人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题21.8利用一元二次方程解决几何动态问题【七大题型】(学生版+解析)
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| 名称 | 人教版2024-2025学年九年级上册数学同步讲义专题21.8利用一元二次方程解决几何动态问题【七大题型】(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-12 11:13:28 | ||
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文档简介
专题21.8 利用一元二次方程解决几何动态问题【七大题型】
【人教版】
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】 1
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】 2
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】 4
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】 5
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】 7
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】 8
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】 9
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】
【例1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
【变式1-1】（23-24九年级·广东汕头·期末）如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，平分的面积．
【变式1-2】（2024九年级·上海·专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．
【变式1-3】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点A开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．若，分别从A、同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求经过几秒的面积等于？
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】
【例2】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图，等腰直角三角形，，，，是，边上的动点，且，以，为边作平行四边形，连接，，当时，则的面积为 ．
【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）求的长．
（3）当时，
①求的值；
②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】
【例3】（23-24九年级·甘肃定西·阶段练习）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接．
①当为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．
【变式3-3】（23-24九年级·河南·期末）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．
(1)求四边形的面积；
(2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】
【例4】（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24九年级·广东深圳·期中）如图，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，动点M从点A出发沿方向以的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．
(1)出发1秒钟时，的面积= ；
(2)出发几秒钟时，的面积为
【变式4-3】（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】
【例5】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．
【变式5-1】（2024九年级全国·竞赛）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ；移动的距离AA′等于 时，两个三角形重叠部分面积最大．
【变式5-3】（2024·河南·二模）如图1，正方形的边长和等腰直角的边与重合，边与在一条直线上，以的速度向右移动，直到点与点重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为（），图2所示的是向右移动时，面积（）与随时间（）的变化的关系图象，则的值是（ ）
A．16 B．8 C．2 D．4
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】
【例6】（23-24九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
【变式6-1】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝ 米时，梯形围栏的面积为36平方米．
【变式6-2】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
【变式6-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；
(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】
【例7】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接．
(1)求出__________；
(2)若平分，求点的坐标；
(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.
【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
(1)当t=_____时，点P移动到点D；
(2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值；
(3)当为何值时，△PQB为直角三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点和点．点C的横坐标为，点D为线段的中点．
(1)求直线l的解析式．
(2)如图1，若点P为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点P坐标．
(3)在（2）的条件下，点Q在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
【变式7-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，，点在第一象限，连接，，四边形是正方形．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点分别在上，点关于轴的对称点为点，点在上，且，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，，点在上，且，点在上，连接交于点，，且，若，求的值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题21.8 利用一元二次方程解决几何动态问题【七大题型】
【人教版】
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】 1
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】 4
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】 15
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】 21
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】 27
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】 31
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】 39
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】
【例1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】解：由题意，，运动时间，
，
，
，
解得或5，
∴运动时间为5秒或20秒时，的面积等于．
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级·广东汕头·期末）如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，平分的面积．
【答案】2
【分析】先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可．
【详解】解：根据题意，，，
∵，，
∴， 点Q到B点的时间为，点P到C点的时间为，
∵P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．
∴，
当平分的面积时，，即，
∴，
整理得，
解得，（舍去），
∴当时，平分的面积．
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键，注意时间的取值范围．
【变式1-2】（2024九年级·上海·专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．
【答案】
【分析】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，利用平行四边形面积公式求解出的值即可．
【详解】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于，
依题意可得，
解得：，即长为．
故长为时，平行四边形的面积等于．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，动点问题的应用求解，应用平行四边形面积公式求解出是解答本题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点A开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．若，分别从A、同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求经过几秒的面积等于？
【答案】2秒
【分析】设经过x秒的面积等于，则，，作于D，根据等边三角形边长为12，，得到，，得到，根据三角形面积公式得到，得到．
【详解】
解：设经过x秒的面积等于，
则，，
过点Q作，垂足为D，
则，
∵等边中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
解得 （不合题意，舍去），，
∴．
答：经过2秒的面积等于．
【点睛】本题主要考查了动点问题，等边三角形，含30°的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的边角性质，含30°的直角三角形是边的性质，勾股定理解直角三角形，三角形的面积公式，解一元二次方程，是解决问题的关键．
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】
【例2】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）过点作于点，由勾股定理可得出答案；
（2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）分两种情况，列出的方程可得出答案．
【详解】（1）过点作于点，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）在中，
，，
，
，
Ⅰ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
Ⅱ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或；
（3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是，
，
解得， 舍去），
Ⅱ．当在边上时，
，
解得．
综上所述或时，平行四边形的面积为．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图，等腰直角三角形，，，，是，边上的动点，且，以，为边作平行四边形，连接，，当时，则的面积为 ．
【答案】
【分析】设 ，则，由平行四边的性质得，，再证四边形是平行四边形得，又证，得，根据，列方程求解，最后利用面积公式即可求解．
【详解】解：延长交延长线于点，过点作⊥交于点，
∵等腰直角三角形，，，
∴，
设 ，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵⊥，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴（舍去）或，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）求的长．
（3）当时，
①求的值；
②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）①2；②
【分析】（1）根据已知证明即可得证；
（2）根据题，当时，，令时，即可求得；
（3）①当到达点时，点到达点，此时,则，令求得，可得，结合已知条件可得；②由①可得，是等边三角形，分情况讨论，当在上，时，根据含30度角的直角三角形的性质，可得；当时，过点分别作，垂足为,可得四边形是矩形，分别求得,根据勾股定理列出方程，解一元二次方程即可，当时，如图，过点作于点,同理通过勾股定理求得，当点在上时，观察图形可知不存在直角三角形．
【详解】四边形是平行四边形；
即
四边形是平行四边形；
（2）依题意，设点运动的路程为，的长度为，
，，
当时，则，
