，
设，则，
，
，
，
，
将代入，
，
，
，
，
，
舍，，
；
（3）在轴上取一点，使得，连接，
根据旋转得性质得出：，
∵，
，
，
，
，
，
，
，当B、、F三点共线时，此时最小=，
最小值为：．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数与面积的问题、待定系数法求解析式，旋转的性质等知识．正确的作出辅助线是解此题的关键．
【变式5-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点．
（1）连接，，则为 三角形；
（2）点为该抛物线对称轴上一点，当取最小值时， ．
【答案】 等边 2
【分析】连接、，，作于，于，解方程得到得，，利用配方法得到，，则，从而可判断为等边三角形，接着利用得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长，继而求出，再利用勾股定理和含30度的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：连接，作于，于，如图，
当时，，
解得，，则，，
，则，，
，
而，
，
为等边三角形，
，
，
垂直平分，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
而，
则，此时，
∴，
∴，
∴，
故答案为：等边；2．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径的解决方法．
【变式5-2】 （23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标；
(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)面积的最大值为．
【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法即可求解；
（2）先求得A，B两点的坐标，当时，取得最小值，利用两点之间的距离公式列式求解即可；
（3）连接，设，利用列式得，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，，
设点P的坐标为，
当时，，
当时，，
∴当时，取得最小值，
此时，即，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：连接，如图，
设 ，
∴
，
∵，
∴面积的最大值为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·广东东莞·期中）如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点坐标为或
(3)存在，
【分析】（1）根据点的坐标，可求出点A的坐标，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可；
（3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将，，代入得，
，解得，，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在一点，使得，理由如下：
如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，
∵，
∴，即点是满足题意的点，
∵，，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
∵关于轴对称，
∴直线的解析式为：，
∴，，
∴是满足题意的点，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
综上所述，点坐标为或．
（3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下：
如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，则，
∴是等腰直角三角形
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴最小即是最小，
∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】
【例6】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)的最小值为
【分析】（1）抛物线与轴交于点，可设，求出点C的坐标，代入函数解析式求出a的值，即可得到答案；
（2）根据题意得到，进一步即可得到的最小值．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，
图象与轴交于点，当时，，
，
代入得，
，
解得，，
抛物线的解析式为，
即；
（2）∵
，，
，
∵，
∴，
的最小值为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意和准确计算是解题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·江西赣州·期中）观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．
．
【观察发现】（1）发现所列各组式子中两个因数的和都为_____________．
【问题解决】（2）若设其中一个因数为（，且为正整数），所列两个数的积为y，请说明哪个积最大，最大值是多少．
【拓展应用】（3）若大于0的a、b满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）取50或51时，最大为2250；（3）8
【分析】（1）两因数相加即可；
（2）可将题目中的算式设为的形式，利用二次函数的最值求得结果；
（3）由题意可知，，再次利用二次函数的最值求得结果即可.
【详解】（1），
故答案为：101；
（2）由题意可知，另一个因数为,
则（，且为正整数），
对称轴为，因x是正整数，且，
所以x取50或51时，y最大为2250．
（3）∵,∴，
∴，
当时，有最小值为8．
【点睛】本题主要考查了根据已知归纳规律和二次函数的最值问题，发现规律，运用二次函数的最值证明是解答此题的关键.
【变式6-2】（（23-24·贵州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，求二次函数的最大值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值．
【答案】(1)；
(2)最大值为2；
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可得出答案；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的性质得出当时，有最大值为2；
（3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，有最大值为2；
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，
①当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
∴，
∴或（舍去）．
②当时，
当时，有最大值为，
∵的最大值与最小值之和为，
∴最小值为，
∴，
∴或（舍去）．
综上所述，或．
【变式6-3】（23-24九年级·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
(1)直线上的“互补点”的坐标为_________；
(2)直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，m的最小值为k，求k的值．
【答案】(1)
(2)直线上有“互补点”，点的坐标为
(3)1或
【分析】（1）设直线上的“互补点”的坐标为，则可得出，解出x的值，即可得出答案；
（2）设直线上存在“互补点”，则可得，解出t的值，即可得出答案；
（3）设“互补点”的坐标为，则方程有唯一解，则其根的判别式，即，．再结合二次函数的性质分类讨论①当时， ②当时和③当时求解即可．
【详解】（1）设直线上的“互补点”的坐标为，
∴，
解得：，
∴直线上的“互补点”的坐标为，
故答案为：；
（2）设直线上存在“互补点”，
则由题意得：，
解得：，
∴直线上有“互补点”，点的坐标为；
（3）设“互补点”的坐标为，
由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，
∴．
整理得：．
∴当时，m随n的增大而减小；当时，m随n的增大而增大；当时，m取得最小函数值．
①当时，此时当时，m取得最小值，
由题意得，解得；
②当时，此时当时，m取得最小值，
由题意得，
整理得：，方程无解；
③当时，此时当时，m取得最小值，
由题意得，
整理得：，
解得，（舍）．
综上所述，k的值为1或．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．读懂题意，理解“互补点”的定义是解题关键．
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】
【例7】（（23-24九年级·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，设二次函数，、是实数，．
(1)若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式；
(2)若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点，；
(3)设函数和函数的最小值分别为和，若，求、的值．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）由对称轴可得，再将点代入即可求的值，进而求函数解析式；
（2）将点代入，得到，再方程两边同时除以，是的解，即可证明函数的图象经过点，；
（3）分别求出，，由题意可得，且，即可得，从而求出．
本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数对称轴、最大（小)值的求法是解题的关键．
【详解】解：（1）函数的对称轴为直线，
，
，
，
函数的图象经过点，
，
，
解得或，
或；
（2）函数的图象经过点，
，
，
方程两边同时除以得，，
即，
是的解，
函数的图象经过点，；
（3）函数和函数的最小值分别为和，
，，
，
，
，
或，
函数和函数都有最小值，
，
当时，，．
【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值和二次函数图象的顶点坐标．
(2)已知点在该二次函数图象上．
①当时，求的值；
②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值．
【答案】(1)，
(2)①当时，；②或
【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值等；
（1）将点代入二次函数，利用待定系数法求解a的值；将该二次函数的解析式配方，可得图象的顶点坐标；
（2）①将代入二次函数的解析式即可求出n的值；
②当二次函数的y值为1时，求出x的2个值，根据的端点可求出m的值．
【详解】（1）解：将点代入，得，解得．
二次函数的表达式为．
，
二次函数图象的顶点坐标为．
（2）①将代入，
得．
当时，．
②由（1），可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示．
