人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题21.4一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】(学生版+解析)

专题21.4 一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1
【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】 2
【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】 2
【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 2
【题型5 由一元二次方程的两根求值】 3
【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】 3
【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】 3
【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 4
【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】 4
【题型10 一元二次方程中的新定义问题】 5
知识点1：一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．
注意它的使用条件为，， .
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（23-24九年级·黑龙江绥化·开学考试）已知一元二次方程的两根分别为m、n，则 ．
【变式1-1】（23-24九年级·广西来宾·期中）若a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
【变式1-2】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）设方程的根为、，则 ．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】
【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）若关于的方程的两根之和与两根之积相等，则方程的根为 ．
【变式2-1】（23-24·山东济南·二模）若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为 ．
【变式2-2】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值为 ，方程的根为 ．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一根为2，则另一根为 ．
【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】
【例3】（23-24九年级·山东枣庄·期中）已知、n是关于的方程的根，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．4039 D．4040
【变式3-1】（23-24·江苏南京·模拟预测）设、是方程的两个根，则 ．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁大连·期中）设，是的两个实数根，则的值是 ．
【变式3-3】（23-24九年级·河南新乡·期末）已知，是方程的两个根，则 ．
【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例4】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　）
A．3 B．1 C． D．
【变式4-1】（23-24九年级·云南·期末）已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
【变式4-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
【变式4-3】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）已知：、是方程的两根，则 ．
【题型5 由一元二次方程的两根求值】
【例5】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值为 ，方程的根为 ．
【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）已知关于的方程的根为，，则的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
【变式5-2】（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ．
【变式5-3】（23-24九年级·四川广安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣2＝0．设x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，则k的值为 ．
【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】
【例6】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知满足，满足，且，则 ．
【变式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若两个不同的实数m、n满足，，则 ．
【变式6-2】（23-24九年级·全国·竞赛）已知实数分别满足和，那么的值是 ．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）若，，且，则的值是 ．
【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（ ）．
A．， B．，
C．， D． ，
【变式7-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是 ．
【变式7-2】（23-24九年级·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为 ．
【变式7-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．
C．q是正数，p是负数 D．
【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】
【例8】（23-24九年级·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )
A． B． C． D．
【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是 ．
【变式8-2】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】
【例9】（23-24·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是 ．
【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·阶段练习）若关于的方程的两根同为负数，其中，则（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型10 一元二次方程中的新定义问题】
【例10】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x 、x 是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)判断方程是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
【变式10-1】（23-24九年级·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为
【变式10-2】（23-24九年级·四川·阶段练习）已知对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算：，如，已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则 ．
【变式10-3】（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题21.4 一元二次方程的根与系数的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 1
【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】 3
【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】 5
【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 6
【题型5 由一元二次方程的两根求值】 9
【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】 11
【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】 13
【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 15
【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】 18
【题型10 一元二次方程中的新定义问题】 20
知识点1：一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，．
注意它的使用条件为，， .
【题型1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【例1】（23-24九年级·黑龙江绥化·开学考试）已知一元二次方程的两根分别为m、n，则 ．
【答案】．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则
