人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.8二次函数中的存在性问题【十三大题型】(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题22.8二次函数中的存在性问题【十三大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-12 11:06:20 | ||
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文档简介
专题22.8 二次函数中的存在性问题【十三大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】 1
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】 3
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】 5
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 7
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】 8
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 10
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】 12
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】 13
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】 15
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】 17
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】 19
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】 22
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】 23
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．
【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】
【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，．
(1)求的面积；
(2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线与x轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点和．
(1)求抛物线的解析式
(2)①求出当时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线与x轴的左侧交点为C，作直线，D为直线下方抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，作于点M．是否存在点D，使的周长最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】
【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），其顶点为，对称轴与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点为，对称轴为直线，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，过点作轴于点，点在轴上，且点在点上方，是否存在这样的点、，使得以点、、为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例4】（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若是线段上一动点（不与点，重合），连接，过点作轴，交抛物线于点，交于点，在点的运动过程中，是否存在线段？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，拋物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线；
(1)求抛物线w的函数表达式；
(2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线（b，c是常数）的顶点坐标为，与y轴交于点B．
(1)求b，c的值；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2024·西藏日喀则·一模）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的面积；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例5】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上的一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
(1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_______．
(2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为．
①求二次函数的解析式；
②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，点，点，点，抛物线过A，B，C三点．点P在该抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的坐标；
(3)当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【变式5-3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例6】（2024·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的取值范围；
(3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：；
【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标；
【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形 若存在，请求出点M的坐标 若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（2024春·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线：，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值；
(3)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例7】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积；
(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（23-24九年级·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标；
(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2024·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边作矩形，点为边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．
(1)求经过三点的抛物线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，；
(4)若点在（2）中的抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
【变式7-3】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为、，点C的坐标为．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为，连接、、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形的面积最大时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】
【例8】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t；
(1)分别求直线和这条抛物线的解析式；
(2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标；
(3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2024春·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2024·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2024春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】
【例9】（2024·广东珠海·三模）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上.
(1)如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______；
(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.
【变式9-1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求出直线，的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-3】（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E．
①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标；
②当时，求的长．
(3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】
【例10】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线．
(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式10-1】（2024·陕西·一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A、B的坐标；
(2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕着点逆时针旋转，点的对应点为点．
(1)求经过三点的抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿着轴平移到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．
【变式10-3】（23-24九年级·北京·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线与抛物线交于两点，与直线交于点．若点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点．
①当时，求的值；
②在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】
【例11】（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；
(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【变式11-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），点，在抛物线上．
(1)填空：________，________，点的坐标为________；
(2)如图1，在抛物线上存在一点，使，求点的横坐标；
(3)如图2，点是轴下方的抛物线上任意一点，是线段上的一个定点（点不与点、重合），过点作轴的平行线与射线，分别交于，两点，若为定值，求的值．
【变式11-2】（2024·福建龙岩·二模）已知抛物线．
(1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．
(2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积；
②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【变式11-3】（2024·广东·一模）综合应用．
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】
【例12】（2024·云南红河·一模）已知抛物线，经过点和点，抛物线上有一个点，它的横坐标为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求的长；
(3)若点是轴上方、轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式12-1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)连接，当时，求所有符合条件的点的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-2】（2024春·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使的面积为？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-3】（2024·重庆开州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1：P是直线上方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上一动点，作直线交所在的直线于点D，是否存在点Q满足条件，若存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】
【例13】（2024春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是第二象限内抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作直线轴于点，作直线交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，过点作直线，交轴于点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式13-1】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图1，抛物线过，，三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上的任意一点，连接、，求面积的最大值和此时点的坐标；
(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在点，使的值最大？若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
【变式13-2】（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式13-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标．
(3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题22.8 二次函数中的存在性问题【十三大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】 1
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】 10
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】 20
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 27
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】 34
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 44
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】 56
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】 69
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】 80
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】 95
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】 107
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】 121
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】 132
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①该二次函数的解析式为：；，
②存在，P点横坐标为：或或
【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得；
（2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，；
②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：∵的图像经过，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴，
，
，
∴，．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∵解得，
∵，且，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为：，
当时，，
解得，，
∴， ．
②设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为：，
当点P在点A右侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，，
∴点P横坐标为或；
当点P在点A左侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，（舍去），
∴点P横坐标为，
综上所述，P点横坐标为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键．
【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标是，的面积最大值是
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：
（1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可；
（2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：
（2）解：对于，令则
解得，，
∴，
∴
∵，
∴，
过点P作轴于点E，如图，
设，且点P在第二象限，
∴
∴
∵，
∴有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为
【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）D的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，）；（3）满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据二次函数的解析式得点D的坐标，将解析式化为顶点式可得顶点的坐标；
（3）设P的坐标为P（x，y），到y轴的距离为|x|，则S△BOP= BO |x|，解出x=±，进而得出P点坐标．
【详解】解：(1)把点A(－1，0)和点B(0，4)代入二次函数中得：
解得：
所以二次函数的解析式为：；
（2）根据（1）得点D的坐标为（3，0），
=，
∴顶点坐标为（1，）；
(3)存在这样的点P，设P的坐标为P(x，y)，到y轴的距离为∣x∣
∵S△BOP＝ BO ∣x∣
∴＝×4 ∣x∣
解得：∣x∣＝所以x＝±
把x＝代入中得：
即：y＝，
把x＝－代入中得：
即：y＝－
∴满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线的顶点坐标以及三角形面积等知识，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的几何应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出点的坐标，先分别求出和的面积，再建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①点在轴上方，②点在轴下方，再利用等腰三角形的判定与性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵，，点位于轴的正半轴，
∴，
将点代入得：，
解得，
则抛物线对应的函数表达式为．
（2）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
设点的坐标为，
∴的面积为，的面积为，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
所以存在点，使得的面积等于面积的，此时点的坐标为．
（3）解：①如图，在轴上方作，交直线于点，交轴于点，则，
∵轴，
，
，
∴，
当时，，
解得或，
∴，
设点的坐标为，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
∴点的坐标为；
②如图，在轴下方作，交轴于点，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴点与点关于轴对称，
∴点的坐标为，
综上，存在点，使得，此时点的坐标为或．
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】
【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，．
(1)求的面积；
(2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)存在，
【分析】本题主要考查二次函数、一次函数和几何的结合，解题的关键是熟悉二次函数的性质，
根据二次函数的解析式求得点A和点B、点C的坐标，则，，利用三角形面积公式求解即可；
联立方程求得点，利用勾股定理即可求得．连接、，结合对称性可知，则、、三点共线时，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为：，利用对称轴即可求得点P．
【详解】（1）解：令，即，
解得或
∴，，
则，
当时，，
∴，，
∴．
（2）存在这样的点，理由如下，
联立，
解得或，
∴，
∵，
∴．
连接、，如图，
则
∵
∴．
∴当、、三点共线时，有最小值，
设直线的解析式为：，
则，
解得，
则直线的解析式为：，
∵时，，
∴．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线与x轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)该抛物线的解析式为
(2)M点的坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题：
（1）把，代入解方程组即可得到结论；
（2）连接交对称轴于M，则此时，的周长最小，设直线的解析式为，解方程组求得直线的解析式为，当时，求得，于是得到结论．
正确的理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把，代入中得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：