根据函数图象，若满足当时，该二次函数有最小值1，则或，
或．
【变式7-2】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知拋物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．
(1)如图，若该拋物线可以由抛物线先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为．
（i）求A，B两点的坐标；
（ii）若线段的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交交于点P，求证：四边形是菱形；
(2)已知，抛物线顶点M在直线上，若在自变量x的值满足的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值．
【答案】(1)（i）、；（ii）证明见解析；
(2)h的值为或．
【分析】（1）（i）根据平移的性质和待定系数法，求出该抛物线解析式为，令，求出的值，即可得到A，B两点的坐标；
（ii）根据二次函数的性质，得到顶点，利用垂直平分线的性质，得到，，，再利用待定系数法和勾股定理，求出直线的解析式，得到，进而求得，即可证明四边形是菱形；
（2）分两种情况讨论：①当时；②当时，利用二次函数的性质，分别求出最小值方程，求解即可得到答案．
【详解】（1）（i）解：由平移性质可知，该抛物线解析式为，
点在抛物线上，
，
解得：，
该抛物线解析式为，
令，则，
解得：，，
该拋物线与x轴交于A，B两点，且A在B的左边，
、；
（ii）证明：抛物线的顶点为M，
，
是的垂直平分线，
，，点P为的中点，
点P的坐标为，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
抛物线解析式，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标，
抛物线顶点M在直线上，
，
①当时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大，
的最小值为，
，
解得：，（舍）；
②当时，
若，即，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小，
的最小值为，
，
，
解得：，（舍）；
若，即，此时对称轴在的范围内，
的最小值为，
，
解得：（舍），
综上可知，h的值为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的判定等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【变式7-3】（（23-24·广西贺州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．
【答案】(1)
(2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是
(3)或
【分析】
（1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式，求出a，b值，即可得答案；
（2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题；
（3）分4种情况，当时， ，解得：；当时，，解得：；当，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意．
【详解】（1）解：，
点A、B的坐标分别为，
将点A、B的坐标代入函数表达式，
，解得：
抛物线的表达式为；
（2）当时，，
点C的坐标为，
设直线的关系式为，将代入，
，解得
直线的关系式为，
设，则，
当时，线段长度有最大值，
存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是；
（3）
，
，
二次函数的顶点坐标是，
当时，，当时，，
当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当时，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，函数图像平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】
【例8】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）用好错题本可以有效的积累解题策略，减少再错的可能．下面是小颖同学错题本上的一道题，请仔细阅读，并完成相应任务．
*年*月*日 星期天 错题*** 在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，. ①求此抛物线的对称轴；（用含的式子表示） ②记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围；
任务一：请帮助小颖完成上述错题订正；
任务二：若点也是此抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，直接写出的取值范围．
【答案】任务一：①抛物线的对称轴为；②的取值范围为或；任务二：或
【分析】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
任务一：①将一般式转化为顶点式即可得解；
②将，代入解析式，求出，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可；
任务二：分点在点的左侧；点的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可．
【详解】解：任务一：① ，
抛物线的对称轴为；
②由，
得抛物线的顶点坐标为，
当时：，
当时：，
，，
，
过点垂直于轴的直线，如图：
由图象可知：当或时，直线与有且仅有一个交点，
的取值范围为或；
任务二：∵，
∴，
当时，，
∴
①当在点的左侧，即：，时：
在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，
解得：或（舍掉）；
②当在点的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意；
③当对称轴的右侧，即时，当时，
此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意；
③当对称轴的右侧，即时，当时，
此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴，
解得：（舍），或；
∴；
综上：或．
【变式8-1】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，点．
(1)求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标；
(2)点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出的取值范围．
【答案】(1)表达式为，对称轴是：直线，顶点坐标为
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式，再化为顶点式即可作答；
（2）当，解得或，可得，，根据顶点坐标为，数形结合即可作答．
【详解】（1）将点、的坐标分别代入二次函数，得方程组：
，
解得，
∴，
∵，
∴对称轴是：直线，顶点坐标为．
答：该二次函数的表达式为，对称轴是：直线，顶点坐标为．
（2）当，解得或，
如图，，，顶点是，
根据题意，点应在点、之间的函数图象上，可以看出，．
【变式8-2】（（23-24·浙江温州·模拟预测）已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过．
(1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象；
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法可得二次函数的表达式，再利用描点法补全该图象即可得；
（2）分三种情况：，和，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则这个二次函数的表达式为，
在图中补全该图象如下：
．
（2）解：二次函数的顶点坐标为，的最大值为4，
当时，，
由二次函数的对称性可知，当时，，
①当时，
则在内，随的增大而增大，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴与不符，舍去；
②当时，
则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴，符合题意；
③当时，
则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴与不符，舍去，
综上，的取值范围为．
【变式8-3】（23-24九年级·湖北·周测）已知抛物线经过点，与轴交于点，顶点在直线上．如图1，若点的坐标为，点的横坐标为1．
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)若当时，的最小值为2，最大值为11，请求出的取值范围；
(3)已知：点在抛物线上，点的坐标为，且，请直接写出符合题意的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查抛物线解析式的求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及二次函数图象与性质．
（1）首先求出b的值，然后把及点的坐标代入抛物线解析式求出c的值，抛物线的解析式即可求出；；
（2）点关于对称轴的对称点的坐标为．当时，的最小值为2，最大值为11，即可求解；
（3）当点M在直线上方时，由，得到直线的表达式为：，进而求解；当点M在直线下方时，同理可解．
【详解】（1）依题意，，
解得．
将及点的坐标代入抛物线解析式得
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）由知，．
∴点关于对称轴的对称点的坐标为．
∵当时，的最小值为2，最大值为11，
∴；
（3）由点A、N的坐标知，点A、N关于对称轴对称，则轴，
当点M在直线上方时，
设直线的解析式为，
把点的坐标代入得，
，
解得，
∴的解析式为，
∵，
∴与的交点在对称轴上，
∴当时，，
∴与的交点坐标为，
设直线的解析式为，
把分别代入得，
解得，
则直线的解析式为，
联立和并解得：
（不合题意，舍去），
∴M的坐标为；
当点M在直线下方时，
∵，
∴,
设直线的表达式为：，
当时，，解得，，
∴直线的表达式为：，
联立和并解得：
（不合题意，舍去），
∴M的坐标为；
综上，点M的坐标为：或；
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【人教版】
【题型1 几何图形中线段最值问题】 1
【题型2 两线段和的最值问题】 2
【题型3 周长的最值问题】 4
【题型4 面积的最值问题】 6
【题型5 线段和差倍分的最值】 8
【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】 9
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】 10
【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】 12
【题型1 几何图形中线段最值问题】
