人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题21.7配方法的应用【八大题型】(学生版+解析)

专题21.7 配方法的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用配方法求字母的值】 1
【题型2 利用配方法求代数式的值】 2
【题型3 利用配方法比较大小】 3
【题型4 利用配方法进行证明】 4
【题型5 利用配方法求最值】 5
【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】 5
【题型7 利用配方法确定三角形形状】 5
【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】 6
知识点：配方法
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【题型1 利用配方法求字母的值】
【例1】（23-24九年级·福建莆田·阶段练习）小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11．
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶．
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对偶；
(2)当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值；
(3)若整式关于对偶，求n的值．
【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知关于x的多项式的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【变式1-2】（23-24九年级·山西吕梁·期中）若关于的一元二次方程可以通过配方写成的形式，那么下列关于的值正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
【题型2 利用配方法求代数式的值】
【例2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【变式2-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）若，满足，则的值为 ．
【变式2-2】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）“≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
，
∵
∴
∴
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)如果，那么的值为 ．
(2)已知，求的值；
【变式2-3】（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，如果实数a，b满足，那么．利用这种思路，对于，我们可以求出m，n的值．
解法是：∵，∴，
即，∴，，∴．
根据这样的解法，完成：
(1)若，求的值；
(2)若等腰的两边长a，b满足，求该的周长；
(3)若正整数a，b，c满足不等式，求的值．
【题型3 利用配方法比较大小】
【例3】（23-24·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期中）已知P＝，Q＝（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法判断
【变式3-2】（23-24·安徽马鞍山·二模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·专题练习）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵，
∴，
因此，代数式有最小值
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式的最小值为　 　；
(2)试比较与的大小关系，并说明理由；
(3)已知：，求代数式的值．
【题型4 利用配方法进行证明】
【例4】（23-24九年级·四川宜宾·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解： ；
∵无论取何实数，都有，∴，即的最小值为2．
请利用上述知识解决以下问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)证明：无论取何实数，二次根式 都有意义．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江·专题练习）用配方法说明，无论取何值，代数式的值总小于0．
【变式4-2】（23-24·湖南·模拟预测）已知整式．
(1)将整式分解因式；
(2)求证：若取整数，则能被整除．
【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方．
解：．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”．
(1)[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是______．
(2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为______；
(3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值．
(4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”．
【题型5 利用配方法求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江宁波·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知实数x，y满足，则代数式的最大值为 ．
【变式5-2】（23-24·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
【变式5-3】（23-24九年级·湖北黄冈·自主招生）设实数，，满足，则的最大值为 ．
【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】
【例6】（23-24九年级·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ．
【变式6-1】（23-24九年级·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解： ．
【变式6-2】（23-24九年级·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式：
【变式6-3】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）在实数范围内因式分解：
【题型7 利用配方法确定三角形形状】
【例7】（23-24九年级·全国·课后作业）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：．
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方．
（2）已知，求的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏·单元测试）已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【变式7-2】（23-24九年级·全国·课后作业）已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是 三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是 三角形．
【变式7-3】（23-24九年级·全国·单元测试）先阅读，再解决问题，例题：若，求和的值．
解：，
，
，，
，．
(1)若，求的值；
(2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，请问是怎样形状的三角形？
(3)根据以上的方法是说明代数式：的值一定是一个正数．
【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】
【例8】（23-24九年级·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，则的最小值为______；
(2)）若，求y的最小值．
(3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．

【变式8-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）配方
(1)若，则_____，_____
(2)如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边以的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当t为何值时，的面积最大 求该最大值．
(3)式子的最大值为_____
【变式8-2】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．
(1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）；
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程）
(3)求出山羊活动范围面积S的最大值．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江·期中）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：，在时，取最小值1
（1）求代数式的最小值．
（2）有最大还最小值，求出其最值．
（3）求的最小值．
（4）的最小值．
（5）三角和三角形的面积分别为4和9，求四边形的面积最小值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题21.7 配方法的应用【八大题型】
【人教版】
【题型1 利用配方法求字母的值】 1
【题型2 利用配方法求代数式的值】 4
【题型3 利用配方法比较大小】 7
【题型4 利用配方法进行证明】 10
【题型5 利用配方法求最值】 14
【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】 17
【题型7 利用配方法确定三角形形状】 18
【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】 21
知识点：配方法
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
【题型1 利用配方法求字母的值】
【例1】（23-24九年级·福建莆田·阶段练习）小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如：当时，即或时，的值均为6；当时，即或时，的值均为11．
于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶．
请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式关于 对偶；
(2)当或时，关于x的多项式的值相等，求b的值；
(3)若整式关于对偶，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方公式，整式乘法，正确理解新定理，判断出对称轴是解题关键．
（1）将多项式配方得，再根据新定义判定即可；
（2）将多项式配方得，再根据新定义，得到，求解即可得到b的值；
（3）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可．
【详解】（1）解： ，
当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
多项式关于对偶，
故答案为：
（2）解：，
当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
当或时，关于x的多项的值相等，
，
解得：；
（3）解：
整式关于对偶，
．
【变式1-1】（23-24九年级·湖北武汉·期末）已知关于x的多项式的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用配方法将进行配方，即可得出答案.