（2）存在，
连接交对称轴于M，则此时，的周长最小，
在中，令，则，
，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∴M点的坐标为
【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)时的周长最小；
(3)当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
【分析】（）由，，，的长度可得出点，，，的坐标，由点，，的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（）利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接，交抛物线对称轴于点，此时和最小，即的周长最小，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标；
（）由点，的坐标可得出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，过点P作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得出的长，由三角形的面积结合可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、轴对称（最短路径问题）、三角形的面积、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）∵，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，点的坐标为 ，
将，，代入得：
，解得：，
∴这条抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，交抛物线对称轴点，如图所示，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴
∴当点，，三点共线时，取得最小值，即的周长最小，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点时的周长最小；
（3）∵，，
∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点的坐标为，
过点作轴，交直线于点，如图所示，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
∴当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点和．
(1)求抛物线的解析式
(2)①求出当时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线与x轴的左侧交点为C，作直线，D为直线下方抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，作于点M．是否存在点D，使的周长最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值为21，最小值为；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先把解析式化为顶点式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则当时，y有最小值，且离对称轴越远函数值越大，再求出当当时，当时，y的值即可得到答案；②先求出，进而求出直线的解析式为，设点D的坐标为，则，则；证明是等腰直角三角形，得到，则的周长，故当最大时，的周长最大，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把点和代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，y有最小值，且离对称轴越远函数值越大，
当时，，
当时，，
∴时，最大值为21，最小值为；
②在中，当时，解得或，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标为，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的周长，
∴当最大时，的周长最大，
∵，，
∴当时，的周长最大，
∴，
∴点P的坐标为
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，通过证明是等腰直角三角形，把求的最大值转换成求出的最大值是解题的关键．
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】
【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），其顶点为，对称轴与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，点的坐标为：或
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，顶点坐标，全等三角形的判定，即可．
（1）根据题意，则，求出，的坐标，把换成顶点式，即可得到点的坐标；
（2）设点，根据全等三角形的判定，分类讨论：，，即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），
∴，
解得：，，
∴点，；
∵，
∴顶点．
（2）存在，理由如下：
∵点在二次函数的对称轴上且交于轴，
∴点，
∵，，
∴，，
设点，
∵过作轴于点，点是轴上一点，
∴点，
∴，
∵以点、、为顶点的三角形与全等，
∴当时，，
∴，
解得：，（舍），
∴当时，，
∴点；
当时，，
∴，
解得：，（舍），
∴当时，，
∴点；
综上所述，当点的坐标为：或时，存在以点、、为顶点的三角形与全等．
【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的性质．
（1）先将抛物线化为顶点式，再根据抛物线与关于轴对称得抛物线的顶点坐标，最后由开口方向即可得出；
（2）先由抛物线：求出点的坐标，再根据题意，分两种情况：当时及当时，设点的坐标为，分别求出的值即可，具体见详解．
【详解】（1）解：抛物线:
∴抛物线的顶点为，
∵抛物线与关于轴对称
∴抛物线的顶点为，且抛物线开口向下，
∴抛物线的函数表达式为;
（2）∵抛物线：与y轴交于点，
，即
，
∵点是轴正半轴上一点，
由题意可知，与有一条公共边，设点的坐标为，
分两种情况：
当时，，
轴，即点与点的纵坐标一样，
令，解得，
当时，此时点与点重合，点与点重合，，
∴平分，即点到轴，轴的距离相等
，解得，
综上，存在点，使得以点为顶点的三角形与全等，点的坐标为或．
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）把和代入，求出a和c的值，即可得出函数解析式；
（2）先求出时的函数值，再求出函数最小值，结合图象即可得出n的取值范围；
（3）先得出抛物线解析式为直线，则点D到对称轴距离为1，到x轴距离为3，根据，点P在抛物线上，得出结论点在x轴下方，对称轴距离为1，到x轴距离为3，即可解答．
【详解】（1）解：把和代入得：
，解得：，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴，
∵，，
∴当时，该函数有最小值，
∵在该抛物线上，
∴当时，n的取值范围为；
（3）解：∵，
∴抛物线解析式为直线，
∵，
∴点D到对称轴距离为1，到x轴距离为3，
∵，点P在抛物线上，
∴点在x轴下方，对称轴距离为1，到x轴距离为3，
∴点或，
把代入得：，
解得，，
∴或在抛物线上，
综上：存在，或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数表达式的求解、点的对称性、三角形全等等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式3-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点为，对称轴为直线，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，过点作轴于点，点在轴上，且点在点上方，是否存在这样的点、，使得以点、、为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在，、或、或、或、
【分析】（1）根据题意，令，解方程即可得到，，将一般式化为顶点式即可得到定点坐标；
（2）作出图形，根据题意，要求以点、、为顶点的三角形与全等，找出等边或者等角，分类讨论：①与是对应边；②与是对应边，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点，
令，则，解得，，
∴，，
∵抛物线，
∴；
（2）解：如图所示：
∵，
对称轴，
∴交轴于点，则，，
根据题意可得，若以点、、为顶点的三角形与全等，则点与点是对应点，
设点的坐标为，则，
①当与是对应边时，则，，即，
∴或，
当时，；
当时，；
∴、，、；
②当与是对应边时，则，，即，
∴或，
当时，；
当时，；
具体情况，如图所示：
∴、，、，
综上所述，存在这样的点、，使得以点、、为顶点的三角形与全等，点、的坐标为、或、或、或、．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与坐标轴的交点坐标、二次函数中三角形全等问题，熟练掌握二次函数图像与性质，理解二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例4】（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若是线段上一动点（不与点，重合），连接，过点作轴，交抛物线于点，交于点，在点的运动过程中，是否存在线段？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)顶点坐标为
(2)存在，点P的坐标为或或或
(3)能，点M的横坐标为
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入，可求，则，进而可得顶点坐标为；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，则，设，则，，，由题意知，当是等腰三角形，分①，②，③，三种情况计算求解即可；
（3）如图，作于，待定系数法求直线的解析式为；设，则，，，，由，可得，则，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴设抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线，则．
设，则，，，
由题意知，当是等腰三角形，分①，②，③，三种情况求解；
①当时，则，
解得，，
∴点P的坐标为或；
②当，则，
解得，，
∴点P的坐标为；
③当时，则，
解得，或（舍去），
∴点P的坐标为．
综上所述，存在，点P的坐标为或或或．
（3）解：如图，作于，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴存在，点M的横坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与线段综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数解析式，等知识．
【变式4-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，拋物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线；
(1)求抛物线w的函数表达式；
(2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，，，，
【分析】本题主要考查了二次函数动点特殊三角形问题，属于二次函数综合题，解答本题的关键是先求出解析式，设点分类讨论等腰三角形的腰．
（1）将点，代入即可得到答案；
（2）由（1）知：拖物线的对称轴为：，，所以抛物线的对称轴为：， 令，根据两点间距离公式得到三角形三边的平方的代数式，再分类讨论腰相等列式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：将点，代入得：
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在
由（1）知：抛物线的对称轴为：，，
抛物线的对称轴为：，
令，
，，，
①当时，，
解得：，，
，；
②当时，，
解得：，，
，；
③当时，，
解得：，
综上，满足要求的点的坐标为，，，，．
【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线（b，c是常数）的顶点坐标为，与y轴交于点B．
(1)求b，c的值；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，，，
【分析】本题考查二次函数图象的性质、等腰三角形的分类讨论、解一元二次方程等知识，解答关键是应用勾股定理构造方程．
（1）根据顶点坐标公式列方程求解即可；
（2）分别讨论、、的情况，利用勾股定理构造方程问题可解．
【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴；
（2）存在，
由（1）得，
∵当时，，
∴．
存在点，使得是等腰三角形，
设，
则，，，
情况：当时，
即，
解得，
所以，；
情况：当时，
即，
解得，
所以，，
情况：当时，
即，
解得或，
所以，（舍去）
综上得：满足条件的点有，，，．
【变式4-3】（2024·西藏日喀则·一模）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的面积；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，符合条件的 P 点坐标为
【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数与面积的综合、二次函数与三角形的综合等知识点，掌握分类讨论和数形结合思想成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求得、，再运用待定系数法求得直线的解析式为；如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则,
则，最后根据三角形的面积公式即可解得；
（3）如图：设点， 连接,根据两点间的距离公式可得、、，然后再分、、三种情况分别解得即可．
【详解】（1）解∶ 由抛物线 经过、两点，
则，解得：，
所以抛物线的函数关系式是：．
（2）解：∵，
∴，
当时，，即，
由待定系数法可得直线的解析式为．
如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则,
∴,
∴．
（3）解：存在．
如图：设点， 连接,
,,；
①若，则，即，
解得．即 ．
②若，则 即，
解得：，即 ；
③若，则，
解得：，即．
综上， 符合条件的 P 点坐标为 ，、．
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例5】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上的一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点D的坐标是
【分析】（1）待定系数法求二次函数的表达式即可；
（2）如图1，连接，作轴交于点，由，可得，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，根据二次函数的图象与性质求解作答即可；
（3）设，则，，，分，，三种情况，利用勾股定理求解作答即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得：，
二次函数的表达式为；
（2）解：如图1，连接，作轴交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，
且，
当时，取得最大值．此时；
（3）解：设，则，，，
①当时，，即，
解得，（舍去）；
②当时，，即 ，
解得，，
∴；
③当时，，即，
解得，（舍去），，
∴；
综上所述，存在点D，点D的坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，平行线间的距离，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数的最值，勾股定理是解题的关键．
【变式5-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
(1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_______．
(2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为．
①求二次函数的解析式；
②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，点的坐标为或
【分析】（）根据“顶点相容函数”的定义得到该函数的图象的顶点坐标为，再代入二次函数解析式得到即可解答；
（）①根据旋转的性质可知，再根据全等三角形的性质及二次函数的性质即可解答；②根据直角三角形的性质分三种情况讨论即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数，
∴该函数的图象的顶点坐标为，
∴将代入，得，
解得．
∴二次函数的解析式为,
∴二次函数的顶点为，
∴将代入入得，
∴符合要求，
故答案为：；
（2）解：①∵旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，
∴的图象的顶点必在二次函数的图象上，
∵的图象是二次函数为的图象绕点旋转得到，
∴这两个函数图象的顶点关于点对称，
如图，分别过作轴，轴，垂足分别为，
在和中，
∴，
∴．
当时，，
解得（舍去），
∴点的坐标为，
当点是的图象的顶点时，设，
把代入，
解得，
∴二次函数的解析式为为；
②设点的坐标为，则，
；
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得，
综上所述，存在一点，使得为直角三角形，点的坐标或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质与图象，直角三角形的性质，“顶点相容函数”的定义，理解“顶点相容函数”的定义是解题的关键．
【变式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，点，点，点，抛物线过A，B，C三点．点P在该抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的坐标；
(3)当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数综合，正确做出辅助线是解题的关键．
（1）将点，点，点代入抛物线解析式即可解答；
（2）如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过作的垂线段，分别交于点，证明，得到点的坐标，求得的解析式，即可求得点坐标；
（3）考虑三种情况，即分别为直角的时，利用勾股定理，即可解答．
【详解】（1）解：把将点，点，点代入抛物线解析式，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过作的垂线段，分别交于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
根据可得，
，
，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为，
故可得，
解得，
，
；
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
设，
则，，，
①当时，
可得方程，
方程无解，故不成立；
②当时，，
可得方程
解得；
③当，，
可得方程，
解得，
综上所述，或．
【变式5-3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在；点P的坐标为或或或
【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，
得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；
（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
；
（3）解：存在，
∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例6】（2024·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积的最大值是
(3)点N坐标为或或或．
【分析】（1）先求得点A，C的坐标，再用待定系数法可得；
（2）过作轴交于，求出的对称轴直线，，设，则，利用三角形面积公式可得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，分，和，，两种情况列方程可解得答案．
【详解】（1）解：对于直线，令，则；令，则；∴，，把，代入得：
，
解得，
；
（2）解：过作轴交于，如图：
在中，对称轴为直线，
当时，，
，
设，则，
，
∴
，
，
当时，取最大值为5；
∴面积的最大值为5；
（3）解：∵，对称轴为直线，
设，
当，，过点N作轴的平行线交对称轴于点，过点A作轴的平行线交于点，如图，
∴，
∴，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
当，，过点N作轴的垂线交轴于点，对称轴直线交轴于点，如图，
同理，则，即，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
综上，点N坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式6-1】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的取值范围；
(3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，2或4．
【分析】（1）把点和点代入，求解即可；
（2）将抛物线解析式化成顶点式，求得的最小值为．由直线与抛物线有两个交点，即可得出；
（3）分两种情况：①当，时，②如图，当，时，分别 求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）解：
∴的最小值为．
∵直线与抛物线有两个交点，
∴．
（3）解：存在．
当时，．
∴点的坐标为．
①如图，当，时，过点作轴于，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
延长至使得，此时也是等腰直角三角形．
易得，此时．（不合题意，舍去）
②如图，当，时，过点作轴于，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
延长，使得，此时也是等腰直角三角形．
同理可得， ．（不合题意，舍去）
综上所述，直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形．
的值为2或4．
【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象与直线交点问题，全等三角形判定与性质，等腰直角 三角形性质，属中考常考试题目，要求学生熟练掌握相关性质并能灵活运用是解题的关键，注意（3）问要分类讨论，以免漏解．
【变式6-2】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：；
【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标；
【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形 若存在，请求出点M的坐标 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或或
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数与几何综合题，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用，即可证明；
（2）过点B作轴于点F.证明,则，得到. 待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得到
（3）求出，得到抛物线的对称轴为直线,设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，分两种情况：当点M在x轴的下方和
点M在x轴的上方，分别进行解答即可．
【详解】（1）证明:∵，
∴
∵,
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
（2）解:如图,过点B作轴于点F.
