人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.9确定二次函数的解析式【九大题型】(学生版+解析)

专题22.9 确定二次函数的解析式【九大题型】
【人教版】
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】 1
【题型2 利用顶点式求二次函数的解析式】 2
【题型3 利用交点式求二次函数的解析式】 3
【题型4 利用平移变换求二次函数的解析式】 4
【题型5 利用对称变换求二次函数的解析式】 5
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】 6
【题型7 利用图象信息确定二次函数解析式】 7
【题型8 利用几何图形的性质确定二次函数解析式】 8
【题型9 利用线段间的数量关系确定二次函数解析式】 10
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】
【例1】（23-24九年级·吉林·期末）如图，抛物线，过，，三点，其中D为顶点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线在右上方的一点，设点的横坐标为，面积为．是否有最大值？若有，请求出最大值及的坐标，若无，请说明理由．
【变式1-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 2 7 …
(1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)直接写出当时，求y的取值范围 ．
【变式1-3】（23-24九年级·云南·期末）已知抛物线经过点和点．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当自变量x满足时，求y的取值范围；
(3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值．
【题型2 利用顶点式求二次函数的解析式】
【例2】（23-24九年级·云南昆明·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标；
(3)点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标．
【变式2-1】（23-24九年级·江西宜春·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点和．如果抛物线的对称轴为直线，求这个二次函数的解析式．
【变式2-2】（23-24九年级·吉林·期末）已知一个二次函数的图象以为顶点，且过点．
(1)求该函数的解析式；
(2)设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则的面积为__________．
【变式2-3】（23-24九年级·山西临汾·期末）如图，已知拋物线的顶点坐标是，且与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，交于点，作于点．设点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)当为多少时，最大？最大值为多少？
(3)请直接写出的最大值．
【题型3 利用交点式求二次函数的解析式】
【例3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2024春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
【变式3-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，求函数最大值与最小值的差；
(3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围．
【变式3-3】（23-24九年级·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧；
(1)求经过A、B、C的抛物线的解析式；
(2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 利用平移变换求二次函数的解析式】
【例4】（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧．
若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
【变式4-1】（23-24九年级·安徽安庆·期中）平移抛物线，使顶点坐标为，并且经过点，求平移后抛物线对应的函数表达式．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）已知二次函数图象经过，、三点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)将该二次函数图象平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式．
【变式4-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
【题型5 利用对称变换求二次函数的解析式】
【例5】（2024·山东济南·一模）把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-1】（2024·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3
【变式5-2】（23-24九年级·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标中，对抛物线在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2023次变换后所得的A点的坐标是 ．

【变式5-3】（2024·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则的值为（ ）
A．0 B． C．4 D．
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】
【例6】（2024·山东济南·一模）已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】（2024·河南周口·二模）如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)如图2，将该抛物线绕点旋转．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积．
【变式6-2】（2024·陕西西安·一模）将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【变式6-3】（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，若点在第段抛物线上，则m的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．不确定
【题型7 利用图象信息确定二次函数解析式】
【例7】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，求函数值的最小值和最大值．
【变式7-1】（2024·四川广元·九年级期末）若二次函数（，为常数）的图象如图，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．-2
【变式7-2】（23-24九年级·北京西城·期中）如下图为某二次函数的部分图象，
有如下四个结论：
①此二次函数表达式为；
②若点在这个二次函数图象上，则；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为；
④当时，；
所有正确结论的序号是 ．