【例1】（23-24九年级·广西钦州·期中）如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【变式1-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，，点C是上的动点，以为边在同侧作等边三角形，M、N分别是中点，最小值（ ）
A．3 B． C． D．
【变式1-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，在矩形中，，将对角线绕对角线交点O旋转，分别交边于点E、F，点P是边上的一个动点，且保持，连接，设．
(1)填空： ， ；（用含x的代数式表示）
(2)若的面积为S，求S与x的函数关系及面积的最小值；
(3)在运动过程中，是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
【变式1-3】（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形中，，F是边上的动点，将绕点A顺时针旋转至，将沿AF翻折至，连接交于点H，连接，则面积的最大值为 ．
【题型2 两线段和的最值问题】
【例2】（（23-24·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式2-1】（（23-24·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点C为y轴正半轴上一点，且，D是线段上的动点（不与点A，C重合）．
(1)写出A、B、C三点坐标；
(2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标；
(3)如图2，若点E是线段上的动点，连接，当时，求的最小值．
【变式2-2】（（23-24·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围；
(3)连接，，直接写出的最小值．
【变式2-3】（（23-24·海南省直辖县级单位·二模）如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
(4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 周长的最值问题】
【例3】（（23-24·辽宁丹东·模拟预测）如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值；
(3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【变式3-1】（23-24九年级·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标；
(3)过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【变式3-2】（23-24九年级·全国·期末）如图抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
(3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
【变式3-3】（23-24九年级·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，
①求的最小值②求周长的最小值；
(3)如图2，N为射线CB上的一点，M是地物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，且，当为等腰三角形时，求点N的坐标．（直接写出点N的坐标，不要求写解答过程）
【题型4 面积的最值问题】
【例4】（23-24九年级·云南红河·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标；
(3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标；
【变式4-1】（23-24九年级·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，当取得最小值时，求此时点D的坐标．
(3)点P是直线上方抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值，并求此时点P的坐标．
【变式4-2】（23-24九年级·山东·期末）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期中）已知抛物线与y轴交于点，顶点为，过点直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最小值；
(3)若D，E两点都在第四象限，过点D作直线的垂线，垂足为F，直线与直线交于点G，连接，求证：四边形是平行四边形．
【题型5 线段和差倍分的最值】
【例5】（23-24·山东济南·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标；
(3)如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值．
【变式5-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点．
（1）连接，，则为 三角形；
（2）点为该抛物线对称轴上一点，当取最小值时， ．
【变式5-2】（23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标；
(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值．
【变式5-3】（23-24九年级·广东东莞·期中）如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】
【例6】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
【变式6-1】（23-24九年级·江西赣州·期中）观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．
．
【观察发现】（1）发现所列各组式子中两个因数的和都为_____________．
【问题解决】（2）若设其中一个因数为（，且为正整数），所列两个数的积为y，请说明哪个积最大，最大值是多少．
【拓展应用】（3）若大于0的a、b满足，求的最小值．
【变式6-2】（（23-24·贵州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，求二次函数的最大值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值．
【变式6-3】（23-24九年级·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
(1)直线上的“互补点”的坐标为_________；
(2)直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，m的最小值为k，求k的值．
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】
【例7】（（23-24九年级·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，设二次函数，、是实数，．
(1)若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式；
(2)若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点，；
(3)设函数和函数的最小值分别为和，若，求、的值．
【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值和二次函数图象的顶点坐标．
(2)已知点在该二次函数图象上．
①当时，求的值；
②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值．
【变式7-2】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知拋物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．
(1)如图，若该拋物线可以由抛物线先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为．
（i）求A，B两点的坐标；
（ii）若线段的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交交于点P，求证：四边形是菱形；
(2)已知，抛物线顶点M在直线上，若在自变量x的值满足的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值．
【变式7-3】（（23-24·广西贺州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．
【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】
【例8】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）用好错题本可以有效的积累解题策略，减少再错的可能．下面是小颖同学错题本上的一道题，请仔细阅读，并完成相应任务．
*年*月*日 星期天 错题*** 在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，. ①求此抛物线的对称轴；（用含的式子表示） ②记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围；
任务一：请帮助小颖完成上述错题订正；
任务二：若点也是此抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，直接写出的取值范围．
【变式8-1】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，点．
(1)求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标；
(2)点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出的取值范围．
【变式8-2】（（23-24·浙江温州·模拟预测）已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过．
(1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象；
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
【变式8-3】（23-24九年级·湖北·周测）已知抛物线经过点，与轴交于点，顶点在直线上．如图1，若点的坐标为，点的横坐标为1．
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)若当时，的最小值为2，最大值为11，请求出的取值范围；
(3)已知：点在抛物线上，点的坐标为，且，请直接写出符合题意的点的坐标．
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专题22.7 二次函数中的最值问题【八大题型】
【人教版】
【题型1 几何图形中线段最值问题】 1
【题型2 两线段和的最值问题】 7