由题意,得
∵，
∴.
∴
又∵,
∴,
∴.
∴
∴..
设直线的解析式为,
将代入中,得,
解得
∴直线的解析式为，
当时，，
∴
（3）解:∵
∴抛物线的对称轴为直线,
设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，
①当点M在x轴的下方时,如图，
∵,
∴
∴
又∵，
∴.
∴..
设，
∴，
∴，
∴，
将 代入中,
得,
解得或
∴. 点M的坐标为或；
②当点M在x轴的上方时,如图,
同理可得，点M的坐标为或.
综上所述,点M的坐标为或或或.
【变式6-3】（2024春·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线：，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值；
(3)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时，四边形面积最大，最大值为
(3)点的坐标为 ： ， ， ，
【分析】（1）根据对称轴可得，将代入，待定系数法求解析式可得抛物线的解析式；
（2）设，根据的解析式表示点的坐标，表示的长，根据面积和可得四边形的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，根据列方程可得点的坐标；同理可得其他图形中点的坐标．
【详解】（1）解：依题意，，
∴，
∴抛物线解析式为，
将点代入得
解得：，
抛物线的解析式；；
（2）如图2，设
平分，，
，
是等腰直角三角形，
，
,，
设直线的解析式为，
，
解得：，
则直线的解析式为：，
过作轴，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
当 时，有最大值是；
（3）如图3，过作轴，交轴于，交于，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
则，
解得： 或，
∴的坐标为 或 ；
如图4，过作轴于，过作于，连接PF．
同理得，
，
则，
解得： 或；
的坐标为 ， 或 ， ；
综上所述，点P的坐标是： ， ， ， ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第(2)问时需要运用配方法，解第(3)问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例7】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积；
(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，
【分析】（1）根据．可求得，设抛物线的表达式的抛物线为：，将代入即可求解；
（2），为定值，故求出的最大值即可求解；根据即可求解；
（3）根据平行四边形对角线互相平分可求出点的坐标，继而根据即可求解；
【详解】（1）解：∵，．
∴
设抛物线的表达式的抛物线为：，
将代入可得：
解得：
∴
（2）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
过点作轴的平行线交直线于点，如图所示：
设点，则
∴
∴当，即点时，有最大值，且最大值为；
∵，为定值
∴此时也最大
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令可得，即
联立，解得：
∴
∴
（3）解：由，可知：抛物线的对称轴为直线，
由（2）可得，
设
若四边形为平行四边形，则，
解得：
∴
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
过点作轴的平行线交直线于点，如图所示：
则，即
∴
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了一次函数的解析式求解，平行四边形的存在性问题，二次函数的性质等知识点，综合性较强，掌握函数的相关知识点是解题关键．
【变式7-1】（23-24九年级·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标；
(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)点P的坐标为或
(3)存在，E、F的坐标分别为、或、或、
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、切线的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形性质、三角形面积等知识；
（1）根据题意分别代入点，分别解出即可求出答案．
（2）设点P的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为：，则直线与X轴的交点为，证是等腰三角形，则，则直线与圆P相切于点Q，连接，由切线的性质得出，则是等腰三角形，得，由，，则，解得即可得出答案．
（3）由题意得，，由面积求出，由待定系数法求出直线的解析式为，则，同理得的解析式为，分三种情况，由平行四边形的性质和对称的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：如图1，设直线切于点E．连接，作于点F．
∴．
由，得
对称轴为直线，．
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
设，
∴．
在中，，
∴，
∴．
整理，得，
解得，．
∴点P的坐标为或；
（3）解：存在，理由：
设点E，点F，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，解得：，
则点的坐标分别为：；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
则点的坐标分别为：或；
综上，的坐标分别为：或或．
【变式7-2】（2024·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边作矩形，点为边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．
(1)求经过三点的抛物线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，；
(4)若点在（2）中的抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)当点的坐标为、、时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式即可．
（2）由折叠的性质可求得、，在中，由勾股定理可求得即可得出点E坐标，利用代入数据解答即可；
（3）用t表示出、的长，可证明，可得到，即可求得t的值；
（4）分三种情况∶①当点在对称轴右侧，即为点，当且时，四边形为平行四边形，过作垂直对称轴于点，，则，又对称轴为直线，最后根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当点在对称轴左侧，即为，当且时，四边形为平行四边形，过作垂直对称轴于点，则，则，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；③当点在抛物线的顶点上，即为点，当且时，四边形为平行四边形，与相交于点，则为线段的中点，点在对称轴上，则的横坐标为，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）解：设过，，三点的抛物线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴经过，，三点的抛物线的解析式为；
（2）点，，以、为边作矩形，
∴，， ，
在中，
，
∴，
∴，
∴
；
（3）由运动时间为秒，则，，则
∵沿直线折叠得到，
∴，
若，
则，
∴，即．
∴，
解得；
（4）①如下图，当点在对称轴右侧，即为点，
当且时，四边形为平行四边形，
过作垂直对称轴于点，则，
∴，又对称轴为直线，
∴此时点的横坐标为2，
对于，
当时，，
∴点的坐标为；
②如下图，当点在对称轴左侧，即为，
当且时，四边形为平行四边形，
过作垂直对称轴于点，则，
∵，对称轴直线，
∴此时点的横坐标为．
对于，
当时，，
∴点的坐标为；
③如解图，当点在抛物线的顶点上，即为点，
当且时，四边形为平行四边形，
与相交于点，则为线段的中点，
又∵点在对称轴上，则的横坐标为，
对于，
当时，，
∴点的坐标为．
综上所述，当点的坐标为、、时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、矩形的性质等知识，平行四边形的性质，分类讨论的思想，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式7-3】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为、，点C的坐标为．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为，连接、、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形的面积最大时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解；
（2）过点作轴交于，可得由得二次函数，利用二次函数性质即可求解；
（3）分类讨论①为边时，（ⅰ）当与重合时，此时四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，即可求解；（ⅱ）当构成四边形是平行四边形时，由点的平移得点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，可得点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，设，由点的平移规律得，由点在轴上，即可求解； ②为对角线时，同理可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴交于，
，
，
，
，
，
，，
当时，取得最大值；
（3）解：
，
；
①为边时，
（ⅰ）当与重合时，此时四边形是平行四边形，
，，
轴，
四边形是平行四边形，
，
；
（ⅱ）如图，当构成四边形是平行四边形时，
点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，
点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，
设，
，
在轴上，
，
解得：，，
当时，
，
当时，
，
或；
②如图，为对角线时，
此时当与重合时，四边形是平行四边形，
同理可求：；
综上所述： 的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数几何综合应用，待定系数法，动点产生的面积最值问题，动点平行四边形问题，能“化动为静”表示出面积，熟练利用二次函数的性质求解，能根据点的不同位置进行分类讨论求解是解题的关键．
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】
【例8】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t；
(1)分别求直线和这条抛物线的解析式；
(2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标；
(3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）设，将代入两个函数解析式即可求出答案；
（2）设，根据则计算即可；
（3）分当时；时；三种情况依次进行讨论即可．
【详解】（1）解：设，
将代入，
，
解得，
故，
，
将代入，
，
解得，
；
（2）解：设，
则，
，整理得，，
，，
，
∴；
（3）解：，
，
，
①当时．
，
，
.
，
.