【详解】解：
故
解得：
故选B.
【点睛】本题考查了配方法的运用，掌握配方法是解题的关键.
【变式1-2】（23-24九年级·山西吕梁·期中）若关于的一元二次方程可以通过配方写成的形式，那么下列关于的值正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式展开即可得解；
【详解】∵，
∴，
又∵一元二次方程，
∴，，
∴，；
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确分析计算是解题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）无论x为何值，关于x的多项式﹣x2+3x+m的值都为负数，则常数m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣9 B．m＜﹣ C．m＜9 D．m＜
【答案】B
【分析】首先判断出：﹣x2+3x+m＝﹣（x﹣3）2+m+，然后根据偶次方的非负性质，可得-（x﹣3）2+m+≤m+，再根据无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，推得m+＜0，据此判断出常数m的取值范围即可．
【详解】解：∵﹣x2+3x+m＝﹣（x2﹣6x+9）+m+＝﹣（x﹣3）2+m+
∵﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2+m+≤m+，
∵无论x为何值，﹣x2+3x+m＜0，
∴m+＜0，
解得m＜﹣．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用，将多项式进行配方是解此题的关键．
【题型2 利用配方法求代数式的值】
【例2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）已知关于的多项式，当时，该多项式的值为，则多项式的值可以是（ ）
A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75
【答案】A
【分析】本题考查了代数式及配方法，不等式及偶次方的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键．先将代入原式，可整理得，再代入到，配方得，进而求解即可．
【详解】∵当时，该多项式的值为，
∴，
整理得，即
∵，
∴，即，
∴，
∴，
四个选项中，只有A符合，
故选：A．
【变式2-1】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）若，满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】已知等式利用完全平方公式配方后，利用非负数的性质求出，的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：已知等式变形得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
则．
故答案为：．
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）“≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：
，
∵
∴
∴
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)如果，那么的值为 ．
(2)已知，求的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将方程组的三个方程相加，变形后再根据完全平方式的特征求解；
（2）先配方，再根据非负数的性质求值即可；
【详解】（1）
，得：
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查配方法的应用，正确配方，充分利用平方的非负性是求解本题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，如果实数a，b满足，那么．利用这种思路，对于，我们可以求出m，n的值．
解法是：∵，∴，
即，∴，，∴．
根据这样的解法，完成：
(1)若，求的值；
(2)若等腰的两边长a，b满足，求该的周长；
(3)若正整数a，b，c满足不等式，求的值．
【答案】(1)；
(2)的周长为10或11；
(3)．
【分析】本题考查的是配方法的应用、等腰三角形的概念、三角形的三边关系，灵活运用配方法是解题的关键．
（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，进而求出；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出、，根据等腰三角形的概念解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性以及有理数的平方、分情况讨论求出、、，计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，．
∵a，b是等腰的两边长，
∴当a是腰，b是底时，的周长为；
当b是腰，a是底时，的周长为．
综上所述：的周长为10或11；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵a，b，c为正整数，
∴，即，
而或，即或1或3，
当时，必有，则，与题意不符，舍去，
当时，必有，则，与题意不符，舍去，
∴，，，
∴．
【题型3 利用配方法比较大小】
【例3】（23-24·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与 的大小， 填“>” “<”或“=”：
当时， ；
当时， ；
当时， ；
（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系 试说明理由；
（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．
【答案】（1），，；（2）总有，理由见解析；（3）