【题型3 周长的最值问题】 19
【题型4 面积的最值问题】 31
【题型5 线段和差倍分的最值】 41
【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】 51
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】 56
【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】 64
【题型1 几何图形中线段最值问题】
【例1】（23-24九年级·广西钦州·期中）如图，线段，点P在线段上，在的同侧分别以为边长作正方形和，点M，N分别是，的中点，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【分析】设，，根据正方形的性质和勾股定理列出关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可．
【详解】解：作交延长线于，则四边形为矩形，
∴．
∵N是的中点，
∴，
∴．
设，，则，
在中，由勾股定理得：，
即．
∵，
∴当，即时，，
∴．即的最小值为5；
故选C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键．
【变式1-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，，点C是上的动点，以为边在同侧作等边三角形，M、N分别是中点，最小值（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，如图所示，连接，根据等边三角形的性质得到，，进而推出，设，则，，利用勾股定理得到，则，利用二次函数的性质求出的最小值，即可求出的到最小值．
【详解】解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，点N是的中点，
∴，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值，
∴有最小值，
故选D．
【变式1-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，在矩形中，，将对角线绕对角线交点O旋转，分别交边于点E、F，点P是边上的一个动点，且保持，连接，设．
(1)填空： ， ；（用含x的代数式表示）
(2)若的面积为S，求S与x的函数关系及面积的最小值；
(3)在运动过程中，是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
(3)不成立，理由见详解
【分析】（1）由矩形的性质可得，可证，可得由可得；
（2）由，可得，根据二次函数的性质可求面积的最小值；
（3）若，则可证，可得，即，方程无解，则不存在x的值使．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形
∴
∴且
∴
∴
∵且
∴
∴
故答案为：
（2）解：依题意
∵，
∴
∵的面积为S，
∴S与x的函数关系
∴开口向上，当时，面积的最小值为
（3）解：不成立
理由如下：若，则
又∵
∴，且
∴
∴
∴
则方程无解，
∴不存在x的值使，
即不成立．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，列代数式表达式、全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·广东广州·期中）如图，在正方形中，，F是边上的动点，将绕点A顺时针旋转至，将沿AF翻折至，连接交于点H，连接，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据正方形的性质和旋转的性质可得，
连接，作交 于 Q， 于 M，连接，设交于点 O．证出，可得，再证明，可得，同理，从而得到，设，则，再证出，列出含x的面积公式，利用二次函数配方即可得到最大值．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
，
，
∵将绕点A顺时针旋转至，
∴，
，
∴，
，
连接，作交 于 Q， 于 M，连接，设交于点 O．
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴时，的面积最大，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定及二次函数的运用，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定及二次函数的运用．
【题型2 两线段和的最值问题】
【例2】（（23-24·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使的值最小，求的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点，则的最小值为
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为、，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，；当时，，则；
∴、
将点、代入二次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则此时为最小，此时，点的坐标为，
又，
∴函数顶点D坐标为，
设直线的表达式为，
将、代入一次函数表达式得：，
解得，，
∴直线的表达式为：，
当时，，解得，
故点，
则的最小值为；
（3）解：对于，令，则，
解得，或，
∴点的坐标为；
又，
∴；
①当点P在x轴上方时，如图2中，
∵，则，
∴，
过点B作于点H，
∴
∴
∴
设
则，
∴
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
则
则；
②当点P在x轴下方时，同理可得；
故点P的坐标为或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
【变式2-1】（（23-24·江苏宿迁·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点C为y轴正半轴上一点，且，D是线段上的动点（不与点A，C重合）．
(1)写出A、B、C三点坐标；
(2)如图1，当点D关于x轴的对称点刚好落在抛物线上时，求此时D点的坐标；
(3)如图2，若点E是线段上的动点，连接，当时，求的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意得，，结合写出A、B、C三点坐标即可；
（2）设直线的解析式为，把，分别代入解析式，确定直线的解析式，设点，对称点坐标为，代入抛物线解析式中，计算解答即可；
（3）过点C作轴，且使得，连接，利用三角形全等，把线段和最小值转化为三角形不等式，解答即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求解析式，三角形全等的判定与性质，三角形不等式求最值，熟练掌握相关知识，特别是三角形不等式是解题的关键．
【详解】（1）根据题意得，
解得，，
∴，，
∴,
∵，
∴．
（2）设直线的解析式为，
把，分别代入解析式，得
，
故直线的解析式为，
设点，
则其对称点坐标为，
代入抛物线解析式中，得
，
整理，得，
解方程，得(舍去)，
当时，，
故．
（3）过点C作轴，且使得，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴．
∵轴，
∴，
∵，
∵
∴
∴，
∴的最小值变成了的最小值，
∵，
故当点P，D，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，
∴的最小值为．
【变式2-2】（（23-24·辽宁抚顺·模拟预测）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围；
(3)连接，，直接写出的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【分析】（1）由得，，再用待定系数法可得抛物线的解析式为；
（2）根据，四边形是正方形，得，设，则；当正方形与抛物线有唯一公共点时，，可得此时；当正方形与抛物线有唯一公共点时，可得此时；画出图形可得答案；
（3）求出；设，则，，可看作轴上的点到点和点的距离之和，当，，共线时，取最小值，求出可得答案．
【详解】（1）解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，四边形是正方形，
，
设，则；
当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图：
把代入得：
，
解得或在左侧，舍去；
此时；
当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图：
把代入得：
，
解得：或与重合，舍去，
此时；
由图可知，当时，正方形与抛物线有公共点；
当正方形与抛物线有公共点时，点横坐标的取值范围是；
（3）解：在中，令得：，
解得：或，
；
设，则，
，
，
，
当最小时，取最小值，
而可看作轴上的点到点和点的距离之和，如图：
当，，共线时，取最小值，最小值为的长，
，
的最小值为，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，正方形性质及应用，最短路径等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式2-3】（（23-24·海南省直辖县级单位·二模）如图，抛物线经过点，交轴于另一点（点在点点的左侧），点是该抛物线上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线下方且时，请求出点的横坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；
(4)若点在轴上，是否存在以为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，5
(4)存在，，
【分析】
对于（1），直接将点B，C的坐标代入关系式得出方程组，再求出解即可；
对于（2），先求出点A，C的坐标，进而求出直线的关系式，再求出，可知，
作轴，交于点，设P，K的坐标，并表示出，然后根据面积相等列出方程，并求出解；
对于（3），先确定最小时Q的位置，再根据勾股定理求出答案；
对于（4），①当点在轴下方时，有，根据可求出答案；
②当点在轴上方时，与是平行四边形的对角线，设点E，P的坐标，再根据对角线交点的坐标相同得出方程，求出解可得答案．
【详解】（1）
抛物线经过点，
∴，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）
令，则，
则，
，
设直线表达式为，又，
∴，
解得，
，
，
，
∴，
当时，，
作轴，交于点，
设，则
则，
则，，
．
即点的横坐标为或．
（3）
存在，
点与点关于对称轴对称，
当点在直线与对称轴交点处时最小，
此时，
由（2）知，
，所以这个最小值为5．
（4）
存在，设，
①当点在轴下方时，有，
,
，
则，
（舍去），，
②当点在轴上方时，与是平行四边形的对角线，
设，
，
∴，
则，
又，
，即，
综上所述，存在3个点：，．
【点睛】
本题主要考查了求二次函数的关系式，求一次函数的关系式，解一元二次方程，勾股定理，根据轴对称求线段和最小，平行四边形的性质，注意多种情况讨论，不要丢解．
【题型3 周长的最值问题】