【变式7-3】（2024·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象所在的位置如图所示：
(1)请根据图象信息求该二次函数的表达式；
(2)将该图象（）的部分，沿y轴翻折，翻折后的二次函数图象与原有二次函数图象构成了新的图象，记为图象G，现有一次函数的图象与图象G有4个交点，请求出b的取值范围．
【题型8 利用几何图形的性质确定二次函数解析式】
【例8】（23-24九年级·河北邯郸·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
【变式8-1】（2024·湖北荆州·二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北武汉·期中）如图1，一段高架桥的两墙A，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为米，试求内接矩形的面积S（用含的式子表示）；
(3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米，广告牌其余部分的价格为160元/米，试求完成菱形广告牌所需的最低费用．
【变式8-3】（2024·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为、，经过、作轴的垂线分别交于、两点，得到正方形，抛物线经过，两点，点为抛物线上一点（不与点重合），过点分别作轴交轴于点，轴交轴于点，设点的横坐标为，
(1)求抛物线的解析式
(2)当点在第一象限；矩形与正方形重叠部分图形的周长为．
①若≥时，函数的最小值为，求的值；
②当时，求与之间的函数关系式．
【题型9 利用线段间的数量关系确定二次函数解析式】
【例9】（23-24九年级·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标．
【变式9-1】（23-24九年级·河南信阳·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，，点N是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，过点N作轴交抛物线于点M．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)若点N沿抛物线向下移动，使得，求点N的纵坐标取值范围；
(3)若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标的取值范围．
【变式9-2】（2024·广东珠海·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点．

(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
【变式9-3】（23-24九年级·广东湛江·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且，抛物线经过A，B，C三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作，垂足为点D，用含m的代数式表示线段的长，并求出线段的最大值．
(3)设点M为x轴上一动点，当直线与直线所夹的锐角时，直接写出点M的坐标．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题22.9 确定二次函数的解析式【九大题型】
【人教版】
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】 1
【题型2 利用顶点式求二次函数的解析式】 6
【题型3 利用交点式求二次函数的解析式】 11
【题型4 利用平移变换求二次函数的解析式】 16
【题型5 利用对称变换求二次函数的解析式】 21
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】 23
【题型7 利用图象信息确定二次函数解析式】 27
【题型8 利用几何图形的性质确定二次函数解析式】 31
【题型9 利用线段间的数量关系确定二次函数解析式】 39
【题型1 利用一般式求二次函数的解析式】
【例1】（23-24九年级·吉林·期末）如图，抛物线，过，，三点，其中D为顶点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是抛物线在右上方的一点，设点的横坐标为，面积为．是否有最大值？若有，请求出最大值及的坐标，若无，请说明理由．
【答案】(1)
(2)最大值1，
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键；
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点作轴交于点，由，可知，则，当时，有最大值1，此时．
【详解】（1）解：将，，代入，
，
解得，
；
（2），
，对称轴为直线，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
，
，
，
，
当时，有最大值1，
此时．
【变式1-1】（23-24九年级·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点．
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)抛物线的对称轴为直线，顶点坐标．
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及一般式与顶点式之间的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）把A点和B点坐标代入中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点和点，
∴ ，解得
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为；
（2）解：
，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江台州·期末）二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 2 7 …
(1)二次函数的图象开口向 ，对称轴为直线 ．
(2)求该二次函数的解析式．
(3)直接写出当时，求y的取值范围 ．
【答案】(1)上，
(2)
(3)
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）当时，；当时，，可得对称轴，由表中数据，利用待定系数法即可求得的值，即可判断开口方向；
（2）由表中数据，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当和时的值，结合顶点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：当时，；当时，，
二次函数图象的对称轴为直线，
将，，代入，
得：，
解得：，
二次函数的表达式为；
∵，
∴二次函数的图象开口向上，
故答案为：上，；
（2）由（1）可知二次函数的表达式为；
（3）解：当时，；
当时，．
又二次函数图象的顶点坐标为，抛物线开口向上，
当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
当时，．
故答案为：．
【变式1-3】（23-24九年级·云南·期末）已知抛物线经过点和点．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当自变量x满足时，求y的取值范围；
(3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足时，y的最小值为5，求m的值．
【答案】(1)解析式为：；顶点坐标为
(2)
(3)或
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，平移性质等．
（1）将点和点代入中求出的值，即可计算出本题答案；