（3）①当到达点时，点到达点
此时,则
当时，
令，解得
则
四边形是平行四边形，
②由①可知，
是等边三角形
连结，，当为直角三角形时，
当在上，时，如图，
即；
当时，过点分别作，垂足为,
四边形是矩形，
在中
四边形是矩形，
，
在中
是
即 +
化简得：
解得：
当时，如图，过点作于点,
四边形是矩形，
解得
当点在上运动时，不是直角三角形，
综上所述，所有满足条件的的值为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，解一元二次方程，函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
【答案】(1)9cm ；
(2)cm ；
(3)t的值为4或
【分析】（1）过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t＝2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可．
【详解】（1）平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝BC＝cm，
∴BG＝＝（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6×＝9（cm2）．
答：平行四边形ABCD的面积为9cm2；
（2）当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝AF＝（cm），
∴△AEF的面积为：×AE×FH＝×2×＝（cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2；
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2．
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△AEF的面积为：9×＝3（cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，AE＝tcm，AF＝tcm，高为AF＝t（cm），
∴ ×t×t＝3，
∴t＝﹣2（舍）或t＝2，
∴t＝2>3，不符合题意；
当点E在线段AB.上运动秒时，点F在CD上运动t秒，( 3∴t=4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝BE′＝（t﹣6）（cm），E′H＝1.5﹣（t﹣6）＝（9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9﹣×6×（t﹣6）﹣×[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]﹣（t﹣3）×1.5＝3，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴
当时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为4或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握三角形或平行四边形的面积公式是解题的关键．
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】
【例3】（23-24九年级·甘肃定西·阶段练习）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当P点在上运动时，面积逐渐增大，当P点到达B点时，面积最大为3．
∴，即．
当P点在上运动时，面积逐渐减小，当P点到达C点时，面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或3，
因为，即，
所以．
故选：B．
【变式3-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接．
①当为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，最小，的最小距离为
(2)①当为等腰三角形时，t的值为或或；②不存在一个时刻，使得，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据垂线段最短，得出当时，最小，此时四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，然后代入数据，得出，解出即可得出答案；
（2）①过点作于点，得矩形，矩形，根据矩形的性质，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；
②当时，根据勾股定理，得出，进而得出，整理得出，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得：，，
∵，，
∴，
当时，最小，此时四边形是矩形，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，最小，的最小距离为；
（2）解：①如图，过点作于点，得矩形，矩形，
∴，，
∴，
在中，
根据勾股定理，可得：，，
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：；
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
当时，为的中点，
∴，
解得：，
综上可得：当为等腰三角形时，t的值为或或；
②不存在一个时刻，使得，理由如下：
当时，
可得：，
即，
整理可得：，
∵，
∴此方程无实数解，
∴不存在一个时刻，使得．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．
【答案】2或3
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t 秒，则，，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴2或3秒时，的面积是．
故答案为：2或3．
【变式3-3】（23-24九年级·河南·期末）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．
(1)求四边形的面积；
(2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)
(2)秒或秒或秒或秒
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可；
（2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为，则，，
∵四边形是矩形，
∴ ， ，，
∴，
∴四边形的面积 ；
（2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，
∵，
∴，
①当时，
如图1，过作于，
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，可有，
∴，
解得，；
②当时，
如图2，过作于，
由①可知四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得；
③当时，
∴，
∴，
在中，可有，
∴，
∴．
综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形．
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】
【例4】（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可；
【详解】解：由图②得：当时，在减小，
当时，先变小后变大，
∴应从出发沿运动到，再运动到，
或应从出发沿运动到，再运动到，
设应从出发沿运动到，再运动到，
如图，连接交于，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴当在处时，，即，
∴，
当在处时，，即，
当位于处时，，即，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴，
∴菱形的周长为；
故选C
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键.
【变式4-1】（23-24九年级·广东深圳·期中）如图，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？
【答案】（1）证明见解析；（2）5，24；（3）M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2．
【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；
（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；
（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．
【详解】（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA
∴△ACD是等腰三角形，AD=DC
又∵AB=AD
∴AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB=AD，∴ ABCD是菱形；
（2）解：解方程x2-7x+12=0，得
OA=4，OB=3，
利用勾股定理AB==5，
S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米．
（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积为m2，
当点M在OA上时，x<2，S△MON=（4-2x）（3-x）=；
解得x1=，x2=（大于2，舍去）；
当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON=（3-x）（2x-4）=，
解得x1=x2=；
当点M在OC上且点N在OD上时，即3解得x1=，x2=（小于3，舍去）．
综上所述：M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，动点M从点A出发沿方向以的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．
(1)出发1秒钟时，的面积= ；
(2)出发几秒钟时，的面积为
【答案】(1)15
(2)或或
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程与几何问题，掌握菱形的对角线互相垂直平分，根据题意进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得出，，再得出，最后根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论即可①当时，点M在线段上，点N在线段上，②当时，点M在线段上，点N在线段上，③当时，点M在线段上，点N在线段上．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
当出发1秒钟时，，
∴，
∴的面积，
故答案为：15．
（2）解：∵
∴，
解得：，
当点M在线段上时，，即，
当点N在线段上时，，
设出发时间为t，则，
①当时，点M在线段上，点N在线段上，
，
∵的面积为
∴，
解得：（舍去），，
②当时，点M在线段上，点N在线段上，
，
∵的面积为
∴，
解得：，
③当时，点M在线段上，点N在线段上，
，
∵的面积为
∴，
解得：，（舍去），
综上：或或．
【变式4-3】（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？
【答案】1或4
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法．
根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论．
【详解】解：设出发后秒时，．
四边形是菱形，，，
，，，，
，
当时，点在线段上，点在线段上．
此时，，
则；
解得，（舍去）
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，
则；化简为，
此时方程，原方程无实数解；
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，，
则；
解得（舍去），
综上所述，出发后或时，．
故答案为：1或4．
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】
【例5】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为x，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设交于H，交于点G，
由平移的性质知，，
∴四边形是平行四边形，
∵由正方形的性质可得：，，
∴是等腰直角三角形，
同理，也是等腰直角三角形，
设，则阴影部分的底长为x，高，
∴，
∴．
即．
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键.
【变式5-1】（2024九年级全国·竞赛）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．
【答案】或18
【分析】本题考查一元二次方程在几何中的应用，根据移动时间为秒，分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况分别用表示出和的底和高，根据建立方程求解，即可解题．
【详解】解：移动时间为秒，正方形的边长为10厘米，厘米，
①当在上时，
有厘米，厘米，厘米，
，
，即，
整理得，解得（不合题意，舍去），．
②当在上时，
则厘米，厘米，
，
整理得，解得，（不符合题意，舍去），
综上所述，的值为或18．
故答案为：或18．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ；移动的距离AA′等于 时，两个三角形重叠部分面积最大．
【答案】 1cm或3cm/3cm或1cm 2cm
【分析】如图，设交于 交于证明四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，设cm，则 再利用面积公式建立方程，解方程即可，同时利用配方法求解面积最大值时的平移距离.
【详解】解：如图，设交于 交于
由平移的性质可得：
四边形是平行四边形，
由正方形可得：
是等腰直角三角形，
同理：也是等腰直角三角形，
设cm，则
解得：
cm或cm
重叠部分的面积为：
当时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2
所以当cm时，重叠部分的面积最大.