【例3】（（23-24·辽宁丹东·模拟预测）如图，对称轴为直线的抛物线图象与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，若点为抛物线上第二象限内的一个动点，点为线段上一动点，当的面积最大时，求周长的最小值；
(3)如图，将原抛物线绕点旋转，得新抛物线，在新抛物线的对称轴上是否存在点使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，再把点，代入解析式即可求解；
（2）过点作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，面积最大，由此可对称点的坐标；再根据轴对称最值问题可求出周长的最小值；
（3）由可得原抛物线的顶点坐标，由旋转的性质可得的顶点坐标，进而可求出的对称轴；则需要分类讨论当时；当时；当时，分别建立方程求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
抛物线过点，点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）由（1）知函数解析式为：．
，
直线：，
过点作，设直线的解析式为：，
当的面积最大时，直线与抛物线有且仅有一个交点，
令，整理得，
，
解得：，
，
，即；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，如图，此时的周长最小，
，
，
，，
周长的最小值为：．
（3）由（1）知原抛物线的顶点坐标，绕点旋转后的顶点，
的对称轴为直线；
设点的坐标为，
若是等腰三角形，则需要分类讨论：
当时，如图；
，解得；
或；
当时；
，无解；
当时，如图，
，解得，
．
综上可知，存在，点的坐标为或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积最值问题，轴对称最值问题，等腰三角形存在性问题，（2）关键是求出点的坐标；（3）关键是进行正确的分类讨论，根据两点间距离公式建立方程．
【变式3-1】（23-24九年级·山东淄博·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作交抛物线于，若点为对称轴上一动点，求周长的最小值及此时点的坐标；
(3)过点作交抛物线于，过点为直线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)的周长最小为，的坐标为
(3)四边形的面积最大为，此时
【分析】（1）把两点代入抛物线的解析式得到，求解即可得出答案；
（2）求得，待定系数法求出直线的解析式为，从而得出直线的解析式为，联立得出，关于抛物线的对称轴对称，直线与对称轴的交点即为点，此时，的周长为最小，求出，即可得解；
（3）过点作轴的垂线，交直线于点，设点的坐标为，则，则，求出，由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：由抛物线可得，当时，，
，对称轴为直线，
设直线的解析式为，代入点，点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
∵如图，关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与对称轴的交点即为点，此时，
∴最小，
∴的周长为最小，
∵直线的解析式为，当时，，
的坐标为，
∵，
∴的周长最小为；
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点，
设点的坐标为，则，其中，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为，此时．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【变式3-2】（23-24九年级·全国·期末）如图抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
(3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．
【答案】(1)抛物线的表达式为：，函数的对称轴为：；
(2)
(3)点的坐标为或．
【分析】
（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；
（2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；
（3），即可求解．
【详解】（1）
解：，点，
则抛物线的表达式为：，
故，解得：，
故抛物线的表达式为：①，
函数的对称轴为：；
（2）
解：四边形的周长，其中、是常数，
故最小时，周长最小，
取点关于直线对称点，则，
取点，则，
故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，
四边形的周长的最小值
；
（3）
解：如图，设直线交轴于点，
直线把四边形的面积分为两部分，
又，
则或，
则或，
即：点的坐标为或，
将点的坐标代入直线的表达式：，
解得：或，
故直线的表达式为：或②
联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去），
故点的坐标为或．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称性等，通过确定点点来求最小值，是本题的难点．
【变式3-3】（23-24九年级·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为，
①求的最小值②求周长的最小值；
(3)如图2，N为射线CB上的一点，M是地物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，且，当为等腰三角形时，求点N的坐标．（直接写出点N的坐标，不要求写解答过程）
【答案】(1)
(2)①，②
(3)，或，或，．
【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；
（2）①设为关于直线的对称点，连接，，根据点到直线的距离垂线段最短可知，当、E、F三点共线，而且时，最小，最小值为，②设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，．当，．．共线时，的周长最小，最小值为的长；
（3）求出直线的解析式，利用方程组求出点的坐标，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点．分三种情形：当时，当时，当时，分别构建方程求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点，点．
，
，
抛物线的解析式为；
（2）令，则，
解得或3，
，
，
是等腰直角三角形，
①设为关于直线的对称点，连接，，
，
根据点到直线的距离垂线段最短可知，当、E、F三点共线，而且时，最小，最小值为，
如图1，过点作，垂足为F，
此时是等腰直角三角形， ，
故的最小值为；
②如解图2，设为关于直线的对称点，为关于直线的对称点，连接，，．
由对称性可知，，的周长，
当，．．共线时，的周长最小，最小值为的长，
令，则，
解得或3，
，
，
是等腰直角三角形，
垂直平分，且，，
，
，
，关于轴对称，
，
，
的周长的最小值为．
（3）设直线的解析式为，
则有，
，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
点在射线上，
设，
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点．
，，，
，，，
是等腰三角形，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得，
在第一象限，
，
的值为，，，
点的坐标为，或，或，．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【题型4 面积的最值问题】
【例4】（23-24九年级·云南红河·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标；
(3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标；
【答案】(1)
(2)
(3)面积的最大值为，此时
【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可；
（2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解；
（3）设，，过点G作轴，交于点F，设直线BC的解析式为，利用待定系数法得出，确定，，结合图形得出三角形面积的二次函数，由函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2），
∴抛物线的对称轴为，
当时，，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵、两点关于对称，
∴抛物线的对称轴为直线
当时，，
∴
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，
∴
（3）如图2所示：设，
过点作轴，交于点，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
解得：，
直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴
∵，
∴当时，，面积的最大值为，此时．
【点睛】题目主要考查二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
【变式4-1】（23-24九年级·甘肃武威·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，当取得最小值时，求此时点D的坐标．
(3)点P是直线上方抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值，并求此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)4；
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2） 根据A，B是对称点，连接，交对称轴于点D，利用直线解析式与对称轴交点坐标计算即可．
（3）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设，则，则，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案．本题考查了待定系数法，抛物线的最值，线段和最小，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线过点
设抛物线解析式为，
故，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线，
∴对称轴为直线，
设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：
解得，
直线的解析式为：，
∵A，B是对称点，连接，交对称轴于点D，此时取得最小值，
当时，
，
故．
（3）如图，过点作轴的平行线，交于，
设，则，
则，，
∴
，由此可得，
当，最大为4，
当时，，
∴．