（2）利用二次函数顶点式可得当时取得最小值，再求出和时对应的函数值即可得到本题答案；
（3）根据题意分别设抛物线左右平移解析式，利用函数性质得到最值情况，即可得到本题答案．
【详解】（1）解：将点和点代入中得，
，解得：，
∴，
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，
∴二次函数对称轴为：，
∵，
∴此时函数有最小值，
∵自变量x满足时，
当时，，
当时，，
∴自变量x满足时，y的取值范围为：；
（3）解：∵将此抛物线沿x轴平移m个单位后，
∴设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为，
∵当自变量满足时，的最小值为5，
∴，即，
此时时，，即，解得：（舍去），
设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为，
∵当自变量满足时，的最小值为5，
∴，即，
此时时，，即，解得：（舍去），
综上所述：的值为：或．
【题型2 利用顶点式求二次函数的解析式】
【例2】（23-24九年级·云南昆明·期末）已知抛物线的顶点坐标为，且该抛物线经过点
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与坐标轴的交点坐标；
(3)点在该抛物线上，且为整数，若的值为整数，求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)抛物线与轴的交点坐标为，；
抛物线与轴的交点坐标为
(3)或或或
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质，深刻理解并运用数形结合思想是解题的关键．
（1）首先设二次函数解析式为，然后把代入其中确定的值即可求解；
（2）令，解一元二次方程，即可求得抛物线与轴的交点坐标；令，求出，即可求得抛物线与轴的交点坐标；
（3）首先把代入（1）中解析式，得到关于、的关系式，然后代入所求代数式，利用整数的知识求出、的值即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
设二次函数解析式为，
该抛物线经过点，
把代入中，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
即，
分解因式，得：，
，，
抛物线与轴的交点坐标为，；
当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
（3）解：点在该抛物线上，
把代入中，
，
，
，为整数，
而的因数有或，
或，
或或或，
或，
点的坐标为或或或．
【变式2-1】（23-24九年级·江西宜春·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点和．如果抛物线的对称轴为直线，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了求函数解析式，灵活运用待定系数法求函数解析式成为解题的关键．
先求得、，再根据对称轴为设二次函数的解析式为，然后将、代入求得a、h即可解答．
【详解】解:∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点和，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴设二次函数的解析式为
将，代入可得：
，解得：，
∴
∴．
【变式2-2】（23-24九年级·吉林·期末）已知一个二次函数的图象以为顶点，且过点．
(1)求该函数的解析式；
(2)设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则的面积为__________．
【答案】(1)
(2)6
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶
（1）设顶点式，然后把代入求出a的值即可；
（2）根据抛物线解析式求得线段的长度和点E的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解∶设函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴；
（2）解∶令，则，解得，，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴的面积为，
故答案为：6．
【变式2-3】（23-24九年级·山西临汾·期末）如图，已知拋物线的顶点坐标是，且与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作轴，交于点，作于点．设点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)当为多少时，最大？最大值为多少？
(3)请直接写出的最大值．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值，最大值为
(3)
【分析】（1）根据二次函数的顶点式，用待定系数法即可解答；
（2）先求直线的解析式，再写出点D与E的坐标，求出与m关系式，最后根据二次函数的性质，求出的最大值；
（3）先求出，进一步的得到，从而，根据的最大值即得的最大值．
【详解】（1）拋物线的顶点坐标是，
，
将的坐标代入得，，
解得，
，
即；
（2）由（1）得：抛物线与y轴的交点坐标，
令，则，
解得，，
，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
点的坐标为，
则点的坐标为，
，
，
当时，有最大值，最大值为；
（3）∵
，
∵，
，
轴，
，
，
，
，
的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数与线段的综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求出与m关系式是解答本题的关键．
【题型3 利用交点式求二次函数的解析式】
【例3】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点的坐标为
(3)存在，P的坐标为、、、
【分析】（1）因为经过，两点，所以，再代，即可作答．
（2）先把、代入，并解出直线BC的解析式为，因为，所以，解得，得，即可作答．
（3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设抛物线为，
经过，两点，
，
把代入得：，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，
把、代入得：
直线的解析式为，
设，则，，
，，
，
，
，
解得（不符合，舍去），，
经检验：是方程的解
把代入，解得
点的坐标为．
（3）解：存在，过程如下：
依题意，设，且，，
∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形
∴①当为对角线时，则
，
；
②当为对角线时，则
，
，；
③当为对角线时，则
，
．
综上所述，P的坐标为、、、．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的解析式、二次函数与一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式3-1】（2024春·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考期中）二次函数图象经过（﹣1，0），（3，0），（1，﹣8）三点，求此函数的解析式．
【答案】y＝2x2﹣4x﹣6
【分析】利用待定系数法求解即可.
【详解】解：根据题意可设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点（1，﹣8）代入，得：﹣4a＝﹣8，解得：a＝2，
∴该二次函数解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的的解析式，属于基本题型，熟练掌握求解的方法是关键.