故答案为：1cm或3cm；2cm
【点睛】本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关键.
【变式5-3】（2024·河南·二模）如图1，正方形的边长和等腰直角的边与重合，边与在一条直线上，以的速度向右移动，直到点与点重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为（），图2所示的是向右移动时，面积（）与随时间（）的变化的关系图象，则的值是（ ）
A．16 B．8 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据正方形与等腰直角三角形的性质得到AH=AD=AB=BC，根据图象分析最大面积为，再根据路程与时间的关系得到，最后得到结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△FGH为等腰直角三角形，
∴AH=AD=AB=BC，
∵△FGH向右移动时，重合部分的面积越来越大，直至△FGH完全在正方形ABCD内部，此时，接着往下运动的话，不完全在正方形ABCD内，则面积减小，
∴图2中是重合部分的面积最大值，
∴，
∵以的速度向右移动，由图2可知从开运动到结束用了（a+4）s，
∴2AB=(a+4)×1,
∴AB=,
∵,
解得：a=4或者a=-4，
∴a=4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键在于分析等腰直角三角形的运动过程，找出运动时间与路程，列出方程求解．
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】
【例6】（23-24九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
【答案】 2 或或
【分析】（1）当四边形为平行四边形时，，由此构建方程解决问题即可；
（2）分两种情况进行讨论：即①当点P在线段上，②当点P在线段上，根据两种情况点的位置，可以确定t的值．
【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，，
，，
如图，
，，
，
解得：，
故答案为：2；
（2）如图1，过A点作于M，则四边形是矩形，
，，
，
，
；
①当点P在线段上时，即时，如图3，
，
解得；
②当点P在线段上时，即时，如图4，
，，
，
整理得：，即，
解得：或，
，
或，
综上所述，或或，的面积为，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用以及三角形的面积等，分类讨论的思想是本题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝ 米时，梯形围栏的面积为36平方米．
【答案】4或6/6或4
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，得出DC=AE=BE=x，再证明△ABE是等腰直角三角形，得出AD=CE=15-2x，然后根据梯形的面积公式即可得到一元二次方程，求解即可．
【详解】解：如图，连接DE，过点A作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，DC=AE=x，∠DAE=∠AEB=90°，
则∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠AEB=90°，
∴∠B=45°，
∴DC=AE=BE=x，
∴AD=CE=15-2x，
∴梯形ABCD面积S=（AD+BC） CD=（15-2x+15-x） x=36
解得∶x1=4，x2=6
故答案为：4或6
【变式6-2】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
【答案】t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形
【分析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=PQ时，当PQ=BQ时，当BP=BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．
【详解】解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ＝BQ，
∵CQ＝t，
∴BQ＝16﹣t，
∴EQ＝8﹣t，
∴EC＝8﹣t+t＝8+t．
∴2t＝8+t．
解得：t＝．
如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，
∴四边形DEQC是矩形，
∴DE＝QC＝t，
∴PE＝t，QE＝CD＝12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ＝．
16﹣t＝，
解得：t＝；
如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，
∵CQ＝t，
∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，
∵PD＝2t，
∴CE＝2t，
∴BE＝16﹣2t，
在Rt△BEP中，
（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，
3t2﹣32t+144＝0，
＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，
故方程无解．
综上所述，t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键．
【变式6-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；
(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)梯形ABCD的高为cm，∠A=60°
(2)
(3)存在为时，使四边形的面积是梯形面积的一半
【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，证Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE=BF=3（cm），再证∠ADE=30°，则∠A=60°，然后由勾股定理求出DE即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，得DQ=EP=2-t，再由AP=AE+EP，得2t=3+2-t，即可求解；
（3）求出S梯形ABCD=15（cm2），分两种情况：①若点Q在CD上，即0≤t≤2；②若点Q在AD上，即2＜t≤4；分别由面积关系得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1所示：
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，AB∥CD，
∴DE⊥CD，CF⊥CD，
∴∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF，DC=EF=2cm，
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=BF，
∴AE=BF=（AB-EF）=×（8-2）=3（cm），
∵AD=6cm，
∴AE=AD，
∴∠ADE=30°，
∴∠A=60°，
DE=（cm），
∴梯形ABCD的高为cm；
（2）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图2所示：
同（1）得：四边形CDEF是矩形，
当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，
∵CQ=t，
∴DQ=EP=2-t，
∵AP=AE+EP，
∴2t=3+2-t，
解得：t=；
（3）解：存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，理由如下：
∵S梯形ABCD=（8+2）×3=15（cm2），
当S四边形PBCQ=S梯形ABCD时，
①若点Q在CD上，即0≤t≤2，如图3所示：
则CQ=t，BP=8-2t，
S四边形PBCQ=（t+8-2t）×3=，
解得：t=3（不合题意舍去）；
②若点Q在AD上，即2＜t≤4，
过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H，如图4所示：
则AQ=AD+DC-t=6+2-t=8-t，
在Rt△AGQ中，∠A=60°，
∴∠AQG=90°-60°=30°，
∴AG=AQ，
∴QG=，
同理：QH=DQ=（8-8+t-2）=（t-2），
∵S四边形PBCQ=S梯形ABCD，
∴S△APQ+S△CDQ=S四边形PBCQ，
∴×2t×（8-t）+×2×（t-2）=，
整理得：t2-9t+17=0，
解得：t1=（不合题意舍去），t2=，
综上所述，存在t为s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、勾股定理、一元二次方程等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰梯形的性质和勾股定理，证明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）是解题的关键，属于中考常考题型．
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】
【例7】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接．
(1)求出__________；
(2)若平分，求点的坐标；
(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.
【答案】(1)40
(2) 或
(3)或.
【分析】（1）先求出点的纵坐标，再根据三角形的面积公式计算即可.
（2）设根据 平分可得，再根据两点之间的距离公式求出的值即可得点的坐标.
（3）设 ,分两种情况讨论：①当且时；②当,且时.画出图形，构造三垂直模型，根据全等三角形的对应边相等列出关于的方程组，求出的值即可求得点的坐标.
【详解】（1）
如图1，作轴与，
∵，
轴，点是在直线，
（2）设
平分，
解得，
∴点的坐标 或.
（3）设
当，且时，
①如图2，点在直线上方时，
过点作直线则轴于点，过点作于点,
则
又
，解得.
则
则.
②
如图3，由得
解得.
则
∴.
当,且时,如图4
作轴于，轴于,
则，
则，解得，
则，
.
综上，点的坐标为或.
【点睛】本题综合性较强，难度较大.主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及数形结合思想和分类讨论思想.注意第（3）小题考虑问题要全面.正确的画出图形是解题的关键.