【变式4-2】（23-24九年级·山东·期末）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若连接、．动点D从点A出发，在线段上以每秒1个单位长度向点B做匀速运动；同时，动点E从点B出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．在D、E运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)点M是抛物线上位于x轴上方的一点，点N在x轴上，是否存在以点M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，四边形的面积最小，最小值为
(3)存在，或
【分析】（1）根据交点式列出函数解析式，即可求解；
（2）根据题意可得是等腰直角三角形，过点E作轴，垂足为，根据列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，设，证明，可得，进而列出方程，解方程即可求解；
【详解】（1）解：∵，，则，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴是等腰直角三角形，由点的运动可知：
，过点作轴，垂足为，
∴，
又∵，则，
∴
，
∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，
∴，，
∴，
当时，四边形的面积最小，即为；
（3）解：存在，或，
当点在的右侧时，如图所示，
过点作轴的平行线，交轴于点，过点作，
∵是以为直角为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，，
∴，
又
∴，
∴，
设，
∴，
解得：或（舍去）
∴；
当点在的右侧时，同理可得，
解得：或（舍去）
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查二次函数的综合运用，解题的关键是求出解析式，分类讨论点根据面积加减及线段关系列式求解．
【变式4-3】（23-24九年级·福建福州·期中）已知抛物线与y轴交于点，顶点为，过点直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最小值；
(3)若D，E两点都在第四象限，过点D作直线的垂线，垂足为F，直线与直线交于点G，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)
(2)8
(3)见解析
【分析】（1）由抛物线的顶点为，设，将代入即可求解；
（2）设过点的直线为，将代入可求得，联立抛物线可得：，整理得：，可知，，由题意可得，要使得最小，即最小即可，再根据即可求解；
（3）由题意可知，，，由（2）可知，为方程的解，可得，，设直线为，将，，代入可求得，当时，，可得点的纵坐标，进而可得，化简可得，进而可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴，
将代入，可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设过点的直线为，
将代入可得：，即：，
∴，
联立抛物线可得：，
整理得：，
点，点为直线与的交点，则方程的解为两点的横坐标，，
∴，，
∵，，
∴轴，
则，
要使得最小，即最小即可，
，
∵，
∴，
∴的最小值为：，
即：面积的最小值为．
（3）证明：∵，则点在直线上，
则，由题意可知：，则，
∵轴，则，
∴，则，
由（2）可知，为方程的解，
∴，，
则，，
，
设直线为，将，，代入可得，即，
∴当时，，
即：点的纵坐标，
∴，
即：
，
则，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定，一元二次方程根与系数的关系，利用参数表示点的坐标是解决问题的关键．
【题型5 线段和差倍分的最值】
【例5】（23-24·山东济南·一模）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
(1)求a，b，c的值；
(2)如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标；
(3)如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，求得的解析式，设，则，利用相似三角形的判定与性质可得答案；
（3）在轴上取一点，使得，连接，由相似三角形的判定与性质可得，可得，即可解答．
【详解】（1）解：将代入，
得，
，
抛物线的解析式为，
令，则，
，
令，则，
，，
，即；
∴，，
（2）过点作轴，交于点，过点作轴的平行线交的延长线于，
设：，将，代入得解得：，，
：，
设，则，
，
，
，
，
将代入，
，
，
，
，
，
舍，，
；
（3）在轴上取一点，使得，连接，
根据旋转得性质得出：，
∵，
，
，
，
，
，
，
，当B、、F三点共线时，此时最小=，
最小值为：．
【点睛】此题考查的是二次函数的综合题意，涉及到相似三角形的判定与性质、二次函数与面积的问题、待定系数法求解析式，旋转的性质等知识．正确的作出辅助线是解此题的关键．
【变式5-1】（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点．
（1）连接，，则为 三角形；
（2）点为该抛物线对称轴上一点，当取最小值时， ．
【答案】 等边 2
【分析】连接、，，作于，于，解方程得到得，，利用配方法得到，，则，从而可判断为等边三角形，接着利用得到，利用抛物线的对称性得到，所以，根据两点之间线段最短得到当、、共线时，的值最小，最小值为的长，然后计算出的长，继而求出，再利用勾股定理和含30度的直角三角形的性质求出即可．
【详解】解：连接，作于，于，如图，
当时，，
解得，，则，，
，则，，
，
而，
，
为等边三角形，
，
，
垂直平分，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
而，
则，此时，
∴，
∴，
∴，
故答案为：等边；2．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径的解决方法．
【变式5-2】 （23-24九年级·安徽阜阳·阶段练习）已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标；
(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)面积的最大值为．
【分析】（1）设出顶点式，利用待定系数法即可求解；
（2）先求得A，B两点的坐标，当时，取得最小值，利用两点之间的距离公式列式求解即可；
（3）连接，设，利用列式得，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，，
设点P的坐标为，
当时，，
当时，，
∴当时，取得最小值，
此时，即，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：连接，如图，
设 ，
∴
，
∵，
∴面积的最大值为．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·广东东莞·期中）如图，已知抛物线（）与轴相交于点，与轴分别交于点和点A，且．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线上是否存在一点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)抛物线的对称轴交轴于点，在轴上是否存在一个点，使的值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点坐标为或
(3)存在，
【分析】（1）根据点的坐标，可求出点A的坐标，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，根据题意分别计算出直线的解析式，根据直线与抛物线由交点，联立方程组求解即可；
（3）如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，根据点的坐标可得是等腰直角三角形，由此可得是等腰直角三角形，可得，当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，根据抛物线的特点可得点的坐标，由此可求出的长，根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将，，代入得，
，解得，，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在一点，使得，理由如下：
如图所示，过点作交轴于点，交抛物线于点，作关于轴的对称点，作交抛物线于，
∵，
∴，即点是满足题意的点，
∵，，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
∵关于轴对称，
∴直线的解析式为：，
∴，，
∴是满足题意的点，
设直线的解析式为：，将代入得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
直线与抛物线联立方程组得，
解得，（与重合，舍去）或，
∴，
综上所述，点坐标为或．
（3）解：在轴上存在一个点，使的值最小，理由如下：
如图所示，过点作于，过点作于，交轴于点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，则，
∴是等腰直角三角形
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴最小即是最小，
∴当运动到，和重合时，的值最小，最小值是，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即的最小值为．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法解二次函数解析式，几何图形的变换特点，一次函数与二次函数联立方程组求解，等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
【题型6 由二次函数性质求二次函数的最值】
【例6】（23-24九年级·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上不同的两点且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)的最小值为
【分析】（1）抛物线与轴交于点，可设，求出点C的坐标，代入函数解析式求出a的值，即可得到答案；
（2）根据题意得到，进一步即可得到的最小值．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，
图象与轴交于点，当时，，
，
代入得，
，
解得，，
抛物线的解析式为，
即；
（2）∵
，，
，
∵，
∴，
的最小值为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意和准确计算是解题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·江西赣州·期中）观察下列两个数的乘积，说明其中哪个积最大．
．
【观察发现】（1）发现所列各组式子中两个因数的和都为_____________．
【问题解决】（2）若设其中一个因数为（，且为正整数），所列两个数的积为y，请说明哪个积最大，最大值是多少．
【拓展应用】（3）若大于0的a、b满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）取50或51时，最大为2250；（3）8
【分析】（1）两因数相加即可；
（2）可将题目中的算式设为的形式，利用二次函数的最值求得结果；
（3）由题意可知，，再次利用二次函数的最值求得结果即可.