【变式3-2】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，求函数最大值与最小值的差；
(3)点的坐标为，点的坐标为，若线段与二次函数图象恰有一个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)二次函数的解析式为；
(2)函数最大值与最小值的差为9；
(3)的取值范围为或．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求得函数的对称轴，得到最小值，再把和代入解析式求得函数值，据此求解即可；
（3）先求得时，的值，当线段与二次函数图象的交点分别为或时，据此即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的表达式为，
把代入得，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：二次函数的对称轴为直线，
∵在范围内，
∴当时，函数有最小值为；
当时，；
当时，；
∴当时，求函数最大值与最小值的差为；
（3）解：令得，
解得或；
当线段与二次函数图象的一个交点为时，
且，解得；
当线段与二次函数图象的一个交点为时，
且，解得；
综上，的取值范围为或．
【变式3-3】（23-24九年级·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧；
(1)求经过A、B、C的抛物线的解析式；
(2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）先求出，由旋转的性质得到，则，解方程求出，再把解析式设为交点式，利用待定系数法求解即可；
（2）求出对称轴为直线，设，则，，，分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点C在y轴正半轴上，，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
解方程得，
∵点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧，
∴，
设经过A、B、C的抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
∴经过A、B、C的抛物线的解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线，
设，
∴，，，
当时，则，
∴，
解得或，
∴点M的坐标为或；
当时，则，
∴，
解得，
∴点M的坐标为；
当时，则，
∴，
解得，
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想并通过勾股定理建立方程求解是解题的关键．
【题型4 利用平移变换求二次函数的解析式】
【例4】（2024·上海金山·二模）已知：抛物线经过点、，顶点为P．
(1)求抛物线的解析式及顶点P的坐标；
(2)平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点Q在直线上，且点Q在y轴右侧．
若点B平移后得到的点C在x轴上，求此时抛物线的解析式；
若平移后的抛物线与y轴相交于点D，且是直角三角形，求此时抛物线的解析式．
【答案】(1)，顶点P的坐标是
(2) ；
【分析】（1）把点和点的坐标代入二次函数的解析式，用待定系数法求解即可；
（2）先求直线的解析式，设Q点的坐标是，再根据抛物线平称的规律求解即可；
抛物线与y轴的交点是D（0，），分两种情况：或，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）由题意得：，
∴，抛物线的解析式为，
，顶点P的坐标是．
（2）①设直线的解析式是，
∴，
∴，
∴直线的解析式是，
设Q点的坐标是，其中，此时抛物线的解析式是，
∵点B平移后得到的点C在x轴上，
∴抛物线向上平移了3个单位，
∴，即，
∴此时抛物线的解析式是，即．
②抛物线，与y轴的交点是D（0，），
如果，即轴不合题意，
如果，
∵，，
∴，
∴，
∴，
作轴，则，
∴，
∵， ，
∴，
解得（不合题意，舍去）或，
∴，
此时抛物线的解析式是，即．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质，二次函数的平移，二次函数与直角三角形综合，掌握二次函数的图象及性质，综合运用二次函数的知识解决问题是解题的关键．
【变式4-1】（23-24九年级·安徽安庆·期中）平移抛物线，使顶点坐标为，并且经过点，求平移后抛物线对应的函数表达式．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数图象的平移，求函数解析式；由题意设平移后抛物线解析式为顶点式，再把点代入所设解析式中求得t的值，即可写出函数表达式．
【详解】解：设平移后抛物线所表示的函数表达式为，
将点代入函数表达式，得，
解得或，
所以或．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·阶段练习）已知二次函数图象经过，、三点．
(1)求该二次函数解析式；
(2)将该二次函数图象平移使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的解析式．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式．
【详解】（1）解：把，、代入，
得：，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：若将该二次函数图象平移后经过点，且对称轴为直线，
设平移后的二次函数的解析式为，
将点代入，得，
解得，．
∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为．
【变式4-3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接．
(1)求的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式．
【答案】(1)5
(2)抛物线的表达式为或或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求出二次函数解析式，利用勾股定理求出两点之间的距离．以及二次函数平移的性质，注意分类讨论当抛物线沿x轴平移和当抛物线沿y轴平移是解题的关键．
（1）用待定系数法求出二次函数解析式，再求出点P的坐标，利用勾股定理求出A，P两点之间的距离．