【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
(1)当t=_____时，点P移动到点D；
(2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值；
(3)当为何值时，△PQB为直角三角形．
【答案】(1)5
(2)4
(3)或或．
【分析】（1）由 是等腰直角三角形，可得，即可得出的值；
（2）过点作于点，则，，，代入面积公式即可得出，解方程即可；
（3）根据，，，表示出，，的长，再分或或，分别列出方程．
【详解】（1）平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5；
（2）过点作于点，
平分，
，
，
又，，
，
，
，
（负值舍去），
；
（3）如图，连接，，，
由题意知，，，，
，
，
，
①若，
则，
，（舍去），
②若，
则，
，
③若，
则，
（舍，
综上所述，的值为：或或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质等知识，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点和点．点C的横坐标为，点D为线段的中点．
(1)求直线l的解析式．
(2)如图1，若点P为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点P坐标．
(3)在（2）的条件下，点Q在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
【答案】(1)
(2)
(3)满足条件的点的横坐标为或或1，求解过程见解析
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）作点关于轴的对称点，从而可得当点共线时，的值最小，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得；
（3）设点的坐标为，先利用两点之间的距离公式分别求出的值，再分①，②和③三种情况，分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点和点代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，
即直线与轴的交点为所求的点，
点为线段的中点，
，
，
对于函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点和点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，符合题意，
所以当的值最小时，点坐标为．
（3）解：设点的坐标为，
则，
，
，
由题意，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形，
则，即，
解得或（不符题意，舍去），
此时点的横坐标为；
②当时，是等腰三角形，
则，即，
解得或（不符题意，舍去），
此时点的横坐标为；
③当时，是等腰三角形，
则，即，
解得，符合题意，
此时点的横坐标为1，
综上，满足条件的点的横坐标为或或1．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的几何应用、等腰三角形的定义、一元二次方程的应用，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
【变式7-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，，点在第一象限，连接，，四边形是正方形．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点分别在上，点关于轴的对称点为点，点在上，且，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，，点在上，且，点在上，连接交于点，，且，若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）32
【分析】（1）先求C的坐标，再代入解析式可求出k；
（2）根据点E关于y轴的对称点为点F和EG=2FG可以得出OG与OE的关系，从而得出GE与t的关系，再根据三角形面积公式即可算出S；
（3）令，则，，在中，根据勾股定理求出n，延长交轴于点，连接，，过点作交轴于点，令，则，从而证出，在中，根据勾股定理求出m，从而求出S.
【详解】解：（1）当时，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
代入解析式得，
解得，
∴；
（2）如图，过点作轴于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
令，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，令，则，，
在中，，
∴，
解得，（舍），
∴，
延长交轴于点，连接，，过点作交轴于点，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
令与的交点为点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍），
∴，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，结合动点问题，综合性强，数量关系比较复杂，需要两次建立一元二次方程，所以是一道难度非常大的题目．
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【人教版】
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】 1
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】 2
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】 4
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】 5
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】 7
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】 8
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】 9
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】
【例1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
【变式1-1】（23-24九年级·广东汕头·期末）如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，平分的面积．
【变式1-2】（2024九年级·上海·专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．
【变式1-3】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点A开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．若，分别从A、同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求经过几秒的面积等于？
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】
【例2】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图，等腰直角三角形，，，，是，边上的动点，且，以，为边作平行四边形，连接，，当时，则的面积为 ．
【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）求的长．
（3）当时，
①求的值；
②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】
【例3】（23-24九年级·甘肃定西·阶段练习）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接．
①当为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．
【变式3-3】（23-24九年级·河南·期末）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．
(1)求四边形的面积；
(2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】
【例4】（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（23-24九年级·广东深圳·期中）如图，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，动点M从点A出发沿方向以的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．
(1)出发1秒钟时，的面积= ；
(2)出发几秒钟时，的面积为
【变式4-3】（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】
【例5】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．
【变式5-1】（2024九年级全国·竞赛）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ；移动的距离AA′等于 时，两个三角形重叠部分面积最大．
【变式5-3】（2024·河南·二模）如图1，正方形的边长和等腰直角的边与重合，边与在一条直线上，以的速度向右移动，直到点与点重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为（），图2所示的是向右移动时，面积（）与随时间（）的变化的关系图象，则的值是（ ）
A．16 B．8 C．2 D．4
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】
【例6】（23-24九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
【变式6-1】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝ 米时，梯形围栏的面积为36平方米．
【变式6-2】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
【变式6-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；
(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】
【例7】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接．
(1)求出__________；
(2)若平分，求点的坐标；
(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.