【详解】（1），
故答案为：101；
（2）由题意可知，另一个因数为,
则（，且为正整数），
对称轴为，因x是正整数，且，
所以x取50或51时，y最大为2250．
（3）∵,∴，
∴，
当时，有最小值为8．
【点睛】本题主要考查了根据已知归纳规律和二次函数的最值问题，发现规律，运用二次函数的最值证明是解答此题的关键.
【变式6-2】（（23-24·贵州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，求二次函数的最大值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值．
【答案】(1)；
(2)最大值为2；
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
（1）利用待定系数法计算即可得出答案；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为，再根据抛物线的性质得出当时，有最大值为2；
（3）由（2）得：抛物线的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别计算即可得出答案．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，有最大值为2；
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，
①当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
∴，
∴或（舍去）．
②当时，
当时，有最大值为，
∵的最大值与最小值之和为，
∴最小值为，
∴，
∴或（舍去）．
综上所述，或．
【变式6-3】（23-24九年级·湖南长沙·开学考试）在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
(1)直线上的“互补点”的坐标为_________；
(2)直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，m的最小值为k，求k的值．
【答案】(1)
(2)直线上有“互补点”，点的坐标为
(3)1或
【分析】（1）设直线上的“互补点”的坐标为，则可得出，解出x的值，即可得出答案；
（2）设直线上存在“互补点”，则可得，解出t的值，即可得出答案；
（3）设“互补点”的坐标为，则方程有唯一解，则其根的判别式，即，．再结合二次函数的性质分类讨论①当时， ②当时和③当时求解即可．
【详解】（1）设直线上的“互补点”的坐标为，
∴，
解得：，
∴直线上的“互补点”的坐标为，
故答案为：；
（2）设直线上存在“互补点”，
则由题意得：，
解得：，
∴直线上有“互补点”，点的坐标为；
（3）设“互补点”的坐标为，
由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，
∴．
整理得：．
∴当时，m随n的增大而减小；当时，m随n的增大而增大；当时，m取得最小函数值．
①当时，此时当时，m取得最小值，
由题意得，解得；
②当时，此时当时，m取得最小值，
由题意得，
整理得：，方程无解；
③当时，此时当时，m取得最小值，
由题意得，
整理得：，
解得，（舍）．
综上所述，k的值为1或．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．读懂题意，理解“互补点”的定义是解题关键．
【题型7 由二次函数的最值求字母的值】
【例7】（（23-24九年级·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，设二次函数，、是实数，．
(1)若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式；
(2)若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点，；
(3)设函数和函数的最小值分别为和，若，求、的值．
【答案】(1)或
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）由对称轴可得，再将点代入即可求的值，进而求函数解析式；
（2）将点代入，得到，再方程两边同时除以，是的解，即可证明函数的图象经过点，；
（3）分别求出，，由题意可得，且，即可得，从而求出．
本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数对称轴、最大（小)值的求法是解题的关键．
【详解】解：（1）函数的对称轴为直线，
，
，
，
函数的图象经过点，
，
，
解得或，
或；
（2）函数的图象经过点，
，
，
方程两边同时除以得，，
即，
是的解，
函数的图象经过点，；
（3）函数和函数的最小值分别为和，
，，
，
，
，
或，
函数和函数都有最小值，
，
当时，，．
【变式7-1】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值和二次函数图象的顶点坐标．
(2)已知点在该二次函数图象上．
①当时，求的值；
②当时，该二次函数有最小值1，请结合函数图像求出的值．
【答案】(1)，
(2)①当时，；②或
【分析】本题考查二次函数的图象、性质、最值等；
（1）将点代入二次函数，利用待定系数法求解a的值；将该二次函数的解析式配方，可得图象的顶点坐标；
（2）①将代入二次函数的解析式即可求出n的值；
②当二次函数的y值为1时，求出x的2个值，根据的端点可求出m的值．
【详解】（1）解：将点代入，得，解得．
二次函数的表达式为．
，
二次函数图象的顶点坐标为．
（2）①将代入，
得．
当时，．
②由（1），可知抛物线的对称轴为直线，点关于直线的对称点为，如解图所示．
根据函数图象，若满足当时，该二次函数有最小值1，则或，
或．
【变式7-2】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）已知拋物线与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．顶点为M．
(1)如图，若该拋物线可以由抛物线先向右平移5个单位，在向上平移4个单位得到，点C坐标为．
（i）求A，B两点的坐标；
（ii）若线段的垂直平分线交x轴交于点D，交y轴交于点E，交交于点P，求证：四边形是菱形；
(2)已知，抛物线顶点M在直线上，若在自变量x的值满足的情况下，对应函数值y的最小值为，求h的值．
【答案】(1)（i）、；（ii）证明见解析；
(2)h的值为或．
【分析】（1）（i）根据平移的性质和待定系数法，求出该抛物线解析式为，令，求出的值，即可得到A，B两点的坐标；
（ii）根据二次函数的性质，得到顶点，利用垂直平分线的性质，得到，，，再利用待定系数法和勾股定理，求出直线的解析式，得到，进而求得，即可证明四边形是菱形；
（2）分两种情况讨论：①当时；②当时，利用二次函数的性质，分别求出最小值方程，求解即可得到答案．
【详解】（1）（i）解：由平移性质可知，该抛物线解析式为，
点在抛物线上，
，
解得：，
该抛物线解析式为，
令，则，
解得：，，
该拋物线与x轴交于A，B两点，且A在B的左边，
、；
（ii）证明：抛物线的顶点为M，
，
是的垂直平分线，
，，点P为的中点，
点P的坐标为，
设直线的解析式为，
，解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，，
令，则，
解得：，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
抛物线解析式，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标，
抛物线顶点M在直线上，
，
①当时，此时在对称轴的右侧，随的增大而增大，
的最小值为，
，
解得：，（舍）；
②当时，
若，即，此时在对称轴的左侧，随的增大而减小，
的最小值为，
，
，
解得：，（舍）；
若，即，此时对称轴在的范围内，
的最小值为，
，
解得：（舍），
综上可知，h的值为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，垂直平分线的性质，勾股定理，菱形的判定等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