或（舍），
(没在第四象限，舍去)，
②时．
，
，
，
，
而，
，
，
，
时，
，
，
，
而，
，
矩形时，，
综合得．
【变式8-1】（2024春·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为4，此时P的坐标为
(3)存在，点F的坐标为，
【分析】（1）把点A的坐标代入得到，再根据抛物线的对称轴，得出a和b的关系式，即可求解；
（2）连接，过P点作平行于y轴的直线交于H点，根据可得，从而求面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于面积的二次函数表达式，最终结合二次函数的性质求解即可；
（3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨论即可．
【详解】（1）将，代入得：，
∵抛物线对称轴为对称轴为，
∴，即，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，
∵，
∴，即求面积的最大值即可，
把代入得，
∴C坐标为，
设直线BC的解析式为：，
将，代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
根据二次函数的性质可得：当时，取得最大值为4，
将代入，得到此时P的坐标为，
∴面积的最大值为4，此时P的坐标为；
（3）存在，理由如下：
由（2）可知，当面积的最大值为4时，P的坐标为，
∵，
∴，则，
∵原抛物线解析式为：，
∴设向右平移后的解析式为：，
将代入求得：（舍负值），
∴平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线，
∴设，，则结合A、P的坐标可得：
，，，
①当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
②当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
③当AE⊥PE时，根据勾股定理得：，
即：，
整理得：，
∵，
∴上述方程在实数范围内无解，即不存在的情况，
综上所述，所有可能的点F的坐标为，．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，以及矩形的性质，准确求得抛物线的解析式，并灵活根据矩形的性质进行分类讨论是解题关键．
【变式8-2】（2024·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)、
【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标；
（3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标．
【详解】（1）解：把点和点代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，点C的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）解：过点O作于一点H，如图所示：
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴点H为的中点，即，
则所在的直线方程为，
∵四边形为矩形，
∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同，
∴设所在的直线解析式为，
∵点A在直线上，
∴可求得，即所在的直线解析式为，
联立的直线方程与抛物线的解析式，
得，解得或，
其中为点A的坐标，即，
∵四边形为矩形，且，
根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标，
即．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．
【变式8-3】（2024春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)，对称轴是直线
(2)或
(3)存在，点P的坐标是或或或
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）先求出的面积，然后求出直线的解析式，设点，则，根据列方程求出点的坐标；
（3）设，点，然后分两种情况讨论：当为边时，当为对角线时，列出方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：当时，，
∴，
∵点，
∴，
，
∴，
设的解析式为，把代入得：
，解得，
∴，
如图，过点R作轴交于点M，
设点，则，
∴，
∴
解得或，
∴R的坐标为或；
（3）解：存在．
设，点Q（m，n），
当以AC为边时，点C向点P（或点Q）平移的方向和距离与点A向点Q（或点P）平移的方向和距离相同，且（或），
∴或，
解得： 或，
∴此时点Q的坐标为或
如图，当为对角线时，，且与的中点重合，如图，
，
∴，解得：或，
∴此时点Q的坐标为或；
综上所述，点Q的坐标为或或或
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，灵活利用数形结合思想是解题的关键，是中考的压轴题．
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】
【例9】（2024·广东珠海·三模）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上.
(1)如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______；
(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.
【答案】(1)－1；－1
(2)不存在，理由见解析
(3)，满足的等量关系为或
【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入函数解析式即可求出a、m的值；
（2） 假设存在，由，，可知，因为四边形为菱形，所以，可求出，因此可求得点的坐标，根据轴，亦可求出点的坐标，又已知点在抛物线上，而，因此假设不成立，即不存在四边形为菱形；
（3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，然后分情况讨论：①当点B，均在轴左侧时，②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，③当点B，均在轴右侧时，证明，因此利用，，即可得出结论．
【详解】（1）解： ，在抛物线上，
将代入，得，
，
将代入，得，
（2）不存在．
理由如下：
假设存在，由（1）得，，
，
设与轴交于点，
，
四边形为菱形，
，
．
点的坐标为，
轴，
点的坐标为，
又点在抛物线上，而，
假设不成立，
不存在四边形为菱形；
（3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，
①当点B，均在轴左侧时，如图1，
，，，，
，，
，
又，
，
，，
，
化简得，
，
；
②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，如图2，
，，，，
同理可得，
，，
，
化简得，
或；
③当点B，均在轴右侧时，如图3，
，，，，
同理可得，
，，
，
化简得，
，
，
综上所述，，满足的等量关系为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，正方形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，本题的关键是熟练运用二次函数的性质解题．
【变式9-1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求出直线，的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为
(2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；
【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键．
（1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可；
（2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：当时 ，
故点
当时，有
解得：
设直线的表达式为：；
将代入得： ，
解得：
故直线的表达式为： ；
同理可得：直线的表达式为：；
（2）解：①存在：设点D的坐标为，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或．
【变式9-2】（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或或或
(3)存在，的最小值为，
【分析】（1）由四边形为正方形及点D的坐标，可求得点B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴，则可得点E的坐标，从而求得；
分两种情况：①当吋；②当时，设点F坐标为，利用或建立关于a的方程，求出a的值，即可求得点F的坐标；
（3）连接，易得四边形BOMP是平行四边形，则，从而有
，故当的值最小时，则值最小，当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，且由勾股定理可求得的值，即可求得的最小值；再求出的解析式，即可求得它与对称轴的交点M的坐标，从而求得点P的坐标．
【详解】（1）解:四边形为正方形，，
，
，
；
把点B、D坐标代入得：，解得：，
拋物线的解析式为：
（2）解：由（1）得，抛物线解析式为，
则抛物线的对称轴为直线，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
，
设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当吋，如图所示：
由两点距离公式可得，即，
解得:，
点的坐标为或；
②当时，如图所示:
由两点距离公式可得，即，
解得:，
点的坐标为或；
综上所述：点的坐标为或或或；
（3）解：由题意可得如图所示：
连接，
由(2)可知点D与点关于抛物线的对称轴对称，，
；
过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，
【人教版】
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】 1
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】 3
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】 5
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 7
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】 8
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 10
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】 12
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】 13
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】 15
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】 17
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】 19
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】 22
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】 23
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．
【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】
【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，．
(1)求的面积；
(2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线与x轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点和．
(1)求抛物线的解析式
(2)①求出当时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线与x轴的左侧交点为C，作直线，D为直线下方抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，作于点M．是否存在点D，使的周长最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】
【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），其顶点为，对称轴与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点为，对称轴为直线，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，过点作轴于点，点在轴上，且点在点上方，是否存在这样的点、，使得以点、、为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例4】（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若是线段上一动点（不与点，重合），连接，过点作轴，交抛物线于点，交于点，在点的运动过程中，是否存在线段？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，拋物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线；
(1)求抛物线w的函数表达式；
(2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线（b，c是常数）的顶点坐标为，与y轴交于点B．
(1)求b，c的值；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-3】（2024·西藏日喀则·一模）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的面积；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例5】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上的一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式5-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
(1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_______．
(2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为．
①求二次函数的解析式；
②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，点，点，点，抛物线过A，B，C三点．点P在该抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的坐标；
(3)当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【变式5-3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例6】（2024·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【变式6-1】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的取值范围；
(3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【变式6-2】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：；
【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标；
【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形 若存在，请求出点M的坐标 若不存在，请说明理由．
【变式6-3】（2024春·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线：，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值；
(3)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例7】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积；
(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【变式7-1】（23-24九年级·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标；
(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式7-2】（2024·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边作矩形，点为边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．
(1)求经过三点的抛物线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，；
(4)若点在（2）中的抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
【变式7-3】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为、，点C的坐标为．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为，连接、、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形的面积最大时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】
【例8】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t；
(1)分别求直线和这条抛物线的解析式；
(2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标；
(3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2024春·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式8-2】（2024·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【变式8-3】（2024春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】
【例9】（2024·广东珠海·三模）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上.
(1)如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______；
(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.