直接根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程可化为，
这个方程的两根分别为m，n，
∴，，
，
故答案为：．
【变式1-1】（23-24九年级·广西来宾·期中）若a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根于系数的关系可得，，代入即可求解，熟练掌握一元二次方程根于系数的关系是解题的关键．
【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
【变式1-2】（23-24九年级·四川成都·阶段练习）设方程的根为、，则 ．
【答案】
【分析】利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：方程的根为、，
，，
则．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程因式分解法，以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
【变式1-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
，
故选：B．
【题型2 利用根与系数的关系求方程的根】
【例2】（23-24九年级·全国·单元测试）若关于的方程的两根之和与两根之积相等，则方程的根为 ．
【答案】
【分析】将已知方程化简成一般形式，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件，列出关于m的方程，解出方程，求出m的值，再将m代入原来方程，解出方程．
【详解】解：将已知方程化简可得：3x2＋（9－7m）x＋6m＝0，
根据一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝2m，
根据已知条件可得∶＝2m，
解出：m＝9，
将m＝9代入化简后的方程可得：x2－18x＋18＝0，
化成完全平方得：（x－9）2＝63，
解得x＝9±．
故答案为∶ ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与一元二次系数的关系，解此题的关键是掌握一元二次方程的根与一元二次系数的关系．
【变式2-1】（23-24·山东济南·二模）若关于的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，直接利用：一元二次方程两根分别是，则，进行解题即可．
【详解】解：设关于x的一元二次方程的另一个根为t，
则 ，
解得，
故答案为
【变式2-2】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值为 ，方程的根为 ．
【答案】
【分析】若一元二次方程的两个根为，则．
【详解】解：整理方程得：
由题意得：
∴
故两个根为：
故答案为：；
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江台州·阶段练习）若关于x的一元二次方程的一根为2，则另一根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到是解题的关键．
【详解】解：设方程的另一个根为，
则，
解得：，
故答案为：．
【题型3 利用根与系数的关系和一元二次方程的解求代数式的值】
【例3】（23-24九年级·山东枣庄·期中）已知、n是关于的方程的根，则代数式的值为（ ）
A．2022 B．2023 C．4039 D．4040
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得出，，将原式化简求值即可．
【详解】解：∵、n是关于的方程的根，
∴，，
，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一元二次方程的根及根与系数的关系，求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
【变式3-1】（23-24·江苏南京·模拟预测）设、是方程的两个根，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方程解的定义是解题的关键．
首先根据根与系数关系得到，之后将代入方程中得到，变形为，两式相加即可得到答案．
【详解】解：、是方程的两个根，
，
．
故答案为：．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁大连·期中）设，是的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．利用整体代入法是本题的关键．
【详解】解：∵，是的两个实数根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式3-3】（23-24九年级·河南新乡·期末）已知，是方程的两个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握的两根，满足，是解题的关键．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【题型4 利用根与系数的关系降次求代数式的值】
【例4】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（　　）
A．3 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程的根，
∴，，
∴
，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、分式的化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
【变式4-1】（23-24九年级·云南·期末）已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．
由一元二次方程根与系数关系得，，再代入求值即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
将代入方程，得，
即，
∴
，
∵，
∴
，
∵，
∴．
故答案为：．
【变式4-2】（23-24九年级·山东淄博·期中）已知是方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．4049 B．4048 C．2024 D．1
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根，
∴，，
故选A
【变式4-3】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）已知：、是方程的两根，则 ．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，即，，再把化简为用和的一次式表示得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：∵、是方程的两根，
∴，且，，
∴，
∴，
∴
，
∴原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键，也考查一元二次方程的解的定义，运用了整体代入和恒等变换的思想．
【题型5 由一元二次方程的两根求值】
【例5】（23-24九年级·河北保定·阶段练习）若关于的一元二次方程的两个根分别是与，则的值为 ，方程的根为 ．
【答案】
【分析】若一元二次方程的两个根为，则．
【详解】解：整理方程得：
由题意得：
∴
故两个根为：
故答案为：；
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，理解这两个根和为0是解题的关键．
【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）已知关于的方程的根为，，则的值是（ ）
A．-10 B．-7 C．-14 D．-2
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b，c的值即可得到结论．
【详解】解：∵关于的方程的根为，，
∴
∴，即b=-2，c=-12
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1 x2=．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏连云港·阶段练习）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，则p＝ ．
【答案】﹣2
【分析】根据根与系数的关系及两同学得出的结论，即可求出p，q的值．
【详解】解：由小明看错了系数p，解得方程的根为1和﹣3；
可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，
小红看错了系数q，解得方程的根为4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，
解得p＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于．”是解题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·四川广安·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣2＝0．设x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，则k的值为 ．
【答案】
【分析】先计算出一元二次方程判别式，即△=2k2+8，从而得到△＞0，于是可判断不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；再利用方程的解的定义得到x12-2kx1=-k2+2，根据根与系数的关系可得x1x2=k2-2，则-k2+2+2·(k2-2)=5，然后解关于k的方程即可.
【详解】（1）证明：△=(-2k)2-4(k2-2)=2k2+8＞0，
所以不论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）∵x1是方程的根，
∴x12-2kx1+k2-2=0，
∴x12-2kx1=-k2+2，
∵x12-2kx1+2x1x2=5，x1x2=k2-2，
∴-k2+2+2·(k2-2)=5，
整理得k2-14=0，
∴k=±．
故答案为.