【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．
（1）当时，当时，当时，分别代入计算，再进行比较得出结论填空即可；
（2）根据，即可得出无论取什么值，判断与有；
（3）拓展：先求出，再判断的正负，即可做出判断．
【详解】解：（1）①当时，，，则，
②当时，，，则，
③当时，，，则．
故答案为：；；；
（2）无论取什么值，判断与有，
理由如下：
，
无论取什么值，总有；
（3）拓展：
，
故．
【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期中）已知P＝，Q＝（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（　　）
A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法判断
【答案】C
【分析】用做差法，写出P-Q的形式，利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．
【详解】解：∵P＝，Q＝，
∴Q﹣P＝＝＝m2﹣2m+1+1＝（m﹣1）2+1＞0，
则P＜Q，
故选：C．
【点睛】本题考查的是用做差发比较大小以及配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．
【变式3-2】（23-24·安徽马鞍山·二模）已知为实数，且，则之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据已知等式求出，再利用完全平方公式判断出的符号，由此即可得出答案．
【详解】，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
【变式3-3】（23-24九年级·全国·专题练习）阅读以下材料：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如
∵，
∴，
因此，代数式有最小值
根据以上材料，解决下列问题：
(1)代数式的最小值为　 　；
(2)试比较与的大小关系，并说明理由；
(3)已知：，求代数式的值．
【答案】(1)1
(2)，见解析
(3)2
【分析】（1）将代数式配方可得最值；
（2）作差并配方，可进行大小比较；
（3）变形后得：代入中，再利用配方法即可解决问题．
【详解】（1）解：，
∵，
∴，
即代数式的最小值为1；
故答案为：1；
（2），理由如下：
，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型．
【题型4 利用配方法进行证明】
【例4】（23-24九年级·四川宜宾·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例如：已知可取任何实数，试求二次三项式的最小值．
解： ；
∵无论取何实数，都有，∴，即的最小值为2．
请利用上述知识解决以下问题：
(1)求代数式的最小值．
(2)证明：无论取何实数，二次根式 都有意义．
【答案】(1)代数式的最小值为8
(2)见解析
【分析】（1）先把配方得到，再结合偶次方的非负性可得代数式的最小值；
（2）先把被开方数通过配方化为，再结合偶次方的非负性与二次根式有意义的条件可得结论．
【详解】（1）解：==
∵无论取何实数，都有，∴，
∴代数式的最小值为8．
（2）证明：=
∵无论取何实数，都有，∴
∴无论取何实数，二次根式 都有意义．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，代数式的最值，偶次方的非负性的应用，二次根式有意义的条件，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【变式4-1】（23-24九年级·浙江·专题练习）用配方法说明，无论取何值，代数式的值总小于0．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查配方的应用，将配方，先把二次项系数化为1，然后再加上一次项系数一半的平方，然后根据配方后的形式，再根据这一性质即可证得．
【详解】证明：，
，
，
，
无论为何实数，代数式的值总小于零．
【变式4-2】（23-24·湖南·模拟预测）已知整式．
(1)将整式分解因式；
(2)求证：若取整数，则能被整除．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（）利用配方法把配成一个完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可；
（）利用（）的结果即可求证；
本题考查了因式分解及其应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：
，
，
；
（2）证明：取整数，
和均为整数，
又由（）可知，，
能被整除．
【变式4-3】（23-24九年级·湖南长沙·阶段练习）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方．
解：．
我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为.再如，（，是整数），所以也是“雅美数”．
(1)[问题解决]4，6，7，8四个数中的“雅美数”是______．
(2)若二次三项式（是整数）是“雅美数”，可配方成（，为常数），则的值为______；
(3)[问题探究]已知（，是整数，是常数且，），要使为“雅美数”，试求出符合条件的值．
(4)[问题拓展]已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”．
【答案】(1)4，8
(2)12
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据“雅美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；
（3）配方后根据非负数的性质可得x、y的值，进行计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论．
【详解】（1）4是“雅美数”，理由：因为；
8是“雅美数”，理由：因为.