（2）根据题意分两种情况，当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，利用已知条件可得出抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，利用已知条件可得出抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，利用平移的性质即可得出抛物线的表达式，
【详解】（1）解：将、代入中，
得
解得
抛物线L的表达式为．
顶点．
过点P作轴于点D，则，
，，，
，，
．
（2）由题意知，四边形是面积为12的平行四边形，
当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上，
由于，即要使的面积为12，只需，
点P'在y轴左侧，
抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为；
当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上，
由于，要使的面积为12，只需，
抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线，
此时，抛物线L'的表达式为或．
综上，抛物线L'的表达式为或或．
【题型5 利用对称变换求二次函数的解析式】
【例5】（2024·山东济南·一模）把二次函数的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为，若成立，则m的最小整数值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先求出变换前的关系式，可用含有a的关系式表示b，c，进而得出关于a，m的不等式，然后结合a的范围得出答案．
【详解】∵关于y轴对称的图象的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标是，
∴原函数解析式为，
∴，即．
当时，，
∴，
∴，
即，
∴m的最小整数值为4．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的轴对称变换，掌握变换前后解析式之间的关系是解题的关键．
【变式5-1】（2024·浙江台州·一模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折叠得到的新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3 C．y＝x2+2x﹣3 D．y＝x2﹣2x+3
【答案】A
【分析】利用原抛物线上的关于x轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数就可以解答．
【详解】抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，
即y＝﹣x2+2x+3，
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是抓住关于x轴对称的坐标特点．
【变式5-2】（23-24九年级·湖北咸宁·期中）如图，在平面直角坐标中，对抛物线在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2023次变换后所得的A点的坐标是 ．

【答案】
【分析】本题考查了点的坐标变换规律，二次函数的顶点坐标，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个循环组依次循环，用2023除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
则，点第一次关于轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，
∵，
∴经过第2023次变换后所得的点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为，
故答案为：．
【变式5-3】（2024·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则的值为（ ）
A．0 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可解答．
【详解】解：∵与关于轴对称，
∴，即，
∴，解得：．
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．
【题型6 利用旋转变换求二次函数的解析式】
【例6】（2024·山东济南·一模）已知抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的解析式，再列出不等式，求出其解集或，从而可得当x=1时，，有成立，最后求出a的取值范围．
【详解】解：∵抛物线P：，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线，
∴抛物线P与抛物线关于原点对称，
设点（x，y）在抛物线P’上，则点（-x，-y）一定在抛物线P上，
∴
∴抛物线的解析式为，
∵当时，在抛物线上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若，
即
令，
∴，
解得：或，
设，
∵开口向下，且与x轴的两个交点为（0，0），（4a，0），
即当时，要恒成立，此时，
∴当x=1时，即可，
得：，
解得：，
又∵
∴
故选A
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
【变式6-1】（2024·河南周口·二模）如图1，抛物线分别交轴于，两点，且与轴交于点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标．
(2)如图2，将该抛物线绕点旋转．
①求旋转后的抛物线的表达式．
②旋转后的抛物线顶点坐标为，且与轴的右侧交于点，顺次连接，，，，求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）根据函数的交点式设二次函数的表达式为，将点代入即可求解，再把二次函数变换成顶点式即可求出点的坐标；
（2）①根据旋转的特点，设旋转后抛物线的顶点坐标为，可知为顶点和的中点，根据中点坐标公式可求旋转后函数的顶点坐标，由此即可求解；②根据题意求出点的坐标，由的坐标，图形结合得，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意可设二次函数的表达式为，将点代入得，
∴二次函数表达式为，
∴顶点的坐标为．
（2）解：①设旋转后抛物线的顶点坐标为，
∵为顶点和的中点，即，，
∴点的坐标为，
∵旋转前后图形的形状不变，开口相反，
∴，
故旋转后的抛物线表达式为；
②由①得点坐标为，
∵，点关于点对称，
∴点坐标为，
∵，，，，