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.
【题型6 构造一元二次方程求代数式的值】
【例6】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）已知满足，满足，且，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键．由题意可知实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，由此可得答案．
【详解】解：实数、满足，，且，
实数、是关于的方程的两个不相等的实数根，
．
故答案为：．
【变式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若两个不同的实数m、n满足，，则 ．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，先根据已知条件得到m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根，然后根据根和系数的关系得到结果，再根据完全平方公式计算即可，理解m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根是解题的关键．
【详解】解：由题可得：，，
∴m、n是关于x的一元二次方程的两个不等实数根，
∴，
∴，
故答案为：3．
【变式6-2】（23-24九年级·全国·竞赛）已知实数分别满足和，那么的值是 ．
【答案】2或16
【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系等，分情况讨论，当时，；当时， a和b是方程的两个根，再由根与系数的关系求出和，再将变形为，即可求解．
【详解】解：分两种情况：
当时，；
当时，
，
，
，
又 ，
，
a和b是方程的两个根，
，，
，
故答案为：2或16．
【变式6-3】（23-24九年级·浙江宁波·期末）若，，且，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据题意先化为，，可以得到和b是方程的两根，然后根据两根之积为解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
又∵，
∴和b是方程的两根，
∴，
故答案为：．
【题型7 由一元二次方程的根判断另一个一元二次方程的根】
【例7】（23-24九年级·浙江台州·期末）若关于x的一元二次方程 的一个根为m，则方程的两根分别是（ ）．
A．， B．，
C．， D． ，
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出方程 的另一个根，设，根据方程 的根代入求值即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为m，设方程另一根为n，
∴，
解得：，
设，方程变形为，
由一元二次方程 的根可得，
，，
∴，，
∴，，
故答案为：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及换元法解一元二次方程，解题的关键是用换元法变形方程代入求解．
【变式7-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是 ．
【答案】-3或29
【分析】设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，根据题意列出式子，再进行变形即可求出．
【详解】解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得
，
两式相加得，
即，
所以或
解得或
又因为
所以；或者，
故或29．
故答案为-3或29
【点睛】主要考查一元二次方程的整数根与有理根，一元二次方程根与系数关系的应用；利用根与系数的关系得到两根之间的关系是解决本题的关键；
【变式7-2】（23-24九年级·浙江·自主招生）设a、b、c、d是4个两两不同的实数，若a、b是方程的解，c、d是方程的解，则的值为 ．
【答案】
【分析】由根与系数的关系得，的值，两式相加得的值，根据一元二次方程根的定义可得，代入可得，同理可得，两式相减即可得的值，进而可得的值．
【详解】解：由根与系数的关系得，，两式相加得．
因为是方程的根，所以，又，
所以①
同理可得②
①-②得．
因为，所以，所以．
故答案为
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据等式的性质变形是解题的关键．
【变式7-3】（23-24九年级·安徽合肥·期末）关于x的一元二次方程有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（ ）
A．p是正数，q是负数 B．
C．q是正数，p是负数 D．
【答案】D
【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1 x2＝q＞0，y1 y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B与D．
【详解】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴x1 x2＝q＞0，y1 y2＝p＞0，
故选项A与C说法均错误，不符合题意；
∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），
故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题的关键．
【题型8 根与系数的关系与三角形、四边形的综合运用】
【例8】（23-24九年级·山东·课后作业）已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则，则再根据根与系数的关系可得：；代入中，得到关于m的方程后，求得m的值．
【详解】由直角三角形的三边关系可得：
又有根与系数的关系可得：
∴
整理得：
解得：m= 3或5.
又∵,
∴ 解得
∴.
故选:A.
【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系以及菱形的性质，注意掌握勾股定理在解题中的应用.
【变式8-1】（23-24九年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知三角形的两边长分别是方程的两个根，则该三角形第三边的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．
【详解】解：∵三角形两边长是方程x2 11x＋30＝0的两个根，
∴x1＋x2＝11，x1x2＝30，
∵（x1 x2）2＝（x1＋x2）2 4x1x2＝121 120＝1，
∴x1 x2＝1，
又∵x1 x2＜m＜x1＋x2，
∴1＜m＜11．
故答案为：1＜m＜11．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．
【变式8-2】（23-24九年级·安徽六安·阶段练习）已知正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，则正方形的周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了正方形的性质，一元二次方程根与系数的关系.
