2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而充分不条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若是关于的实系数方程的一个复数根，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知三角形中三边长为，，，若，，成等差数列，则直线与直线的位置关系为( )
A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合
4.设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列关于命题：
若等差数列为和谐数列，则一定存在最小值；
若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列为和谐数列．
下列判断正确的是( )
A. 和都为真命题 B. 和都为假命题
C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合，，则______．
6.等比数列中，若，，则 ______．
7.函数的定义域是______．
8.已知向量，满足，则，的夹角为______．
9.函数的部分图象如图所示，则______．
10.已知函数是上的奇函数，当时，，当时，的解析式为 ______．
11.设，，若是与的等比中项，则的最小值是______．
12.在中，，，则面积为______．
13.若数列的前项和为，则数列的通项公式是______．
14.若、、均为平面单位向量，且，则的坐标为______．
15.设直线系：，对于下列四个命题：
A.中所有直线均经过一个定点
B.存在定点不在中的任一条直线上
C.对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上
D.中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是______写出所有真命题的代号．
16.设函数满足，定义域为，值域为，若集合可取得中所有值，则参数的取值范围为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数为常数且方程有两个实根为，．
求函数的解析式；
当时，解关于的不等式：．
18.本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
某公园有三个警卫室、、，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发前往警卫室，甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时．
保安甲从出发小时后达点，若，求实数、的值；
若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过千米，试问有多长时间两人不能通话？精确到小时
20.本小题分
如图所示，将一块直角三角形板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角板内一点，现因三角板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形锯成，设直线的斜率为，问：
求直线的方程；
若的面积为，求的表达式；
若为的面积，问是否存在实数，使得关于的不等式有解，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知数列和的通项公式分别为，将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，，，，，
写出，，，；
求证：在数列中，但不在数列中的项恰为，，，，；
求数列的通项公式．
参考答案
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17.解：将得，
解得，所以分
不等式即为，可化为．
当时，不等式的解集为分
18.解： 函数是定义域为的偶函数，
有，
即，
即，
故；
，且在上恒成立，
原不等式等价于在上恒成立，
又，
，
，
，

19.解：因为，所以，
因此建立如图所示的平面直角坐标系，
，，，
设保安甲从出发小时后到达点，所以有，，
设，，，，
即，当时，，由，
得，
，，
设保安乙从出发小时后达点，所以点的坐标为，
于是有，
因为对讲机在公园内的最大通话距离不超过千米，
所以有，所以，，
或，而，所以有，
因为．
20.解：依题意有直线的方程为：
，
直线方程为：
直线方程为：
由得
或
又由得
即
由弦长公式可得
点到直线的距离为

易得
设
由“对勾”函数性质可得
又且
，

21.解：；；．
；；．
；；；
解对于，
当为奇数时，设为
则
当为偶数时，设则不属于
在数列中，但不在数列中的项恰为，，，，；
当时，依次有，，，

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