2024-2025学年福建省九地市部分学校高二（上）开学数学试卷（含解析）

2024-2025学年福建省九地市部分学校高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则复数在复平面内对应的点不可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( )
A. B.
C. D.
4.已知空间单位向量，，两两垂直，则( )
A. B. C. D.
5.如图，四面体中，点是的中点，记，，，则( )
A. B.
C. D.
6.设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，，则 D. 若，，则
7.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.三棱锥满足，二面角的大小为，，，，则三棱锥外接球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为则( )
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为
C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
10.在中，设角，，所对的边分别为，，，则下列命题一定成立的是( )
A. 若，则是锐角三角形
B. 若，，，则有唯一解
C. 若是锐角三角形，，，设的面积为，则
D. 若是锐角三角形，则
11.如图，在棱长为的正方体中，、、、、均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为( )
A. 在中点时，平面平面
B. 异面直线、所成角的余弦值为
C. E、、、、在同一个球面上
D. ，则点轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆锥的底面半径为，其侧面积为，则该圆锥的体积为 ．
13.甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为______．
14.如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，，在下底面圆上，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若的面积为，求．
16.本小题分
如图，是圆的直径，平面面，且．
求证：平面；
若，，，求直线与面所成角的正弦值．
17.本小题分
某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分现从中随机选出名学生的成绩满分为分，按分数分为，，，，，，共组，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并求这名学生成绩的中位数保留一位小数；
若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于分的学生中随机抽取名学生参加运动交流会，大会上需要从这名学生中随机抽取名学生进行经验交流发言，求抽取的名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各人的概率．
18.本小题分
如图所示的空间几何体是以为轴的圆柱与以为轴截面的半圆柱拼接而成，其中为半圆柱的母线，点为弧的中点．
求证：平面平面；
当，平面与平面夹角的余弦值为时，求点到直线的距离．
19.本小题分
在中，，，，，分别是，上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
求证：平面；
求与平面所成角的大小；
在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
答案解析
1.
【解析】解：，
若，则，复数可能在第一象限；
若，无解，即复数不可能在第二象限，故应选B；
若，则，复数可能在第三象限；
若，则，复数可能在第四象限．
故选：．
先根据复数的除法和乘法计算化简，再根据实部和虚部确定复数对应点的象限．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
2.
【解析】解：根根据空间中点的坐标确定方法知，
空间中点在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为，横坐标与纵坐标不变．
所以空间向量在坐标平面上的投影坐标是：．
故选：．
根据投影向量的定义可得结果．
本题考查的知识要点：向量的投影，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.
【解析】解：若构成空间的一个基底，即，和为不共线和非向量，
对于：由于和为实数，故A正确；
对于：由于，故B错误；
对于：由于，故C错误；
对于：由于，故D错误．
故选：．
直接利用共线向量和向量的基底判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：向量的基底，共线向量基本定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.
【解析】解：空间单位向量，，两两垂直，所以，，．
所以：，
故．
故选：．
直接利用向量的运算求出结果．
本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
5.
【解析】解：连接，
是的中点，，，
，
中，，，
，
故选B．
6.
【解析】解：对于：由，，，可得、可能平行或相交，故A错误；
对于：由，，，则由线面平行的性质定理得，故B正确；
对于：由，，，，可得、可能平行或相交，故C错误；
对于：由，，可得或，故D错误．
故选：．
根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐一判断即可．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于基础题．
7.
【解析】解：由题以及正弦定理得，
所以由余弦定理得，
所以由正弦定理得，
所以，
因为，，所以，
所以，故，则，
因为，所以，所以即，
此时即，解得，
所以．
故选：．
先由题意结合正弦定理得，再由得，接着结合基本定理得，故，进而可求得和，再由即可求解．
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
8.
【解析】解：设，，则，，
因为
，
所以，解得：，
即，，可知≌，
过作，连接，则，
可知，且二面角的平面角为，
则为等边三角形，即，
设，因为，
即，解得：或，
可知点与点重合或与点重合，两者是对称结构，不妨取点与点重合，
则，，由，，平面，则平面，
且为二面的平面角，可知为等边三角形，
可将三棱锥补形为直棱柱，如图所示，
为底面正的外心，即，
为的外接球球心，可知，且，
则三棱锥的外接球半径，所以外接球的体积．
故选：．
设，，根据对角线向量的性质列方程求，关系，从而可得线线垂直，过作，连接，结合勾股定理，得线线关系，从而可得二面角的平面角，可将三棱锥补形为直棱柱，从而可确定外接球球心位置得外接球半径，即可得球的体积．
本题考查了三棱锥外接球的体积计算，属于中档题．
9.
【解析】解：根据题意可得，，选项错误；
前几组的频率依次为，，，
估计该年级学生成绩的中位数约为分，选项错误，
估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为分，选项正确；
估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为，选项正确．
故选：．
根据频率分布直方图的性质，中位数的概念，加权平均数与方差的概念，即可分别求解．
本题考查频率分布直方图的性质，中位数的概念，加权平均数与方差的概念，属中档题．
10.
【解析】解：，
，
，
为锐角，但不能确定角，是否为锐角，
故不一定是锐角三角形，故A错误；
由正弦定理得，
，
，
有唯一解，故B正确；
，
，，
，
又，解得，
，，
，
，
，即，故C正确；
是锐角三角形，，
又，
，，
又在上单调递增，
，，
，故D正确；
故选：．
由余弦定理可判断；
由正弦定理可判断；
利用边化角结合面积公式可得，求的范围，结合正弦函数的性质可得的范围，即可判断；
由锐角三角形可得及，利用在上的单调性结合诱导公式可判断．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
11.