故答案为：4，8；
（2）∵，
∴，，
∴，
故答案为：12；
（3）
又∵，
∴，
∴，
∴；
（4）因为，为“雅美数”，则令，（，，，为整数）
∴
又∵，，，为整数
∴，均为整数
∴是“雅美数”．
【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题关键．
【题型5 利用配方法求最值】
【例5】（23-24九年级·浙江宁波·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ．
【答案】2024
【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解： 关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，
，
，
，
解得，
，
，
，
最小值是2024．
故答案为：2024．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）已知实数x，y满足，则代数式的最大值为 ．
【答案】
【分析】将代入代数式，利用配方法可得，利用平方的非负性及不等式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意得：，
将代入代数式得：
，
，
，
，
原代数式的最大值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了配方法的应用、不等式的性质及平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
【变式5-2】（23-24·河北石家庄·一模）已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
【答案】B
【分析】利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
∴当时，有最小值；
当时，即：，
∴，
∴，
∴，即是非正数；
故选项错误，选项正确；
故选B．
【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．
【变式5-3】（23-24九年级·湖北黄冈·自主招生）设实数，，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】先将已知等式变形可得，然后代入M中，利用配方法将右侧配方，最后利用平方的非负性即可求出结论．
【详解】解：∵
∴
∴
=
=
=
=
=
=
=
=
∵
∴
∴的最大值为
故答案为：．
【点睛】此题考查的是配方法的应用和非负性的应用，掌握完全平方公式和平方的非负性是解决此题的关键．
【题型6 利用配方法在实数范围内分解因式】
【例6】（23-24九年级·上海黄浦·期中）在实数范围内分解因式： ．
【答案】
【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。
【详解】解：，
根据平方差公式可得，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·上海普陀·期中）在实数范围内因式分解： ．
【答案】
【分析】根据配方法化为平方差的形式，进而因式分解，即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，熟练掌握配方法是解题的关键．
【变式6-2】（23-24九年级·上海浦东新·期中）在实数范围内分解因式：
【答案】
【分析】先利用配方法，再利用平方差公式即可得．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了用配方法和平方差公式法进行因式分解，因式分解的常用方法有：配方法、公式法、提取公因式法、十字相乘法等．
【变式6-3】（23-24九年级·上海浦东新·阶段练习）在实数范围内因式分解：
【答案】
【分析】先配方，再采用平方差公式进行分解.
【详解】解：原式=
=
=
=
=
=
【点睛】本题考查实数范围内分解因式，熟练掌握配方法与平方差公式是解题的关键.
【题型7 利用配方法确定三角形形状】
【例7】（23-24九年级·全国·课后作业）选取二次三项式中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：；②选取二次项和常数项配方：或；③选取一次项和常数项配方：．
根据上述材料解决下面问题：
（1）写出的两种不同形式的配方．
（2）已知，求的值．
（3）已知a、b、c为三条线段，且满足，试判断a、b、c能否围成三角形，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）1；（3）不能围成三角形，理由详见解析．
【分析】（1）根据配方的概念，分别对一次项和常数项进行配方；
（2）根据求出x、y的值，代入求解即可；
（3）将原式进行转换，得出a、b、c之间的等量关系，从而进行判断．
【详解】（1）或．
（2），
．
，．．
（3）不能，理由如下：原式变形：．
．
即．
，，．
．a、b、c三条线段不能围成三角形．
【点睛】本题考查了整式的运算，根据题意理解新概念并掌握整式的运算，求解出未知数或者他们之间的等量关系是解题的关键．
【变式7-1】（23-24九年级·江苏·单元测试）已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．
点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．
【变式7-2】（23-24九年级·全国·课后作业）已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，则△ABC是 三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是 三角形．
【答案】 直角; 等边.
【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0改写为(a-3)2+(b-4)2+=0，利用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,再利用非负数的性质,可分别求出a、b、c的的关系.
【详解】∵a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，
∴(a-3)2+(b-4)2+=0，
∴a=3，b=4，c=5，
∵32+42=52，
∴△ABC是直角三角形；
∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a=b，b=c，a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为直角；等边.
【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质,解题的关键是注意配方法的步骤,在变形的过程中不要改变式子的值.