【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
(1)当t=_____时，点P移动到点D；
(2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值；
(3)当为何值时，△PQB为直角三角形．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点和点．点C的横坐标为，点D为线段的中点．
(1)求直线l的解析式．
(2)如图1，若点P为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点P坐标．
(3)在（2）的条件下，点Q在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
【变式7-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，，点在第一象限，连接，，四边形是正方形．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点分别在上，点关于轴的对称点为点，点在上，且，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，，点在上，且，点在上，连接交于点，，且，若，求的值．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题21.8 利用一元二次方程解决几何动态问题【七大题型】
【人教版】
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】 1
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】 4
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】 15
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】 21
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】 27
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】 31
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】 39
【题型1 利用一元二次方程解决三角形中的动态问题】
【例1】（23-24九年级·全国·单元测试）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（ ）
A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．
【详解】解：由题意，，运动时间，
，
，
，
解得或5，
∴运动时间为5秒或20秒时，的面积等于．
故选：C．
【变式1-1】（23-24九年级·广东汕头·期末）如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是．P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．设运动时间为t秒．当 s时，平分的面积．
【答案】2
【分析】先表示出，，根据平分的面积得到t的方程求解即可．
【详解】解：根据题意，，，
∵，，
∴， 点Q到B点的时间为，点P到C点的时间为，
∵P、Q两点同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，另一点停止运动．
∴，
当平分的面积时，，即，
∴，
整理得，
解得，（舍去），
∴当时，平分的面积．
故答案为：2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键，注意时间的取值范围．
【变式1-2】（2024九年级·上海·专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于．
【答案】
【分析】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，利用平行四边形面积公式求解出的值即可．
【详解】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于，
依题意可得，
解得：，即长为．
故长为时，平行四边形的面积等于．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，动点问题的应用求解，应用平行四边形面积公式求解出是解答本题的关键．
【变式1-3】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在边长为的等边三角形中，点从点A开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．若，分别从A、同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．求经过几秒的面积等于？
【答案】2秒
【分析】设经过x秒的面积等于，则，，作于D，根据等边三角形边长为12，，得到，，得到，根据三角形面积公式得到，得到．
【详解】
解：设经过x秒的面积等于，
则，，
过点Q作，垂足为D，
则，
∵等边中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
，
解得 （不合题意，舍去），，
∴．
答：经过2秒的面积等于．
【点睛】本题主要考查了动点问题，等边三角形，含30°的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的边角性质，含30°的直角三角形是边的性质，勾股定理解直角三角形，三角形的面积公式，解一元二次方程，是解决问题的关键．
【题型2 利用一元二次方程解决平行四边形中的动态问题】
【例2】（23-24九年级·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)两平行线与之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）过点作于点，由勾股定理可得出答案；
（2）分两种情况，由平行四边形的性质可得出答案；
（3）分两种情况，列出的方程可得出答案．
【详解】（1）过点作于点，
，，
，
，
，
故答案为：；
（2）在中，
，，
，
，
Ⅰ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
Ⅱ．当四边形为平行四边形时，，
，
，
综上所述当点、与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，或；
（3）Ⅰ．当在边上时，边上的高是，
，
解得， 舍去），
Ⅱ．当在边上时，
，
解得．
综上所述或时，平行四边形的面积为．
【变式2-1】（23-24九年级·浙江温州·阶段练习）如图，等腰直角三角形，，，，是，边上的动点，且，以，为边作平行四边形，连接，，当时，则的面积为 ．
【答案】
【分析】设 ，则，由平行四边的性质得，，再证四边形是平行四边形得，又证，得，根据，列方程求解，最后利用面积公式即可求解．
【详解】解：延长交延长线于点，过点作⊥交于点，
∵等腰直角三角形，，，
∴，
设 ，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵⊥，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴（舍去）或，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题的关键．
【变式2-2】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，动点从点出发沿着线段向终点运动，同时点从点出发沿着折线段向终点运动，且它们同时到达终点，设点运动的路程为，的长度为，且（为常数，）．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）求的长．
（3）当时，
①求的值；
②连结，，当为直角三角形时，求所有满足条件的的值．
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）①2；②
【分析】（1）根据已知证明即可得证；
（2）根据题，当时，，令时，即可求得；
（3）①当到达点时，点到达点，此时,则，令求得，可得，结合已知条件可得；②由①可得，是等边三角形，分情况讨论，当在上，时，根据含30度角的直角三角形的性质，可得；当时，过点分别作，垂足为,可得四边形是矩形，分别求得,根据勾股定理列出方程，解一元二次方程即可，当时，如图，过点作于点,同理通过勾股定理求得，当点在上时，观察图形可知不存在直角三角形．
【详解】四边形是平行四边形；
即
四边形是平行四边形；
（2）依题意，设点运动的路程为，的长度为，
，，
当时，则，
（3）①当到达点时，点到达点
此时,则
当时，
令，解得
则
四边形是平行四边形，
②由①可知，
是等边三角形
连结，，当为直角三角形时，
当在上，时，如图，
即；
当时，过点分别作，垂足为,
四边形是矩形，
在中
四边形是矩形，
，
在中
是
即 +
化简得：
解得：
当时，如图，过点作于点,
四边形是矩形，
解得
当点在上运动时，不是直角三角形，
综上所述，所有满足条件的的值为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，解一元二次方程，函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
【变式2-3】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求当t＝2s时，求△AEF的面积；
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
【答案】(1)9cm ；
(2)cm ；
(3)t的值为4或
【分析】（1）过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t＝2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可．
【详解】（1）平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∴∠CBG＝30°，
∴CG＝BC＝cm，
∴BG＝＝（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6×＝9（cm2）．
答：平行四边形ABCD的面积为9cm2；
（2）当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝AF＝（cm），
∴△AEF的面积为：×AE×FH＝×2×＝（cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2；
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2．
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，
△AEF的面积为：9×＝3（cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，AE＝tcm，AF＝tcm，高为AF＝t（cm），
∴ ×t×t＝3，
∴t＝﹣2（舍）或t＝2，
∴t＝2>3，不符合题意；
当点E在线段AB.上运动秒时，点F在CD上运动t秒，( 3
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝BE′＝（t﹣6）（cm），E′H＝1.5﹣（t﹣6）＝（9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9﹣×6×（t﹣6）﹣×[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]﹣（t﹣3）×1.5＝3，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴
当时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为4或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握三角形或平行四边形的面积公式是解题的关键．
【题型3 利用一元二次方程解决矩形中的动态问题】
【例3】（23-24九年级·甘肃定西·阶段练习）如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解．
【详解】解：当P点在上运动时，面积逐渐增大，当P点到达B点时，面积最大为3．
∴，即．
当P点在上运动时，面积逐渐减小，当P点到达C点时，面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，
∴．
则，代入，得，解得或3，
因为，即，
所以．
故选：B．
【变式3-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动，设移动的时间为t秒．
(1)当t为何值时，P，Q两点间的距离最小？最小距离是多少？
(2)连接．
①当为等腰三角形时，求t的值；
②在运动过程中，是否存在一个时刻，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，最小，的最小距离为
(2)①当为等腰三角形时，t的值为或或；②不存在一个时刻，使得，理由见解析
【分析】（1）首先根据题意，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据垂线段最短，得出当时，最小，此时四边形是矩形，再根据矩形的性质，得出，然后代入数据，得出，解出即可得出答案；
（2）①过点作于点，得矩形，矩形，根据矩形的性质，得出，，再根据线段之间数量关系，得出，再根据勾股定理，得出，，然后分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解，即可得出答案；
②当时，根据勾股定理，得出，进而得出，整理得出，再根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得：，，
∵，，
∴，
当时，最小，此时四边形是矩形，
∴，
∴，
解得：，
∴当时，最小，的最小距离为；
（2）解：①如图，过点作于点，得矩形，矩形，
∴，，
∴，
在中，
根据勾股定理，可得：，，
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：；
当时，
可得：，
整理可得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
当时，为的中点，
∴，
解得：，
综上可得：当为等腰三角形时，t的值为或或；
②不存在一个时刻，使得，理由如下：
当时，
可得：，
即，
整理可得：，
∵，
∴此方程无实数解，
∴不存在一个时刻，使得．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、解一元二方程、一元二次方程的根与判别式的关系，解本题的关键在利用分类讨论思想解答．
【变式3-2】（23-24九年级·辽宁朝阳·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时，的面积是．
【答案】2或3
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设运动时间为t 秒，则，，利用三角形的面积计算公式，结合的面积是，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设运动时间为t 秒，则，，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴2或3秒时，的面积是．
故答案为：2或3．
【变式3-3】（23-24九年级·河南·期末）如图，为矩形的四个顶点， ，cm，动点、分别从点、同时出发，都以1的速度运动，其中点由运动到停止，点由点运动到点停止．
(1)求四边形的面积；
(2)、两点从出发开始到几秒时，、、组成的三角形是等腰三角形？
【答案】(1)
(2)秒或秒或秒或秒
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的定义和性质、一元二次方程的应用、一元一次方程的应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．
（1）设运动时间为，则，，进而可得，然后根据梯形面积公式求解即可；
（2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，根据题意可得，易得，然后分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为，则，，
∵四边形是矩形，
∴ ， ，，
∴，
∴四边形的面积 ；
（2）设、两点从出发开始到秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形，
∵，
∴，
①当时，
如图1，过作于，
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，可有，
∴，
解得，；
②当时，
如图2，过作于，
由①可知四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得；
③当时，
∴，
∴，
在中，可有，
∴，
∴．
综上所述，当秒或秒或秒或秒时，点、、组成的三角形是等腰三角形．
【题型4 利用一元二次方程解决菱形中的动态问题】
【例4】（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可；
【详解】解：由图②得：当时，在减小，
当时，先变小后变大，
∴应从出发沿运动到，再运动到，
或应从出发沿运动到，再运动到，
设应从出发沿运动到，再运动到，
如图，连接交于，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴当在处时，，即，
∴，
当在处时，，即，
当位于处时，，即，
∴，
∵，
∴，
解得：（不符合题意的根舍去），
∴，
∴菱形的周长为；
故选C
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键.