【解析】解：对于选项A：取的中点，连接，，
在棱长为的正方体中，
E、、、、均为所在棱的中点，
易知，因为，
所以平面，在面内，
所以，面，面，，
所以面，面，所以，
连接，是正方形，，
因为面，面，
所以，
因为面，面，，
所以面，
因为面，所以，
综上，面，面，又，
所以面，面，故平面平面，所以A正确；
对于选项B：取的中点，连接，，则，
所以是异面直线、所成的角，
又，则，所以B错误；
对于选项C：记正方体的中心为点，则，
所以、、、、在以为球心，以为半径的球面上，所以C正确；
对于选项D：因为，且为的中点，
所以，故，
所以点轨迹是过点与平行的线段，且，
所以，所以D正确．
故选：．
根据正方体图像特征证明出面，结合面面垂直的判定定理，判断出的真假；根据异面直线所成的角判断出的真假；根据五点共圆，判断出的真假；分析可知点轨迹是过点与平行的线段，根据轨迹求出长度，判断出的真假．
本题考查面面垂直的判断定理的应用，异面直线所成角的余弦值的求法，属于中档题．
12.
【解析】解：圆锥的轴截面如图，
由题意知，则，
所以，
由勾股定理得，
所以．
故答案为：．
13.
【解析】解：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分，
三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲，
若甲与乙、丁两场比赛都输，则乙、丁、丙积分都大于甲，不合题意；
若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得分，
这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于分，不合题意，
在丙输的情况下，乙、丁已有分，
那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于分，不合题意；
若甲全赢概率是时，甲得分，其他人分数最高为分，
这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢，
否则丙的分数不小于分，只有全平或全输或一输一平，
若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率；
若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意；
若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是；
综上概率为．
故答案为：．
不妨先考虑甲输丙，再就甲与乙丁的输赢分类讨论后可得所求的概率．
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
14.
【解析】解：连接，过作垂直于的延长线于点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
在三角形中，因为，，，
故，
则，
则，
，
故点，又，，，
设点，，，由，
则可得，
，，
设平面的法向量，
则，即，
取，则，，
故平面的法向量，
又，
设直线与平面所成角为
则，
因为，，且，
故令，，，，
则，，，
又，，所以，
故，
也即，
所以的最大值为．
故答案为：．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，设出未知点的坐标，利用向量法求线面角正弦值的最大值，再求余弦值的最小值即可．
本题考查线面角的计算利用三角函数最值的应用，属于中档题．
15.解：由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又，所以；
因为的面积为，
所以，即，
由，则，
即，
所以，
即．
【解析】由已知，结合正弦定理边角互化，再根据余弦定理求得即可求解；
由三角形面积公式求得，根据及余弦定理得出，再由完全平方公式即可求解．
本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，属中档题．
16.解：证明：因为平面面，且，
又平面面，平面，
所以面，又因为平面，
所以，又是圆的直径，所以，
又，，平面，
所以平面；
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，所以，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则，
而，
所以直线与面所成角的正弦值为：
，．
【解析】根据面面垂直的性质定理，结合直径的性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
根据的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可．
本题考查线面垂直的证明，向量法求解线面角问题，属中档题．
17.解：根据题意可得，解得；
前几组的频率依次为，，，，
估计这名学生成绩的中位数为分；
在与内的学生的频率之比为：：，
抽取的名学生在内有人，在有人，
再从这名学生中随机抽取名学生共有个结果，
而抽取的名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各人的情况共有个结果，
故所求概率为．
【解析】根据频率分布直方图的性质，中位数的概念，即可求解；
根据分层抽样的概念，古典概型的概率公式，即可求解．
本题考查频率分布直方图的性质，中位数的概念，分层抽样的概念，古典概型的概率公式的应用，属中档题．
18.解：过作交弧上一点，连结，，，如图所示：
则为弧的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，所以．
由题意可知，，为等腰直角三角形，则；
因为为弧的中点，所以，，
则为等腰直角三角形，则，
所以，则，
因为，则，又，
又因为、面，
所以平面，因为面，
所以平面平面．
由题意知，，，两两垂直，所以为坐标原点，
以，，分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：
设，又，
则，，，，，
，，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，即，
令，，
设平面的一个法向量为，
则，即，即，
令，，
设平面与平面的夹角为，
，解得负舍，
所以，，，
则，，
，
所以点到直线的距离为．
【解析】过作交弧上一点，连结，，，由，可得，进而由线面垂直的判定定理证明平面，从而由面面垂直的判定定理即可得证；
根据题意，建立空间直角坐标系，设，利用向量法求平面与平面夹角的余弦值，而列方程求出的值，从而向量法可求点到直线的距离．
本题考查面面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
19.解：证明：因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，
又，，平面，
所以平面，平面，
所以，
又已知，，且都在面内，
所以平面；
由，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
因为，故，
由几何关系可知，，，，
故C，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
设与平面所成角的大小为，
则有，
故，
即与平面所成角的大小为；
假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为，
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，，
设平面的先向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
设平面的法向量为，
则，
不妨令，则，，
所以，
若平面与平面成角余弦值为，
则满足，
化简得，
解得或，
即或，
故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为，此时的长度为或．
【解析】应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；
建立空间直角坐标系．用向量法求与平面所成角的大小；
假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得．
本题考查线面垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．
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