【变式7-3】（23-24九年级·全国·单元测试）先阅读，再解决问题，例题：若，求和的值．
解：，
，
，，
，．
(1)若，求的值；
(2)已知的三边长，，都是正整数，且满足，请问是怎样形状的三角形？
(3)根据以上的方法是说明代数式：的值一定是一个正数．
【答案】(1)；
(2)△ABC是等边三角形；
(3)答案见解析．
【分析】（1）将原式配方得，求出，的值，进而求解．
（2）将原式配方得，求出，，的值进而求解．
（3）利用配方法可以对式子化简，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：，
，，
，
．
（2）解：
，
，
是等边三角形；
（3）解：
，
故的值一定是一个正数．
【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化简题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状．
【题型8 利用配方法求几何图形面积最值】
【例8】（23-24九年级·福建泉州·阶段练习）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，则的最小值为______；
(2)）若，求y的最小值．
(3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为4和9，求四边形面积的最小值．

【答案】(1)2；
(2)y最小值为4；
(3)25．
【分析】（1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；
（2）将的分子分别除以分母，展开，将含的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；
（3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出，四边形的面积用含的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．
【详解】（1）当时，，当且仅当时取等号，
当时，的最小值为2．
故答案为：2；
（2）由，
，
，
当且仅当，即当时取等号，
当时，y最小值为4；
（3）设，已知，
则由等高三角形可知：
，
四边形面积，
当且仅当时取等号，即四边形面积的最小值为25．
【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质，本题难度中等略大，属于中档题．
【变式8-1】（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）配方
(1)若，则_____，_____
(2)如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边以的速度移动.如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为，当t为何值时，的面积最大 求该最大值．
(3)式子的最大值为_____
【答案】(1)，；
(2)当时，的面积最大，最大为
(3)
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，解题的关键是能正确配方；
（1）利用配方法即可求解；
（2）依题意可知：再由三角形面积公式可得，代入数值根据二次函数的性质即可得出结论；
（3）根据配方可得，再根据二次根式的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：依题意可知：，
，
当时，的面积最大，最大为；
（3）解：，
当时，的最小值为3，
即的最大值为，
故答案为：．
【变式8-2】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图，某农户准备用长米的铁栅栏，一边利用墙，其余边用铁栅栏围成长方形羊圈和一个边长为1米的正方形狗屋．设米．
(1)请用含x的代数式表示的长 （直接写出结果）；
(2)设山羊活动范围即图中阴影部分的面积为S平方米，请用含x的代数式表示S；（写出过程）
(3)求出山羊活动范围面积S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)山羊活动范围面积S的最大值是平方米
【分析】此题考查了配方法的应用、列代数式等知识，数形结合是解题的关键．
（1）根据得到，整理即可得到答案；
（2）根据列出代数式即可；
（3）先得到 ，再根据题中的方法即可得到答案．
【详解】（1）依题意得
∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）依题意得：，
∴，
∴；
（3）
又因为，，
∴，
∴，
所以，山羊活动范围面积S的最大值是平方米．
【变式8-3】（23-24九年级·浙江·期中）配方法在初中数学中运用非常广泛，可以求值，因式分解，求最值等．如：求代数式的最值：，在时，取最小值1
（1）求代数式的最小值．
（2）有最大还最小值，求出其最值．
（3）求的最小值．
（4）的最小值．
（5）三角和三角形的面积分别为4和9，求四边形的面积最小值．
【答案】（1）-4；（2）有最大值，且为7；（3）2；（4）2；（5）25
【分析】（1）（2）（3）（4）利用配方法变形，可得最值；
（5）设S△BEC=x，由等高三角形可知：S△BEC：S△CED=S△AEB：S△AED，从而可得S△AED=，再将四边形ABCD的面积变形得到，可得结果．
【详解】解：（1），
∴在x=2时，有最小值-4；
（2）
=
=
=
∴当x=-1时，有最大值，且为7；
（3）=，
∴当x=1时，的最小值为2；
（4）
=
=
当a=-2，b=4时，代数式有最小值2；
（5）设S△BEC=x，已知S△AEB=4，S△CED=9，
则由等高三角形可知：S△BEC：S△CED=S△AEB：S△AED，
∴x：9=4：S△AED，
∴S△AED=，
∴四边形ABCD面积=4+9+x+=，
∴当x=36时，四边形ABCD面积的最小值为25．
【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用，本题中等难度略大．
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