【变式4-1】（23-24九年级·广东深圳·期中）如图，在△ABD中，AB=AD,AO平分∠BAD,过点D作AB的平行线交AO的延长线于点C,连接BC
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）如果OA,OB(OA>OB)的长（单位：米）是一元二次方程的两根，求AB的长以及菱形ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后，△MON的面积为？
【答案】（1）证明见解析；（2）5，24；（3）M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2．
【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻边相等证明菱形；
（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线面积；
（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．
【详解】（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA
∴△ACD是等腰三角形，AD=DC
又∵AB=AD
∴AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB=AD，∴ ABCD是菱形；
（2）解：解方程x2-7x+12=0，得
OA=4，OB=3，
利用勾股定理AB==5，
S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米．
（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后，△MON的面积为m2，
当点M在OA上时，x<2，S△MON=（4-2x）（3-x）=；
解得x1=，x2=（大于2，舍去）；
当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S△MON=（3-x）（2x-4）=，
解得x1=x2=；
当点M在OC上且点N在OD上时，即3
综上所述：M，N出发秒，秒，秒钟后，△MON的面积为m2．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏南京·期中）如图，菱形的对角线，交于点O，动点M从点A出发沿方向以的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．
(1)出发1秒钟时，的面积= ；
(2)出发几秒钟时，的面积为
【答案】(1)15
(2)或或
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程与几何问题，掌握菱形的对角线互相垂直平分，根据题意进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得出，，再得出，最后根据三角形的面积公式求解即可；
（2）根据题意进行分类讨论即可①当时，点M在线段上，点N在线段上，②当时，点M在线段上，点N在线段上，③当时，点M在线段上，点N在线段上．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
当出发1秒钟时，，
∴，
∴的面积，
故答案为：15．
（2）解：∵
∴，
解得：，
当点M在线段上时，，即，
当点N在线段上时，，
设出发时间为t，则，
①当时，点M在线段上，点N在线段上，
，
∵的面积为
∴，
解得：（舍去），，
②当时，点M在线段上，点N在线段上，
，
∵的面积为
∴，
解得：，
③当时，点M在线段上，点N在线段上，
，
∵的面积为
∴，
解得：，（舍去），
综上：或或．
【变式4-3】（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，，交于，，，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒匀速直线运动到，若，同时出发，问出发后 s时，的面积为菱形面积的？
【答案】1或4
【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程的应用及分类讨论的数学思想，解题的关键是根据出发后时间的多少确定列方程的方法．
根据点、运动过程中与点的位置关系，分当时，点在线段上，点在线段上、当时，点在线段上，点在线段上和当时，点在线段上，点在线段上三种情况分别讨论．
【详解】解：设出发后秒时，．
四边形是菱形，，，
，，，，
，
当时，点在线段上，点在线段上．
此时，，
则；
解得，（舍去）
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，
则；化简为，
此时方程，原方程无实数解；
当时，点在线段上，点在线段上，
此时，，
则；
解得（舍去），
综上所述，出发后或时，．
故答案为：1或4．
【题型5 利用一元二次方程解决正方形中的动态问题】
【例5】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，与都是等腰直角三角形，则若设，则阴影部分的底长为x，高，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【详解】解：设交于H，交于点G，
由平移的性质知，，
∴四边形是平行四边形，
∵由正方形的性质可得：，，
∴是等腰直角三角形，
同理，也是等腰直角三角形，
设，则阴影部分的底长为x，高，
∴，
∴．
即．
故选：D．
【点睛】此题考查解一元二次方程、平行四边形的判定及性质，平移的性质，等腰直角三角形的判定，根据平移的性质得到四边形是平行四边形是解题的关键.
【变式5-1】（2024九年级全国·竞赛）如图，已知正方形的边长为10厘米，点在边上，且厘米，、两点分别从、两点出发以1厘米/秒的速度沿正方形的边逆时针移动，当点移到点时，、两点同时停止移动，设移动时间为秒，当时， ．
【答案】或18
【分析】本题考查一元二次方程在几何中的应用，根据移动时间为秒，分以下两种情况讨论，①当在上时，②当在上时，根据这两种情况分别用表示出和的底和高，根据建立方程求解，即可解题．
【详解】解：移动时间为秒，正方形的边长为10厘米，厘米，
①当在上时，
有厘米，厘米，厘米，
，
，即，
整理得，解得（不合题意，舍去），．
②当在上时，
则厘米，厘米，
，
整理得，解得，（不符合题意，舍去），
综上所述，的值为或18．
故答案为：或18．
【变式5-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为3，则它移动的距离AA′等于 ；移动的距离AA′等于 时，两个三角形重叠部分面积最大．
【答案】 1cm或3cm/3cm或1cm 2cm
【分析】如图，设交于 交于证明四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，设cm，则 再利用面积公式建立方程，解方程即可，同时利用配方法求解面积最大值时的平移距离.