∴，点到轴的距离为，点到轴的距离为，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，函数图像旋转的性质，中点坐标，几何图形的特点等知识的综合运用是解题的关键．
【变式6-2】（2024·陕西西安·一模）将抛物线l1：y＝x2+2x+3绕其对称轴上一点P旋转180°，得到一个新抛物线l2，若l1、l2两条抛物线的交点以及它们的顶点构成一个正方形，则P点坐标为（　　）
A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）
【答案】B
【分析】由抛物线，对称轴为直线，顶点为，得出抛物线，顶点为，联立方程求得交点横坐标，根据正方形的性质得出，解得，则抛物线的顶点为，正方形的中心即为点．
【详解】解：抛物线，对称轴为直线，顶点为，
抛物线，顶点为，
解，得，
根据题意得，，解得，（舍去），
抛物线的顶点为，
点坐标为，
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解二次函数的图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，中心对称变换的性质、正方形的性质等知识点．
【变式6-3】（23-24九年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，若点在第段抛物线上，则m的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象，二次函数与几何变换．掌握抛物线解析式的求法，以及抛物线与x轴交点坐标的求法是解答本题的关键．
根据抛物线与x轴的交点问题，得到图象与x轴交点坐标为：，此时顶点坐标为，再利用旋转的性质得到图象与x轴交点坐标为：，顶点坐标为，于是可推出抛物线上的点的横坐标x为偶数时，纵坐标为0，横坐标是奇数时，纵坐标为1或，按照上述规律进行解答，即可求解．
【详解】解：∵一段抛物线，
∴图象与x轴交点坐标为：，此时顶点坐标为，
∵将绕旋转得到，交x轴于点，
∴抛物线，
∴图象与x轴交点坐标为：，顶点坐标为，
将将绕旋转得到，交x轴于；
；
∵点在第段抛物线上，1009是奇数，
∴点是抛物线的顶点，且点在x轴的上方，
∴．
故选：C．
【题型7 利用图象信息确定二次函数解析式】
【例7】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，已知二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，求函数值的最小值和最大值．
【答案】(1)；
(2)最小值为，最大值为．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）根据二次函数的性质即可求解；
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设二次函数的表达式为，
∵点，在抛物线上，对称轴是直线，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵二次函数的对称轴为直线，，
∴抛物线开口向下，当时，二次函数有最大值，且离对称轴的水平距离越远，函数值越小，
∵在范围内，
∴当时，函数值的最大值为；
∵，
当时，函数值的最小值为；
∴当时，函数的最小值为，最大值为．
【变式7-1】（2024·四川广元·九年级期末）若二次函数（，为常数）的图象如图，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．-2
【答案】C
【分析】根据图象开口向下可知a＜0，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a的一元二次方程即可．
【详解】由图可知，函数图象开口向下，
∴a＜0，
又∵函数图象经过坐标原点（0，0），
∴a2-2=0，
解得a1=（舍去），a2=-，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键．
【变式7-2】（23-24九年级·北京西城·期中）如下图为某二次函数的部分图象，
有如下四个结论：
①此二次函数表达式为；
②若点在这个二次函数图象上，则；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为；
④当时，；
所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③/③②
【分析】根据待定系数法求出关系式，可判断①，根据二次函数的图像的对称性可判断②③，根据二次函数的图像，可直接判断④．
【详解】解：由二次函数图像可知：，把代入得：，
解得：，即：，故①错误；
点，在这个二次函数图象上，
又∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为：直线，且，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为：直线，与x轴的一个交点坐标为，
∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为，故③正确；
由二次函数的图像可知：当时，，故④错误．
∴正确结论的序号是：②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性是解题的关键．
【变式7-3】（2024·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，二次函数图象所在的位置如图所示：
(1)请根据图象信息求该二次函数的表达式；
(2)将该图象（）的部分，沿y轴翻折，翻折后的二次函数图象与原有二次函数图象构成了新的图象，记为图象G，现有一次函数的图象与图象G有4个交点，请求出b的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）将该图象（）的部分，沿y轴翻折，翻折后的二次函数图象为，求出一次函数与抛物线只有一个交点时b的值，再求出一次函数的图象与图象G有3个交点时b的值，即可求得答案．
【详解】（1）由图象可知二次函数图象过点，，，
设该二次函数的表达式为，
代入点得，
解得，
该二次函数的表达式为，即；
（2）将该图象（）的部分，沿y轴翻折，翻折后的二次函数图象为，
即，
令，整理得，
若与抛物线有一个交点时，则，
，
解得，
∴当时，一次函数的图象与图象G有3个交点，
把代入一次函数得，
当时，一次函数的图象与图象G有3个交点，
故一次函数的图象与图象G有4个交点时，b的取值范围是．
【题型8 利用几何图形的性质确定二次函数解析式】