首先根据正方形的性质得到，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到，进而求出，即可得到正方形的周长．
【详解】∵四边形是正方形
∴
∵正方形的两邻边，的长度恰为方程的两个实数根，
∴，
∴
∴正方形的周长为．
故选：B．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，勾股定理，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键．
（1）求出的值，根据已知得出不等式，求出即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，根据已知得出，变形后代入求出的值，进行判断即可．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根和，
，
解得：；
（2）和一元二次方程的两根，
，，
和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，
，
，
，
解得：，
，，
不符合题意，
不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为．
【题型9 由一元二次方程根的取值范围求字母的取值范围】
【例9】（23-24·浙江宁波·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个根，，且满足．记，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，不等式的性质，由根和系数的关系可得，，，得到，由可得，即得到，即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
【详解】解：由根和系数的关系可得，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
故答案为：．
【变式9-1】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）若关于x的方程的解中，仅有一个正数解，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解答求得的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的关系等知识点，解此题的关键是得到．
【详解】解：关于的方程的解中，仅有一个正数解，
，
解得．
故答案为：．
【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·阶段练习）若关于的方程的两根同为负数，其中，则（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【分析】据－4q0，得出方程有两个实数根，再根据已知条件得出两根之积＞零、两根之和零时，由此得到关于p，q的不等式，然后确定它们的取值范围即可.
【详解】－4q0，
方程有两个实数根.
设，是该方程的两个负数根，
则有+＜0，＞0，
+=-p,=q，
-p<0，,q>0.
p>0，,q>0.
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的符号的确定，应利用一元二次方程根与系数的关系与根的判别式.
【变式9-3】（23-24九年级·河南南阳·期中）若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用根的判别式及两根之积为负数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，
∴
解得：，
∴实数m的取值范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”及“两根之积等于”是解题的关键．
【题型10 一元二次方程中的新定义问题】
【例10】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）定义：若x 、x 是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)判断方程是否为“差积方程”？并验证；
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程(为“差积方程”时，求a、b、c满足的数量关系．
【答案】(1)是，证明见解析
(2)或
(3)
【分析】本题考查了根与系数的关系，解一元二次方程，理解新定义是解题的关键．
（1）分别根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可；
（2）先根据因式分解法解一元二次方程，然后根据定义列出绝对值方程，解方程即可求解；
（3）根据求根公式求得，；根据新定义列出方程即可求解．
【详解】（1）方程是“差积方程”，
证明：，
即，
解得，，
，
是差积方程；
（2）解：，
解得方程的解为：，，
是差积方程，
，
即：或．
解得：或，
（3）解： ，
解得，，
是差积方程，
，
即，
即．
【变式10-1】（23-24九年级·上海青浦·期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为
【答案】或0/0或
【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可．
【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，，
∴，
解得：或，
故答案为：或0．
【变式10-2】（23-24九年级·四川·阶段练习）已知对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算：，如，已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则 ．
【答案】
【分析】首先根据根与系数的关系求解两根之和与两根之积，然后代入原式根据定义进行求解．
【详解】由，是的两个不相等的实数根可得：，
故
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，实数的定义新运算，此类题型一定要严格按照题目中的定义来求解，注意过程的正确性．
【变式10-3】（23-24九年级·江苏盐城·阶段练习）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；
(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值．
【答案】(1)此方程为“限根方程”，理由见解析
(2)5
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系．理解题意，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
（1）因式分解法解一元二次方程得，根据定义，求解作答即可；
（2）由，可得，，代入，整理得，，解得，或，分当时，当时，两种情况求解，然后判断作答即可．
【详解】（1）解：此方程为“限根方程”，理由如下：∵，
∴，
解得，，
∵，
∴方程为“限根方程”；
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴，即，整理得，，
∴，
解得，或，
①当时，，
解得，，
∵，
∴符合题意；
②当时，，
解得，，
∵，
∴不符合题意，舍去；
∴k的值为5．
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