【详解】解：如图，设交于 交于
由平移的性质可得：
四边形是平行四边形，
由正方形可得：
是等腰直角三角形，
同理：也是等腰直角三角形，
设cm，则
解得：
cm或cm
重叠部分的面积为：
当时，重叠部分的面积最大，最大面积为4cm2
所以当cm时，重叠部分的面积最大.
故答案为：1cm或3cm；2cm
【点睛】本题考查的是正方形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，配方法的应用，平移的性质，熟悉以上基础知识是解题的关键.
【变式5-3】（2024·河南·二模）如图1，正方形的边长和等腰直角的边与重合，边与在一条直线上，以的速度向右移动，直到点与点重合才停止移动，两个图形重叠部分的面积为（），图2所示的是向右移动时，面积（）与随时间（）的变化的关系图象，则的值是（ ）
A．16 B．8 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根据正方形与等腰直角三角形的性质得到AH=AD=AB=BC，根据图象分析最大面积为，再根据路程与时间的关系得到，最后得到结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△FGH为等腰直角三角形，
∴AH=AD=AB=BC，
∵△FGH向右移动时，重合部分的面积越来越大，直至△FGH完全在正方形ABCD内部，此时，接着往下运动的话，不完全在正方形ABCD内，则面积减小，
∴图2中是重合部分的面积最大值，
∴，
∵以的速度向右移动，由图2可知从开运动到结束用了（a+4）s，
∴2AB=(a+4)×1,
∴AB=,
∵,
解得：a=4或者a=-4，
∴a=4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及一元二次方程的应用，解题的关键在于分析等腰直角三角形的运动过程，找出运动时间与路程，列出方程求解．
【题型6 利用一元二次方程解决梯形中的动态问题】
【例6】（23-24九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线方向运动，点Q从点D出发，以每秒速度沿线段方向向点C运动．已知动点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q运动停止，设运动时间为t．
（1）当 秒时，四边形为平行四边形；
（2）在点P、点Q的运动过程中，当 秒时，的面积为？
【答案】 2 或或
【分析】（1）当四边形为平行四边形时，，由此构建方程解决问题即可；
（2）分两种情况进行讨论：即①当点P在线段上，②当点P在线段上，根据两种情况点的位置，可以确定t的值．
【详解】解：（1）当四边形为平行四边形时，，
，，
如图，
，，
，
解得：，
故答案为：2；
（2）如图1，过A点作于M，则四边形是矩形，
，，
，
，
；
①当点P在线段上时，即时，如图3，
，
解得；
②当点P在线段上时，即时，如图4，
，，
，
整理得：，即，
解得：或，
，
或，
综上所述，或或，的面积为，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了直角梯形，矩形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用以及三角形的面积等，分类讨论的思想是本题的关键．
【变式6-1】（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，利用两面夹角为135°且足够长的墙，围成梯形围栏ABCD，∠C＝90°，新建墙BCD总长为15米，则当CD＝ 米时，梯形围栏的面积为36平方米．
【答案】4或6/6或4
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则四边形ADCE为矩形，得出DC=AE=BE=x，再证明△ABE是等腰直角三角形，得出AD=CE=15-2x，然后根据梯形的面积公式即可得到一元二次方程，求解即可．
【详解】解：如图，连接DE，过点A作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，DC=AE=x，∠DAE=∠AEB=90°，
则∠BAE=∠BAD-∠EAD=45°，
在直角△CDE中，
又∵∠AEB=90°，
∴∠B=45°，
∴DC=AE=BE=x，
∴AD=CE=15-2x，
∴梯形ABCD面积S=（AD+BC） CD=（15-2x+15-x） x=36
解得∶x1=4，x2=6
故答案为：4或6
【变式6-2】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝∠D＝90°，BC＝16，CD＝12，AD＝21．动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动．点P，Q分别从点D，C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形？
【答案】t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形
【分析】以B，P，Q为顶点的三角形为等腰三角形有三种情况：当PB=PQ时，当PQ=BQ时，当BP=BQ时，由等腰三角形的性质就可以得出结论．
【详解】解：如图1，当PB＝PQ时，作PE⊥BC于E，
∴EQ＝BQ，
∵CQ＝t，
∴BQ＝16﹣t，
∴EQ＝8﹣t，
∴EC＝8﹣t+t＝8+t．
∴2t＝8+t．
解得：t＝．
如图2，当PQ＝BQ时，作QE⊥AD于E，
∴∠PEQ＝∠DEQ＝90°，
∵∠C＝∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝∠DEQ＝90°，
∴四边形DEQC是矩形，
∴DE＝QC＝t，
∴PE＝t，QE＝CD＝12．
在Rt△PEQ中，由勾股定理，得
PQ＝．
16﹣t＝，
解得：t＝；
如图3，当BP＝BQ时，作PE⊥BC于E，
∵CQ＝t，
∴BP＝BQ＝BC﹣CQ＝16﹣t，
∵PD＝2t，
∴CE＝2t，
∴BE＝16﹣2t，
在Rt△BEP中，
（16﹣2t）2+122＝（16﹣t）2，
3t2﹣32t+144＝0，
＝（﹣32）2﹣4×3×144＝﹣704＜0，
故方程无解．
综上所述，t＝或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形为等腰三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，矩形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据等腰三角形的性质建立方程是关键．
【变式6-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=6cm．点P从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向B点运动（运动到B点即停止）；点Q从C点出发，以1cm/s的速度沿CD DA向A点运动（当点P停止运动时，点Q也即停止），设P、Q同时出发并运动了t秒．
(1)求梯形ABCD的高和∠A的度数；
(2)当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；
(3)试问是否存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)梯形ABCD的高为cm，∠A=60°
(2)
(3)存在为时，使四边形的面积是梯形面积的一半
【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，证Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），得AE=BF=3（cm），再证∠ADE=30°，则∠A=60°，然后由勾股定理求出DE即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，得DQ=EP=2-t，再由AP=AE+EP，得2t=3+2-t，即可求解；
（3）求出S梯形ABCD=15（cm2），分两种情况：①若点Q在CD上，即0≤t≤2；②若点Q在AD上，即2＜t≤4；分别由面积关系得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图1所示：
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD=BC，AB∥CD，
∴DE⊥CD，CF⊥CD，
∴∠DEF=∠CFE=∠CDE=90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∴DE=CF，DC=EF=2cm，
在Rt△ADE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF（HL），
∴AE=BF，
∴AE=BF=（AB-EF）=×（8-2）=3（cm），
∵AD=6cm，
∴AE=AD，
∴∠ADE=30°，
∴∠A=60°，
DE=（cm），
∴梯形ABCD的高为cm；
（2）解：过D作DE⊥AB于E，过C作CF⊥AB于F，如图2所示：
同（1）得：四边形CDEF是矩形，