【变式9-1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求出直线，的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式9-2】（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式9-3】（2024·海南海口·二模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点P在直线的上方运动时，连接，交直线于点D，交y轴于点E．
①若的面积是面积的3倍，求点P的坐标；
②当时，求的长．
(3)过点P作轴交直线于点F，在y轴上是否存在点Q，使得以P、F、C、Q为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】
【例10】（23-24九年级·江苏盐城·期末）如图，已知抛物线的图像与坐标轴分别交于三点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，作直线．
(1)直接写出下列各点的坐标：F______，M______；
(2)若点P为直线下方抛物线上动点，过点P作轴，交直线于点Q，当为直角三角形时，求点P的坐标；
(3)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式10-1】（2024·陕西·一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A、B的坐标；
(2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕着点逆时针旋转，点的对应点为点．
(1)求经过三点的抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿着轴平移到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．
【变式10-3】（23-24九年级·北京·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线与抛物线交于两点，与直线交于点．若点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点．
①当时，求的值；
②在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】
【例11】（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；
(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【变式11-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），点，在抛物线上．
(1)填空：________，________，点的坐标为________；
(2)如图1，在抛物线上存在一点，使，求点的横坐标；
(3)如图2，点是轴下方的抛物线上任意一点，是线段上的一个定点（点不与点、重合），过点作轴的平行线与射线，分别交于，两点，若为定值，求的值．
【变式11-2】（2024·福建龙岩·二模）已知抛物线．
(1)对于任意实数a，该抛物线都会经过一个定点，求此定点的坐标．
(2)当时，该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
①如图（1），若点是轴上的动点，当取最大值时，求的面积；
②小聪研究发现：如图（2），，是抛物线上异于，的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，那么在直线存在点，使得，，中必存在定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【变式11-3】（2024·广东·一模）综合应用．
如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，请问是否存在点P使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，作出该二次函数图象的对称轴直线l，交x轴于点D．若点M是二次函数图象上一动点，且点M始终位于x轴上方，作直线，，分别交l于点E，F，在点M的运动过程中，的值是否为定值？若是，请直接写出该定值；若不是，请说明理由．
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】
【例12】（2024·云南红河·一模）已知抛物线，经过点和点，抛物线上有一个点，它的横坐标为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求的长；
(3)若点是轴上方、轴左侧抛物线上的一个动点，是否存在这样的点，使？如果存在，请求出点坐标；如果不存在，请说明理由．
【变式12-1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)连接，当时，求所有符合条件的点的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-2】（2024春·内蒙古鄂尔多斯·九年级统考期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在第四象限的抛物线上是否存在一点M，使的面积为？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式12-3】（2024·重庆开州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1：P是直线上方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上一动点，作直线交所在的直线于点D，是否存在点Q满足条件，若存在，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】
【例13】（2024春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．点是第二象限内抛物线上的一个动点，设点的横坐标为，过点作直线轴于点，作直线交于点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)如图2，连接，过点作直线，交轴于点，连接．试探究：在点运动的过程中，是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式13-1】（23-24九年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图1，抛物线过，，三点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点为直线上方抛物线上的任意一点，连接、，求面积的最大值和此时点的坐标；
(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在点，使的值最大？若存在，请求出点的坐标，若不存在请说明理由．
【变式13-2】（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点．
①当时，求的长；
②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式13-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标．
(3)如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题22.8 二次函数中的存在性问题【十三大题型】
【人教版】
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】 1
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】 10
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】 20
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 27
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】 34
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 44
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】 56
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】 69
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】 80
【题型10 二次函数中正方形的存在性问题】 95
【题型11 二次函数中定值的存在性问题】 107
【题型12 二次函数中角度问题的存在性问题】 121
【题型13 二次函数中线段问题的存在性问题】 132
【题型1 二次函数中面积问题的存在性问题】
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①该二次函数的解析式为：；，
②存在，P点横坐标为：或或
【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得；
（2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，；
②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：∵的图像经过，
∴，
∴和关于对称轴对称，
∴，
，
，
∴，．
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∵解得，
∵，且，
∴，
∴，
∴该二次函数的解析式为：，
当时，，
解得，，
∴， ．
②设直线的表达式为：，
则，
解得，
∴直线的表达式为：，
当点P在点A右侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，，
∴点P横坐标为或；
当点P在点A左侧时，作于F，如图所示：
设，则，，
则，
,
，
∵，，，
∴
，
∵，
，
解得：，（舍去），
∴点P横坐标为，
综上所述，P点横坐标为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键．
【变式1-1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标是，的面积最大值是
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：
（1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可；
（2）过点P作轴于点E，设，且点P在第二象限，根据可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）解：将，代入得，
解得：
（2）解：对于，令则
解得，，
∴，
∴
∵，
∴，
过点P作轴于点E，如图，
设，且点P在第二象限，
∴
∴
∵，
∴有最大值，
∴当时，有最大值，最大值为，此时点P的坐标为
【变式1-2】（23-24九年级·云南临沧·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与y轴交于点B(0，4)，与x轴交于点A(－1，0)和点D．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求抛物线的顶点和点D的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）D的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，）；（3）满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据二次函数的解析式得点D的坐标，将解析式化为顶点式可得顶点的坐标；
（3）设P的坐标为P（x，y），到y轴的距离为|x|，则S△BOP= BO |x|，解出x=±，进而得出P点坐标．
【详解】解：(1)把点A(－1，0)和点B(0，4)代入二次函数中得：
解得：
所以二次函数的解析式为：；
（2）根据（1）得点D的坐标为（3，0），
=，
∴顶点坐标为（1，）；
(3)存在这样的点P，设P的坐标为P(x，y)，到y轴的距离为∣x∣
∵S△BOP＝ BO ∣x∣
∴＝×4 ∣x∣
解得：∣x∣＝所以x＝±
把x＝代入中得：
即：y＝，
把x＝－代入中得：
即：y＝－
∴满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线的顶点坐标以及三角形面积等知识，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．
【变式1-3】（2024·山东烟台·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，并且，连接．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积等于面积的？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)过点C作轴交抛物线于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，点的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数的几何应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出点的坐标，先分别求出和的面积，再建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①点在轴上方，②点在轴下方，再利用等腰三角形的判定与性质求解即可得．
【详解】（1）解：∵，，点位于轴的正半轴，
∴，
将点代入得：，
解得，
则抛物线对应的函数表达式为．
（2）解：由（1）可知，，
∵，，
∴，
设点的坐标为，
∴的面积为，的面积为，
∵的面积等于面积的，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴，
所以存在点，使得的面积等于面积的，此时点的坐标为．
（3）解：①如图，在轴上方作，交直线于点，交轴于点，则，
∵轴，
，
，
∴，
当时，，
解得或，
∴，
设点的坐标为，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
∴点的坐标为；
②如图，在轴下方作，交轴于点，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴点与点关于轴对称，
∴点的坐标为，
综上，存在点，使得，此时点的坐标为或．
【题型2 二次函数中周长最值的存在性问题】
【例2】（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接，．
(1)求的面积；
(2)直线与抛物线交于点、，在抛物线的对称轴上是否存在点，使的周长最小？如果存在，请求出点坐标；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)存在，
【分析】本题主要考查二次函数、一次函数和几何的结合，解题的关键是熟悉二次函数的性质，
根据二次函数的解析式求得点A和点B、点C的坐标，则，，利用三角形面积公式求解即可；
联立方程求得点，利用勾股定理即可求得．连接、，结合对称性可知，则、、三点共线时，有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为：，利用对称轴即可求得点P．
【详解】（1）解：令，即，
解得或
∴，，
则，
当时，，
∴，，
∴．
（2）存在这样的点，理由如下，
联立，
解得或，
∴，
∵，
∴．
连接、，如图，
则
∵
∴．
∴当、、三点共线时，有最小值，
设直线的解析式为：，
则，
解得，
则直线的解析式为：，
∵时，，
∴．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏南通·假期作业）如图抛物线与x轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得的周长最小？若存在，求出M点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)该抛物线的解析式为
(2)M点的坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题：
（1）把，代入解方程组即可得到结论；
（2）连接交对称轴于M，则此时，的周长最小，设直线的解析式为，解方程组求得直线的解析式为，当时，求得，于是得到结论．
正确的理解题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：把，代入中得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：
（2）存在，
连接交对称轴于M，则此时，的周长最小，
在中，令，则，
，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，，
∴M点的坐标为
【变式2-2】（23-24九年级·四川德阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点、在轴上，点、在轴上，且，，抛物线经过三点，直线与抛物线交于另一点．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)点是直线上一动点，点为抛物线上直线下方一动点，当线段的长度最大时，请求出点的坐标和面积的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)时的周长最小；
(3)当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
【分析】（）由，，，的长度可得出点，，，的坐标，由点，，的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（）利用配方法可求出抛物线的对称轴，连接，交抛物线对称轴于点，此时和最小，即的周长最小，由点，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标；
（）由点，的坐标可得出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点的坐标，过点P作轴，交直线于点，设点的坐标为，则点的坐标为，进而可得出的长，由三角形的面积结合可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、轴对称（最短路径问题）、三角形的面积、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）∵，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为 ，点的坐标为 ，
将，，代入得：
，解得：，