【例8】（23-24九年级·河北邯郸·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，B，当时，．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
(3)点M的坐标为，点N的坐标为，若线段与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)
(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值是13
(3)或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
（1）设交点式，再确定，然后把点坐标代入求出即可；
（2）由于，则，所以，再利用点和点关于直线对称得到，所以矩形的周长，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）利用数形结合的方式来求解即可．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
当时，，
，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为，
即；
（2）解：，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
点和点关于直线对称，
，
矩形的周长，
，
当时，矩形的周长有最大值，最大值是13．
（3）解：当时，即，
解得，，
当线段与该函数图象的交点在对称轴的左侧时，
则，
解得；
当线段与该函数图象的交点在对称轴的右侧时，
则，
综上所述，n的取值范围为或．
【变式8-1】（2024·湖北荆州·二模）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度为16米．现以点O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．
(1)求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”，使点在抛物线上．点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【答案】(1)解析式，自变量x的取值范围为：
(2)能，说明见解析
(3)20米
【分析】本题考查了二次函数的实际应用．
（1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解；
（2）由题知，当时，，而，即可得出结论；
（3）设，则，根据矩形的性质得出，，设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意：抛物线形的公路隧道，其高度为米，宽度为米，现在点为原点，
∴点，顶点，
设抛物线的解析式为．
把点，点代入得：
解得
∴抛物线的解析式为
，，
自变量x的取值范围为：；
（2）解：当时，，
能同时并行两辆宽米、高5米的特种车辆．
（3）解：设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
设，则
∴
∵，
∴当时，l有最大值为．
答：三根木杆的长度和的最大值是米．
【变式8-2】（23-24九年级·湖北武汉·期中）如图1，一段高架桥的两墙A，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，设边长度为米，试求内接矩形的面积S（用含的式子表示）；
(3)若已知矩形广告牌的价格为80元/米，广告牌其余部分的价格为160元/米，试求完成菱形广告牌所需的最低费用．
【答案】(1)
(2)内接矩形的面积
(3)完成菱形广告牌所需的最低费用为元
【分析】（1）过点D做轴于点M，作于点N，利用菱形的性质和等边三角形的判定和性质，求出，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出直线的解析式为，直线的解析式为设米，则，得出，，求出，证明为等边三角形，得出，求出，得出，最后得出矩形的面积即可；
（3）根据（2）的面积解析式求出广告牌费用为，根据二次函数的性质即可得到费用的最小值.
【详解】（1）解：过点D作轴于点M，作于点N，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，
∵，
∴为等边三角形
∴，，
∴在中，，，
∴，
设抛物线的解析式为，则，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，则，
解得，
∴直线的解析式为，
在矩形中，设米，则，代入和得：
，，
∴，
由对称性得，
∵轴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
解得，
∴，
∴内接矩形的面积：．
（3）解：由（2）得内接矩形的面积，
∵，，
∴，
∴菱形的面积为，
∴总费用：
，
∴当时，最小，最小值为，
答：完成菱形广告牌所需的最低费用为元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析，求一次函数解析式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求二次函数的最值，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出二次函数的解析式．
【变式8-3】（2024·河北廊坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为、，经过、作轴的垂线分别交于、两点，得到正方形，抛物线经过，两点，点为抛物线上一点（不与点重合），过点分别作轴交轴于点，轴交轴于点，设点的横坐标为，
(1)求抛物线的解析式
(2)当点在第一象限；矩形与正方形重叠部分图形的周长为．
①若≥时，函数的最小值为，求的值；
②当时，求与之间的函数关系式．
【答案】(1)；
(2)①或．②当时，；当时，．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，求二次函数解析式：
（）先求出点的坐标，进而把，代入二次函数解析式中进行求解即可；
（）①先求出抛物线的顶点坐标为，再分当时，函数最小值为点的纵坐标，当时，函数最小值为顶点的纵坐标，两种情况建立方程求解即可；②分当时，当时，两种情况，利用图象求解即可．
【详解】（1）解：∵，轴于，
∴，
将点，代入中得：
，
∴，
∴抛物线所对应的函数表达式为．
（2）解：①∵，
∴抛物线的顶点坐标为．
∵在抛物线上，
∴．
当时，函数最小值为点的纵坐标，
即，解得，（舍）．
当时，函数最小值为顶点的纵坐标，即，解得，
综上，或．
②∵点的横坐标为，点为第一象限内抛物线上的点且不与点重合，
∴（，且），
∵四边形为正方形，且，
∴，，，
∴，，