当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，四边形APQD是直角梯形，则四边形DEPQ为矩形，
∵CQ=t，
∴DQ=EP=2-t，
∵AP=AE+EP，
∴2t=3+2-t，
解得：t=；
（3）解：存在这样的t的值，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半，理由如下：
∵S梯形ABCD=（8+2）×3=15（cm2），
当S四边形PBCQ=S梯形ABCD时，
①若点Q在CD上，即0≤t≤2，如图3所示：
则CQ=t，BP=8-2t，
S四边形PBCQ=（t+8-2t）×3=，
解得：t=3（不合题意舍去）；
②若点Q在AD上，即2＜t≤4，
过点Q作HG⊥AB于G，交CD的延长线于H，如图4所示：
则AQ=AD+DC-t=6+2-t=8-t，
在Rt△AGQ中，∠A=60°，
∴∠AQG=90°-60°=30°，
∴AG=AQ，
∴QG=，
同理：QH=DQ=（8-8+t-2）=（t-2），
∵S四边形PBCQ=S梯形ABCD，
∴S△APQ+S△CDQ=S四边形PBCQ，
∴×2t×（8-t）+×2×（t-2）=，
整理得：t2-9t+17=0，
解得：t1=（不合题意舍去），t2=，
综上所述，存在t为s时，使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了等腰梯形的性质、矩形的判定与性质、直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的判定、勾股定理、一元二次方程等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰梯形的性质和勾股定理，证明Rt△ADE≌Rt△BCF（HL）是解题的关键，属于中考常考题型．
【题型7 利用一元二次方程解决平面直角坐标系中的动态问题】
【例7】（23-24九年级·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点，点，过点作轴的平行线，点是在直线上位于第一象限内的一个动点，连接．
(1)求出__________；
(2)若平分，求点的坐标；
(3)已知点是直线上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求点的坐标.
【答案】(1)40
(2) 或
(3)或.
【分析】（1）先求出点的纵坐标，再根据三角形的面积公式计算即可.
（2）设根据 平分可得，再根据两点之间的距离公式求出的值即可得点的坐标.
（3）设 ,分两种情况讨论：①当且时；②当,且时.画出图形，构造三垂直模型，根据全等三角形的对应边相等列出关于的方程组，求出的值即可求得点的坐标.
【详解】（1）
如图1，作轴与，
∵，
轴，点是在直线，
（2）设
平分，
解得，
∴点的坐标 或.
（3）设
当，且时，
①如图2，点在直线上方时，
过点作直线则轴于点，过点作于点,
则
又
，解得.
则
则.
②
如图3，由得
解得.
则
∴.
当,且时,如图4
作轴于，轴于,
则，
则，解得，
则，
.
综上，点的坐标为或.
【点睛】本题综合性较强，难度较大.主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及数形结合思想和分类讨论思想.注意第（3）小题考虑问题要全面.正确的画出图形是解题的关键.
【变式7-1】（23-24九年级·江苏盐城·期中）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0，5）、C（12，0）作矩形，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒．
(1)当t=_____时，点P移动到点D；
(2)当△OPQ的面积为16时，求此时t的值；
(3)当为何值时，△PQB为直角三角形．
【答案】(1)5
(2)4
(3)或或．
【分析】（1）由 是等腰直角三角形，可得，即可得出的值；
（2）过点作于点，则，，，代入面积公式即可得出，解方程即可；
（3）根据，，，表示出，，的长，再分或或，分别列出方程．
【详解】（1）平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：5；
（2）过点作于点，
平分，
，
，
又，，
，
，
，
（负值舍去），
；
（3）如图，连接，，，
由题意知，，，，
，
，
，
①若，
则，
，（舍去），
②若，
则，
，
③若，
则，
（舍，
综上所述，的值为：或或．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，直角三角形的性质等知识，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．
【变式7-2】（23-24九年级·重庆·期中）在平面直角坐标系中，直线l经过点和点．点C的横坐标为，点D为线段的中点．
(1)求直线l的解析式．
(2)如图1，若点P为线段上的一个动点，当的值最小时，求出点P坐标．
(3)在（2）的条件下，点Q在线段上，若是等腰三角形，请直接写出满足条件的点Q的横坐标，并写出其中一个点Q的横坐标的求解过程．
【答案】(1)
(2)
(3)满足条件的点的横坐标为或或1，求解过程见解析
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）作点关于轴的对称点，从而可得当点共线时，的值最小，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，由此即可得；
（3）设点的坐标为，先利用两点之间的距离公式分别求出的值，再分①，②和③三种情况，分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点和点代入得：，解得，
则直线的解析式为．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，
则，
，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，
即直线与轴的交点为所求的点，
点为线段的中点，
，
，
对于函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点和点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
当时，，解得，符合题意，
所以当的值最小时，点坐标为．
（3）解：设点的坐标为，
则，
，
，
由题意，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形，
则，即，
解得或（不符题意，舍去），
此时点的横坐标为；
②当时，是等腰三角形，
则，即，
解得或（不符题意，舍去），
此时点的横坐标为；
③当时，是等腰三角形，
则，即，
解得，符合题意，
此时点的横坐标为1，
综上，满足条件的点的横坐标为或或1．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的几何应用、等腰三角形的定义、一元二次方程的应用，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
【变式7-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，，点在第一象限，连接，，四边形是正方形．
（1）如图1，求直线的解析式；
（2）如图2，点分别在上，点关于轴的对称点为点，点在上，且，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，，，点在上，且，点在上，连接交于点，，且，若，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）32
【分析】（1）先求C的坐标，再代入解析式可求出k；
（2）根据点E关于y轴的对称点为点F和EG=2FG可以得出OG与OE的关系，从而得出GE与t的关系，再根据三角形面积公式即可算出S；
（3）令，则，，在中，根据勾股定理求出n，延长交轴于点，连接，，过点作交轴于点，令，则，从而证出，在中，根据勾股定理求出m，从而求出S.
【详解】解：（1）当时，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
代入解析式得，
解得，
∴；
（2）如图，过点作轴于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴，
令，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，令，则，，
在中，，
∴，
解得，（舍），
∴，
延长交轴于点，连接，，过点作交轴于点，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
令与的交点为点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得（舍），
∴，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，结合动点问题，综合性强，数量关系比较复杂，需要两次建立一元二次方程，所以是一道难度非常大的题目．
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