∴这条抛物线的解析式为；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接，交抛物线对称轴点，如图所示，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴
∴当点，，三点共线时，取得最小值，即的周长最小，
设直线的解析式为，
将，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴在这条抛物线的对称轴上存在点时的周长最小；
（3）∵，，
∴直线的解析式为，联立直线和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点的坐标为，
过点作轴，交直线于点，如图所示，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴当时，的面积取最大值，最大值为，
∴当面积最大时，点的坐标为，面积最大值为．
【变式2-3】（23-24九年级·广西南宁·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点和．
(1)求抛物线的解析式
(2)①求出当时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线与x轴的左侧交点为C，作直线，D为直线下方抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，作于点M．是否存在点D，使的周长最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①最大值为21，最小值为；②
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先把解析式化为顶点式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则当时，y有最小值，且离对称轴越远函数值越大，再求出当当时，当时，y的值即可得到答案；②先求出，进而求出直线的解析式为，设点D的坐标为，则，则；证明是等腰直角三角形，得到，则的周长，故当最大时，的周长最大，据此利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把点和代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：①∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，y有最小值，且离对称轴越远函数值越大，
当时，，
当时，，
∴时，最大值为21，最小值为；
②在中，当时，解得或，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标为，则，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的周长，
∴当最大时，的周长最大，
∵，，
∴当时，的周长最大，
∴，
∴点P的坐标为
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，通过证明是等腰直角三角形，把求的最大值转换成求出的最大值是解题的关键．
【题型3 二次函数中全等三角形的存在性问题】
【例3】（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），其顶点为，对称轴与轴交于点．
(1)求点、的坐标；
(2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在，点的坐标为：或
【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，顶点坐标，全等三角形的判定，即可．
（1）根据题意，则，求出，的坐标，把换成顶点式，即可得到点的坐标；
（2）设点，根据全等三角形的判定，分类讨论：，，即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），
∴，
解得：，，
∴点，；
∵，
∴顶点．
（2）存在，理由如下：
∵点在二次函数的对称轴上且交于轴，
∴点，
∵，，
∴，，
设点，
∵过作轴于点，点是轴上一点，
∴点，
∴，
∵以点、、为顶点的三角形与全等，
∴当时，，
∴，
解得：，（舍），
∴当时，，
∴点；
当时，，
∴，
解得：，（舍），
∴当时，，
∴点；
综上所述，当点的坐标为：或时，存在以点、、为顶点的三角形与全等．
【变式3-1】（2024·陕西咸阳·二模）已知抛物线：与轴交于点，抛物线与关于轴对称．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为坐标原点，点是轴正半轴上一点，，点是轴负半轴上的动点，点是第二象限抛物线上的动点，连接,是否存在点，使得以点为顶点的三角形与全等？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的性质．
（1）先将抛物线化为顶点式，再根据抛物线与关于轴对称得抛物线的顶点坐标，最后由开口方向即可得出；
（2）先由抛物线：求出点的坐标，再根据题意，分两种情况：当时及当时，设点的坐标为，分别求出的值即可，具体见详解．
【详解】（1）解：抛物线:
∴抛物线的顶点为，
∵抛物线与关于轴对称
∴抛物线的顶点为，且抛物线开口向下，
∴抛物线的函数表达式为;
（2）∵抛物线：与y轴交于点，
，即
，
∵点是轴正半轴上一点，
由题意可知，与有一条公共边，设点的坐标为，
分两种情况：
当时，，
轴，即点与点的纵坐标一样，
令，解得，
当时，此时点与点重合，点与点重合，，
∴平分，即点到轴，轴的距离相等
，解得，
综上，存在点，使得以点为顶点的三角形与全等，点的坐标为或．
【变式3-2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)已知点在抛物线上，当时，直接写出n的取值范围；
(3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）把和代入，求出a和c的值，即可得出函数解析式；
（2）先求出时的函数值，再求出函数最小值，结合图象即可得出n的取值范围；
（3）先得出抛物线解析式为直线，则点D到对称轴距离为1，到x轴距离为3，根据，点P在抛物线上，得出结论点在x轴下方，对称轴距离为1，到x轴距离为3，即可解答．
【详解】（1）解：把和代入得：
，解得：，
∴抛物线的函数解析式为；
（2）解：把代入得：，
∴，
∵，，
∴当时，该函数有最小值，
∵在该抛物线上，
∴当时，n的取值范围为；
（3）解：∵，
∴抛物线解析式为直线，
∵，
∴点D到对称轴距离为1，到x轴距离为3，
∵，点P在抛物线上，
∴点在x轴下方，对称轴距离为1，到x轴距离为3，
∴点或，
把代入得：，
解得，，
∴或在抛物线上，
综上：存在，或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数表达式的求解、点的对称性、三角形全等等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
【变式3-3】（2024·陕西咸阳·三模）如图，抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点为，对称轴为直线，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，过点作轴于点，点在轴上，且点在点上方，是否存在这样的点、，使得以点、、为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在，、或、或、或、
【分析】（1）根据题意，令，解方程即可得到，，将一般式化为顶点式即可得到定点坐标；
（2）作出图形，根据题意，要求以点、、为顶点的三角形与全等，找出等边或者等角，分类讨论：①与是对应边；②与是对应边，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点，
令，则，解得，，
∴，，
∵抛物线，
∴；
（2）解：如图所示：
∵，
对称轴，
∴交轴于点，则，，
根据题意可得，若以点、、为顶点的三角形与全等，则点与点是对应点，
设点的坐标为，则，
①当与是对应边时，则，，即，
∴或，
当时，；
当时，；
∴、，、；
②当与是对应边时，则，，即，
∴或，
当时，；
当时，；
具体情况，如图所示：
∴、，、，
综上所述，存在这样的点、，使得以点、、为顶点的三角形与全等，点、的坐标为、或、或、或、．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与坐标轴的交点坐标、二次函数中三角形全等问题，熟练掌握二次函数图像与性质，理解二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
【题型4 二次函数中等腰三角形的存在性问题】
【例4】（2024·云南楚雄·模拟预测）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
(1)求抛物线的顶点坐标．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若是线段上一动点（不与点，重合），连接，过点作轴，交抛物线于点，交于点，在点的运动过程中，是否存在线段？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)顶点坐标为
(2)存在，点P的坐标为或或或
(3)能，点M的横坐标为
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将代入，可求，则，进而可得顶点坐标为；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，则，设，则，，，由题意知，当是等腰三角形，分①，②，③，三种情况计算求解即可；
（3）如图，作于，待定系数法求直线的解析式为；设，则，，，，由，可得，则，，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，
∴设抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴，
∴顶点坐标为；
（2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线，则．
设，则，，，
由题意知，当是等腰三角形，分①，②，③，三种情况求解；
①当时，则，
解得，，
∴点P的坐标为或；
②当，则，
解得，，
∴点P的坐标为；
③当时，则，
解得，或（舍去），
∴点P的坐标为．
综上所述，存在，点P的坐标为或或或．
（3）解：如图，作于，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为；
设，则，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴存在，点M的横坐标为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与线段综合，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数解析式，等知识．
【变式4-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，拋物线（、为常数，且）与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线向右平移一个单位得到抛物线；
(1)求抛物线w的函数表达式；
(2)连接，探究抛物线的对称轴直线l上是否存在点P，使得以点A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，，，，
【分析】本题主要考查了二次函数动点特殊三角形问题，属于二次函数综合题，解答本题的关键是先求出解析式，设点分类讨论等腰三角形的腰．
（1）将点，代入即可得到答案；
（2）由（1）知：拖物线的对称轴为：，，所以抛物线的对称轴为：， 令，根据两点间距离公式得到三角形三边的平方的代数式，再分类讨论腰相等列式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：将点，代入得：
，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：存在
由（1）知：抛物线的对称轴为：，，
抛物线的对称轴为：，
令，
，，，
①当时，，
解得：，，
，；
②当时，，
解得：，，
，；
③当时，，
解得：，
综上，满足要求的点的坐标为，，，，．
【变式4-2】（2024·云南·模拟预测）已知抛物线（b，c是常数）的顶点坐标为，与y轴交于点B．
(1)求b，c的值；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，，，
【分析】本题考查二次函数图象的性质、等腰三角形的分类讨论、解一元二次方程等知识，解答关键是应用勾股定理构造方程．
（1）根据顶点坐标公式列方程求解即可；
（2）分别讨论、、的情况，利用勾股定理构造方程问题可解．
【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴；
（2）存在，
由（1）得，
∵当时，，
∴．
存在点，使得是等腰三角形，
设，
则，，，
情况：当时，
即，
解得，
所以，；
情况：当时，
即，
解得，
所以，，
情况：当时，
即，
解得或，
所以，（舍去）
综上得：满足条件的点有，，，．
【变式4-3】（2024·西藏日喀则·一模）如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求 的面积；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，符合条件的 P 点坐标为
【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数与面积的综合、二次函数与三角形的综合等知识点，掌握分类讨论和数形结合思想成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）先求得、，再运用待定系数法求得直线的解析式为；如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则,
则，最后根据三角形的面积公式即可解得；
（3）如图：设点， 连接,根据两点间的距离公式可得、、，然后再分、、三种情况分别解得即可．
【详解】（1）解∶ 由抛物线 经过、两点，
则，解得：，
所以抛物线的函数关系式是：．
（2）解：∵，
∴，
当时，，即，
由待定系数法可得直线的解析式为．
如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则,
∴,
∴．
（3）解：存在．
如图：设点， 连接,
,,；
①若，则，即，
解得．即 ．
②若，则 即，
解得：，即 ；
③若，则，
解得：，即．
综上， 符合条件的 P 点坐标为 ，、．
【题型5 二次函数中直角三角形的存在性问题】
【例5】（2024·甘肃酒泉·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上的一动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点D的坐标是
【分析】（1）待定系数法求二次函数的表达式即可；
（2）如图1，连接，作轴交于点，由，可得，则，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，，根据二次函数的图象与性质求解作答即可；
（3）设，则，，，分，，三种情况，利用勾股定理求解作答即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得：，
二次函数的表达式为；
（2）解：如图1，连接，作轴交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，
且，
当时，取得最大值．此时；
（3）解：设，则，，，
①当时，，即，
解得，（舍去）；
②当时，，即 ，
解得，，
∴；
③当时，，即，
解得，（舍去），，
∴；
综上所述，存在点D，点D的坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，平行线间的距离，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数的最值，勾股定理是解题的关键．
【变式5-1】（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”．
(1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_______．
(2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为．
①求二次函数的解析式；
②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②存在，点的坐标为或
【分析】（）根据“顶点相容函数”的定义得到该函数的图象的顶点坐标为，再代入二次函数解析式得到即可解答；
（）①根据旋转的性质可知，再根据全等三角形的性质及二次函数的性质即可解答；②根据直角三角形的性质分三种情况讨论即可解答．
【详解】（1）解：∵二次函数，
∴该函数的图象的顶点坐标为，
∴将代入，得，
解得．
∴二次函数的解析式为,
∴二次函数的顶点为，
∴将代入入得，
∴符合要求，
故答案为：；
（2）解：①∵旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，
∴的图象的顶点必在二次函数的图象上，
∵的图象是二次函数为的图象绕点旋转得到，
∴这两个函数图象的顶点关于点对称，
如图，分别过作轴，轴，垂足分别为，
在和中，
∴，
∴．
当时，，
解得（舍去），
∴点的坐标为，
当点是的图象的顶点时，设，
把代入，
解得，
∴二次函数的解析式为为；
②设点的坐标为，则，
；
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得，
综上所述，存在一点，使得为直角三角形，点的坐标或．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质与图象，直角三角形的性质，“顶点相容函数”的定义，理解“顶点相容函数”的定义是解题的关键．
【变式5-2】（2024·四川巴中·一模）已知，点，点，点，抛物线过A，B，C三点．点P在该抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点P的坐标；
(3)当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了二次函数综合，正确做出辅助线是解题的关键．
（1）将点，点，点代入抛物线解析式即可解答；
（2）如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过作的垂线段，分别交于点，证明，得到点的坐标，求得的解析式，即可求得点坐标；
（3）考虑三种情况，即分别为直角的时，利用勾股定理，即可解答．
【详解】（1）解：把将点，点，点代入抛物线解析式，
可得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过作的垂线段，分别交于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
根据可得，
，
，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
直线的解析式为，
故可得，
解得，
，
；
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