根据点在点的左右，分两种情况（如图）：
当时，；
当时，．
【题型9 利用线段间的数量关系确定二次函数解析式】
【例9】（23-24九年级·云南昆明·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，且．
(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、、，求出当的周长最小时点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长等，解题的关键是：
（1）先求出C的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数解析式即可；
（2）将抛物线解析式变形为顶点式，然后确定出抛物线的对称轴，连接交对称轴于点H，则点H即为所求，求得直线的解析式，令，即可求解．
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把、、代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为，
如图所示：连接交对称轴于点，则周长的最小；
∵、两点关于对称，
∵，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴．
【变式9-1】（23-24九年级·河南信阳·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，，点N是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，过点N作轴交抛物线于点M．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)若点N沿抛物线向下移动，使得，求点N的纵坐标取值范围；
(3)若点P是抛物线上任意一点，点P与点A的纵坐标的差的绝对值不超过3，请直接写出点P的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，对称轴为直线
(2)
(3)：或．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合以及分类讨论思想是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由抛物线的对称轴为直线，，可得点的横坐标的取值范围为，即，由于当时，随的增大而减小，求出时，，当时，．最后求解即可；
（3）将代入得：，解得：将代入得：，解得：再确定的取值即可；
【详解】（1）解：∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，为抛物线上的点，
∴将，代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
∴对称轴为直线
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，，
∴点的横坐标的取值范围为，即，
当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，．
∴点的纵坐标的取值范围为．
（3）解：∵点与点的纵坐标的差的绝对值不超过3，
∴将代入得：，
解得：
将代入得：，
解得：
∴点横坐标的取值范围是：或，
故答案为：或．
【变式9-2】（2024·广东珠海·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，且，抛物线图像经过A，B，C三点．

(1)求A，C两点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点B和点C的坐标；
（2）设该抛物线的表达式为，将点代入得，再将点代入，求出a的值即可；
（3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用解直角三角形，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设该抛物线的表达式为，
把点代入得：，
把点代入得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
（3）解：设直线函数表达式为：，
将点，代入得：
，解得：，
∴直线的表达式为：，
过点P作y轴的平行线交于点H，

∵，
∴，
∵轴，
∴，
设点，则点，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，其最大值为，
此时点．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，用二次函数关系表示是解题的关键．
【变式9-3】（23-24九年级·广东湛江·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且，抛物线经过A，B，C三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作，垂足为点D，用含m的代数式表示线段的长，并求出线段的最大值．
(3)设点M为x轴上一动点，当直线与直线所夹的锐角时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2) ，最大值为
(3)或
【分析】本题考查了二次函数的综合问题，掌握待定系数法、抛物线的性质以及最值问题、解直角三角形是解题的关键．
（1）先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）过P作轴，交于F，先表示出P、F的坐标，由此得到线段的长度，根据平行线的性质得，解直角三角形即可求出的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值即可．
（3）分两种情况：当点M在上时或当点M在的延长线上时，分别求出即可．
【详解】（1）解：由，当时，；当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入抛物线中得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过P作轴，交于F．
∵点P在二次函数图象上且横坐标为m，
∴，
则，
∴，
∵于点D，
在中，，
∴，
∵轴，
∴，
∴ ，
∵，，
∴当时，最大，最大值为．
（3）当点M在上时，过点M作于点N．
∵
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴．
当点M在的延长线上时，同法可得．
综上所述，满足条件的点M的坐标为或．
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