【变式7-3】（（23-24·广西贺州·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．
【答案】(1)
(2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是
(3)或
【分析】
（1）先求出点A、B的坐标，再将点A、B的坐标代入函数表达式，求出a，b值，即可得答案；
（2）由题意巧设坐标，用未知数m表示出来的长度，根据二次函数最值问题即可解决问题；
（3）分4种情况，当时， ，解得：；当时，，解得：；当，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意；当时，函数的最小值是，函数的最大值，t不符合题意．
【详解】（1）解：，
点A、B的坐标分别为，
将点A、B的坐标代入函数表达式，
，解得：
抛物线的表达式为；
（2）当时，，
点C的坐标为，
设直线的关系式为，将代入，
，解得
直线的关系式为，
设，则，
当时，线段长度有最大值，
存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是；
（3）
，
，
二次函数的顶点坐标是，
当时，，当时，，
当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当时，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，函数图像平移的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
【题型8 由二次函数的最值求字母的取值范围】
【例8】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）用好错题本可以有效的积累解题策略，减少再错的可能．下面是小颖同学错题本上的一道题，请仔细阅读，并完成相应任务．
*年*月*日 星期天 错题*** 在平面直角坐标系中，抛物线存在两点，. ①求此抛物线的对称轴；（用含的式子表示） ②记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），轴上一动点，过点作垂直于轴的直线与有且仅有一个交点，求的取值范围；
任务一：请帮助小颖完成上述错题订正；
任务二：若点也是此抛物线上的点，记抛物线在，之间的部分为图象（包括，两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，直接写出的取值范围．
【答案】任务一：①抛物线的对称轴为；②的取值范围为或；任务二：或
【分析】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
任务一：①将一般式转化为顶点式即可得解；
②将，代入解析式，求出，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即可；
任务二：分点在点的左侧；点的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可．
【详解】解：任务一：① ，
抛物线的对称轴为；
②由，
得抛物线的顶点坐标为，
当时：，
当时：，
，，
，
过点垂直于轴的直线，如图：
由图象可知：当或时，直线与有且仅有一个交点，
的取值范围为或；
任务二：∵，
∴，
当时，，
∴
①当在点的左侧，即：，时：
在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∴点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，
∴，
解得：或（舍掉）；
②当在点的右侧，对称轴的左侧时，此时，不符合题意；
③当对称轴的右侧，即时，当时，
此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：不符合题意；
③当对称轴的右侧，即时，当时，
此时点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，
∴，
解得：（舍），或；
∴；
综上：或．
【变式8-1】（23-24九年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知二次函数的图象经过点，点．
(1)求该二次函数的表达式，并求出对称轴和顶点坐标；
(2)点在该二次函数图象上，当时，的最大值为，最小值为1，请根据图象直接写出的取值范围．
【答案】(1)表达式为，对称轴是：直线，顶点坐标为
(2)
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式，再化为顶点式即可作答；
（2）当，解得或，可得，，根据顶点坐标为，数形结合即可作答．
【详解】（1）将点、的坐标分别代入二次函数，得方程组：
，
解得，
∴，
∵，
∴对称轴是：直线，顶点坐标为．
答：该二次函数的表达式为，对称轴是：直线，顶点坐标为．
（2）当，解得或，
如图，，，顶点是，
根据题意，点应在点、之间的函数图象上，可以看出，．
【变式8-2】（（23-24·浙江温州·模拟预测）已知二次函数图象的一部分如图所示，它经过．
(1)求这个二次函数的表达式，并在图中补全该图象；
(2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的取值范围．
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）利用待定系数法可得二次函数的表达式，再利用描点法补全该图象即可得；
（2）分三种情况：，和，利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：将点代入得：，
解得，
则这个二次函数的表达式为，
在图中补全该图象如下：
．
（2）解：二次函数的顶点坐标为，的最大值为4，
当时，，
由二次函数的对称性可知，当时，，
①当时，
则在内，随的增大而增大，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴与不符，舍去；
②当时，
则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴，符合题意；
③当时，
则在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴此时函数的最大值，最小值，
∴与不符，舍去，
综上，的取值范围为．
【变式8-3】（23-24九年级·湖北·周测）已知抛物线经过点，与轴交于点，顶点在直线上．如图1，若点的坐标为，点的横坐标为1．
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)若当时，的最小值为2，最大值为11，请求出的取值范围；
(3)已知：点在抛物线上，点的坐标为，且，请直接写出符合题意的点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查抛物线解析式的求法，抛物线顶点与对称轴的求法以及二次函数图象与性质．
（1）首先求出b的值，然后把及点的坐标代入抛物线解析式求出c的值，抛物线的解析式即可求出；；
（2）点关于对称轴的对称点的坐标为．当时，的最小值为2，最大值为11，即可求解；
（3）当点M在直线上方时，由，得到直线的表达式为：，进而求解；当点M在直线下方时，同理可解．
【详解】（1）依题意，，
解得．
将及点的坐标代入抛物线解析式得
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）由知，．
∴点关于对称轴的对称点的坐标为．
∵当时，的最小值为2，最大值为11，
∴；
（3）由点A、N的坐标知，点A、N关于对称轴对称，则轴，
当点M在直线上方时，
设直线的解析式为，
把点的坐标代入得，
，
解得，
∴的解析式为，
∵，
∴与的交点在对称轴上，
∴当时，，
∴与的交点坐标为，
设直线的解析式为，
把分别代入得，
解得，
则直线的解析式为，
联立和并解得：
（不合题意，舍去），
∴M的坐标为；
当点M在直线下方时，
∵，
∴,
设直线的表达式为：，
当时，，解得，，
∴直线的表达式为：，
联立和并解得：
（不合题意，舍去），
∴M的坐标为；
综上，点M的坐标为：或；
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