设，
则，，，
①当时，
可得方程，
方程无解，故不成立；
②当时，，
可得方程
解得；
③当，，
可得方程，
解得，
综上所述，或．
【变式5-3】（2024·山东淄博·模拟预测）如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在；点P的坐标为或或或
【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，
得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；
（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
；
（3）解：存在，
∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
【题型6 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【例6】（2024·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，抛物线过点A和点C，与x轴交于点B．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴与直线交于点D，若P是直线上方抛物线上的一个动点（点P不与点A，C重合），求面积的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一动点，x轴上方的抛物线上是否存在点N，使得是以为直角边的等腰直角三角形；若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积的最大值是
(3)点N坐标为或或或．
【分析】（1）先求得点A，C的坐标，再用待定系数法可得；
（2）过作轴交于，求出的对称轴直线，，设，则，利用三角形面积公式可得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设，分，和，，两种情况列方程可解得答案．
【详解】（1）解：对于直线，令，则；令，则；∴，，把，代入得：
，
解得，
；
（2）解：过作轴交于，如图：
在中，对称轴为直线，
当时，，
，
设，则，
，
∴
，
，
当时，取最大值为5；
∴面积的最大值为5；
（3）解：∵，对称轴为直线，
设，
当，，过点N作轴的平行线交对称轴于点，过点A作轴的平行线交于点，如图，
∴，
∴，
∴，，
∴，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
当，，过点N作轴的垂线交轴于点，对称轴直线交轴于点，如图，
同理，则，即，
整理得，
解得，
∴点N坐标为或；
综上，点N坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形性质及应用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式6-1】（2024春·山西阳泉·九年级统考期末）综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求的取值范围；
(3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，2或4．
【分析】（1）把点和点代入，求解即可；
（2）将抛物线解析式化成顶点式，求得的最小值为．由直线与抛物线有两个交点，即可得出；
（3）分两种情况：①当，时，②如图，当，时，分别 求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴
解得
∴抛物线的表达式为．
（2）解：
∴的最小值为．
∵直线与抛物线有两个交点，
∴．
（3）解：存在．
当时，．
∴点的坐标为．
①如图，当，时，过点作轴于，
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∵，
∴．
延长至使得，此时也是等腰直角三角形．
易得，此时．（不合题意，舍去）
②如图，当，时，过点作轴于，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
∴．
延长，使得，此时也是等腰直角三角形．
同理可得， ．（不合题意，舍去）
综上所述，直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形．
的值为2或4．
【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象与直线交点问题，全等三角形判定与性质，等腰直角 三角形性质，属中考常考试题目，要求学生熟练掌握相关性质并能灵活运用是解题的关键，注意（3）问要分类讨论，以免漏解．
【变式6-2】（2024·新疆昌吉·模拟预测）【建立模型]（1）如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．求证：；
【类比迁移]（2）如图2，在中，，，与轴交于点，点C的坐标为，点A的坐标为，求B，D两点的坐标；
【拓展延伸]（3）如图3，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点M，使是以为斜边的等腰直角三角形 若存在，请求出点M的坐标 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或或
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数与几何综合题，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）利用，即可证明；
（2）过点B作轴于点F.证明,则，得到. 待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即可得到
（3）求出，得到抛物线的对称轴为直线,设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，分两种情况：当点M在x轴的下方和
点M在x轴的上方，分别进行解答即可．
【详解】（1）证明:∵，
∴
∵,
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴
（2）解:如图,过点B作轴于点F.
由题意,得
∵，
∴.
∴
又∵,
∴,
∴.
∴
∴..
设直线的解析式为,
将代入中,得,
解得
∴直线的解析式为，
当时，，
∴
（3）解:∵
∴抛物线的对称轴为直线,
设抛物线的对称轴交x轴于点H,过点M作轴于点N，
①当点M在x轴的下方时,如图，
∵,
∴
∴
又∵，
∴.
∴..
设，
∴，
∴，
∴，
将 代入中,
得,
解得或
∴. 点M的坐标为或；
②当点M在x轴的上方时,如图,
同理可得，点M的坐标为或.
综上所述,点M的坐标为或或或.
【变式6-3】（2024春·福建漳州·九年级校考期中）如图①，已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线：，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时，四边形面积最大，并求出其最大值；
(3)如图②，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时，四边形面积最大，最大值为
(3)点的坐标为 ： ， ， ，
【分析】（1）根据对称轴可得，将代入，待定系数法求解析式可得抛物线的解析式；
（2）设，根据的解析式表示点的坐标，表示的长，根据面积和可得四边形的面积，利用配方法可得其最大值；
（3）存在四种情况：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明，根据列方程可得点的坐标；同理可得其他图形中点的坐标．
【详解】（1）解：依题意，，
∴，
∴抛物线解析式为，
将点代入得
解得：，
抛物线的解析式；；
（2）如图2，设
平分，，
，
是等腰直角三角形，
，
,，
设直线的解析式为，
，
解得：，
则直线的解析式为：，
过作轴，交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
当 时，有最大值是；
（3）如图3，过作轴，交轴于，交于，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
则，
解得： 或，
∴的坐标为 或 ；
如图4，过作轴于，过作于，连接PF．
同理得，
，
则，
解得： 或；
的坐标为 ， 或 ， ；
综上所述，点P的坐标是： ， ， ， ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第(2)问时需要运用配方法，解第(3)问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．
【题型7 二次函数中平行四边形的存在性问题】
【例7】（2024·山东·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接．已知，，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点D为线段上方抛物线上的一个动点，连接．连接，分别交y轴与于点E、F．当四边形的面积最大时，求直线的表达式及此时的面积；
(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形的面积最大时，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，
【分析】（1）根据．可求得，设抛物线的表达式的抛物线为：，将代入即可求解；
（2），为定值，故求出的最大值即可求解；根据即可求解；
（3）根据平行四边形对角线互相平分可求出点的坐标，继而根据即可求解；
【详解】（1）解：∵，．
∴
设抛物线的表达式的抛物线为：，
将代入可得：
解得：
∴
（2）解：设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
过点作轴的平行线交直线于点，如图所示：
设点，则
∴
∴当，即点时，有最大值，且最大值为；
∵，为定值
∴此时也最大
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
令可得，即
联立，解得：
∴
∴
（3）解：由，可知：抛物线的对称轴为直线，
由（2）可得，
设
若四边形为平行四边形，则，
解得：
∴
设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
过点作轴的平行线交直线于点，如图所示：
则，即
∴
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了一次函数的解析式求解，平行四边形的存在性问题，二次函数的性质等知识点，综合性较强，掌握函数的相关知识点是解题关键．
【变式7-1】（23-24九年级·四川泸州·期中）如图，抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)若其顶点为D，设点P是抛物线的对称轴l上一点，以点P为圆心的圆经过两点，且与直线相切，求点P的坐标；
(3)设点E为抛物线上一点，抛物线对称轴上是否存在一点F，使得以B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出E点和F点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)点P的坐标为或
(3)存在，E、F的坐标分别为、或、或、
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质、待定系数法求函数解析式、切线的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形性质、三角形面积等知识；
（1）根据题意分别代入点，分别解出即可求出答案．
（2）设点P的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为：，则直线与X轴的交点为，证是等腰三角形，则，则直线与圆P相切于点Q，连接，由切线的性质得出，则是等腰三角形，得，由，，则，解得即可得出答案．
（3）由题意得，，由面积求出，由待定系数法求出直线的解析式为，则，同理得的解析式为，分三种情况，由平行四边形的性质和对称的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
则，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：如图1，设直线切于点E．连接，作于点F．
∴．
由，得
对称轴为直线，．
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
设，
∴．
在中，，
∴，
∴．
整理，得，
解得，．
∴点P的坐标为或；
（3）解：存在，理由：
设点E，点F，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，解得：，
则点的坐标分别为：；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
则点的坐标分别为：或；
综上，的坐标分别为：或或．
【变式7-2】（2024·海南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边作矩形，点为边上一点，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处．
(1)求经过三点的抛物线的解析式；
(2)求四边形的面积；
(3)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，；
(4)若点在（2）中的抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点与点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)当点的坐标为、、时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式即可．
（2）由折叠的性质可求得、，在中，由勾股定理可求得即可得出点E坐标，利用代入数据解答即可；
（3）用t表示出、的长，可证明，可得到，即可求得t的值；
（4）分三种情况∶①当点在对称轴右侧，即为点，当且时，四边形为平行四边形，过作垂直对称轴于点，，则，又对称轴为直线，最后根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②当点在对称轴左侧，即为，当且时，四边形为平行四边形，过作垂直对称轴于点，则，则，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；③当点在抛物线的顶点上，即为点，当且时，四边形为平行四边形，与相交于点，则为线段的中点，点在对称轴上，则的横坐标为，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
【详解】（1）解：设过，，三点的抛物线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴经过，，三点的抛物线的解析式为；
（2）点，，以、为边作矩形，
∴，， ，
在中，
，
∴，
∴，
∴
；
（3）由运动时间为秒，则，，则
∵沿直线折叠得到，
∴，
若，
则，
∴，即．
∴，
解得；
（4）①如下图，当点在对称轴右侧，即为点，
当且时，四边形为平行四边形，
过作垂直对称轴于点，则，
∴，又对称轴为直线，
∴此时点的横坐标为2，
对于，
当时，，
∴点的坐标为；
②如下图，当点在对称轴左侧，即为，
当且时，四边形为平行四边形，
过作垂直对称轴于点，则，
∵，对称轴直线，
∴此时点的横坐标为．
对于，
当时，，
∴点的坐标为；
③如解图，当点在抛物线的顶点上，即为点，
当且时，四边形为平行四边形，
与相交于点，则为线段的中点，
又∵点在对称轴上，则的横坐标为，
对于，
当时，，
∴点的坐标为．
综上所述，当点的坐标为、、时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、矩形的性质等知识，平行四边形的性质，分类讨论的思想，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
【变式7-3】（23-24九年级·吉林·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为、，点C的坐标为．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为，连接、、．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形的面积最大时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解；
（2）过点作轴交于，可得由得二次函数，利用二次函数性质即可求解；
（3）分类讨论①为边时，（ⅰ）当与重合时，此时四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，即可求解；（ⅱ）当构成四边形是平行四边形时，由点的平移得点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，可得点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，设，由点的平移规律得，由点在轴上，即可求解； ②为对角线时，同理可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴交于，
，
，
，
，
，
，，
当时，取得最大值；
（3）解：
，
；
①为边时，
（ⅰ）当与重合时，此时四边形是平行四边形，
，，
轴，
四边形是平行四边形，
，
；
（ⅱ）如图，当构成四边形是平行四边形时，
点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，
点由点向左平移个单位，再向上平移个单位，
设，
，
在轴上，
，
解得：，，
当时，
，
当时，
，
或；
②如图，为对角线时，
此时当与重合时，四边形是平行四边形，
同理可求：；
综上所述： 的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了二次函数几何综合应用，待定系数法，动点产生的面积最值问题，动点平行四边形问题，能“化动为静”表示出面积，熟练利用二次函数的性质求解，能根据点的不同位置进行分类讨论求解是解题的关键．
【题型8 二次函数中矩形的存在性问题】
【例8】（23-24九年级·湖南长沙·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为t；
(1)分别求直线和这条抛物线的解析式；
(2)若点在第四象限，若，求此时点的坐标；
(3)点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限时，是否存在这样的点，使得以A、C、B、为顶点组成的以为边的矩形 若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）设，将代入两个函数解析式即可求出答案；
（2）设，根据则计算即可；
（3）分当时；时；三种情况依次进行讨论即可．
【详解】（1）解：设，
将代入，
，
解得，
故，
，
将代入，
，
解得，
；
（2）解：设，
则，
，整理得，，
，，
，
∴；
（3）解：，
，
，
①当时．
，
，
.
，
.
或（舍），
(没在第四象限，舍去)，
②时．
，
，
，
，
而，
，
，
，
时，
，
，
，
而，
，
矩形时，，
综合得．
【变式8-1】（2024春·广东江门·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于、B两点，交y轴于点C，其对称轴为，
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)P为第四象限内抛物线上一点，连接，过点C作交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点Q，得到新抛物线，点E在新抛物线的对称轴上，是否在平面内存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为4，此时P的坐标为
(3)存在，点F的坐标为，
【分析】（1）把点A的坐标代入得到，再根据抛物线的对称轴，得出a和b的关系式，即可求解；
（2）连接，过P点作平行于y轴的直线交于H点，根据可得，从而求面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于面积的二次函数表达式，最终结合二次函数的性质求解即可；
（3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨论即可．
【详解】（1）将，代入得：，
∵抛物线对称轴为对称轴为，
∴，即，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，
∵，
∴，即求面积的最大值即可，
把代入得，
∴C坐标为，
设直线BC的解析式为：，
将，代入得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
根据二次函数的性质可得：当时，取得最大值为4，
将代入，得到此时P的坐标为，
∴面积的最大值为4，此时P的坐标为；
（3）存在，理由如下：
由（2）可知，当面积的最大值为4时，P的坐标为，
∵，
∴，则，
∵原抛物线解析式为：，
∴设向右平移后的解析式为：，
将代入求得：（舍负值），
∴平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线，
∴设，，则结合A、P的坐标可得：
，，，
①当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
②当时，如图所示，
此时根据勾股定理得：，
即：，解得：，即：，
此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得：
，解得：，
∴；
③当AE⊥PE时，根据勾股定理得：，
即：，
整理得：，
∵，
∴上述方程在实数范围内无解，即不存在的情况，
综上所述，所有可能的点F的坐标为，．
【点睛】本题考查二次函数综合运用，以及矩形的性质，准确求得抛物线的解析式，并灵活根据矩形的性质进行分类讨论是解题关键．
【变式8-2】（2024·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)、
【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标；
（3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标．
【详解】（1）解：把点和点代入抛物线，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，点C的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为；
（3）解：过点O作于一点H，如图所示：
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴点H为的中点，即，
则所在的直线方程为，
∵四边形为矩形，
∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同，
∴设所在的直线解析式为，
∵点A在直线上，
∴可求得，即所在的直线解析式为，
联立的直线方程与抛物线的解析式，
得，解得或，
其中为点A的坐标，即，
∵四边形为矩形，且，
根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标，
即．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．
【变式8-3】（2024春·内蒙古通辽·九年级校考期中）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和对称轴．
(2)若R为第一象限内抛物线上点，满足，求R的坐标．
(3)若点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点P使得A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)，对称轴是直线
(2)或
(3)存在，点P的坐标是或或或
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）先求出的面积，然后求出直线的解析式，设点，则，根据列方程求出点的坐标；
（3）设，点，然后分两种情况讨论：当为边时，当为对角线时，列出方程组即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线；
（2）解：当时，，
∴，
∵点，
∴，
，
∴，
设的解析式为，把代入得：
，解得，
∴，
如图，过点R作轴交于点M，
设点，则，
∴，
∴
解得或，
∴R的坐标为或；
（3）解：存在．
设，点Q（m，n），
当以AC为边时，点C向点P（或点Q）平移的方向和距离与点A向点Q（或点P）平移的方向和距离相同，且（或），
∴或，
解得： 或，
∴此时点Q的坐标为或
如图，当为对角线时，，且与的中点重合，如图，
，
∴，解得：或，
∴此时点Q的坐标为或；
综上所述，点Q的坐标为或或或
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，矩形的性质，灵活利用数形结合思想是解题的关键，是中考的压轴题．
【题型9 二次函数中菱形的存在性问题】
【例9】（2024·广东珠海·三模）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上.
(1)如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______；
(2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由；
(3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系.
【答案】(1)－1；－1
(2)不存在，理由见解析
(3)，满足的等量关系为或
【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入函数解析式即可求出a、m的值；
（2） 假设存在，由，，可知，因为四边形为菱形，所以，可求出，因此可求得点的坐标，根据轴，亦可求出点的坐标，又已知点在抛物线上，而，因此假设不成立，即不存在四边形为菱形；
（3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，然后分情况讨论：①当点B，均在轴左侧时，②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，③当点B，均在轴右侧时，证明，因此利用，，即可得出结论．
【详解】（1）解： ，在抛物线上，
将代入，得，
，
将代入，得，
（2）不存在．
理由如下：
假设存在，由（1）得，，
，
设与轴交于点，
，
四边形为菱形，
，
．
点的坐标为，
轴，
点的坐标为，
又点在抛物线上，而，
假设不成立，
不存在四边形为菱形；
（3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，，
①当点B，均在轴左侧时，如图1，
，，，，
，，
，
又，
，
，，
，
化简得，
，
；
②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，如图2，
，，，，
同理可得，
，，
，
化简得，
或；
③当点B，均在轴右侧时，如图3，
，，，，
同理可得，
，，
，
化简得，
，
，
综上所述，，满足的等量关系为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，正方形和菱形的性质，全等三角形的判定和性质，本题的关键是熟练运用二次函数的性质解题．
【变式9-1】（2024·山东东营·模拟预测）如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求出直线，的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为
(2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或；
【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键．
（1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可；
（2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可．
【详解】（1）解：当时 ，
故点
当时，有
解得：
设直线的表达式为：；
将代入得： ，
解得：
故直线的表达式为： ；
同理可得：直线的表达式为：；
（2）解：①存在：设点D的坐标为，其中，
∵，，
∴，，，
∵，
∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
如图，当时，四边形为菱形，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴点D的坐标为，
∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E，
∴点E的坐标为；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或．
【变式9-2】（2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或或或
(3)存在，的最小值为，
【分析】（1）由四边形为正方形及点D的坐标，可求得点B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴，则可得点E的坐标，从而求得；
分两种情况：①当吋；②当时，设点F坐标为，利用或建立关于a的方程，求出a的值，即可求得点F的坐标；
（3）连接，易得四边形BOMP是平行四边形，则，从而有
，故当的值最小时，则值最小，当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，且由勾股定理可求得的值，即可求得的最小值；再求出的解析式，即可求得它与对称轴的交点M的坐标，从而求得点P的坐标．
【详解】（1）解:四边形为正方形，，
，
，
；
把点B、D坐标代入得：，解得：，
拋物线的解析式为：
（2）解：由（1）得，抛物线解析式为，
则抛物线的对称轴为直线，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
，
，
设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当吋，如图所示：
由两点距离公式可得，即，
解得:，
点的坐标为或；
②当时，如图所示:
由两点距离公式可得，即，
解得:，
点的坐标为或；
综上所述：点的坐标为或或或；
（3）解：由题意可得如图所示：
连接，
由(2)可知点D与点关于抛物线的对称轴对称，，
；
过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，
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